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552

CAPÍTULO 8

APLICACIONES ADICIONALES DE LA INTEGRACIÓN

1. Demuestre que el área de  es

1 1

m2

y

q

p

f x

mx

b 1

mf x dx

F Sugerencia: esta fórmula puede verificarse restando áreas, pero será útil en el proyecto derivarla aproximando primero el área por medio de rectángulos perpendiculares a la recta, como se muestra en la figura. Use la figura para ayudarse a expresar $u en términos de $xG.

?

tangente a C en
 
 

?

  







 2. Determine el área de la región mostrada en la figura a la izquierda. y

(2π, 2π)

3. Encuentre una fórmula (similar a la del problema 1) para el volumen del sólido obtenido al

hacer girar  en torno a la recta y m mx  b. 4. Halle el volumen del sólido obtenido al hacer girar la región del problema 2 en torno a la

y=x+sen x

recta y m x  2.

y=x-2

5. Obtenga una fórmula para el área de la superficie obtenida al hacer girar C en torno a la

recta y m mx  b. 0

x

SAC

6. Use un sistema algebraico computarizado para hallar el área exacta de la superficie obtenida

al hacer girar la curva y sx , 0 resultado a tres decimales.

x

4, en torno a la recta y

1 2

x. Luego aproxime su

SAC Se requiere sistema algebraico computarizado

8.3

Aplicaciones a la física y a la ingeniería Entre las muchas aplicaciones del cálculo integral a la física y a la ingeniería, aquí se consideran dos: la fuerza debida a la presión del agua y los centros de masa. Como con las aplicaciones previas a la geometría (áreas, volúmenes y longitudes) y el trabajo, la estrategia es descomponer la cantidad física en un gran número de partes pequeñas, aproximar cada parte pequeña, sumar los resultados, tomar el límite y después evaluar la integral resultante. Fuerza y presión hidrostáticas superficie del fluido

d A

FIGURA 1

Los buceadores de aguas profundas saben que la presión del agua se incrementa al aumentar la profundidad. Esto se debe a que aumenta el peso del agua sobre ellos. En general, suponga que una placa horizontal delgada con área de A metros cuadrados se sumerge en un fluido de densidad + kilogramos por metro cúbico a una profundidad de d metros debajo de la superficie del fluido como en la figura 1. El fluido directamente arriba de la placa tiene volumen V m Ad, de modo que su masa es m m +V m +Ad. La fuerza ejercida por el fluido sobre la placa es F m mJ m +JAd

SECCIÓN 8.3

APLICACIONES A LA FÍSICA Y A LA INGENIERÍA

553

donde g es la aceleración debida a la gravedad. La presión P sobre la placa se define como la fuerza por unidad de área: F A

P Al usar unidades inglesas estándares, se escribe P m +Jd m d, donde  m +J es el peso específico (en oposición a +, que es la masa específica). Por ejemplo, el peso específico del agua es  m 62.5 lbYpies3.

r td

La unidad SI para medir la presión es newtons por metro cuadrado, llamada pascal (abreviatura: 1 NYm2 m 1 Pa). Puesto que ésta es una unidad pequeña, se emplea con frecuencia el kilopascal (kPa). Por ejemplo, debido a que la densidad del agua es + m 1000 kgYm3, la presión en el fondo de una alberca de 2 m de profundidad es r td

P

1000 kg m 3

19 600 Pa

9.8 m s 2

2m

19.6 kPa

Un importante principio de la presión del fluido es el hecho comprobado experimentalmente de que en cualquier punto en un líquido, la presión es la misma en todas direcciones. (Un buzo siente la misma presión en la nariz y en ambos oídos.) Así, la presión en cualquier dirección a una profundidad d en un fluido con masa específica + está dada por 1

r td

P

dd

Esto ayuda a determinar la fuerza hidrostática contra una placa o pared vertical en un fluido. Éste no es un problema directo porque la presión no es constante, sino que crece a medida que aumenta la profundidad.

v EJEMPLO 1 Una presa tiene la forma del trapecio mostrado en la figura 2. La altura es 20 m y el ancho es 50 m en la parte superior y 30 m en el fondo. Determine la fuerza sobre la presa debida a la presión hidrostática si el nivel del agua es 4 m desde la parte superior de la presa. 50 m

