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• Avalos Gonzalez Kevin

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PROBLEM 2 VERSION ONE 220 puntos) Es necesario elegir materiales para la viga menos costosa para un proyecto de construcción. La viga es una viga de longitud L con una carga uniforme, simplemente admitida. Sabemos que la forma de la sección transversal será importante pero aún no sabemos qué forma queremos usar o qué tan grande será el área de la sección transversal, A, . Con la información a continuación, obtenga el índice de selección de materiales, M, que, cuando se maximiza, maximizará el rendimiento del haz. La restricción es que el haz no falla plásticamente bajo la carga.

PROBLEM 2 VERSION TWO 2(20 puntos) Es necesario elegir materiales para la viga menos costosa para un proyecto de construcción. El rayo es un rayo soportado simplemente de longitud fija L con una carga uniforme, F. Sabemos que la forma de la sección transversal será importante pero aún no sabemos qué forma queremos usar o qué tan grande será el área de sección transversal, A, ser. Con la información a continuación, obtenga el índice de selección de materiales, M, que, cuando se maximiza, maximizará el rendimiento del haz. La restricción es que el haz debe desviarse menos de DELTA0 debajo de la carga.

PROBLEM 2 VERSION ONE 2) (20 points) Es necesario elegir materiales para la viga menos costosa ... Este es un problema de factor de forma. No sabemos la forma de la sección transversal, y el área es un parámetro libre. En función de la descripción del problema, la función objetivo es el costo mínimo, y el factor de forma que debemos usar es el que se basa en la

falla al doblar: donde el PHI del factor de forma está referenciado a una sección transversal cuadrada sólida del área A. Aplicando la restricción de carga al parámetro libre, A, obtenemos

PROBLEM 2 VERSION TWO 2) (20 points) Es necesario elegir materiales para la viga menos costosa ... Este es un problema de factor de forma. No sabemos la forma de la sección transversal, y el área es un parámetro libre. De acuerdo con la descripción del problema, la función objetivo es el costo mínimo, y el factor de forma que necesitamos usar es el basado en la

deformación elástica al doblar: donde el PHI del factor de forma está referenciado a una sección transversal cuadrada sólida del área A. Aplicando la restricción de deflexión al parámetro libre, A, obtenemos

DESIGN PROBLEM: Un vástago de válvula fría: En mi laboratorio, pruebo materiales a muy bajas temperaturas, cerca del cero absoluto, en helio líquido. Una pieza de mi equipo es una válvula de control que estrangulará el flujo de helio gaseoso a través de un tubo a bajas temperaturas. Para ajustar la válvula, el operador deberá girar una perilla que esté fuera de la zona fría, de modo que el vástago de la válvula debe ser lo suficientemente largo para extenderse fuera del helio líquido a la temperatura ambiente más cálida fuera del recipiente experimental. Ayúdame a elegir un material para el trabajo. La longitud del vástago de la válvula, L, es fija, pero podemos cambiar el área de la sección transversal, A, así como la forma. La medida del rendimiento es un flujo de calor mínimo, q [W]. La principal restricción es ceder en torsión del vástago a medida que gira (la válvula a menudo se pega y se debe aplicar un par bastante grande, T, para girar la válvula). Una restricción secundaria es que el costo del tallo es menor que mi presupuesto, B [USD]

1) (60 points TOTAL)

1a) (20 puntos) Analice el problema de diseño anterior usando un factor de forma y determine el índice de selección de materiales, MMAX-1, basado en el par de falla. 1b(20 puntos) Analice el problema para determinar el índice de selección de materiales, MMAX-2, basado en el límite presupuestario. 1c) (20 puntos) Determine la ECUACIÓN DE ACOPLAMIENTO relacionando estas dos restricciones.

SOLUTIONS 1a) (20 puntos) Analice el problema de diseño anterior usando un factor de forma y determine el índice de selección de materiales ... De acuerdo ... para la mayoría de ustedes en ME480 / 580 Winter Term 2011, me equivoqué y les di la ecuación incorrecta para el módulo de la sección torsional. ¡Gracias a los dos o tres de ustedes que lo señalaron durante el cuestionario! El problema, como se indicó anteriormente, ahora es correcto (y diferente del que tuvo que trabajar en el cuestionario). Aquí hay AMBAS soluciones. Califiqué tu prueba usando la que te dio más puntos ...WRONG FIRST EQUATION:

CORRECT FIRST EQUATION:

1b) (20 points) Analyze the problem to determine the materials selection index...

