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• Fabricio Calapiña

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Ejercicio 28 Calcule la cantidad mínima y máxima de corridas que deben existir en una secuencia de 17000 números para concluir que son números aleatorios con un nivel de confianza de 95 %. Se obtiene un valor 𝛼 = 5% y 𝑍5%/2 = 1,96 o 𝑍5%/2 = −1,96 𝜇𝐶𝑜 = 𝜎 2 𝐶𝑜 =

2𝑛 − 1 2(17000) − 1 = = 11333 3 3

16𝑛 − 29 16(17000) − 29 = = 3021,9 90 90

Corridas máximas 𝑍𝑜 = |

𝐶𝑜 − 𝜇𝐶𝑜 𝐶𝑜 − 11333 |= = 1,96 𝜎𝐶𝑜 √3021,9

𝐶𝑜 − 11333 = 1,96 ∗ √3021,9 𝐶𝑜 = (1,96 ∗ √3021,9) + 11333 𝐶𝑜 = 11440,7

≅

𝐶𝑜 = 11441

Corridas mínimas 𝑍𝑜 = |

𝐶𝑜 − 𝜇𝐶𝑜 𝐶𝑜 − 11333 |= = −1,96 𝜎𝐶𝑜 √3021,9

𝐶𝑜 − 11333 = 1,96 ∗ √3021,9 𝐶𝑜 = (−1,96 ∗ √3021,9) + 11333 𝐶𝑜 = 11225,25

≅

𝐶𝑜 = 11225

Para que en un conjunto de 17000 números aleatorios exista un nivel de confianza de 95%, el tamaño de corridas máxima debe ser de 11441 y el tamaño de corridas mínimas debe ser de 11225.

Ejercicio 29 Genere 100 números pseudoaleatorios usando cualquier hoja de cálculo, y realice las pruebas de corridas, uniformidad e independencia. ¿Bajo este análisis es posible considerar que el generador de números aleatorios que tiene la hoja de cálculo usada es confiable? Tabla 1: Números Pseudoaleatorios generados en EXCEL

1,00 0,44 0,14 0,33 0,22 0,83 0,58 1,00 0,99 0,50

0,50 0,78 0,61 0,40 0,34 0,51 0,64 0,69 0,61 0,86

0,55 0,78 0,84 0,18 0,77 0,78 0,15 0,38 0,36 0,73

0,10 0,29 0,38 0,64 0,36 0,62 0,90 0,80 0,22 0,65

0,54 0,02 0,02 0,85 0,58 0,51 0,31 0,19 0,77 0,62

0,81 0,34 0,41 0,01 0,75 0,36 0,21 0,99 0,94 0,12

0,62 0,78 0,80 0,67 0,83 0,92 0,90 0,64 0,96 0,65

PRUEBAS DE UNIFORMIDAD Prueba de Chi Cuadrado Encontramos m 𝑚 = √𝑛 𝑚 = √100 𝑚 = 10 Obtenemos el valor de 𝑋 2 𝛼,𝑚−1 = 16,919 Encontramos 𝐸𝑖 𝐸𝑖 = 𝐸𝑖 =

𝑛 𝑚

100 10

𝐸𝑖 = 10

0,60 0,71 0,76 0,71 0,75 0,85 0,07 0,15 0,08 0,85

0,96 0,57 0,25 0,38 0,15 0,11 0,50 0,04 0,93 0,41

0,30 0,96 0,38 0,43 0,80 0,73 0,59 0,35 0,46 0,05

Cálculos para el Chi Cuadrado Intervalo 𝑂𝑖 𝐸𝑖 0-0,1 0,1-0,2 0,2-0,3 0,3-0,4 0,4-0,5 0,5-0,6 0,6-0,7 0,7-0,8 0,8-0,9 0,9-0,10

8 8 6 13 8 9 12 16 10 10 100

𝑋2𝑜 = ∑ El

estadístico

es

menor

al

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

(𝐸𝑖 − 𝑂𝑖)2 𝐸𝑖 0,4 0,4 1,6 0,9 0,4 0,1 0,4 3,6 0 0 7,8

(𝐸𝑖 − 𝑂𝑖)2 = 7,8 𝐸𝑖

estadístico

correspondiente

de

Chi

Cuadrado

𝑋 2 0,05;9 = 16,919, en consecuencia, no se puede rechazar el conjunto de números siguen una distribución uniforme. La prueba de KOLMOGOROV -SMIRNOV no es recomendable realizarlo dado que este tipo de prueba se realizan cuando n>20 PRUEBAS DE INDEPENDENCIA Prueba de Corridas arriba y abajo Realizaremos la asignación de unos y ceros por renglón (o fila). 0,1,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0,0, 1,1,0,0,1,0,1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,1,1,0,1,1,1,0,0, 𝑆={ } 1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,1,1,0,0,1, 0,1,0,0,0,1,1,0,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,0,0,0,1,1,0,0, Se obtiene un valor de 𝐶0 = 61 y 𝛼 = 5% 𝜇𝐶𝑜 = 𝜎 2 𝐶𝑜 =

