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• Aldo Ruiz

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Con estas definiciones se construye la tabla de eventos para cada alternativa. Alternativa I: Mantenimiento correctivo Reloj T V1

Lista de eventos futuros

0

490

H1 490

490 495 500 510 990 995 1000 1010 1499

500 0 0 0 520 0 0 0

990 990 990 990 1510 1521 1521 1521

V3

H3

V4

H4

500

H2 500

510

510

495

495

0 0 510 0 0 0 0 505

500 500 1010 1010 1010 1010 1010 1515

0 0 0 490 0 0 500 0

510 510 510 1000 1000 1000 1500 1500

0 500 0 0 0 499 0 0

V2

tr

nc

2.00 Todo s 495 1.25 1 995 1.25 4 995 1.25 2 995 1.25 3 995 1.25 1 1499 1.25 4 1499 1.25 3 1499 1.25 2

Alternativa II: Mantenimiento preventivo Reloj Lista de eventos futuros

T 0

v1

H1 490

V2 500

H2

V4

H4

500

V3 510

H3

490

510

495

495

nc tr 2.00 Todo s 995 2.00 Todo s 1482 2.00 Todo s 1985 2.00 Todo s

490

500

990

490

980

510

1000 505

980

508

1488 495

1475 500

1480 502

1475 500

1975 490

1965 505

1980 510

1965

Tomando la información generada hasta el momento por cada una de las alternativas, se calcula el costo por hora de acuerdo con la siguiente expresión: C = [100 OOO n + 300 OOO M ] / Tf CI = [(12)(100 000) + (12)(300 000)]/1499 = $3202.13 CII = [(16)(100 000) + (8)(300 000)]/1965 - $2035.62 Una vez realizada una estimación de los costos preliminares, es indispensable generar un modelo en lenguaje general que realice el proceso de la tabla de eventos para poder simular un número suficiente de eventos y así confirmar el resultado de que la alternativa II es la óptima, con un costo por hora de $2035.62. De hecho, si se toma el caso más crítico (alternativa I), donde solamente se generaron 12 vidas o componentes, la confiabilidad de que la vida de los componentes se acerque a la media real en ± 1 hora es:

Con este valor de t y con 11 grados de libertad, la tabla de la distribución í-student indica una probabilidad de aceptación de 0.23. Considerando una confiabilidad de un 95%, y aplicando la fórmula anterior, el número de vidas o componentes (n) que deben de generarse es 400 por cada alternativa.

El siguiente programa en PASCAL simula la alternativa I, no se incluyen las instrucciones de impresión de resultados.

El comportamiento del costo promedio de ambas alternativas, muestra una tendencia hacia el estado estable en 80 fallas de máquina.

Los resultados finales después de simular 3 réplicas de cada alternativa son: Réplica

Alternativa I

Alternativa II

1 2 3

375.79 376.10 376.73

200.48 200.25 200.36

El valor esperado de las tres réplicas y el intervalo de confianza con un nivel 1 - a = 95% para ambas alternativas son los siguientes. Alternativa I

Los resultados se pueden resumir en la tabla siguiente. Alternativa I

Alternativa II

200.36 0.0132 E(Q V(O IC(C) 376.20 0.2290 $375.1- $377. 3/hora $200.1-$200.6/hora

La selección de la alternativa de mantenimiento preventivo permite tener ahorros promedio de $175/hora con respecto a la alternativa de mantenimiento correctivo.