This one was right to begin with...

1c) (20 points) Determine the COUPLING EQUATION linking these two constraints. Set the two equations for the measure of performance equal: WRONG EQUATION VERSION:

CORRECT EQUATION VERSION:

PROBLEM STATMENT Un profesor en una universidad en el noroeste ha propuesto un experimento de túnel de viento superfluido que usará helio líquido a 1.8 [K] como fluido. El helio líquido se almacenará en un contenedor criogénico sobre el túnel y se liberará a través de una válvula, impulsada por la gravedad y la presión del gas. Existe la necesidad de un diseño cuidadoso del soporte estructural que sujete el tanque criogénico y a través del cual el fluido ingresará al túnel. Lo más importante del soporte es que extraiga el menor calor posible del fluido. La longitud del soporte (L) es fija, pero podemos variar el área de la sección transversal (A) y también elegir una forma apropiada para la sección transversal, siempre que sea hueca. Hay varias restricciones que se pueden aplicar a este diseño. Curiosamente, la restricción más importante es que la masa del tubo debe ser menor que m0 = 2.5 [kg].

Heat Flow:

Las otras restricciones se centran en el comportamiento mecánico del tubo de soporte y el contenedor criogénico. Hay tres restricciones mecánicas, que se detallan a continuación.

Shape Factors:

Side Load Failure Strength constraint:

End Load Buckling constraint:

Side Load Deflection constraint:

SOLUTIONS 1a) (20 points) ...derive the performance index for the MASS constraint, M1...

1b) (20 points) Choose ONE of the remaining mechanical constraints... Since there are three choices of remaining constraints, I'll show all of them here. End Load Buckling Constraint:

Side Load Failure Constraint:

Side Load Deflection Constraint:

Volvamos a la paleta de kayak de la última prueba y veamos si podemos mejorar las cosas. Solo examinaremos el diseño en función de una restricción de carga de falla. La paleta tiene una longitud fija, L. Asumiremos que la sección transversal podría ser cualquier cosa. Queremos una pala con una masa mínima: (A es el área de la sección transversal.) Las ecuaciones operativas para esta situación son:

Factor de forma para la falla de flexión:

1) (25 puntos) Derive el índice de selección, M, para la paleta, incluido el efecto de la forma.

La siguiente información está disponible para los materiales y formas a su disposición. Yield Density Material Strength [Mg/m3] [MPa] Wood

50

0.6

Aluminum

200

2.6

Shape Factor Shape Solid Cylinder Radius r Hollow square channel b (side) by t (thickness)

Dimensions 1

Any radius. Any size, all with b/t = 30

Any radius Hollow from 1cm to GFRP 180 1.8 Cylinder 4cm, all radius r, wall t with t =2mm. 2) (25 puntos) Comparando solo la madera y el aluminio, ¿qué material sería la mejor opción para este diseño? ¿POR QUÉ? 3) (25 puntos) Comparando solo la madera y el GFRP, ¿qué material sería la mejor opción para este diseño? ¿POR QUÉ? 4) (25 puntos) ¿Cuán diferentes en masa serían las paletas de aluminio y GFRP?

SOLUTIONS

1) (25 points) Derive the selection index, M...

The following information is available for the materials and shapes at your disposal. Yield Density Material Strength [Mg/m3] [MPa] Wood

50

0.6

Aluminum

200

2.6

GFRP

180

1.8

Shape Factor Shape Solid Cylinder Radius r Hollow square channel b (side) by t (thickness) Hollow Cylinder radius r, wall t

Dimensions 1

Any radius. Any size, all with b/t = 30 Any radius from 1cm to 4cm, all with t =2mm.

2) (25 points) Comparing only the wood and the aluminum... We compare the materials by calculating their value of M and comparing that:

For Aluminum, we need to use the available shapes to find the shape factor:

From the analysis, the materials with the smallest value of MMIN is Aluminum, so it is better than wood for this application.

