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Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Escuela: ECACEN Programa: Administración de Empresas Curso: Calculo Integral Actividad 3 - Aplicaciones de las Integrales

CALCULO INTEGRAL

Actividad 3 – Aplicaciones de las integrales

Walther Aguirre C.C. 79879020 Blanca Salazar C.C. 52870370 Andrea Piñeros C.C. 1004037116

Grupo 100411_51

TUTOR:

FREY RODRIGUEZ

Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD) Escuela de Ciencias Administrativas, Contables, Económicas y de Negocios Bogotá noviembre de 2019

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Introducción

El siguiente trabajo es resultado de la aplicación de integrales con el fin de comprender y solucionar diferentes problemas planteados por el tutor, en el desarrollo del presente trabajo podrán encuentran los aportes realizados por cada estudiante según lo solicitado por la guía de actividades. En este trabajo se pueden observar los diferentes cálculos integrales de problemas cotidianos que se nos pueden presentar en cualquier momento, por ejemplo: el hecho de conocer cuántas veces por minuto ingresa alguien a cierta plataforma que cantidad de tiempo me puede tomar caminar de trabajo a casa; eso hace más llamativo el desarrollo de este trabajo y el empeño del desarrollo, se explica el paso a paso de la solución de los ejercicios y a su vez todos y cada uno cuentan con su resultado correspondiente de acuerdo a comprendido.

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Tipo de ejercicios 1 – Análisis de gráficas. Ejercicio a. Encontrar el área de la región comprendida entre las curvas 𝑦 = 𝑥 2 + 3𝑥 − 6 y 𝑦 = 𝑥 − 3. Grafique en Geogebra las funciones, tome un pantallazo y usando Paint señale con colores las regiones integradas. Se igualan las funciones 𝑥 2 + 3𝑥 − 6 = 𝑥 − 3 𝑥 2 + 3𝑥 − 𝑥 + 3 − 6 = 0 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 0 Por formula general 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟎 −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑥= 2𝑎 −(2) ± √(2)2 − 4(1)(−3) −2 ± √4 + 12 𝑥= = 2(1) 2 −2 ± √16 −2 ± 4 𝑥= = = 2 2 −2 + 4 2 𝑥1 = = =1 2 2 −2 − 4 −6 𝑥2 = = = −3 2 2 Obtenemos que 𝑥1 = 1 𝑥2 = −3

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Aplicamos integral 1

∫ (𝑥 − 3) − ( 𝑥 2 + 3𝑥 − 6) 𝑑𝑥 −3 1

1

∫ (𝑥 − 3 − 𝑥 2 − 3𝑥 + 6)𝑑𝑥 = ∫ (−𝑥 2 − 2𝑥 + 3)𝑑𝑥 −3

−3 2

= − ∫ 𝑥 𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 3 ∫ 𝑑𝑥 1

𝑥3 𝑥2 𝑥3 𝑥2 = − − 2 + 3𝑥 = [− − 2 + 3𝑥] 3 2 3 2 −3 3 2 1 1 (−3)3 (−3)2 = [− − 2 + 3(1)] − [− −2 + 3(−3)] 3 2 3 2 1 27 = [− − 1 + 3] − [ − 9 − 9] = 10.66 3 3 = 10.66

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Tipo de ejercicios 2 – Solidos de revolución

Ejercicio a. Hallar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x la región acotada por la curva 𝑦 = 4 − 𝑥 2 y las rectas y=2 y y=4 Representar el sólido de revolución en Geogebra y anexar un pantallazo. puntos de integración los radios 2 𝑟=2 4−𝑥 =2 𝑅 = 4 − 𝑥2 4 − 2 = 𝑥2 2 = 𝑥2 √2 = 𝑥 𝑥1 = √2 𝑦 𝑥2 = −√2 𝑑𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑣

= = = =

𝜋[𝑅 2 − 𝑟 2 ]∆𝑥 𝜋[(4 − 𝑥 2 )2 − 22 ]∆𝑥 𝜋[16 − 8𝑥 2 + 𝑥 4 − 4]∆𝑥 𝜋[12 − 8𝑥 2 + 𝑥 4 ]∆𝑥