2𝑛 − 1 2(100) − 1 = = 66,333 3 3

16𝑛 − 29 16(100) − 29 = = 17,455 90 90

𝑍𝑜 = |

𝐶𝑜 − 𝜇𝐶𝑜 61 − 66,333 |=| | = 0,558 𝜎𝐶𝑜 √17,455

Dado que el estadístico 𝑍𝑜 es menor al valor de la tabla normal estándar para 𝑍5%/2 = 1,96 se concluye que no se puede rechazar, además que los números del conjunto son independientes, en función a esta prueba los números son aptos para usarse en simulación Prueba de Corridas arriba y debajo de la media Realizaremos la asignación de unos y ceros por renglón (o fila). 1,0,1,0,1,1,1,1,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,1,1,0,1,1,0,0,0, 1,1,0,0,0,0,0,1,1,0,1,1,0,0,0,0,1,0,1,1,1,1,0, 𝑆={ } 1,1,1,1,1,1,0,1,1,0,1,1,1,0,1,0,0,1,0,0,1,1,1,0,1,0, 1,1,0,0,0,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,0,1,1,1,1,0,1,1,0,0, Se obtiene un valor de 𝐶0 = 48 y 𝛼 = 5%, 𝑛0 = 43, 𝑛1 = 57 𝜇𝐶𝑜 = 𝜎 2 𝐶𝑜 =

2𝑛0 𝑛1 1 2(43)(57) 1 + = + = 49,52 𝑛 2 100 2

2𝑛0 𝑛1 (2𝑛0 𝑛1 − 𝑛) 2(43)(57)[2(43)(57) − 100] = = 23,77 𝑛2 (𝑛 − 1) 1002 (100 − 1) 𝑍𝑜 =

𝐶𝑜 − 𝜇𝐶𝑜 48 − 49,52 = = −0,311 𝜎𝐶𝑜 √23,77

Como el valor de 𝑍𝑜 cae dentro del intervalo 1,96 < 𝑍𝑜 = −0,311 < 1,96 , se dice que no se puede rechazar que los números del conjunto r. son independientes con un nivel de confianza de 95 %. De acuerdo con esta prueba, el conjunto de números r. se puede usar en un estudio de simulación. Los números aleatorios obtenidos en la hoja de cálculo de Excel son confiables dado las características de uniformidad e independencia.

Ejercicio 30 Para los siguientes números pseudoaleatorios determine por medio de una prueba de series si se pueden considerar independientes.

a) Utilice 9 casillas equiprobables. 0.999

0.666

0.333

0 0

0.333

0.666

INTERVALO

𝑂𝑖

𝐸𝑖

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 12 14 13 8 9 14 10 9

11 11 11 11 11 11 11 11 11 99

99

0.999

(𝐸𝑖 − 𝑂𝑖)2 𝐸𝑖 0,0909 0,0909 0,8182 0,3636 0,8182 0,3636 0,8182 0,0909 0,3636 3,8182

𝑋2𝑜 = ∑

(𝐸𝑖 − 𝑂𝑖)2 = 3,8182 𝐸𝑖

El estadístico es menor al estadístico correspondiente de Chi Cuadrado para un nivel 95% de confianza 𝑋 2 0,05;8 = 15,5073, en consecuencia, por lo cual no podemos rechazar la hipótesis de independencia. b) Utilice 16 casillas equiprobables. 1

0.75

0.5

0.25

0 0

0.25

0.5

0.75

INTERVALO

𝑂𝑖

𝐸𝑖

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

4 8 5 9 8 5 7 7 6 10 2 4 9 4 7 4 99

6,1875 6,1875 6,1875 6,1875 6,1875 6,1875 6,1875 6,1875 6,1875 6,1875 6,1875 6,1875 6,1875 6,1875 6,1875 6,1875 99

(𝐸𝑖 − 𝑂𝑖)2 𝐸𝑖 0,7734 0,5309 0,2279 1,2784 0,5309 0,2279 0,1067 0,1067 0,0057 2,3491 2,8340 0,7734 1,2784 0,7734 0,1067 0,7734 12,6768