3) (25 points) Comparing only the wood and the GFRP... Again, make the comparison based on the values of M: Wood we've already done. For GFRP we get:

4) (25 points) How much different in mass... Since the measure of performance in this designis mass, comparing the M values will give us a relative measure of the masses.

so the Al paddle will be 33% heavier than the GFRP paddle.

1) Se le ha pedido que seleccione el mejor material para el rediseño de un juguete para perros. Básicamente es un palo largo de longitud fija, L, y una sección transversal desconocida, A, que se utiliza para levantar una pelota de tenis y tirarla (sin que salga saliva de perro en las manos del usuario). Para lanzar la pelota una gran distancia, el poste debe almacenar tanta energía elástica como sea posible. Debe ser capaz de levantar la pelota, debajo de una carga final, sin pandeo. Además, el fabricante tiene un límite en los costos de materiales, por lo que el polo debe costar menos de $ o [en US $]. Use esta información, las ecuaciones a continuación, su materia gris y todas sus habilidades de cuidado de mascotas para responder las preguntas que siguen.

1) (10 puntos) ¿Cuál es la medida del rendimiento, P, para este diseño?2) (5 puntos) ¿Este diseño NO ESTÁ HABILITADO, TOTALMENTE DETERMINADO O SOBREPRIMIDO, y por qué?3) (25 points) Derive the first performance index. 4) (25 puntos) Derive el segundo índice de rendimiento. 5) (25 puntos) Derive la ecuación de acoplamiento que los une. 6) (5 puntos) ¿Podemos obtener un aumento en el rendimiento mediante el uso de una forma transversal compleja para este diseño? EXPLIQUE.7 (5 puntos) ¿Qué animal es la mejor mascota? ¿Por qué?

SOLUTIONS 1) (10 puntos) ¿Cuál es la medida del rendimiento, P, para este diseño? La medida del rendimiento se proporciona en la declaración del problema como la característica que se debe maximizar o minimizar en el diseño. En este caso, se afirma que "... el polo debe almacenar tanta energía elástica como sea posible ..." Por lo tanto, el MOP = P = U = energía elástica almacenada.2) (5 points) Is this design BAJO CONTROL, COMPLETAMENTE DETERMINADO O SOBREPRESENTADO, ¿y por qué?This is an OVERCONSTRAINED problem. We have one free parameter (A) and two

restricciones (sin falla de pandeo, costo de $ o). Como hay más restricciones que parámetros libres, es un problema sobrecargado.3) (25 points) Derive the first performance index. Comenzaré con la restricción de pandeo:

(25 puntos) Derive el segundo índice de rendimiento.Now for the cost constraint:

5) (25 puntos) Derive la ecuación de acoplamiento que los une. Establecer las dos ecuaciones para el rendimiento es igual y encontrar la proporción de M da la siguiente ecuación de acoplamiento:

6) (5 puntos) ¿Podemos obtener un aumento en el rendimiento mediante el uso de una forma de sección transversal compleja para este diseño? EXPLIQUE. Usar una forma de sección transversal compleja aumentará el factor de forma, PHI, para flexión elástica. En este caso, el factor de forma aparece solo en la ecuación para M1, donde aparece en el denominador. ¡Por lo tanto, aumentar el factor de forma realmente DISMINUIRá nuestro rendimiento! La respuesta es no. ¡ADVERTENCIA! SÓLO LEA EL RESTO DE ESTA EXPLICACIÓN SI QUIERE SABER QUÉ PASA CON ESTA RESPUESTA. NO CAMBIA LA RESPUESTA CORRECTA DADA ARRIBA, PERO SOLO INTENTA EXPLICAR EL RESULTADO.

Se contrató a una compañía local de efectos de teatro para que proporcione los efectos escénicos para la nueva producción de Broadway Musical de "Caspar, el fantasma amistoso". Uno de los efectos implica una enorme marioneta fantasma, que se manipula a través de cables conectados a un travesaño grande. El travesaño debe soportar la carga sustancial de la marioneta en el centro de la viga principal (Fcenter), así como controlar el movimiento de la marioneta con cables conectados a los brazos del travesaño, Frot. El problema de la carga central se modela como una viga simplemente compatible, mientras que el control de la marioneta requiere un gran par en los extremos de la viga, lo que conduce a una deflexión rotacional de la columna vertebral, THETA. Dado que los titiriteros deben manipular el travesaño, su peso es una preocupación importante. Debido a su inmensa habilidad en la selección de materiales, especialmente cuando se trata de la forma, ha sido subcontratado para seleccionar los materiales para el travesaño. Use esta información y las ecuaciones a continuación para responder las siguientes preguntas.