Aplicamos integral √2

𝑣 = 𝜋∫

[12 − 8𝑥 2 + 𝑥 4 ] 𝑑𝑥

−√2

Se procede a separar la integral √2

𝑣 = 𝜋 [∫

√2

−√2

−√2 √2

𝑣 = 𝜋 [12 ∫

√2

8𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫

12𝑑𝑥 − ∫

−√2

√2

𝑑𝑥 − 8 ∫

−√2

√2

𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫

−√2 √2

𝑣=

𝜋 [12[𝑥]√2 −√2

𝑥 4 𝑑𝑥] = 𝑥 4 𝑑𝑥] =

−√2 √2

𝑥3 𝑥5 − 8[ ] +[ ] ]= 3 −√2 5 −√2

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3

3

5

5

(√2) (−√2) (√2) (−√2) 𝑣 = 𝜋 [12[√2 + √2] − 8 [ − ]+[ − ]] = 3 3 5 5 𝑣 = 𝜋 [24√2 − 8 [

2√2 2√2 4√2 4√2 + ]+[ + ]] = 3 3 5 5

𝑣 = 𝜋 [24√2 − 8 [

4√2 8√2 32√2 8√2 ]+[ ]] = 𝜋 [24√2 − [ ]+[ ]] = 3 5 3 5

𝑣 = 𝜋21.12 = 66.35 𝑢3 Tipo de ejercicios 3 – Aplicaciones de las integrales en la Ciencia. Ejercicio a. La ley de Hooke dice: La fuerza necesaria para estirar un resorte helicoidal es directamente proporcional al alargamiento. Sí se requiere una fuerza de 29 N para detener un resorte que está estirado desde su longitud natural de 10 cm a una longitud de 15 cm. Las tres mediciones son las siguientes 5 cm = 0.05 m 15 cm = 0.15 m

17 cm = 0.17 m

𝐹 = 𝐾𝑥 Hallamos el valor de k 29 𝑁 = 0.05 𝑘 29 = 580 0.05 ¿Cuánto trabajo se hace al estirar el resorte de 15 a 17 cm? 𝑘=

i.

𝑊 = ∫ 580 x 𝑑𝑥 Para los limites se debe restar la longitud natural del resorte

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0.07

𝑊=∫ 0.05

0.07

𝑥2 580 x 𝑑𝑥 = 580 | 2 0.05

(0.07)2 (0.05)2 𝑊 = 580 [ − ] = 580 [0.0012] 2 2 𝑊 = 0.696 𝐽 ii. 0.1

¿Cuánto trabajo se hace al estirar el resorte de 16 a 20 cm? 0.1

𝑥2 𝑊 = ∫ 580 x 𝑑𝑥 = 580 | 2 0.06 0.06 (0.1)2 (0.06)2 = 580 [ − ] = 580 [0.0032] 2 2 𝑊 = 1.856 𝐽 Tipo de ejercicios 4 – Aplicaciones de las integrales en general. Ejercicio a. Un condensador eléctrico es un dispositivo, que tiene la propiedad de almacenar y entregar energía eléctrica; la siguiente expresión relaciona la corriente y el voltaje presentes en los condensadores: 𝐼(𝑡) = 𝐶 ∗

𝑑∗𝑉(𝑡) 𝑑𝑡

, donde C es la capacitancia

del dispositivo que se expresa en Faradios [F]. i. Determinar el voltaje de alimentación de un condensador que tiene una capacitancia de C=0,02 [F], sabiendo que la corriente que circula es: 𝐼(𝑡) = 𝑆𝑒𝑛(𝑡) + 𝑡 [Amper] El voltaje de un condensador esta dado por 1 𝑉 = ∫ 𝐼(𝑡)𝑑𝑡 𝐶