SOLUCIÓN Se elige un eje x vertical con origen en la superficie del agua y dirigido 20 m

30 m

hacia abajo como en la figura 3a). La profundidad del agua es 16 m, así que se divide el intervalo F0, 16G en subintervalos de igual longitud con puntos extremos xi y se elige xi* [ [xi 1, xi]. La i-ésima banda horizontal de la presa se aproxima mediante un rectángulo con altura $x y ancho wi, donde, de los triángulos semejantes de la figura 3b),

FIGURA 2

a 16

Îx

_4 0

15

xi*

15

10 20

xi*

o bien

10

y, por tanto,

wi

2 15

2(15

a

a

8

xi*

16

a

2 1 2

xi*)

46

8

xi* 2

xi*

Si Ai es el área de la i-ésima banda, entonces 16

Ai

15

wi

x

46

xi*

x

x

a) 10

Si $x es pequeña, entonces la presión Pi sobre la i-ésima banda es casi constante y puede usarse la ecuación 1 para escribir Pi

a

20

1000txi*

La fuerza hidrostática Fi que actúa sobre la i-ésima banda es el producto de la presión y el área:

16-xi* b) FIGURA 3

Fi

Pi Ai

1000txi* 46

xi*

x

554

CAPÍTULO 8

APLICACIONES ADICIONALES DE LA INTEGRACIÓN

Si sumamos estas fuerzas y tomamos el límite cuando n l @, obtenemos la fuerza hidrostática total sobre la presa: n

F

lím

nl
i 1

1000txi* 46

y

1000 9.8

16

xi*

16

0

x 2 dx

46x

0

y

x

1000tx 46

x dx x3 3

9800 23x 2

16

0

7

4.43

10 N

EJEMPLO 2 Determine la fuerza hidrostática sobre un extremo de un tambor cilíndrico con radio 3 pies si el tambor es sumergido 10 pies en agua. SOLUCIÓN En este ejemplo es conveniente elegir los ejes como en la figura 4 de modo





que el origen esté colocado en el centro del tambor. Por tanto, la circunferencia tiene una ecuación simple: x 2  y 2 m 9. Como en el ejemplo 1, dividimos la región circular en bandas horizontales de igual ancho. De la ecuación de una circunferencia se ve que la longitud de la i-ésima banda es 2s9 yi* 2 y, por tanto, su área es

  
*



 



yi*

2s9

Ai

 *

2

y

La presión sobre esta banda es aproximadamente

 

d di FIGURA 4

yi*

62.5 7

y, por ende, la fuerza aproximada sobre la banda es d di Ai

yi* 2s9

62.5 7

yi*

2

y

La fuerza total se obtiene sumando las fuerzas sobre todas las bandas y tomando el límite: n

F

lím

nl
i 1

125 y

3 3

yi* 2s9

62.5 7

y s9

7

125 7 y s9 3

2

y

y 2 dy

y 2 dy

3

yi*

125 y ys9 3

y 2 dy

3

La segunda integral es 0 porque el integrando es una función impar (véase el teorema 5.5.7). La primera integral puede evaluarse por medio de la sustitución trigonométrica y m 3 sen ., pero es más simple observar que es el área de un disco semicircular con radio 3. Así, F

P

875 y s9 3

3

7 875p 2

y 2 dy

875

1 2

p3

2

12 370 lb

Momentos y centros de masa

FIGURA 5

Nuestro principal objetivo aquí es hallar el punto P sobre el que una placa delgada de cualquier forma se mantiene horizontal como en la figura 5. El punto se llama centro de masa (o centro de gravedad) de la placa.