1) (5 puntos) ¿Cuál es la medida del rendimiento, p, para este diseño? 2) (5 puntos) ¿Este diseño NO ESTÁ HABILITADO, TOTALMENTE DETERMINADO O SOBREPRIMIDO, y por qué? 3) (25 puntos) Derive el índice de rendimiento, Mdeflection, para la restricción de deflexión rotacional. 4) (25 puntos) Derive el índice de rendimiento, Mstrength, para la restricción de carga de flexión.5) (25 puntos) Derive la ecuación de acoplamiento que los une. 6) (15 puntos) Para DUPLICAR el rendimiento en función de la deflexión rotacional, ¿qué tan grande debe ser el factor de forma, en comparación con una

sección transversal sólida cilíndrica? ¿Es este un número razonable para la mayoría de los materiales?SOLUTIONS

1(5 puntos) ¿Cuál es la medida del rendimiento, p, para este diseño? De acuerdo con la declaración de diseño, "... el peso es una preocupación importante". Esto identifica la medida del rendimiento como masa mínima,p=1/m.

2) (5 puntos) ¿Este diseño NO ESTÁ HABILITADO, TOTALMENTE DETERMINADO O SOBREPRIMIDO, y por qué? Este diseño está SOBRE RECARGADO, porque hay un parámetro libre (A, od), y hay dos restricciones (DESVIACIÓN ROTATIVA y FUERZA EN CURVAR). Más restricciones que los parámetros libres definen un diseño excesivamente restringido.

3) (25 puntos) Derive el índice de rendimiento, Mdeflection, para la restricción de

deflexión rotacional.

4) (25 puntos) Derive el índice de rendimiento, Mstrength, para la restricción de carga de

flexión.

Se le ha encomendado la tarea de seleccionar un material para una herramienta de fundición utilizada para mover metal durante el proceso de fundición. Básicamente es un polo largo de longitud fija y sección transversal desconocida que se utiliza de dos maneras.

En primer lugar, se utiliza como un producto, durante el cual puede haber una gran carga final (consulte la figura A) que podría provocar un fallo de pandeo.

En segundo lugar, se utiliza como palanca, durante la cual se carga en flexión (consulte la figura B) que podría provocar un fallo en el rendimiento. La fundición necesita reducir costos, por lo que le gustaría que la herramienta sea lo más económica posible. Habiendo aprendido todo lo que hay que saber sobre los beneficios de la forma en diversas circunstancias de carga, está ansioso por incluir formas en el proceso de selección de materiales. Use esta información y las ecuaciones a continuación para responder las siguientes

preguntas. 1) (5 puntos) ¿Cuál es la medida del rendimiento, p, para este diseño? 2) (5 puntos) ¿Este diseño ES INFERIOR, DETERMINADO TOTALMENTE, O SOBRE RECONSTRUIDO, y por qué? 3) (25 puntos) Derive el índice de rendimiento, M (hebilla), para la restricción de pandeo. 4) (25 puntos) Derive el índice de rendimiento, M (palanca), para la restricción de carga de flexión. 5) (25 puntos) Derive la ecuación de acoplamiento que los une. 6) (15 puntos) Para triplicar el rendimiento basado en la flexión, ¿qué tan grande debe ser el factor de forma? ¿Es este un número razonable para la mayoría de los materiales?

SOLUTIONS

1) What is the measure of performance, p, for this design? Secret Professor Code says "...as inexpensive as possible." This translates to p = 1 / cost = 1 / C*rho*L*A, where rho is the density (in Mg/m^3), and C is the price (in US$/kg).

2) Is this design UNDERCONSTRAINED, FULLY DETERMINED, or OVERCONSTRAINED, and why? OVERCONSTRAINED because there are two constraints (F-end and F-pry) and only one free parameter (A) so that there are more constraints than free parameters.

3) Derive the performance index, M(buckle), for the buckling constraint.

