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Unidad Académica Profesional Cuautitlán Izcalli Unidad de Aprendizaje

Introducción Licenciatura en Negocios Internacionales

Nombre del Proyecto Nombre del Alumn@:

Profesora: M. en Edu.

Jesús Lara Monroy Cuautitlán Izcalli, México a 18 de Febrero de 2018

Ejercicios

1.- Una compañía ha descubierto que el ingreso total es una función del precio fijado a su producto. En concreto, la función del ingreso total es: 𝑅 = 𝑓(𝑝) = −10𝑝2 + 1750𝑝 Donde p es el precio en dólares. a) Determine el precio “p” que produce el máximo ingreso total. Se obtiene la primera derivada de R, esto es 𝑓´(𝑝) = −20𝑝 + 1750 Hacemos 𝑓´(𝑝) = 0 −20𝑝 + 1750 = 0 Y despejamos p 𝑝=

−1750 = 87.5 −20

Es decir, ocurre un valor critico en p=87.5, para determinar si en ese punto se tiene un máximo relativo, aplicamos el criterio de la segunda derivada 𝑓´´(𝑝) = −20 𝑦 𝑓´´(87.5) = −20 < 0 Por lo tanto, tenemos un máximo relativo en p=87.5, es decir, este es el precio que produce el máximo ingreso total (87.5 dólares por producto).

b) ¿Cuál es el valor máximo del ingreso total? El valor máximo se obtiene sustituyendo p=87.5 en f 𝑓(87.5) = −10(87.5)2 + 1750(87.5) = −10(7656.25) + 153 125 = −76 562.5 + 153 125 = 76 562.5 dólares.

2.- Una compañía ha descubierto que el ingreso total es una función del precio fijado a su producto. En concreto, la función del ingreso total es: 𝑅 = 𝑓(𝑝) = −30𝑝2 + 3000𝑝 Donde p es el precio en dólares. a) Determine el precio “p” que produce el máximo ingreso total. Obtenemos la primera derivada de R 𝑓´(𝑝) = −60𝑝 + 3000 Igualamos esta derivada a cero −60𝑝 + 3000 = 0 Y despejamos p 𝑝=

−3000 = 50 −60

Tenemos un valor critico en p=50. Aplicamos el criterio de la segunda derivada para determinar si el valor obtenido es un máximo relativo. En efecto, pues 𝑓´´(𝑝) = −60 𝑦 𝑓´´(50) = −60 < 0 Por lo tanto, tenemos que en p=50, ocurre un máximo relativo, es decir el precio que produce el máximo ingreso total es de 50 dólares.

b) ¿Cuál es el valor máximo del ingreso total? Para hallar este valor, sustituimos p=50 en f, esto es 𝑓(50) = −30(50)2 + 3000(50) = −75000 + 150000 = 75000 Es decir, el valor máximo de ingreso total para p=50 es de 75 000 dólares.

3.- La función de demanda del producto de una firma es 𝑞 = 150000 − 75𝑝

Donde “q” representa el número de unidades demandadas y “p” indica su precio en dólares. a) Determine el precio que deberá cobrarse para maximizar el ingreso total Debemos encontrar una expresión de R en función de p, es decir para R=pq se tiene 𝑅 = 𝑝𝑞 = 𝑝(150000 − 75𝑝) = 150 000𝑝 − 75𝑝2 Ahora, derivamos esta expresión para obtener el precio máximo 𝑅´ = −150𝑝 + 150000 Igualamos la expresión obtenida a cero −150𝑝 + 150000 = 0 Y despejamos p 𝑝=

−150 000 = 1000 −150

Se tiene un valor critico en p=1000, aplicando el criterio de la segunda derivada se tiene 𝑅´´ = −150 𝑦 𝑅´´(1000) = −150 < 0 Por lo que en p=1000 se tiene un máximo relativo, es decir, el precio máximo que debería cobrarse por unidad es de 1000 dólares.

b) ¿Cuál es el valor máximo del ingreso total? Para obtener este valor se sustituye p=1000 en R 𝑅 = 150000(1000) − 75(1000)2 = 150 000 000 − 75 000 000 = 75 000 000 Es decir, el valor máximo del ingreso total para un precio de 1000 dólares, es de 75 millones de dólares.

c) ¿Cuántas unidades se espera que se demanden? Sustituimos p en la expresión 𝑞 = 150000 − 75𝑝 𝑞 = 150 000 − 75(1000) = 150 000 − 75 000 = 75000

De modo que la cantidad de unidades que se espera que se demanden es de 75 000 piezas.