3.8

PROBLEMAS

3.1. Genere números aleatorios entre O y 1 con los siguientes generadores congruencia-les y determine el ciclo de vida de cada uno. a) Xi + l = (40x¿ + 13)mod33 XQ = 302 fe) *¿+1 = (71jc¿ + 57)mod341 xQ = 7l c) x¿ + 1 = (71^ + 517)modlll XQ = 171 d) x.+ 1 = (71561jc¿ + 56822117)mod341157 XQ = 31767 e) xi + l = (723*¿ + 531)mod314 XQ = 927 /) Xi+í = (452^ + 37452)modl231 XQ = 4571 g) Xi+í = (17*¿)mod37 XQ = 51 h) ^£+i = (16^ + 4)modl4 XQ = 22 Determine en cada caso, con un nivel de aceptación del 95%, si los números generados provienen de una distribución uniforme. 3.2. Genere 50 números entre O y 1 de 4 dígitos, mediante un generador de cuadrados medios cuya semilla sea a) 4567234902 b) 3567345 c) 1234500012 En cada caso calcule el valor esperado, la varianza y el histograma. Demuestre que los números generados provienen de una distribución uniforme con un nivel de aceptación del 90%. 3.3. En un listado de 200 números entre O y 1, los primeros 3 números son: 0.23222, 0.34179 y 0.76778, y los últimos 3 son: 0.56711, 0.33333 y 0.03482. Determine mediante la prueba de poker si los 200 números son independientes con un nivel de confianza del 95%. 3.4. Determine con un nivel de confianza del 95% y usando la prueba de corridas que la siguiente lista de números es una muestra aleatoria. 0.234 0.456 0.678 0.789 0.982 0.123 0.345 0.456 0.479 0.895 0.907 0.002 0.345 0.789 0.897 0.951 0.234 0.380 0.404 0.678 0.800 0.963 0.255 0.607 0.045 0.783 0.405 0.899 0.277 0.341 3.5. Determine si los siguientes números son aleatorios mediante las pruebas de corridas y series utilizando un nivel de confianza del 95%. 0.88 0.53 0.42 0.39 0.80 0.54 0.53 0.28 0.34 0.50 0.90 0.80 0.82 0.01 0.91 0.15 0.79 0.16 0.10 0.35 0.02 0.21 0.05 0.10 0.36 0.81 0.80 0.04 0.24 0.90 0.50 0.26 0.49 0.53 0.26 0.03 0.53 0.63 0.66 0.45 0.73 0.62 0.36 2.03 0.17 0.38 0.67 0.03 0.01 0.29 0.48 3.6. Realice la prueba de poker con un nivel de confianza del 90% para la lista de los 36 números siguientes: 0.4534 0.2311 0.7867 0.0145 0.3478 0.6777 0.3823 0.9210 0.9978 0.1237 0.0183 0.2366 0.5421 0.7789 0.1112 0.5682 0.7712 0.7887 0.4328 0.8994 0.9043 0.0013 0.5688 0.0927 0.6744 0.6726 0.8132 0.9495 0.4329 0.7654 0.9816 0.9876 0.8767 0.1211 0.3262 0.1151 3.7. Para el siguiente conjunto de números: 5, 8, 4, 7, 8, 2, 4, 4, 3, 5, 6, 7, 8, 4, 8, 7, 3, 4, 5, 6, 7, 2, 3, 4, 5 3, 5, 6, 1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 8, 7, 1, 5, 6, 7, 3, 4, 2, O, 1, O, O, 2, 3

realice la prueba de medias con un nivel de confianza del 95%, suponiendo que siguen una distribución uniforme entre O y 8. 3.8. Haga las pruebas de uniformidad, poker y series con un nivel de confianza del 90% para la siguiente lista de 30 números: 0.45342 0.23111 0.78673 0.01454 0.34785 0.67776 0.38237 0.92108 0.99789 0.12370 0.54211 0.77892 0.11123 0.56824 0.77125 0.78876 0.43287 0.89948 0.90439 0.00130 0.67441 0.67262 0.81323 0.94954 0.43295 0.76546 0.98167 0.98768 0.87679 0.12110 3.9. Genere 100 números aleatorios uniformes entre O y 2.5 a partir de la siguiente expresión: xi + l = (73*. + 851)modl7561 x0 = 329 a) Calcule el valor esperado y la variancia de los números generados. b) Obtenga el histograma. 3.10. Genere números aleatorios exponenciales con media 10 min/pieza a partir de los siguientes números aleatorios uniformes entre O y 1: 0.45721 0.67213 y 0.96918. 3.11. Genere 100 números aleatorios con la siguiente distribución:

Simule el tiempo de proceso de 100 piezas y calcule media, variancia e histograma. 3.13. Genere 100 números aleatorios utilizando el generador RAND( ) del EXCEL para las siguientes distribuciones de probabilidad: a) Normal(p, = 10, a = 4) 6) Weibull(y - 100, (3 - 20, a - 2) c) Exponencial (a = 15) d) Triangular (a = 10, b = 15, c =18) é) Erlang(a - 10, k = 3) Calcule en cada caso, la media, la variancia y el histograma y determine con un nivel de aceptación del 95% si los números generados son adecuados. 3.14.

