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• Karol Mendez

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LABORATORIO #3. CENTROS DE MASA

OBJETIVO   

Determinar el centro de masa de una figura irregular. Localizar experimentalmente el centro de masa de una placa delgada de acrílico. Calcular la posición del centro de masa de forma analítica.

MATERIALES Figuras irregulares, plomada, hojas en blanco y lápiz. 1. FUNDAMENTO TEÓRICO El concepto de centro de masa, es definido como un punto virtual en el cual se puede asumir que se concentra toda la masa del cuerpo, es decir, la masa de cada una de las partículas que conforman el cuerpo mecánicamente representan lo mismo que considerar toda la masa concentrada en el centro de masa. En muchas ocasiones se usa el concepto de centro de gravedad el cual puede ser definido como el punto virtual en el cual se puede asumir que se concentra todo el peso del cuerpo. Es posible demostrar que el centro de gravedad coincide con el centro de masa cuando el campo gravitatorio es uniforme. Aunque ambos conceptos son diferentes se suelen usar como sinónimos para representar el punto único de un objeto o sistema que se puede utilizar para describir la respuesta del sistema a las fuerzas y pares externos. Suponga que una masa m se encuentra a una distancia d de un eje z. Se define el primer momento de dicha masa con respecto al eje z como el producto de la masa por la distancia: 𝑀𝑧 = 𝑚 ∙ 𝑑

(1)

Se debe enfatizar en referirse al primer momento, ya que existe también el concepto de segundo momento, el cual se refiere al momento de inercia. Suponga ahora que se tiene un sistema discreto unidimensional de masas puntuales m1 , m2 y m3 como el que se muestra la Figura 1. El primer momento de cada masa respecto al pivote O será el producto de la masa mi por la posición xi, medida desde la masa hasta el pivote (Ec 2) ver Figura 1. 𝑀𝑂𝑖 = 𝑚𝑖 ∙ 𝑥𝑖

(2)

En la Figura 2 se muestra una representación gráfica en la cual el sistema compuesto por las masas m1 , m2 y m3 es equivalente al sistema formado por una sola masa MTOTAL = m1 + m2 + m3 ubicado en la posición del centro de masa xcm respecto al punto O .

El primer momento de este sistema de partículas se define como el producto de la suma de todas las masas (MTOTAL) por la distancia efectiva de esta masa total al punto O (xcm ). Este primer momento del sistema es equivalente a la suma de los primeros momentos de las masas individuales y puede expresarse como: (𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 )𝑥𝑐𝑚 = 𝑚1 ∙ 𝑥1 + 𝑚2 ∙ 𝑥2 + 𝑚3 ∙ 𝑥3

(3)

Por tanto la posición del centro de masa del sistema de este sistema de masas puntuales puede hallarse como: 𝑥𝑐𝑚 =

𝑚1 ∙ 𝑥1 + 𝑚2 ∙ 𝑥2 + 𝑚3 ∙ 𝑥3 (𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 )

(4)

Si en lugar se tiene un sistema compuesto por n partículas la posición del centro de masa de dicho sistema puede hallarse como en las ecuaciones 5 y 6, en un plano x vs y. 𝑥𝑐𝑚

∑𝑛𝑖=1 𝑚𝑖 ∙ 𝑥𝑖 = ∑𝑛𝑖=1 𝑚𝑖

(5)

𝑦𝑐𝑚

∑𝑛𝑖=1 𝑚𝑖 ∙ 𝑦𝑖 = ∑𝑛𝑖=1 𝑚𝑖

(6)

En caso de tener una placa de masa MTOTAL y densidad superficial de masa dm se considera como una distribución continua de masa, el centro de masa será un punto de coordenadas 𝑥𝑐𝑚 y 𝑦𝑐𝑚 dadas por las ecuaciones: 𝑀

𝑥𝑐𝑚

∫ 𝑥 ∙ 𝑑𝑚 = 0 𝑀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

𝑀

𝑦𝑐𝑚

∫ 𝑦 ∙ 𝑑𝑚 = 0 𝑀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

(7)