4.- Una comunidad, situada en una zona vacacional, está tratando de escoger una tarifa de estacionamiento que fijará a la playa del pueblo. En la zona hay otras playas, y todas ellas compiten por atraer a los bañistas. El municipio ha optado por la siguiente función que expresa el número promedio de automóviles por día “q” en términos de la tarifa de estacionamiento “p” expresada en centavos 𝑞 = 6000 − 12𝑝 a) Determine la tarifa que debería cargarse para maximizar los ingresos diarios de la playa. Sustituyendo q en la expresión R=pq, se obtiene 𝑅 = 𝑝(6000 − 12𝑝) = 6000𝑝 − 12𝑝2 Obtenemos la primera derivada de R 𝑅´ = 6000 − 24𝑝 Igualamos R´ a cero 6000 − 24𝑝 = 0 Y despejamos p 𝑝=

−6000 = 250 −24

Tenemos un valor critico en p=250. Aplicamos el criterio de la segunda derivada 𝑅´´ = −24 𝑦

𝑅´´(250) = −24 < 0

Por lo que en p=250 se tiene un máximo relativo, es decir, la tarifa que maximiza los ingresos diarios es de 250 dólares.

b) ¿Cuál se espera que sea el máximo ingreso diario de la playa?

Se sustituye p=250 en R 𝑅 = 6000(250) − 12(2502 ) = 1 500 000 − 750 000 = 750 000 De modo que el máximo ingreso esperado de la playa para p=250 es de 750 000 dólares.

c) ¿Cuántos automóviles se esperan en un día promedio? Sustituimos p=250 en la expresión 𝑞 = 6000 − 12𝑝

𝑞 = 6000 − 12(250) = 6000 − 3000 = 3000

Esto es, se esperan 3000 automóviles en un día promedio.

5.- El gobierno estadounidense está estudiando la estructura de los impuestos de importación para los televisores de color traídos de otros países. El gobierno está tratando de determinar el impuesto que impondrá a cada aparato. Sabe bien que ese impuesto repercutirá en la demanda de los televisores importados. Estima que la demanda D, medida en cientos de televisores, guarda relación con el impuesto de importación “t”, medido en centavos, de acuerdo con la función: 𝐷 = 80,000 − 10𝑡 a) Determine el impuesto de importación que produce los máximos ingresos fiscales en la importación de los televisores. En la expresión R=pq, se sustituye q por D y p por t y obtenemos 𝑅 = 𝐷𝑡 = (80 000 − 10𝑡)𝑡 = 80 000𝑡 − 10𝑡 2 Derivando la expresión obtenida 𝑅´ = 80 000 − 20𝑡 Igualando la primera derivada de R a cero 80 000 − 20𝑡 = 0 Y despejando t, obtenemos

𝑡=

−80 000 = 4000 −20

Se tiene un valor critico en t=4000. Aplicando el criterio de la segunda derivada se tiene que 𝑅´´ = −20 < 0 Por lo que en t=4000 se tiene un máximo relativo, de forma que el impuesto de importación que maximiza los ingresos fiscales es de 4000 centavos de dólar, es decir 40 dólares. b) ¿Cuál es el ingreso máximo? Esta cantidad se obtiene sustituyendo t=4000 en R 𝑅 = 80 000𝑡 − 10𝑡 2 = 80 000(4000) − 10(40002 ) = 320 000 000 − 160 000 000 = 160 000 00 Centavos de dólar, es decir, 1 600 000 dólares. c) ¿Cuál será la demanda de los televisores importados de color con este impuesto? La demanda es 𝐷 = 80,000 − 10(4000) = 80 000 − 40 000 = 40 000. Pero como D está en cientos de televisores, se tiene que D=400 televisores.

6.- Un fabricante ha calculado una función de costos que expresa el costo anual de la compra, posesión y mantenimiento del inventario de sus materias primas en términos del tamaño de cada pedido. La función de costo es 𝑐=

51200 + 80𝑞 + 750,000 𝑞

Donde q es el tamaño de cada pedido (en toneladas) y C el costo anual del inventario. a) Determine el tamaño de pedido “q” que minimice el costo anual del inventario Se obtiene la primera derivada de C 𝑐´ = 𝑓´(𝑞) = −51 200𝑞 −2 + 80 Igualamos a cero − 51 200𝑞 −2 + 80 = 0 Despejamos q

−51 200𝑞 −2 + 80 =

−511 200 + 80 = 0 𝑞2

−51 200 = −80 𝑞2 −51 200 = −80𝑞 2 𝑞2 =

−51 200 = 640 −80 𝑞 = √640 𝑞 = 25.29

Se tiene que 25.29 es un valor crítico. Aplicamos ahora el criterio de la segunda derivada 𝑓´´(𝑞) = 102 400𝑞 −3 =

𝑓´´(25.29) =

102 400 𝑞3

102 400 102 400 = = 6.33 > 0 3 (25.29) 16 175.08

Por lo tanto en q=25.29 se tiene un mínimo relativo, por lo que esta cantidad es la que minimiza el costo anual del inventario.

b) ¿Cuáles se esperan que sean los mínimos costos del inventario? Se sustituye q=25.29 en la expresión 𝑐 = 𝑐=

51200 𝑞

+ 80𝑞 + 750,000, esto es

51 200 + 80(25.29) + 750 000 = 2024.51 + 2023.2 + 750 000 = 754 047.71 25.29