SECCIÓN 8.3

d¡

d™

m¡

m™

555

APLICACIONES A LA FÍSICA Y A LA INGENIERÍA

Primero se considera la situación más simple ilustrada en la figura 6, donde dos masas m1 y m2 se fijan a una varilla de masa insignificante en lados opuestos de un fulcro (punto de apoyo) y a distancias d1 y d2 de éste. La varilla se estabilizará si 2

m1d1

m2 d2

fulcro

Éste es un hecho experimental que descubrió Arquímedes y se llama ley de la palanca. (Imagine una persona de poco peso que pone en equilibrio a una persona más pesada en un balancín, sentándose a una mayor distancia en relación con el centro.) Ahora suponga que la varilla está a lo largo del eje x con m1 en x1 y m2 en x2 y el centro de masa en x–. Si se comparan las figuras 6 y 7, se ve que d1 x x 1 y d2 x 2 x, entonces, la ecuación 2 da

FIGURA 6

m1 x

x1

m2 x 2

x

m1 x

m2 x

m1 x 1

m2 x 2

x

m1 x 1 m1

m2 x 2 m2

3

Los números m1 x1 y m2 x2 se llaman momentos de las masas m1 y m2 (respecto al origen), y la ecuación 3 indica que el centro de masa x– se obtiene al sumar los momentos de las masas y dividir entre la masa total m m m1  m2. x–

⁄ 0

m¡

¤

x–-⁄

m™

¤-x–

x

FIGURA 7

En general, si se tiene un sistema de n partículas con masas m1, m2, . . . , mn localizadas en los puntos x1, x2, . . . , xn sobre el eje x, puede demostrarse de manera similar que el centro de masa del sistema se localiza en n

n

mi xi 4

x

mi xi

i 1 n

i 1

m

mi i 1

donde m m O mi es la masa total del sistema, y la suma de los momentos individuales n

M

mi xi i 1

y m£

⁄

‹

m¡

›

y£

0

fi ¤

m™

x

se llama momento del sistema respecto al origen. La ecuación 4 podría reescribirse como m x– m M, que indica que si se considerara a la masa total como si estuviera concentrada en el centro de masa x–, entonces su momento sería el mismo que el del sistema. Ahora consideremos un sistema de n partículas con masas m1, m2, . . . , mn localizadas en los puntos (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) en el plano xy como se muestra en la figura 8. Por analogía con el caso unidimensional, se define el momento del sistema respecto al eje y como n

FIGURA 8

5

My

mi x i i 1

556

CAPÍTULO 8

APLICACIONES ADICIONALES DE LA INTEGRACIÓN

y el momento del sistema respecto al eje x como n

6

Mx

mi yi i 1

Entonces My mide la tendencia del sistema a girar respecto al eje y y Mx mide la tendencia a girar respecto al eje x. Como en el caso unidimensional, las coordenadas ( –x , –y ) del centro de masa están dadas en términos de los momentos por las fórmulas 7

My

x

Mx m

y

m

donde m m O mi es la masa total. Puesto que m x– m My y my– m Mx, el centro de masa ( –x , –y ) es el punto donde una sola partícula de masa m tendría los mismos momentos que el sistema.

v EJEMPLO 3 Encuentre los momentos y el centro de masa del sistema de objetos que tienen masas 3, 4 y 8 en los puntos (1, 1), (2, 1) y (3, 2), respectivamente. SOLUCIÓN Se usan las ecuaciones 5 y 6 para calcular los momentos: y

centro de masa

My

3

1

Mx

31

42

83

29

1

82

15

8 3 0

x

4

4

Puesto que m m 3  4  8 m 15, usamos las ecuaciones 7 para obtener x

FIGURA 9

My m

29 15

Mx m

y

15 15

1

Así, el centro de masa es (1 15 , 1). (Véase figura 9.) 14

y

y=ƒ




0

a

b

x

a) y

{ xi , f(xi)} Ci ”xi ,

0

a

R¡ R™

R£

xi _1

b) FIGURA 10

xi

xi

1 2

f(xi)’