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𝑉=

1 ∫ 𝑆𝑒𝑛(𝑡) + 𝑡 𝑑𝑡 0.02

Separamos la integral 1 𝑉= [∫ 𝑆𝑒𝑛(𝑡) 𝑑𝑡 + ∫ 𝑡 𝑑𝑡 ] 0.02 𝑡2 𝑉 = 50 [−𝐶𝑜𝑠 𝑡 + ] = −50𝐶𝑜𝑠 𝑡 + 25𝑡 2 2 𝑉 = −50𝐶𝑜𝑠 𝑡 + 25𝑡 2 + 𝐶 ii. Determinar el valor de la potencia instantánea en el condensador, para un valor de t=0,1 [s] sabiendo que 𝑃(𝑡) = 𝐼(𝑡) ∗ 𝑉(𝑡) Partiendo de la ecuación 𝑃(𝑡) = 𝐼(𝑡) ∗ 𝑉(𝑡) 𝑃(𝑡) = ( 𝑆𝑒𝑛(𝑡) + 𝑡) ∗ (−50𝐶𝑜𝑠 𝑡 + 25𝑡 2 ) Remplazamos t 𝑃(0.1) = ( 𝑆𝑒𝑛(0.1) + 0.1) ∗ (−50𝐶𝑜𝑠 0.1 + 25(0.1)2 ) 1 𝑃(0.1) = ( 𝑆𝑒𝑛(0.1) + ) ∗ (−50𝐶𝑜𝑠 0.1 + 25(0.1)2 ) 10 1 𝑃(0.1) = (0.199) (−50𝐶𝑜𝑠 0.1 + ) = −9.850 𝑤 4 𝑃(0.1) = −9.850 𝑤

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Ejercicio e. Encontrar el centroide de la región limitada por la curva 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 3 y 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 − 1. Grafique en Geogebra las funciones, tome un pantallazo y usando Paint señale el centroide de la región del ejercicio. SOLUCION Hallamos los limites

𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 3 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 − 1

−𝑥 2 + 3 = 𝑥 2 − 2𝑥 − 1 0 = 2𝑥 2 − 2𝑥 − 4 2 ± √22 − 4 ∗ 2 ∗ −4 𝑥= 2∗2 2 ± √36 𝑥= 4 2±6 𝑥= 4 2+6 𝑥1 = =2 4 2−6 𝑥2 = = −1 4 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = −𝑥 2 + 3 − (𝑥 2 − 2𝑥 − 1) = −2𝑥 2 + 2𝑥 + 4

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Determinamos la coordenada x 𝑏 2 ∫𝑎 𝑥[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 ∫−1 𝑥[−2𝑥 2 + 2𝑥 + 4] 𝑑𝑥 𝑥̅ = 𝑏 = 2 ∫−1[−2𝑥 2 + 2𝑥 + 4] 𝑑𝑥 ∫𝑎 [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 2

2

2

∫ 𝑥[−2𝑥 + 2𝑥 + 4] 𝑑𝑥 = ∫ [−2𝑥 3 + 2𝑥 2 + 4𝑥] 𝑑𝑥 −1 2

−1

2𝑥 4 2 3 4𝑥 2 2 + 𝑥 + | 4 3 2 −1 −1 2 4 2 𝑥 2 3 2 2 ∫ 𝑥[−2𝑥 + 2𝑥 + 4] 𝑑𝑥 = − + 𝑥 + 2𝑥 | 2 3 −1 −1 2 4 4 2 2 (−1) 2 ∫ 𝑥[−2𝑥 2 + 2𝑥 + 4] 𝑑𝑥 = − + 23 + 2 ∗ 22 + − (−1)3 − 2(−1)2 2 3 2 3 −1 ∫ 𝑥[−2𝑥 2 + 2𝑥 + 4] 𝑑𝑥 = −

2

∫ 𝑥[−2𝑥 2 + 2𝑥 + 4] 𝑑𝑥 = 4.5 −1

2 2 2𝑥 2 ∫ [−2𝑥 2 + 2𝑥 + 4] 𝑑𝑥 = − 𝑥 3 + + 4𝑥 | 3 2 −1 −1 2 2 2 2 ∗ 2 2 2 ∗ (−1)2 ∫ [−2𝑥 2 + 2𝑥 + 4] 𝑑𝑥 = − 23 + + 4 ∗ 2 + (−1)3 − − 4(−1) 3 2 3 2 −1 2

2

∫ [−2𝑥 2 + 2𝑥 + 4] 𝑑𝑥 = 9 −1

9/2 1 = 9 2 1 𝑏 2 [𝑓 (𝑥) − 𝑔2 (𝑥)] 𝑑𝑥 2 ∫𝑎 𝑥̅ =

𝑦̅ =

𝑏

∫𝑎 [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 𝑓 2 (𝑥) = (−𝑥 2 + 3)2 𝑦 2 = (𝑥 2 − 2𝑥 − 1)2