Genere 100 números con la siguiente distribución:

Calcule el valor esperado, la variancia y el histograma. 3.15. El número de piezas defectuosas dentro de los lotes de tamaño 1000 que envía cierto proveedor sigue una distribución de probabilidad cuya función de densidad está dada por:

Simule los valores de la variable para 50 lotes consecutivos.

3.16. ¿Cuál sería la expresión final para generar números aleatorios uniformes entre 7 y 16 a partir de un generador de números aleatorios exponenciales con media igual a 11? 3.17. Los telares de tipo picañol detienen su producción de tela automáticamente al ocurrir una rotura, que un operario tiene que ir a reparar. Una simulación del sistema del tiempo de paro de las máquinas ha arrojado los siguientes resultados (en minutos): Obtenga la expresión matemática para generar los tiempos de paro. 3.18. Después de ejecutar una réplica de simulación con 325 corridas, los resultados de la variable de salida son: E(t)= 9560 y V(t)= 54. Tomando en cuenta un error de un 5%, ¿cuál es la exactitud lograda en esta réplica ? 3.19. Calcule el número de simulaciones óptimo para que el estimado no difiera más de ± (a/9) de la media con un nivel de confianza del 78%. 3.20. ¿Cuál es el número de simulaciones óptimo para que a un nivel de confianza del 95%, el valor simulado no difiera del valor real en más de ± (a/3)? 3.21. Sin utilizar el teorema de Tchebycheff, encuentre el número de corridas óptimo si se desea que la media a estimar no difiera de la verdadera en más de ± (a/8) con un nivel de confianza del 95%. 3.22. Determine un intervalo de confianza al 90% de la resistencia a la tensión de un producto. Se realizaron 6 réplicas de la simulación de la resistencia y se obtuvieron las siguientes valores (psi): 263, 274, 256, 233, 248 y 235. 3.23. Determine un intervalo de confianza del 80% al simular el desperdicio en un sistema de producción. Se realizaron 10 réplicas de dicho sistema obteniéndose los siguientes resultados de porcentaje de desperdicio: 4.28, 4.37, 3.45, 4.33, 4.25, 4.65, 4.45, 4.18, 4.29 y 4.00. 3.24. Determine un intervalo de confianza al 95% del tiempo de espera en un sistema. Se realizaron 3 réplicas de la simulación de la fila y se obtuvieron los siguientes tiempos: 9.78, 8.67 y 9.83. 3.25. Determine un intervalo de confianza al 90% de las utilidades promedio/día de un sistema de ventas por TV. Se realizaron 5 réplicas de la simulación de las ventas y se obtuvieron las siguientes utilidades: 9783, 8674, 7456, 9833 y 8005. 3.26. Suponiendo que los resultados de los costos de las políticas del problema anterior, ya en estado estable hayan sido las siguientes: Réplica

1

2

3

771 = 4 771 = 6

15200 15340

15870 15800

16 125 14930 15780

4

5

15800

Determine mediante la prueba estadística más apropiada con un nivel de confianza a = 5%. ¿Cuál de las dos políticas es la mejor? 3.27. Si los datos experimentales del funcionamiento de cierta máquina durante 40 días arroja una media de 16 goets/día, con una desviación estándar de 2 goets/día, y nuestro modelo de simulación con 50 corridas indica una media de 14 goets/día con una desviación de 1.8 goets/día. Determine si hay una diferencia significante entre ambas medias, con un nivel de confianza del 95%. 3.28. Los datos reales del desperdicio de una planta durante una semana son 15, 17, 9, 12, 11, 14, 13. La realización de un modelo de simulación arroja los siguientes resultados del desperdicio de la planta: 13, 14, 17, 8, 10, 9, 12, 12, 14, 12, 9, 11. ¿Son los resultados de la simulación similares a los reales con un nivel de confia-bilidad del 95%? 3.29. La empresa FATSA ha observado el comportamiento de la demanda de carburadores durante 8 días y los datos que obtuvo fueron los siguientes: 115, 105, 97, 96, 108, 104, 99 y 107. Corriendo el modelo de simulación de inventarios, durante 10 días, encontró que la demanda se comportaba normalmente con X2 —