b

x

Ahora, consideremos una placa plana (llamada lámina) con densidad uniforme + que ocupa una región  del plano. Se desea localizar el centro de masa de la placa, llamado centroide de . Para esto utilizamos los siguientes principios físicos: el principio de simetría señala que si  es simétrica respecto a la recta l, entonces el centroide de  está sobre l. (Si  se refleja respecto a l, entonces  no cambia, y su centroide permanece fijo. Pero los únicos puntos fijos yacen sobre l.) Así, el centroide de un rectángulo es su centro geométrico. Los momentos deben definirse de modo que si toda la masa de una región se concentra en el centro de masa, entonces sus momentos permanecen sin cambio. Asimismo, el momento de la unión de dos regiones que no se traslapan debe ser la suma de los momentos de cada una de las regiones. Suponga que la región  es del tipo mostrado en la figura 10a); es decir,  se sitúa entre las rectas x m a y x m b, arriba del eje x y debajo de la gráfica de f, donde f es una función continua. Dividimos el intervalo Fa, bG en n subintervalos con puntos extremos x0, x1, . . . , xn e igual ancho $ x. Elegimos el mismo punto muestra x*i como el punto medio x–i del i-ésimo subintervalo; es decir, x–i m (xi1  xi)Y2. Esto determina la aproximación poligonal a  mostrada en la figura 10b). El centroide del i-ésimo rectángulo de aproximación Ri es su centro Ci (xi , 12 f xi ). Su área es f xi x, de modo que su masa es rf xi

x

El momento de x– respecto al eje y es el producto de su masa y la distancia desde Ci

SECCIÓN 8.3

APLICACIONES A LA FÍSICA Y A LA INGENIERÍA

557

al eje y, que es xi. Así r f xi

My Ri

r xi f xi

x xi

x

Al sumar estos momentos, se obtiene el momento de la aproximación poligonal a , y luego tomando el límite cuando n l @ se obtiene el momento de  mismo respecto al eje y: n

lím

My

nl
i 1

r xi f xi

r y x f x dx b

x

a

En un modo similar se calcula el momento de Ri respecto al eje x como el producto de su masa y la distancia de Ci al eje x: r f xi

Mx Ri

x

1 2

1 2

r

f xi

f xi

2

x

De nuevo se suman estos momentos y se toma el límite para obtener el momento de  respecto al eje x: n

lím

Mx

nl
i 1

1 2

r

2

f xi

ry

b 1 2 a

x

2

f x

dx

Al igual que para sistemas de partículas, el centro de masa de la placa se define de modo que mx My y my Mx. Sin embargo, la masa de la placa es el producto de su densidad y su área: rA

m

r y f x dx b

a

y, por tanto, r ya xf x dx

y

r y f x dx

y

b

x

My m

a

y

r ya

b 1 2

f x

2

xf x dx

a

b

Mx m

b

b

a

f x dx

y

dx

b 1 2

a

r y f x dx

y

b

a

b

a

f x

2

dx

f x dx

Observe la cancelación de las +. La ubicación del centro de masa es independiente de la densidad. En resumen, el centro de masa de la placa (o el centroide de ) se localiza en el punto x, y , donde

y

8 y=œ„„„„„ r@-≈

x

1 A

y

b

a

xf x dx

y

1 A

y

b 1 2

a

f x

2

dx

4r

” 0, 3π ’ _r

FIGURA 11

0

r

x

EJEMPLO 4

Encuentre el centro de masa de una placa semicircular de radio r.

SOLUCIÓN A fin de usar 8 se coloca el semicírculo como en la figura 11 de modo que

f x r, b r . Aquí no es necesario usar la fórmula para calcular sr 2 x 2 y a x porque, por el principio de simetría, el centro de masa debe estar sobre el eje y,

558

CAPÍTULO 8

APLICACIONES ADICIONALES DE LA INTEGRACIÓN

por consiguiente, x

1 2

0. El área del semicírculo es A 1 A

y

1 2

y

r 1 2 r

f x

1 pr 2

2

dx

y (sr r

1 2

pr 2, así que

x 2 )2 dx

2

r

r

2 pr 2

y

r

r

0

2 2r pr 2 3

2

x dx

3

x3 3

2 r 2x pr 2

2

0

4r 3p

El centro de masa se localiza en el punto (0, 4rY(3))). EJEMPLO 5 Encuentre el centroide de la región acotada por las curvas y m cos x, y m 0, x m 0 y x m )Y2. SOLUCIÓN El área de la región es

y

A

p 2

0

]

cos x dx

sen x

p 2

1

0

así, con las fórmulas de 8, se obtiene x

1 A

y

p2

]

x senx p 2 y

y=cos x

y π

π

” 2 -1, 8 ’ π 2

0

x

FIGURA 12

y

y

p2

0

y

p2 1 2

0

y

p 2

0

FIGURA 13

(mediante integración por partes)

f x

1

2

1 2

dx

cos 2x dx

y

p 2

0 1 4

cos 2x dx

[x

1 2

p2

]

sen 2x

0

1, 18 p) y se muestra en la figura 12.