2

2

∫ [(−𝑥 2 + 3)2 − (𝑥 2 − 2𝑥 − 1)2 ] 𝑑𝑥 = ∫ [(𝑥 4 − 6𝑥 2 + 9) − (𝑥 2 − 2𝑥 − 1)2 ] 𝑑𝑥 −1

2

−1

∫ [(−𝑥 2 + 3)2 − (𝑥 2 − 2𝑥 − 1)2 ] 𝑑𝑥 2

−1

= ∫ [(𝑥 4 − 6𝑥 2 + 9) − (𝑥 4 − 4𝑥 3 + 2𝑥 2 + 4𝑥 + 1)] 𝑑𝑥 −1

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2

∫

2

[(−𝑥 2

2

+ 3) −

(𝑥 2

2]

− 2𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = ∫ [4𝑥 3 − 8𝑥 2 − 4𝑥 + 8] 𝑑𝑥

−1 2

−1

2 4𝑥 4 8𝑥 3 4𝑥 2 − − + 8𝑥 | 4 3 2 −1 −1 2 3 2 8𝑥 2 2 2 2 4 2 ∫ [(−𝑥 + 3) − (𝑥 − 2𝑥 − 1) ] 𝑑𝑥 = 𝑥 − − 2𝑥 + 8𝑥 | 3 −1 −1

∫ [(−𝑥 2 + 3)2 − (𝑥 2 − 2𝑥 − 1)2 ] 𝑑𝑥 =

2

∫ [(−𝑥 2 + 3)2 − (𝑥 2 − 2𝑥 − 1)2 ] 𝑑𝑥 −1

8 ∗ 23 8(−1)3 4 2 4 =2 − − 2 ∗ 2 + 8 ∗ 2 − (−1) + + 2(−1)2 − 8(−1) 3 3 2

∫ [(−𝑥 2 + 3)2 − (𝑥 2 − 2𝑥 − 1)2 ] 𝑑𝑥 = 9 −1

1 (9) 1 𝑦̅ = 2 = 9 2

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Con lo cual se obtiene que: 1 1 𝐶𝑒 = ( , ) 2 2

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SOLUCIÓN ANDREA PIÑEROS 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 3 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 − 1 −𝑥 2 + 3 = 𝑥 2 − 2𝑥 − 1 ∶ 𝑥 = 2, 𝑥 = −1 −𝑥 2 + 3 = 𝑥 2 − 2𝑥 − 1 Se intercambian lados Restar 3 de ambos lados

𝑥 2 − 2𝑥 − 1 = −𝑥 2 + 3

𝑥 2 − 2𝑥 − 1 − 3 = −𝑥 2 + 3 − 3 Simplificar 𝑥 2 − 2𝑥 − 4 = −𝑥 2 Sumar X2 a ambos lados 𝑥 2 − 2𝑥 − 4 + 𝑥 2 = −𝑥 2 + 𝑥 2 Simplificar 2𝑥 2 − 2𝑥 − 4 = 0 Se resuelve con la formula general para ecuaciones de segundo grado La forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Aplique regla –(-a) = a =

2 + √(−2)2 + 4.2.4 2.2

2 + √(−2)2 + 4.2.4 + √36

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Multiplicar los números: 2.2=4 26 + √36 4

=

√36 = 6 Sumar: 2+6=8 =

𝑥=

8 =𝟐 4

−(−2) − √(−2)2 − 4.2(−4) : −1 2.2 Aplicar la regla – (-a) = a

2 − √(−2)2 − 4.2.4 = 2 − √36

=

2 − √36 2.2

Multiplicar los números: 2.2=4 =

2 − √36 4

√36 = 6 =

2−6 4

Se resta

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−4 4 Aplicar las propiedades de las fracciones =−

4 4

=-1

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Ejercicio e. Una varilla de 15 cm de longitud tiene una densidad lineal medida en g/cm, dada por 𝑝(𝑥) = √𝑥 0 < 𝑥 ≤ 15. Hallar su centro de masa (Ce). SOLUCION Para determinar la masa total del sistema se realiza lo siguiente: 𝜌(𝑥) = √𝑥 𝑔/𝑐𝑚 ∆𝑙

Para determinar el centro de masa de la varilla se realiza lo siguiente: 𝑏 ∫𝑎 𝑥𝜌(𝑥)𝑑𝑥 15 𝑐𝑚 𝐶𝑒 = 𝑏 ∫𝑎 𝜌(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 15 15 3 𝑥 5/2 15 155/2 2 ∫ 𝑥𝜌(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥√𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = | = = 348.57 5/2 5/2 𝑎 0 0 0 𝑏