108 y s2 = 8.1. ¿Son los resultados de ambas muestras estadísticamente iguales con un nivel de confianza del 90%? 3.30. Los telares de tipo picañol detienen su producción de tela automáticamente al ocurrir una rotura, que un operario tiene que ir a reparar. Una simulación del sistema del tiempo de paro de las máquinas ha arrojado los siguientes resultados (en minutos): 1.88 3.53 1.42 0.39 0.80 0.54 0.53 1.28 0.34 5.50 1.90 1.80 0.82 0.01 4.91 0.15 0.79 2.16 0.10 0.35 0.02 0.21 0.05 1.10 0.36 2.81 0.80 0.04 0.24 0.90 1.50 0.26 1.49 0.26 1.03 0.53 0.63 0.66 0.45 1.73 2.62 0.36 2.03 0.17 0.38 2.67 2.03 1.00 4.29 0.48 El supervisor del departamento de telares, de acuerdo con su experiencia, indica que en la realidad el tiempo de paro de la máquina es aproximadamente exponencial con media de 1.4 minutos. Determine si el modelo de simulación arroja resultados estadísticamente iguales a la opinión del supervisor con un nivel de confianza de 5%. 3.31. Los datos reales, durante 7 días, del porcentaje de desperdicio en una planta productora de chocolate son: 5, 15, 25, 7, 9, 13, 10. Un modelo de simulación del porcentaje de desperdicio de chocolate durante 10 corridas arrojó los siguientes resultados: 6, 9, 7, 2, 11, 5, 6, 7, 11, 4. Valide los resultados del modelo de simulación con la realidad con un nivel de aceptación del 95%. 3.32. Simule el número de piezas defectuosas de 100 lotes consecutivos, sabiendo que esa variable aleatoria sigue una distribución geométrica (p = 0.5, k = 1,2,3, . . .). Si se tiene un costo de $500 por cada pieza defectuosa, calcule el costo promedio por lote. 3.33. Si se define t como el tiempo que transcurre antes de que falle una máquina y dicho tiempo sigue la distribución de probabilidad dada por: Simule el comportamiento del tiempo de funcionamiento de la máquina.

3.34.

La manufactura de cierta pieza consta de 3 operaciones básicas. El tiempo que se requiere para completar la primera operación es exactamente 10 minutos; el tiempo necesario para dar por terminada la segunda etapa está distribuido exponencial-mente con media de 12 minutos/pieza, finalmente el tiempo de la tercera etapa se distribuye uniformemente entre 15 y 22 minutos. Simule el proceso y determine el valor esperado y la varianza del tiempo de producción por pieza.

3.35. Una compañía produce automóviles deportivos a razón de 10 unidades por año. Cada automóvil está garantizado por un periodo de 4 años. El costo de producir un automóvil con una vida promedio de w años es Cm, donde: Cm = 5 + 4m + 0.2/n2 El tiempo que transcurre para que un automóvil falle sigue una distribución de probabilidad exponencial con media de m años. Cada falla que ocurra durante el periodo de garantía le cuesta a la compañía $6.67. Simule con m = 4 y m = 6 y determine cuál de las dos políticas es mejor. 3.35. En un departamento de producción donde solamente existe una máquina y un almacén de materia prima de capacidad 3 se ha clasificado como un sistema (. . . / ... /I) (FCFS/4/oo). Por un error el analista no pudo obtener las tasas promedio de entradas y salidas del sistema ni sus distribuciones de probabilidad, pero a cambio de eso pudo obtener la probabilidad de pasar de un estado a otro entre observaciones consecutivas de acuerdo con la tabla siguiente:

Si el tiempo que transcurre para pasar de cualquier estado a otro es de 30 segundos, simule con el fin de determinar cual es el número de piezas promedio que están en este sistema, sabiendo que el sistema se encuentra inicialmente en estado 3. 3.37. Considere un puesto de "hot dogs" que se venden a $8 cada uno y se tiene un costo unitario de $4. La demanda por hora está dada por: aDemanda 01 aProbabilidad 0.05

2 0.1

3 4 0.15 0.2

5 6 7 8 0.25 0.15 0.05 0.05

Simule este problema durante 50 horas y obtenga la gráfica de estabilización y la tabla de frecuencias de la utilidad por hora. 3.38. Un vendedor de tortas produce 50 tortas diarias a un costo de $1000/torta y las vende en la Macroplaza a un precio de venta de $3000/torta. Las tortas que no vende las tiene que tirar al final del día, sin embargo, el vendedor aún no tiene permiso del ayuntamiento para tirar el producto en los basureros de la Macroplaza, por lo que si llegan a descubrirlo tirando las tortas le impondrán una multa de $30 000. La demanda de tortas se comporta de la siguiente manera: Demanda