9

y=© xi

senx dx

Si la región  se localiza entre dos curvas y m f (x) y y m J(x), donde f (x)  J(x), como se ilustra en la figura 13, entonces puede usarse la misma clase de argumento que condujo a las fórmulas 8 para demostrar que el centroide de  es x, y , donde




b

x cos x dx

p 8 El centroide es ( 12 p

C i ” xi , 21
f(xi )+g(xi )’

a

p2

0

y=ƒ

0

p2

0

1

1 A 1 4

y

x f x dx

0

x

(Véase el ejercicio 47.)

x

1 A

y

b

y

1 A

y

b 1 2

a

a

t x dx

x f x f x

2

tx

2

dx

SECCIÓN 8.3

EJEMPLO 6

APLICACIONES A LA FÍSICA Y A LA INGENIERÍA

559

Encuentre el centroide de la región acotada por la recta y m x y la parábola

y m x 2. y

SOLUCIÓN La región se bosqueja en la figura 14. Se toma f (x) m x, J(x) m x 2, a m 0 y y=x

b m 1 en las fórmulas 9. Primero observamos que el área de la región es

(1, 1)

” 21 , 25 ’ y=≈ 0

y

A x

1

0

x2 2

2

x

x dx

1

x3 3

1 6

0

Por tanto, x

FIGURA 14

1 A

y

1

0

6y x 1

2

0

y

1 A

y

3

x3 3

1 1 2

0

1

t x dx

x f x

x

3

x3 6 3

dx

f x

2

x5 5

1

1 6

tx

2

y

1

0

1

x4 4

dx

x 2 dx

x x

1 2

0

1 1 6

y

1 1 2

0

x2

x 4 dx

2 5

0

El centroide es ( 12 , 25 ). Se concluye esta sección mostrando una conexión sorprendente entre centroides y volúmenes de revolución.

Sea  la región plana que está completamente en un lado de una recta l en el plano. Si se hace girar a  en torno a l, entonces el volumen del sólido resultante es el producto del área A de  y la distancia d recorrida por el centroide de . Teorema de Pappus

Este teorema lleva el nombre del matemático griego Pappus de Alejandría, quien vivió en el siglo IV después de Cristo.

DEMOSTRACIÓN

Se da la demostración para el caso especial en que la región está entre y m f (x) y y m J(x) como se ilustra en la figura 13, y la recta l es el eje y. Con el método de los cascarones cilíndricos (véase la sección 6.3), se tiene V

y

b

2 px f x

t x dx

2p y x f x

t x dx

a

b

a

2 p xA 2p x A donde d al eje y.

(por las fórmulas 9)

Ad

2 px es la distancia recorrida por el centroide durante una rotación en torno

560

CAPÍTULO 8

APLICACIONES ADICIONALES DE LA INTEGRACIÓN

v EJEMPLO 7 Un toro se forma al hacer girar un círculo de radio r en torno a una recta en el plano del círculo que es una distancia R ( r) desde el centro del círculo. Encuentre el volumen del toro. SOLUCIÓN El círculo tiene área A m )r 2. Por el principio de simetría, su centroide es

su centro geométrico y, por tanto, la distancia recorrida por el centroide durante una rotación es d m 2)R. Así, por el teorema de Pappus, el volumen del toro es V

Ad

2 pR pr 2

2 p2r 2R

El método del ejemplo 7 debe compararse con el método del ejercicio 61 en la sección 6.2.

Ejercicios

8.3

1. Un acuario de 5 pies de largo, 2 pies de ancho y 3 pies de

9.

2. Un estanque de 8 m de largo, 4 m de ancho y 2 m de profundidad

se llena con queroseno de densidad 820 kgYm3 hasta una profundidad de 1.5 m. Encuentre a) la presión hidrostática en el fondo del estanque, b) la fuerza hidrostática en el fondo y c) la fuerza hidrostática en un extremo del estanque. 3-11 Una placa vertical se sumerge en agua (o parcialmente sumer-

10.