∫ 𝑥𝜌(𝑥)𝑑𝑥 = 348.57 𝑐𝑚4 𝑎 𝑏

15

15

1

∫ 𝜌(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ √𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑎

0

0

𝐶𝑒 =

𝑥 3/2 15 153/2 | = = 38.73 𝑐𝑚3 3/2 3/2 0

348.57 𝑐𝑚4 = 9 𝑐𝑚 38.73 𝑐𝑚3

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SOLUCIÓN ANDREA PIÑEROS La ecuación para calcular el centro de masa es: Ce = Io/M Debemos hallar la masa de la varilla 3

𝑀 = ∫ 015 √𝑋 2 𝑑𝑥 Evaluamos Limites 𝑀= 𝑀=

5 3 ∗ 𝑋3 5

5 3 3 ∗ 153 − ∗ 0 5 5

𝑀 = 54.73 𝐺 Calculamos la inercia de la varilla 𝐼𝑜 = ∫ 𝑥. 𝑝(𝑥) 𝑑𝑥 I₀ = ∫ x · [∛x²] dx 5

I₀ = ∫ ₀¹⁵ 𝑥 3 dx Evaluamos limites I0 = I0 =

8 3 ∗ 𝑥3 8

8 3 3 ∗ 153 − ∗ 0 8 8

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𝐼𝑜 = 513.19 Ahora podemos calcular el centro masa sustituyendo valores Ce = 513.19/54.73 Ce = 9.37 cm

Ejercicio e. El calor específico es la cantidad de calor que se necesita para elevar un grado la temperatura de una unidad de masa de una sustancia, se denota por las letras Ce según la siguiente expresión: 𝑄 𝑚𝑑𝑇 Donde, Q= Calor transferido desde o hacia el cuerpo. (Si Q es positivo, la pieza ha ganado energía en forma de calor; si Q es negativo, la pieza ha perdido o cedido energía como calor) m=masa del cuerpo 𝑑𝑇= Variación de la temperatura Una pieza de plomo de 20 kg que se encuentra a 373°Kelvin, se deja enfriar en una habitación hasta 298°Kelvin. a. Calcular el calor intercambiado por la pieza si el calor específico es de 130Julios/Kg. Kelvin 𝐶𝑒 =

b. Si el calor intercambiado por la pieza de plomo es de

150000 Joule Determine la temperatura inicial si al final la pieza resultó en 260°Kelvin

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SOLUCION Parte a 𝐶𝑒 = 130 𝐽𝑢𝑙𝑖𝑜𝑠/𝐾𝑔. 𝐾𝑒𝑙𝑣𝑖𝑛 𝑇0 = 373°𝐾𝑒𝑙𝑣𝑖𝑛 𝑇𝑓 = 298°𝐾𝑒𝑙𝑣𝑖𝑛 𝑇𝑓

𝑄 = ∫ 𝐶𝑒𝑚𝑑𝑇 𝑇0

𝑇𝑓

𝑄 = 𝐶𝑒 𝑚 ∫ 𝑑𝑇 𝑇0

𝑄 = 𝐶𝑒 𝑚(𝑇𝑓 − 𝑇0 ) 𝑄 = 130 ∗ 20(298 − 373) 𝑄 = −195000 Parte b 𝑄 = 𝐶𝑒 𝑚(𝑇𝑓 − 𝑇0 ) 150000 = 130 ∗ 20 ∗ (260 − 𝑇0 ) 150000 = 2600(260 − 𝑇0 ) 150000 = 260 − 𝑇0 2600 150000 𝑇0 = − 260 2600 𝑇0 = −202.307 𝑘𝑒𝑙𝑣𝑖𝑛

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SOLUCIÓN ANDREA PIÑEROS Para la pieza de plomo que se deja enfriar en una habitación: a. El calor intercambiado por la pieza es 195 kJ b. La temperatura inicial de la pieza es 317.69 K Explicación: El calor transferido se puede determinar mediante la siguiente con la ecuación indicada a continuación: Q= mCeΔT Detalle: m= masa Ce= calor específico ΔT= variación de la temperatura a. Para Ce= 130 J/kg K 𝑄 = 𝑚𝐶𝑒(𝑇2 − 𝑇1 130𝐽 𝐾)(298 − 373𝐾) 𝐾𝑔 𝑄 = −95000 𝐽 = −190𝐾𝐽