1

𝑋2𝑜 = ∑

(𝐸𝑖 − 𝑂𝑖)2 = 12,6768 𝐸𝑖

El estadístico es menor al estadístico correspondiente de Chi Cuadrado para un nivel 95% de confianza 𝑋 2 0,05;15 = 14,9958, en consecuencia, por lo cual no podemos rechazar la hipótesis de independencia. c) Utilice 25 casillas equiprobables. 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0

0.2

0.4

0.6

INTERVALO

𝑂𝑖

𝐸𝑖

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

4 4 4 5 5 3 2 5 2 5 5 4 4 6 3 7 4 4 1 3

3,96 3,96 3,96 3,96 3,96 3,96 3,96 3,96 3,96 3,96 3,96 3,96 3,96 3,96 3,96 3,96 3,96 3,96 3,96 3,96

0.8

(𝐸𝑖 − 𝑂𝑖)2 𝐸𝑖 0,0004 0,0004 0,0004 0,2731 0,2731 0,2327 0,9701 0,2731 0,9701 0,2731 0,2731 0,0004 0,0004 1,0509 0,2327 2,3337 0,0004 0,0004 2,2125 0,2327

1

21 22 23 24 25

4 3 5 4 3 99

𝑋

2

𝑜

3,96 3,96 3,96 3,96 3,96 99

0,0004 0,2327 0,2731 0,0004 0,2327 10,3434

(𝐸𝑖 − 𝑂𝑖)2 =∑ = 10,3434 𝐸𝑖

El estadístico es menor al estadístico correspondiente de Chi Cuadrado para un nivel 95% de confianza 𝑋 2 0,05;24 = 36,4150, en consecuencia, por lo cual no podemos rechazar la hipótesis de independencia. Ejercicio 31 Dado el siguiente generador de aleatorios 𝑋𝑖+1 = (2177 ∗ 𝑋𝑖 + 2367) mod 1351867; semilla 1117. Tome los primeros números entre cero y uno para completar 100 pares de datos. Luego elabore una prueba de series como se pide. Para generar 100 pares ordenados se debe generar 101datos el procedimiento fue el siguiente: 

Generar números aleatorios con el conjunto 𝑆 = {0,1,2,3 … 𝑚𝑜𝑑 − 1}



Esos números serán reemplazados en la ecuación 𝑋𝑖+1 = (2177 ∗ 𝑋𝑖 + 2367)



El resultado de esta ecuación se divide para el MOD



Se extrae el residuo de esta división



El residuo se multiplica por el MOD



Una vez obtenido ese resultado se divide para (MOD – 1) y se genera el número aleatorio, que se muestra a continuación.

0,7990 0,0941 0,4718 0,8956 0,8397 0,7249 0,6584 0,1972 0,6682 0,0982

0,1340 0,9752 0,1609 0,8889 0,6002 0,5220 0,9308 0,4084 0,3389 0,9492

0,5358 0,5657 0,2682 0,3711 0,3802 0,8307 0,1634 0,7361 0,6724 0,9579

0,4513 0,9574 0,4998 0,2125 0,4062 0,1867 0,4777 0,7825 0,4490 0,8562

0,7656 0,0783 0,5930 0,9856 0,7556 0,6584 0,2374 0,2523 0,4793 0,1133

0,2583 0,9688 0,6623 0,0805 0,6634 0,4297 0,7673 0,8007 0,1127 0,5271

0,4410 0,8888 0,3450 0,9563 0,5225 0,3346 0,2306 0,9212 0,9618 0,5311

0,8189 0,7303 0,6792 0,7544 0,0685 0,9849 0,3471 0,6997 0,6093 0,6397

0,5204 0,7184 0,2282 0,2360 0,7430 0,2516 0,6610 0,6856 0,6363 0,0450

0,5001 0,7871 0,2821 0,6918 0,5084 0,4381 0,2641 0,4951 0,2497 0,7416 0,4060

a) Considere clases en incrementos de 0.125 en el eje X y de 0.25 para Y. Es decir, una matriz de 32 casillas. 1.0000

0.7500

0.5000

0.2500

0.0000 0.0000

0.1250

0.2500

0.3750

0.5000

0.6250

Dado esto se obtuvo que: INTERVALO

𝑂𝑖

𝐸𝑖

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

1 1 1 4 0 6 5 1 2 3 4 2 5 3 1 5 4 4 3 0 4 8 3 5

3,125 3,125 3,125 3,125 3,125 3,125 3,125 3,125 3,125 3,125 3,125 3,125 3,125 3,125 3,125 3,125 3,125 3,125 3,125 3,125 3,125 3,125 3,125 3,125