2 pies

profundidad se llena de agua. Determine a) la presión hidrostática en el fondo del acuario, b) la fuerza hidrostática en el fondo y c) la fuerza hidrostática en un extremo del acuario.

a

a

a

a

10 pies 11.

2a h a

gida) y tiene la forma indicada. Explique cómo aproximar la fuerza hidrostática contra un extremo de la placa mediante una suma de Riemann. Luego exprese la fuerza como una integral, y evalúela. 3.

4. 2 pies

12. Un camión cisterna con tanque en forma de cilindro horizontal 1 pie

con diámetro de 6 pies transporta leche cuya densidad es 64.6 lbYpie3. a) Encuentre la fuerza ejercida por la leche sobre uno de los extremos del tanque, cuando éste está lleno. b) ¿Y cuando está a la mitad?

4 pies

3 pies

4 pies 6 pies 5.

13. Una pileta se llena con un líquido de densidad 840 kgYm3. Los

extremos de la pileta son triángulos equiláteros con lados de 8 m de largo y vértice en la parte de abajo. Determine la fuerza hidrostática en un extremo de la pileta.

6.

6m 1m

5m

se muestra en la figura. Encuentre la fuerza hidrostática que se ejerce contra la compuerta.

4m 7.

8.

2m

2m 4m 1m

2m

14. Una presa vertical tiene una compuerta semicircular como

2m

nivel de agua

12 m

1m 2m 4m



Se requiere calculadora graficadora o computadora

1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com

SECCIÓN 8.3

15. Un cubo con lados de 20 cm de largo está asentado sobre el

23. m1

16. Una presa está inclinada en un ángulo de 30 desde la vertical

y tiene la forma de un trapecio isósceles de 100 pies de ancho en la parte superior y 50 pies de ancho en el fondo y con una altura inclinada de 70 pies. Encuentre la fuerza hidrostática sobre la presa cuando está llena de agua. 17. Una alberca mide 20 pies de ancho y 40 pies de largo, y su

fondo es un plano inclinado. El extremo poco profundo tiene una profundidad de 3 pies y el extremo profundo, 9 pies. Si la alberca se llena de agua, estime la fuerza hidrostática sobre a) el extremo poco profundo, b) el extremo profundo, c) uno de los lados y d) el fondo de la alberca. 18. Suponga que una placa se sumerge verticalmente en un

fluido con densidad + y el ancho de la placa es w(x), a una profundidad de x metros debajo de la superficie del fluido. Si la parte superior de la placa está a una profundidad a y el fondo está a una profundidad b, demuestre que la fuerza hidrostática en un lado de la placa es

y

b

a

23-24 Las masas mi se localizan en los puntos Pi. Encuentre los

momentos Mx y My y el centro de masa del sistema.

fondo de un acuario en el que el agua tiene un metro de profundidad. Estime la fuerza hidrostática sobre a) la parte superior del cubo y b) uno de los lados del cubo.

F

r tx w x dx

19. Una placa metálica se sumerge verticalmente en el mar, cuya

agua está a una densidad de 64 lbYpie3. En la tabla se muestran las medidas de su ancho, tomadas a las profundidades indicadas. Use la regla de Simpson para estimar la fuerza del agua contra la placa. Profundidad (m)

7.0

7.4

7.8

8.2

8.6

9.0

9.4

Ancho de la placa (m)

1.2

1.8

2.9

3.8

3.6

4.2

4.4

20. a) Use la fórmula del ejercicio 18 para demostrar que

4, m2

24. m1

P1

2, m3

3 , P2

P1 2,

4;

3, 1 , P3 3, 5

5, m2

4, m3

3, m4

6;

4, 2 , P2 0, 5 , P3 3, 2 , P4 1,

2

25-28 Bosqueje la región acotada por las curvas y estime en forma visual la ubicación del centroide. Después encuentre las coordenadas exactas del centroide. 25. y

2x,

26. y

sx ,

27. y

e x,

28. y

sen x,

y

x

0,

y

0,

y

0, y

1 4

x x

0,

0,

0

x

1 p

x

29-33 Encuentre el centroide de la región acotada por las curvas dadas. 29. y

x 2,

x

30. y

2

x 2, y

31. y

sen x,

32. y 33. x

y2

y

3

x , x y

cos x, y

2,

x

x

2, y

x y

0,

p 4

x

0

2

34-35 Calcule los momentos Mx y My y el centro de masa de una

lámina con la densidad y forma dadas. 34. + m 3

35. + m 10

y

y

(4, 3)