𝑄 = (20 𝐾𝑔)(

El signo negativo indica que la pieza ha cedido o perdido energía (proceso de enfriamiento)

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b. 𝑇2 = 260𝐾 Cómo es un proceso de enfriamiento: 𝑄 = −150000 𝐽 Despejando: (𝑇2 − 𝑇1 ) = 𝑄/𝑚𝐶𝑒 (𝑇1 − 𝑇2 ) = 𝑄/𝑚𝐶𝑒 Reemplazando: 𝑇1 = 260𝐾 − (−150000 𝐽)/(20 𝐾𝑔)( 𝑇1 = 317,69 𝐾

130𝑗 𝑘)) 𝑘𝐺

Ejercicio e. Una compañía de ingeniería de sistemas decide crear un aplicativo Mesa de Ayuda, para la gestión automatizada de incidentes, argumentando que una de las acciones más importante en un sistema de gestión de servicios es la gestión de incidentes y problemas relacionados con los elementos de la infraestructura tecnológica, con el fin de realizar un seguimiento, análisis y registro de solución del caso y cierre de la situación. El aplicativo es implementado en la empresa W, en donde el comportamiento de incidente reportados en Mesa de Ayuda es aproximada por la función 𝑓(𝑡) = 𝑥𝑙𝑛(𝑥 + 1) + 1 en donde t son días desde la implementación de la aplicación. i. Hallar la ecuación general que describe el número de reportes en los primeros 10 días de funcionamiento de la aplicación de Mesa de Ayuda.

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ii. Hallar el número de reportes en entre el día 8 y el día 12. Parte a 𝑔 = ∫ 𝑥𝑙𝑛(𝑥 + 1) + 1 𝑑𝑡 = ∫ 𝑥𝑙𝑛(𝑥 + 1) 𝑑𝑡 + ∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑥𝑙𝑛(𝑥 + 1) + 1 𝑑𝑡 = 𝑥𝑙𝑛(𝑥 + 1)𝑡 + 𝑡 = ∫ 𝑥𝑙𝑛(𝑥 + 1) + 1 𝑑𝑡 = 𝑥𝑙𝑛(𝑥 + 1)𝑡 + 𝑡

Parte b

10 10 𝑔 = ∫ 𝑥𝑙𝑛(𝑥 + 1) + 1 𝑑𝑡 = 𝑥𝑙𝑛(𝑥 + 1)𝑡 + 𝑡 | 0 0 𝑔 = 10𝑥𝑙𝑛(𝑥 + 1) + 10

12 𝑔 = ∫ 𝑥𝑙𝑛(𝑥 + 1) + 1 𝑑𝑡 = (𝑥𝑙𝑛(𝑥 + 1) + 1)𝑡 | 8 8 𝑔 = (𝑥𝑙𝑛(𝑥 + 1) + 1)(12 − 8) 𝑔 = 4𝑥𝑙𝑛(𝑥 + 1) + 4 12

SOLUCIÓN ANDREA a. 𝑔 = ∫ 𝑡𝑙𝑛(𝑡 + 1) + 1 ∗ 10 = ∫ 𝑡𝑙𝑛(𝑡 + 1) + 1 ∗ 10 𝑡𝑙𝑛(𝑡 + 1) + 10 1.10 = 10

b. 12

𝑔 = ∫ 𝑡𝑙𝑛(𝑡 + 1) + 1 ∗ 8 = 12 8

Multiplicar los números 𝑔 = 𝑛𝑙𝑛(𝑡 + 1) + 8 = 12

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𝑛𝑡𝐼(𝑡 + 1) + 8 − 8 = 12 − 8 Simplifica 𝑛𝑡𝐼(𝑡 + 1) = 4

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Referencias Bibliográficas

Mesa, F. (2012). Cálculo integral en una variable. Ecoe Ediciones. (pp. 109– 114). Segura, V. A. (2014). Matemáticas aplicadas a las ciencias económicoadministrativas: simplicidad matemática. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 170 – 200). Alvarado, M. (2017) Cálculo integral en competencias. Grupo Editorial

Patria. (pp. 193 - 209).