3.4.10- Tranformada de Laplace de La Funcion Delta Dirac
3.4.10 Transformada de Laplace de la función delta Dirac. * ( )+ P (3) Comenzaremos expresando a ( (t - ) ) en términ
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- Kandro King Aguilar Andrade
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3.4.10 Transformada de Laplace de la función delta Dirac. * ( )+ P (3) Comenzaremos expresando a (
(t -
)
) en términos de la función escalón unitario: (
[ (
))
(
(
))]
Según la linealidad, la transformada de Laplace de esta expresión es: (
* (
)+
)
(
)
*
+
(
)
Como esta ecuación tiene la forma indeterminada O/O cuando a la regla de L Hopital: * (
Cuando
)+
* (
((
)+
0, aplicamos
)
, parece lógico suponer, de acuerdo con la ecuación, que: * ( )+
Soluciones de las ecuaciones: Pasemos a describir algunas aplicaciones elementales donde intervienen sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Las soluciones de los problemas que veremos se pueden obtener tanto por el modo de Dirac como con la transformada de Laplace. Ejemplo 1: Resortes acoplados Dos masas , están unidas a dos resortes, A y B, de masa insignificante cuyas constantes de resorte son ,, respectivamente, y los resortes se fijan ( ) los desplazamientos verticales de las como se ve en la figura. Sean ( ) masas respecto a sus posiciones de equilibrio. Cuando el sistema está en movimiento, el resorte B que sometido a alargamiento y a compresión, a la vez; por lo tanto, su alargamiento neto es . Entonces, según la ley de Hooke, ( ), vemos que los resortes A y B ejercen las fuerzas y respectivamente, sobre . Si no se aplican fuerzas externas al sistema, y en ausencia de fuerza de amortiguamiento, la fuerza neta sobre es y ( ). De acuerdo con la segunda ley de Newton podemos escribir (
)
De igual forma, la fuerza neta ejercida sobre la masa sólo se debe al alargamiento neto de B; esto es ( ). En consecuencia (
)
En otras palabras, el movimiento del sistema acoplado se representa con el sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas de segundo orden ( ) (
)
Ejemplo 2: Resortes acoplados (6) Sujetas a ( ) (0)=1, ( ) La transformada de Laplace de cada ecuación es ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) En donde
( )
* ( )+ y
( )
( ) ( )
* ( )+. El sistema anterior equivale a
( ( )
) ( ) (
( ) ) ( )
(7) Despejamos parciales:
de las ecuaciones (7) y descomponemos el resultado en Cacciones
( )
⁄ (
)(
⁄
)
Por lo tanto
()
√
,
√
-
√
*
√
+
√ Substituimos la expresión de
( ) ()
√
√
√
( ) en la primera de las ecuaciones (7) y obtenemos ⁄ ⁄ ( )( ) √ √ , * + √ √ √
√
√
Por ultimo la solución del sistema dad (6) es
√
()
√
()
√
√
√
√
√ √
Ejemplo 3: Una red eléctrica
( )
Sujeto a E(t)=60 V, cero en el momento inicial. Resolvemos
,
( Sujetas a
( )
,
f y las corrientes
e
iguales a
)
( )
Aplicamos la transformación de Laplace a cada ecuación del sistema y simplificamos, ( ) ( )
( ) (
) ( )
* ( )+ e ( ) ( ) En donde * ( )+, Despejamos e descomponemos los resultados en fracciones parciales para obtener ⁄ ⁄ ( ) ( ) ( ) ⁄ ⁄ ( ) ( ) ( ) Sacamos la transformada inversa de Laplace y las corrientes son
del sistema y
( ) ( )
Obsérvese que ( ) e ( ) en el ejemplo anterior tienden al valor E/R = cuando . ( ) ( ) Además, como la corriente que pasa por el capacitor es ( ) , observamos que ( ) cuando .