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• Christian Tejero

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 4.13 Flujo variable

en

régimen

En un cauce el flujo que se estudia básicamente es el de la dirección principal del movimiento (flujo unidimensional). En este tipo de movimiento solo se tienen en cuenta las variaciones de las magnitudes hidráulicas en la dirección principal del flujo. El flujo en lámina libre es el tipo flujo que habitualmente debe presentar un cauce o un canal excepto en condiciones muy locales cuando existe la presencia de obras especiales como alcantarillas, pasos bajo vías etc. Este tipo de flujo se mueve como consecuencia de su propio peso (gravedad). Desde un punto de vista más matemático el flujo en lámina libre es mucho más complejo debido a que la sección normal al flujo es variable según el caudal que circula y según la forma del propio cauce. El flujo en lámina libre, se presenta cuando las fuerzas de inercia y de gravedad del fluido en movimiento son comparables y las fuerzas viscosas son despreciables. Estas se miden, según la relación existente entre las fuerzas de inercia y las de gravedad, denominado numero adimensional de Froude (Fr). De acuerdo con el valor que toma esta variable, el flujo se puede clasificar como: Flujo subcrítico (Fr1) que suele presentarse en conducciones de pendientes pronunciadas, donde las fuerzas de inercia adquieren una mayor importancia. El número de Froude se puede evaluar de acuerdo con:

Donde v es la velocidad media del agua que ocupa una sección recta A y el ancho superficial que ocupa es T; g es la aceleración de la gravedad. En cauces suele presentarse el flujo transcrítico, que corresponde a un número de Froude entre 0.7 y 1.3. Es un flujo bastante inestable en el sentido que suele formar resaltos o discontinuidades pero es casi siempre el que se adapta en un cauce. El flujo puede también clasificarse de acuerdo con la forma en que las variables hidráulicas se presentan a lo largo del cauce y a lo largo del tiempo. Así el flujo más general es el denominado flujo no permanente. Este tipo de flujo se reconoce porque las variables hidráulicas relevantes (calado y velocidad), en cualquier sección están cambiando continuamente en el tiempo y a lo largo del cauce, en contraposición con el flujo permanente, en el que dichas variables son constantes. El flujo no permanente se aproxima más al flujo que realmente se desarrolla en un cauce cualquiera cuando se presenta un evento lluvioso. Considerar el flujo no permanente en la evaluación de un cauce es un problema complejo pero que hoy por hoy ya está resuelto, tanto en la propia concepción del problema como en la evaluación del mismo, aunque hoy en día todavía se es reticente a su uso. Sin embargo cada vez se hace más necesario abordar el problema con las ecuaciones que modelan este tipo de flujo. De todas formas es imprescindible comprender y conocer el fenómeno para darse cuenta que en ocasiones no es necesario aplicarlo y que existen métodos de cálculo más sencillos y menos sofisticados que permiten evaluar la situación con acierto.  CALCULO CON FLUJO GRADUALMENTE VARIADO O FLUJO PERMANENTE NO UNIFORME

El cálculo de cauces mediante esta formulación tiene en cuenta tanto la influencia de las condiciones de contorno como la del caudal máximo que circula por el cauce y tiene por objeto conocer en forma más detallada la evolución del perfil de la lámina de agua a lo largo del mismo. El flujo gradualmente variado se caracteriza esencialmente porque es un régimen de flujo permanente o sea que las variables hidráulicas en cada sección del cauce permanecen invariables en el tiempo pero varían sección a sección, y porque las líneas de corriente se acepta que son casi paralelas. Se puede admitir entonces una distribución hidrostática de presiones sin peligro de introducir grandes errores. Se aceptarán también las siguientes hipótesis básicas: 1) La pendiente de la línea de energía en cualquier sección del flujo gradualmente variado coincide con la pendiente motriz equivalente para un régimen uniforme que presente la velocidad y el radio hidráulico de la sección considerada; 2) La pendiente del canal es pequeña, así que factores de corrección en las ecuaciones de conservación como el cosθ, tienden a la unidad, siendo θ el ángulo que forma el cauce con la horizontal y que se puede considerar igual al seno del ángulo y a la propia tangente. La pendiente del mismo para valores pequeños del ángulo es el valor que suele usarse, ángulos menores de 10º son los usuales. En caso de que el ángulo sea mayor suele corregirse la energía específica como:

En un cauce único y casi prismático tiende a producirse un régimen permanente y uniforme cuando circula un caudal aproximadamente constante en el tiempo, de forma que una vez alcanzado este régimen se tendrá en el cauce un calado normal. No obstante éste se dará a cierta distancia de los contornos. La longitud de dicha distancia depende de las