4) Derive the performance index, M(pry), for the bending load constraint.

1(60 puntos TOTAL) Mi padre está molesto con la mala calidad de las herramientas de limpieza del hogar, y me ha pedido que lo ayude a rediseñar el mango de la fregona doméstica común. El mango de la fregona debe ser tan económico como sea posible, pero existen dos restricciones severas: Primero, la deflexión del mango debe ser pequeña (debo detener el flop de la fregona de Pop), y; En segundo lugar, el mango no debe romperse bajo el uso normal (el trapeador Pop no debe cortarse o recortarse cuando se caiga). Creo que podemos modelar el mango de la fregona como una viga simplemente apoyada para doblar. También parece que la FORMA de la sección transversal de la fregona debe hacer una diferencia en su rendimiento, por lo que quiero incluir el factor de forma en los índices de rendimiento de selección de materiales. Suponiendo que el área de la sección transversal, A, del mango de la fregona es libre, la longitud es fija, y C tiene unidades de $ / kg, las ecuaciones operativas son:

1.a) (5 puntos) ¿Cuál es la medida de rendimiento para este diseño? 1.b) (25 puntos) Derive el índice de rendimiento para la restricción de deflexión, M1, incluido el factor de forma. 1.c) (25 puntos) Derive el índice de rendimiento para la restricción de fuerza, M2, incluido el factor de forma. 1.d) (5 puntos) ¿Cuánto mejorará el diseño de flexión restringida si, en lugar de utilizar una sección transversal circular sólida, utilizo una sección transversal con un factor de forma de 4?SOLUTIONS

1.a)What is the measure of performance for this design? Minimum COST, so that p = 1 / (C*RHO*L*A)

1.b) Derive the performance index for the deflection constraint, M1, including the shape factor.

1.c) Derive the performance index for the strength constraint, M2, including the shape factor. NOTE: I made a typo in the quiz equation for the shape factor for failure in bending. The solutions below use the equations given in the quiz, but you should recognize that they are incorrect.

1.d) How much will the deflection constrained design improve if, instead of using a solid circular cross section, I use a cross section with a shape factor of 4? Since the performance depends on the square root of the shape factor, using a shape factor of 4 results in a factor of 2 increase in the performance.

Se le ha pedido que seleccione material para una barra de torsión cilíndrica liviana. La longitud de la barra de torsión. L, es fijo, pero el área de sección transversal, A, es desconocida. Hay dos restricciones impuestas en el diseño. En primer lugar, la barra no debe fallar debido a la deformación plástica del torque aplicado, T. En segundo lugar, la deflexión rotacional debe ser menor que un cierto límite, THETA (tenga en cuenta que las unidades de THETA son radianes). Habiendo aprendido todo lo que hay que saber sobre los beneficios de la forma en la carga torsional, está ansioso por incluir formas en su proceso de selección de materiales. Use esta información y las ecuaciones a continuación para responder las siguientes preguntas. Suponga que la carga es pura torsión (sin flexión en la viga, L).

where T = applied torque, K = torsional moment of area, G = shear modulus, and Q = polar moment of area divided by the mean distance from the neutral axis.

1) (5 puntos) ¿Cuál es la medida del rendimiento, p, para este diseño? ___________ ________________________________________ 2) (5 puntos) ¿Este diseño NO ESTÁ HABILITADO, TOTALMENTE DETERMINADO O SOBREPRIMIDO, y por qué? ________________________________________ 3) (25 puntos) Derive el índice de rendimiento, M1, para la restricción de par de falla. ________________________________________ 4) (25 puntos) Derive el índice de rendimiento, M2, para la restricción de deflexión rotacional.SOLUTIONS

1) Applying the Professor's Secret Code, we know that the quantity to be MAXIMIZED or MINIMIZED is the measure of performance. In the problem statement, this is hidden in the first sentence: "...a lightweight cylindrical torsion bar..."

Minimum mass is the MOP: p = 1/m.