10

20

25

30

50

70

100

Probabilidad

0.1

0.2

0.4

0.1

0.1

0.005

0.005

La probabilidad de que la policía descubra al vendedor tirando las tortas es del 25%. Con base en esta información y haciendo 3 réplicas de una semana cada una calcule: o) ¿Cuál es el número promedio de tortas no surtidas? b) ¿Cuál es el número promedio de tortas que hay que tirar? c) ¿Cuál es la utilidad promedio por día? d) Si el permiso para tirar tortas en los basureros cuesta $ 20 000 por semana, ¿conviene comprar el permiso o seguir tirando las tortas sin ese permiso? 3.39. Una compañía de autotransportes demanda gasolina a una tasa N(8500, 100) galones/mes. Esta compañía posee sus propios tanques-de almacenamiento, que son surtidos por PEMEX según necesidades. El costo de ordenar es de $1000/pedi-do. El costo de la gasolina es 75 centavos/galón, el costo de mantener gasolina en los tanques es 1 centavo/galón/mes y el costo de faltante es 30 centavos/galón/mes. El tiempo de entrega de una carga de gasolina a la compañía es 7 ± 4 días con distribución uniforme. Simule el sistema y determine con qué frecuencia deben hacerse los pedidos y cuál debe ser el volumen adecuado con el fin de minimizar costos. 3.40. El departamento de programación de la producción ha entregado el siguiente programa para el turno matutino en la máquina XXXI: Tipo de pieza

Hora de inicio

Duración promedio (min)

PX-3 QR-9 PA-12 9:00 9:50 10:40 11:20 1420° ZC-8 Fin de 14:00 trabajo

Sin embargo, físicamente se observan variaciones con respecto a lo estimado, de acuerdo con:

De manera similar, la duración de la operación puede hacerse en el tiempo programado, más rápida o más lentamente, de acuerdo con la siguiente tabla: Duración

Probabilidad

80% del tiempo 0.3 0.6 0.1 100% del tiempo 110% del tiempo

Entre cada lote es necesario llevar a cabo una operación de limpieza con una duración variable de acuerdo con una distribución exponencial, con media de 20 minutos. Simule el programa de producción 100 veces y calcule la hora estimada de terminación del programa de producción. 3.41. Una empresa produce 100 000 artículos/año y el costo de calidad es de $900/artí-culo. La empresa da una garantía de reparación por artículo de 4 años para todas las veces que sea necesario en ese periodo; el costo de reparación promedio es de $100 ± 25. La empresa ha estimado que el tiempo promedio de vida antes de una reparación de los artículos sigue una distribución Weibull(2, 2, 2)años. Realice una simulación de los primeros 1000 artículos y determine el costo total en que incurre la empresa considerando costos de calidad y costos de garantía. 3.42. Las especificaciones de la temperatura de un líquido en un proceso indican que debe mantenerse entre -0.5°C y +0.5 °C. Las variaciones naturales de la temperatura se pueden modelar con la función de densidad triangular(-1, O, + 1) °C. La temperatura se verifica cada hora y si el valor se encuentra fuera de las especificaciones se debe ajustar a O °C con un costo de $50 por cada 0.1 °C. Simule un periodo de 50 horas y determine el costo promedio/hora de este proceso. 3.43. Llegan piezas a un taladro cada 3 minutos con distribución exponencial. El tiempo de proceso es constante y depende de la dureza de las piezas de acuerdo con la ecuación dureza tiempo =

^o~

El 30% de las piezas tiene una dureza de 150, el 40% tiene una dureza de 180, el 20% una dureza de 195 y el resto una dureza de 215. El taladro tiene fallas cada 15 horas con distribución exponencial y el tiempo de reparación es de 30 minutos con distribución exponencial. Simule el sistema durante un mes y determine la utilización del taladro y el tiempo en el sistema incluyendo la espera y el proceso. 3.44. Un montacargas tiene una capacidad de 200 kg y es utilizado para transportar 3 / hasta B. El peso de cada tipo de producto y el tiempo entre llegada al punto A son:

tipos de productos desde A

Tipo de producto

Peso (kg)

Tiempo entre llegadas (min)

123

100 50 25

/(¿) = 0.22