características hidráulicas del cauce y de la condición de contorno. El régimen uniforme puede llegar a formarse a muchos centenares de metros de la condición de contorno en canales, pero en cauces difícilmente ésto ocurrirá. Por lo general en régimen lento la convergencia del flujo al régimen normal, es más lenta que la convergencia que se da cuando el régimen en el cauce es rápido. No obstante, en la realidad cualquier variación que se produzca a lo largo del cauce (pendiente, material, sección), por pequeña que sea, conducirá a cambios graduales en la lámina de agua. Estos cambios pueden ser producidos por pequeñas variaciones en las fuerzas que actúan en el seno del flujo o bien por fuerzas que se desequilibran respecto al régimen uniforme. En este tipo de cauce es mucho más fácil observar un cambio gradual en la lámina de agua en las zonas cercanas al contorno, ya que es allí donde se producen los cambios más radicales en la topología de la sección. Un cauce que no sea prismático ofrecerá casi siempre un flujo gradualmente variado, siempre y cuando el cambio en la sección del cauce sea gradual a lo largo de su longitud, de lo contrario el flujo que sucederá será del tipo rápidamente variado. Los flujos rápidamente variados creados por variaciones del cauce ocasionan variaciones de presión y turbulencias que suelen traducirse en pérdidas de energía. En este caso es conveniente utilizar una pérdida de energía proporcional al cambio total de energía cinética en la transición. Suelen usarse valores de 0.1 para contracción y 0.3 para expansiones. Es decir que las pérdidas son:

En donde 1 y 2 representan la secciones de entrada y salida, respectivamente. Resulta difícil determinar qué cambio en la sección es o no gradual, pero existen criterios que indican cual deberá ser la variación máxima permitida para que el flujo dentro del cauce se considere gradualmente variado. Por ejemplo, aquellos

cambios que no produzcan el despegue de la capa límite provocando turbulencias y vórtices.

 ECUACIÓN DEL FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Si el régimen de flujo es permanente es posible asignar a una línea de corriente de una sección de canal una energía respecto de un nivel de referencia cualquiera (NR). (ver figura 1). Esta energía es la suma de dos términos conocidos: 1) la energía de posición de la sección z + y 2) la energía específica del propio fluido respecto de la solera del canal, E

Por tanto la energía total y la específica están dadas respectivamente por:

Las variables ya han sido definidas con anterioridad. De aquí se concluye que la variación de energía total, H, respecto de las abscisas x de referencia del cauce, es decir, la pendiente motriz, es la suma de dos términos: 1) la variación de cota o pendiente del canal y 2) la variación de energía específica. Tanto la pendiente de la línea de energía como la pendiente del canal se considera que disminuyen a medida que se avanza en la dirección positiva dex . Así, la variación respecto de x de estos términos es respectivamente -Sf y –So. Es posible expresar la variación de la energía específica en el canal (sea éste prismático o no) como igual a la diferencia entre la pendiente del canal y la línea de energía, de manera que:

Siendo dE dx / la variación o derivada total de la energía específica respecto de x, pues hay que tener en cuenta que E es una función de las variables (x, y), donde y es el calado de agua en la sección considerada. Realizando la derivada total de la energía específica encontramos que:

De esta derivada resultan dos términos. El primer término es el que distingue al cauce entre prismático y no prismático. Si el cauce fuese prismático este primer sumando es nulo, y por tanto la variación de energía específica es sólo función del calado en la sección.

 ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL FLUJO GRADUALMENTE VARIADO. Las ecuaciones diferenciales de primer orden necesitan una condición en el contorno para su solución. De otro modo, se encuentra la solución general o integral general. La solución general implica encontrar una familia de curvas que representan todas las soluciones posibles de la ecuación diferencial. En nuestro caso particular no es posible debido a que la no linealidad de la ecuación diferencial impide la integración analítica de la solución. En la práctica usualmente se suele encontrar la solución para un determinado valor de la condición de contorno, que en este caso es un calado de agua en alguno de los dos extremos del cauce. ¿Cuál de los extremos debemos conocer para obtener el perfil de agua? En caso de que el flujo que aparezca en el cauce sea supercrítico, el valor del calado en el contorno que ha de conocerse debe situarse aguas arriba y en el caso que el flujo sea subcrítico el valor que se usará, será el calado en el contorno situado aguas abajo.

Esto debe hacerse independientemente del valor de la pendiente del cauce. Matemáticamente hablando debe conocerse la condición en el contorno que no pertenezca a las asíntotas de la ecuación. De lo contrario no puede calcularse con exactitud la integral de la ecuación diferencial. Por ejemplo si el calado es tal que el flujo que se presenta es uniforme, entonces dy dx / es cero, ya que dy = 0, y seguirá constante en toda la integración, independiente de la región de x que se esté integrando. Otro ejemplo consiste en integrar a partir de un calado crítico. En este caso / dy dx tiende a infinito y por tanto cualquier valor incrementado de y será extremadamente grande para cualquier valor de dx por pequeño que sea, Cuando se realizan integrales numéricas en el primer caso no se dan problemas de errores numéricos pero sin embargo el valor de y permanece constante indefinidamente. En el segundo caso se pueden dar problemas graves de curvas de remanso anómalas (este problema se mostrara más adelante con un ejemplo numérico). Numéricamente la solución debe encontrarse siempre dando el valor del contorno contrario a la asíntota del régimen uniforme. Es un buen ejercicio comprobar que en la mayoría de las curvas las asíntotas al calado normal se encuentran aguas arriba en régimen lento y aguas abajo en régimen rápido.