1

F

rtx A

donde x es la coordenada x del centroide de la placa y A es su área. Esta ecuación muestra que la fuerza hidrostática contra una región plana vertical es la misma que si la región estuviera horizontal a la profundidad del centroide de la región. b) Use el resultado del inciso a) para dar otra solución al ejercicio 10. 21-22 Masas puntuales mi se localizan sobre el eje x como se

ilustra. Determine el momento M del sistema respecto al origen y el centro de masa x. 21.

m¡=6 0

22.

30

m¡=12 _3

0

0

1

x

0

x

_1

36. Utilice la regla de Simpson para estimar el centroide de la

región que se muestra. y 4

m™=9

10

561

APLICACIONES A LA FÍSICA Y A LA INGENIERÍA

x

2

m™=15

m£=20

2

8

x

0

2

4

6

8

x

562

CAPÍTULO 8

APLICACIONES ADICIONALES DE LA INTEGRACIÓN

37. Encuentre el centroide de la región acotada por las curvas

esquinas de R y que pasa a través de la esquina opuesta. Halle el centroide en ambos R1 y R2.

y m x 3  x y y m x 2  1. Bosqueje la región y grafique el centroide para ver si su respuesta es razonable.

y

 38. Use una gráfica para hallar coordenadas x aproximadas de

los puntos de intersección de las curvas y m e x y y m 2  x 2. Después determine (de manera aproximada) el centroide de la región acotada por estas curvas.

R™

b R¡

39. Demuestre que el centroide de cualquier triángulo se localiza

en la intersección de las medianas. FSugerencias: coloque los ejes de modo que los vértices sean (a, 0), (0, b) y (c, 0). Recuerde que una mediana es un segmento de recta desde un vértice al punto medio del lado opuesto. Recuerde que las medianas se intersecan en un punto a dos tercios del tramo de cada vértice (a lo largo de la mediana) al lado opuesto.G

encuentra bajo la gráfica de una función continua f, donde a v x v b, demuestre que

sino mediante la localización de los centroides de los rectángulos y triángulos (del ejercicio 39) y por medio de la suma de los momentos. 41.

y 2

_1

0

y

b

a

cx

d f x dx

cx

d

y

b

a

f x dx

44-46 Use el teorema de Pappus para hallar el volumen del sólido. 44. Una esfera de radio r. (Use el ejemplo 4.) 45. Un cono con altura h y radio de base r.

y

46. El sólido obtenido al hacer girar el triángulo con vértices (2, 3),

2

1

x

43. Si x es la coordenada x del centroide de la región que se

40-41 Encuentre el centroide de la región mostrada, no por integración,

40.

a

0

(2, 5) y (5, 4) en torno al eje x.

1 1

2

x

_2

_1

0

1

2

x

_1

42. Un rectángulo R con lados a y b se divide en dos partes R1 y

R2 mediante un arco de la parábola que tiene sus vértices en las

PROYECTO PARA UN DESCUBRIMIENTO

47. Demuestre las fórmulas 9. 48. Sea la región  localizada entre las curvas y m x m y y m x n,

0 v x v 1, donde m y n son enteros con 0 v n v m. a) Bosqueje la región . b) Encuentre las coordenadas del centroide de . c) Trate de hallar los valores de m y n tales que el centroide esté fuera de .

TAZAS DE CAFÉ COMPLEMENTARIAS Suponga que de dos tazas de café tiene que elegir del tipo que se muestra, una que se curva hacia fuera y una hacia dentro, y observe que tienen la misma altura y sus formas se ajustan entre sí. Le sorprendería saber que una taza contenga más café. Naturalmente podría llenar una taza con agua y verter el contenido en la otra, pero como estudiante de cálculo, decide un planteamiento más matemático. Despreciando el asa de cada una, observe que ambas tazas son superficies de revolución, de esta manera puede pensar el café como un volumen de revolución. x=k

y h

A¡

A™

x=f(y)

Taza A

Taza B

0

k

x