(𝐸𝑖 − 𝑂𝑖)2 𝐸𝑖 1,445 1,445 1,445 0,245 3,125 2,645 1,125 1,445 0,405 0,005 0,245 0,405 1,125 0,005 1,445 1,125 0,245 0,245 0,005 3,125 0,245 7,605 0,005 1,125

0.7500

0.8750

1.0000

25 26 27 28 29 30 31 32

1 3 3 8 3 2 2 3 100

𝑋2𝑜 = ∑ El

estadístico

es

menor

al

3,125 3,125 3,125 3,125 3,125 3,125 3,125 3,125 100

1,445 0,005 0,005 7,605 0,005 0,405 0,405 0,005 40,16

(𝐸𝑖 − 𝑂𝑖)2 = 40,16 𝐸𝑖

estadístico

correspondiente

de

Chi

Cuadrado

𝑋 2 0,05;31 = 44,9853, en consecuencia, por lo cual no podemos rechazar la hipótesis de independencia. b) Considere clases en incremento de 0.2 en el eje X y 0.25 para Y. Es decir, una matriz de 20 casillas. 1.0000

0.7500

0.5000

0.2500

0.0000 0.0000

0.2000

0.4000

0.6000

INTERVALO

𝑂𝑖

𝐸𝑖

1 2 3 4 5 6 7

1 2 4 9 3 3 6

5 5 5 5 5 5 5

0.8000

(𝐸𝑖 − 𝑂𝑖)2 𝐸𝑖 3,2 1,8 0,2 3,2 0,8 0,8 0,2

1.0000

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

7 4 5 6 5 2 11 7 3 5 10 3 4

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 100

𝑋2𝑜 = ∑ El

estadístico

es

menor

al

0,8 0,2 0 0,2 0 1,8 7,2 0,8 0,8 0 5 0,8 0,2 28

(𝐸𝑖 − 𝑂𝑖)2 = 28 𝐸𝑖

estadístico

correspondiente

de

Chi

Cuadrado

𝑋 2 0,05;19 = 30,1435, en consecuencia, por lo cual no podemos rechazar la hipótesis de independencia. c) Basado en los dos casos, ¿podemos decir que los aleatorios generados son independientes? Dado las pruebas de series realizadas al conjunto de números aleatorios en el software Excel se puede concluir que tienen la característica de independencia.

Ejercicio 32 La siguiente tabla muestra los resultados de la prueba de huecos con 𝛽 − 𝛼 = 0.1 después de clasificar los números uniformes.

a) Calcule el error total existente entre lo real y lo teórico. Tamaño Hueco 0 1 2 3 >3 Total

El

estadístico

es

(𝐸𝑖 − 𝑂𝑖)2 Frecuencia Ei Observada 𝐸𝑖 5 4,000 0,250 4 3,600 0,044 3 3,240 0,018 3 2,916 0,002 25 26,244 0,059 40 40 0,374 2 (𝐸𝑖 − 𝑂𝑖) 𝑋2𝑜 = ∑ = 0,374 𝐸𝑖

menor

al

estadístico

correspondiente

de

Chi

Cuadrado

𝑋 2 0,05;4 = 9,487, en consecuencia, no podemos rechazar la hipótesis de independencia entre los números. b) ¿Se puede considerar que esta muestra es pseudoaleatoria con un nivel de aceptación de 90 %? 𝑋 2 0,1;4 = 7,7794 Dado que el estadístico es menor al correspondiente de Chi Cuadrado para un nivel de confianza 90% se concluye que no se puede rechazar la hipótesis de independencia entre los números.

Ejercicio 33 Determine, mediante la prueba de huecos, con 𝛼 = 0.5 y 𝛽 = 0.8, si los 50 números de la tabla son independientes con un nivel de aceptación de 90 %.

Tomando los números por renglón (o fila) y teniendo en cuenta el intervalo (0,5;0,8), la secuencia de unos y ceros es: 𝑆={

1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1, } 0,0,1,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,1

Si calculamos los huecos de la muestra, tenemos:

Formación de la tabla Tamaño Hueco 0 1 2 3 4 >5 Total

El

estadístico

es

(𝐸𝑖 − 𝑂𝑖)2 Frecuencia Ei Observada 𝐸𝑖 3 3,6000 0,1000 2 2,5200 0,1073 2 1,7640 0,0316 1 1,2348 0,0446 0 0,8644 0,8644 4 2,0168 1,9500 12 12 3,0979 2 (𝐸𝑖 − 𝑂𝑖) 𝑋2𝑜 = ∑ = 3,0979 𝐸𝑖

menor

al

estadístico

correspondiente

de

Chi

Cuadrado

𝑋 2 0,1;5 = 9,2363, en consecuencia, no podemos rechazar la hipótesis de independencia entre los números.