2) The design is OVERCONSTRAINED because we have two constraints (angular deflection and torsional strength) but only one free parameter (the cross sectional area, A). 3)

4)

5)

1) ((50 puntos TOTAL) Queremos diseñar un bastón de esquí LIGERO. El modo principal de carga es doblar, de modo que podamos modelar el poste como una viga en voladizo cilíndrica al doblar (ver figura). Nos preocupa sobre todo falla en el doblado. La longitud del poste es fija, pero el diámetro no lo es. Utilizando la información dada a continuación responda las siguientes preguntas.SHAPE FACTORS

Carga de falla para una viga en voladizo en flexión:

.

a) (10 puntos) ¿Cuál es la medida del rendimiento, p, para este diseño? ___________

b) (40 puntos) DERIVE el criterio de selección de materiales para este caso INCLUYENDO un factor de forma. ________________________________________

2) (50 puntos) En su almacén tiene tres materiales en una variedad de formas estándar:WOOD in a variety of solid circular cross sections; Tubos circulares de ALUMINIO de varios tamaños con valores r / t de hasta 15; y Tuberías circulares de acero de varios tamaños con r / t hasta 18.

Suponiendo que su criterio de selección para el poste de esquí fuera ( NOTA: esta NO es la respuesta a la parte 1b, pero utilícela para esta pregunta), use la información a continuación para determinar qué material y forma serían los mejores ejecutables. Material Wood

Density [ Mg/m^3] Modulus [GPa] Strength [ MPa] 0.49 15 45

Steel tubing

7.85

210

600

Aluminum tubing

2.70

69

130

SOLUTIONS 1a) El código secreto de los profesores en el enunciado del problema le dice que queremos un diseño de MÍNIMA MASA: 1b)

2) Utilizando la tabla de factores de forma del libro de Ashby, encontramos que, para las dos formas que tenemos en stock, el factor de forma para la falla en la flexión está dado por::

This gives us the following shape factor values for the three materials at our disposal: WOOD:

ALUMINUM:

STEEL: We can use these shape factors, together with the materials selection criterion, M, to find the best material for the job:

The answer is WOOD as a solid cylinder. 1) (70 points TOTAL) As a recent graduate of OSU, you have taken a job with a toy design firm. Your first job is to design the "Uncle Knicker's Whack-A-Tune", essentially a series of differently shaped cantilever beams that, when hit with a plastic hammer, vibrate and make a sound. The design statement is as follows:   

The cost of the "Whack-A-Tune" must be as low as possible; The cantilever must vibrate at a particular frequency, f1; The cantilever has a length L (fixed) and cross sectional area, A (free).

The equation for the vibration frequency of the cantilever is constant.

, where K is a

Since the vibration frequency depends on the second moment, I, you can change the sound made by changing the shape. Given the equations below, answer the following questions.

1.a) (30 points) Explain why this design is a fully determined design.

1. b) (40 points) Show that the performance index of this design INCLUDING SHAPE is

2. (55 points TOTAL) A particular design involving a torsion bar produces a materials performance index of below: MATERIAL

. Given the following information answer the questions SIGMAf [MPa] RHO [Mg/m^3] PHI (fail, torsion)

Carbon Fiber Composite

600

1.8

6

Ti Alloy

1000

4.2

20

20

1.1

3

Hard Polyurethane

2. a) ( 20 points) Rank order the materials for this design from best to worst on an EQUAL SHAPE BASIS.

2. b) (35 points) How large would the shape factor have to be for Hard Polyurethane to have the same perfomance as the shaped Carbon Fiber Composite?

SOLUTIONS 1.a) There is one constraint (frequency, f = f1), and one free parameter (A). This is a 1C1F problem, therefore fully determined. (NOTE: the shape factor is NOT a free parameter, but is considered a material property in shape analysis.)

1.b) Follow the recipe for optimization: First, write the measure of performance, p:

. Then, write the constraint equation and solve for the free parameter, A. Since we are considering shape, we will rewrite the second moment in the constraint equation using the shape factor. In this application (elastic bending) we will use PHI(elastic, bending):

Now, substitute into the measure of performance and seperate out the materials properties:

2. a) Since we are comparing these materials with equal shape, we must use the same value of PHI for each when we calculate the performance index, M. (This can be PHI = 1.) Work out the M value for each material:

MATERIAL

M [(MPa^2/3)/(Mg/m^3)]

Carbon Fiber Composite

39.5

Ti Alloy

23.8

Hard Polyurethane

6.7

Rank order from highest to lowest: Carbon Fiber Composite, Ti Alloy, Hard Polyurethane.