En la tabla #1 se muestran los centros de masa más representativos de figuras geométricas. Tabla 1. Centros de masa comunes

2. TRABAJO EXPERIMENTAL PARTE I. 1. Seleccionar 4 figuras de madera de igual espesor y uniforme. Las figuras deberán ser calcadas con una hoja en blanco y pegadas con cinta por encima de ellas para hacer el cálculo del centro de masa experimental. 2. Seleccionar un sistema de coordenadas x, y. Puede seleccionar cualquiera, pero debe respetarse la ubicación y orientación del sistema elegido. 3. Descomponer la figura calcada en la menor cantidad de figuras fundamentales posible, como círculos, triángulos, rectángulos, etc. y expresar la geometría de su placa como lo sugiere la Figura 3.

Figura 3. Elección de ejes y descomposición de subfiguras. 4. Con la ayuda de la Figura 3 y una regla de medición hallar el centro de masa de cada una de las sub-figuras y ubicarlos en el sistema de referencia seleccionado en el segundo paso. Ver parte II 5. Una vez hallados los centros de masas de las sub-figuras se deben considerar como una distribución discreta de masas. Como no es posible hallar las masas de cada sub-figura es necesario usar la relación entre masa y área para un cuerpo bidimensional 𝜌 = 𝑚/𝑣, de forma que las ecuaciones (5) y (6) pueden reescribirse como (tarea: demostrarlo en el informe). 𝑥𝑐𝑚 =

∑𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 ∙ 𝑥𝑖 ∑𝑛𝑖=1 𝐴𝑖

𝑦𝑐𝑚 =

∑𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 ∙ 𝑦𝑖 ∑𝑛𝑖=1 𝐴𝑖

(8)

6. Utilice las ecuaciones (8) para hallar las coordenadas 𝑥𝑐𝑚 y 𝑦𝑐𝑚 , las cuales serán consideradas como los valores convencionalmente verdaderos. 7. En la tabla # 2 puede condensar los resultados experimentales.

Subfiguras

𝑨𝒊 ∙ 𝒙𝒊

𝑨𝒊 ∙ 𝒚𝒊

∑ 𝐴𝑖 ∙ 𝑥𝑖

∑ 𝐴𝑖 ∙ 𝑦𝑖

Figura 4

Figura 3

Figura 2

Figura 1

Experimento

Tabla # 2. Mediciones de figuras Mediciones experimentales 𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝑨𝒊

Total

∑ 𝐴𝑖

PARTE II. El cuerpo bidimensional o placa mostrada en la figura 4a tiene dos orificios A y B (o hilos en los agujeros). En las Figuras del laboratorio tiene orificios en cada uno de las esquinas.   

Colgar la placa desde el orificio A, dejar que alcance su posición de equilibrio. Con ayuda de la plomada observar la línea vertical que pasa por el punto A (ver figura 4b) y trazarla en la figura calcada realizada durante el trabajo analítico. Colgar la placa desde el orificio B, dejar que alcance su posición de equilibrio y trazar la línea vertical que pasa por el punto B en la figura calcada realizada durante el trabajo analítico. El centro de masa se ubica en el punto donde se intersectan ambas líneas. Con la regla medir las coordenadas del centro de masa (𝑥𝑐𝑚 y 𝑦𝑐𝑚 ) respecto al sistema coordenado escogido durante el trabajo analítico

3. RESULTADOS Los valores de x y y de manera teorica y experimental, se deben incluir en la tabla#3. Tabla # 3. Resultados finales de error. 𝒚𝒄𝒎(𝒆𝒙𝒑.) Experimento 𝒙𝒄𝒎(𝒕𝒆𝒐𝒓𝒊𝒄𝒐) 𝒚𝒄𝒎(𝒕𝒆𝒐𝒓𝒊𝒄𝒐) 𝒙𝒄𝒎(𝒆𝒙𝒑.) Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

% 𝑬𝒓𝒓𝒐𝒓