2. b) Set the shape factor dependent performance index for Carbon Fiber Composites equal to that for Hard Polyurethane and solve for the polyurethane shape factor:

1) (60 points TOTAL) (65 points TOTAL) Part of the proposed Space Station Freedom will be a set of laboratory equip-ment for research into low gravity chemical and materials processing. One piece of this equipment will be a high speed centrifuge for separating solutions and applying a centrifugal load to a specimen. The main arm of the centrifuge, shown at the right, is fixed at a length of L, but the cross sectional area, A, is free. Because of the expense of launching equipment into space, minimizing the mass is the most important objective. To function, the centrifuge arm must also meet two constraints. First, It must not fail under use, essentially a tensile load of FTEST. Second, as the centrifuge starts to spin, it experiences an inertial side load, which can be modeled as an end loaded cantilever beam. The arm must not fail under the maximum side load, which is expected to be FSTART. The operative constraining equations are given below. Use these to answer the following questions.

1.a) (5 points) What is the measure of performance for this design?___________ 1.b) (15 points) Derive the performance index for the tensile (test) load constraint, M1, including the shape factor if appropriate. 1.c) (15 points) Derive the performance index for the side (start) load constraint, M2, including the shape factor, if appropriate. 1.d) (10 points) Derive the coupling equation for these two performance indices. 1.e) (15 points) In order to TRIPLE the performance of the centrifuge arm under a side load, how large a shape factor is required? 1.f) (5 points) Is this problem underconstrained, overconstrained, or fully determined? Explain your answer. 1.a) The measure of performance is MINIMUM MASS: p = 1/m = 1/(rho L A). 1.b) For the tensile load constraint, there is no shape factor because the tensile properties do not depend on the cross sectional shape, only the cross sectional area.

1.c) For the side load constraint we do need to worry about the shape factor. In this case, we are worried about failure in bending, so the appropriate shape factor is phi(f-B).

1.d)

1.e) 1.f) The problem is overconstrained because it has two constraints, but only one free parameter.

1) (60 points TOTAL) A Professor at a university in the northwest has proposed a superfluid wind tunnel experiment that will use liquid helium at 1.8K as the fluid. The liquid helium will be stored in a cryogenic container above the tunnel and will be released through a valve, driven by gravity and gas pressure. There is a need for thoughtful design of the structural support that will hold the cryogenic tank up and through which the fluid will enter the tunnel. The most important thing about the support is that it conduct as little heat as possible away from the fluid. The length of the support (L) is fixed, but we can vary the cross sectional area (A) as well as choose an appropriate shape for the cross section, as long as it is hollow. There are several constraints that can be applied to this design. Interestingly, the most important constraint is that the mass of the tube must be less than mO=2.5 kg. The other constraints are focused on the mechanical behavior of the support tube and the cryogenic container. There are three mechanical constraints, given below.

Heat Flow:

Shape Factors:

End Load Buckling Constraint:

Side Load Failure Constraint:

Side Load Deflection Constraint:

Given that the measure of performance, P = 1/q (minimum heat conduction down the tube), answer the following questions. 1.a) (20 points) Derive the performance index for the MASS constraint, M1. 1.b) (20 points) Choose ONE of the mechanical constraints (buckling, side load failure, or side load deflection). Derive the performance index for the this constraint, M2, including the shape factor.

SOLUTIONS

1.a) Since the MOP is minimum q, and we have one free parameter (A), we can solve the mass constraint for A and substitute it into the MOP:

1.b) All three of the other mechanical contraints involve a shape factor, either elastic bending or failure in bending. The three solutions are given below.

END LOAD BUCKLING CONSTRAINT

SIDE LOAD FAILURE CONSTRAINT

SIDE LOAD DEFLECTION CONSTRAINT

) I am in the process of building a cryogenic refrigerator for liquid helium temperatures (4.2K). A part of the design includes a control valve that will throttle the flow of gaseous helium through a tube at low temperatures. To adjust the valve, the operator will have to turn a knob that is not at 4K, so that the valve stem must be long enough to extend out of the liquid helium into the warmer room temperature outside the experimental container. Help me pick a material for the job. The length of the valve stem is fixed, but we can change the cross sectional area, as well as the shape. The measure of performance is minimum heat flow from room temperature to the liquid helium through the valve stem. The main constraint is yielding in torsion of the stem as it is turned (the valve often sticks and a fairly large torque must be applied to free and turn the valve). Analyse the problem using a shape factor and use CES to determine the best 2 or 3 materials for the job. 3) I am in the process of building a cryogenic refrigerator... SOLUTION

We need to develop the equation for the constraint of no yielding in torsion applied to the MOP of minimum heat flow:

The CES chart must be done using the LEVEL 3 database in order to get the shape factor information. The best three materials are: All composites!

3) I am in the process of building a cryogenic refrigerator for liquid helium temperatures (4.2K). A part of the design includes a control valve that will throttle the flow of gaseous helium through a tube at low temperatures. To adjust the valve, the operator will have to turn a knob that is not at 4K, so that the valve stem must be long enough to extend out of the liquid helium into the warmer room temperature outside the experimental container. Help me pick a material for the job. The length of the valve stem is fixed, but we can change the cross sectional area, as well as the shape. The measure of performance is minimum cross sectional area, because whatever the material is, I need to reduce the heat flow from room temperature to the liquid helium through the valve stem. The main constraint is yielding in torsion of the stem as it is turned (the valve often sticks and a fairly large torque must be applied to free and turn the valve). Analyse the problem using a shape factor and use CES to determine the best 2 or 3 materials for the job.

3) I am in the process of building a cryogenic refrigerator... We need to develop the equation for the constraint of no yielding in torsion applied to the MOP of minimum cross sectional area:

The CES chart has only one axis of value, so the X-axis can be anything (I used cost just to see what this valve stem is going to cost me). The best three materials are:

Low Alloy Steel Martensitic Steel Tungsten Carbide Matrix Composite

3) I am in the process of building a cryogenic refrigerator for liquid helium temperatures (4.2K). A part of the design includes a control valve that will throttle the flow of gaseous helium through a tube at low temperatures. To adjust the valve, the operator will have to turn a knob that is not at 4K, so that the valve stem must be long enough to extend out of the liquid helium into the warmer room temperature outside the experimental container. Help me pick a material for the job. The length of the valve stem is fixed, but we can change the cross sectional area, as well as the shape. The measure of performance is minimum cross sectional area, because whatever the material is, I need to reduce the heat flow from room temperature to the liquid helium through the valve stem. The main constraint is yielding in torsion of the stem as it is turned (the valve often sticks and a fairly large torque must be applied to free and turn the valve). Analyse the problem using a shape factor and use CES to determine the best 2 or 3 materials for the job.

3) We need to develop the equation for the constraint of no yielding in torsion applied to the MOP of minimum cross sectional area:

The CES chart has only one axis of value, so the X-axis can be anything (I used cost just to see what this valve stem is going to cost me). The best three materials are:

Low Alloy Steel Martensitic Steel Tungsten Carbide Matrix Composite

4) Repeat the coupling equation calculation of Homework 4, problem two (the squash racket) using a shape factor. This converts the free parameter from the dimension b into the cross sectional area A. Find the top five materials including shape. Also determine the actual dimensions of the racket handle from the determination of the area and shape factor for the top two materials. 4) First, we re-derive the HW4 solutions to include a shape factor. The M-derivations give:

MATERIALS SELECTION INCLUDING SHAPE EFFECTS. 5) Repeat problem 1 using shape effects to determine a selection criterion that includes material shapes. NOTE that Ashby has different information on second moments in the table on p. 135, and that in the appendix (p. 257). Also, note that Q=K/r.

6) With the CMS software, the shape factor is included as a material property in the list, so that you can incorporate it in the axes as part of a "Combined Properties" axis. Do this for problem 5 and compare the materials with what you found in problem 3 above.

MATERIALS SELECTION INCLUDING SHAPE EFFECTS 5) By including shape factors, we change problem 1 from a free parameter of t to a free parameter of the cross sectional area, A. This is still a 1F2C problem, though, so we'll end up with two M values and a coupling equation. For the deflection constraint:

For the failure constraint: (NOTE that we use a different shape factor for the deflection constraint and the failure constraint.)

Derive the coupling equation from the two definitions of p above: