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• Miguel Herrera

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Teoremas inf-sup

(84.07) Mecánica de Suelos y Geología Alejo O. Sfriso: [email protected] Ernesto Strina: [email protected]

Mecánica del continuo

Índice

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Motivación Una barra de acero a tracción Escalas de observación Ecuaciones constitutivas Teoremas inf-sup Ejemplos

1-2 2 Definiciones

Karl Terzaghi (1883-1963)

3

Libros fundamentales (y fundadores) • Erdbaumechanik (1925) • Mecánica Teórica de los Suelos (1934) • Mecánica de Suelos en la Ingeniería Práctica (1948, 1963, 1996) (http://www.igb.tuwien.ac.at/uploads/p ics/terzaghi_marke_01.jpg)

Mecánica del continuo

Terzaghi – Peck, Prólogo a la primera edición (1948) “Desafortunadamente las actividades de investigación en mecánica de suelos... distrajeron la atención de muchos investigadores y docentes de las múltiples limitaciones impuestas por la naturaleza a la aplicación de la matemática a los problemas de ingeniería de tierras... En la inmensa mayoría de los casos no se necesita más que una predicción grosera, y si dicha predicción no puede ser realizada con medios simples, no puede ser realizada en absoluto”

(Terzaghi 1948)

Mecánica del continuo

Terzaghi – Peck, Prólogo a la tercera edición (1996) “En el medio siglo que transcurrió... la investigación... ha permanecido inalterada, y se ha acumulado una vasta literatura referida a las propiedades de los suelos... Por lo tanto, hoy puede no ser cierto que si una predicción no puede ser realizada con medios simples, no puede ser realizada en absoluto. Como contrapartida de este progreso, es cada vez más importante que la elección de las propiedades de los suelos usadas en el análisis esté basada en un conocimiento fundamentalmente correcto del comportamiento de los suelos”

(Peck 1996)

Mecánica del continuo

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Motivación Una barra de acero a tracción Escalas de observación Ecuaciones constitutivas Teoremas inf-sup Ejemplos

Mecánica del continuo

Una barra de acero a tracción

Ensayo • Medimos la longitud y el diámetro de la barra • La ponemos en la máquina de ensayo • Aplicamos una carga monotónica de tracción • Medimos la carga aplicada y el desplazamiento de los extremos de la barra Resultado

¿Hemos medido las propiedades del acero?

Mecánica del continuo

Comportamiento observado

βs

(Olivella, CIMNE)

Hipótesis previas

Mecánica del continuo

Hipótesis previas al ensayo • Definición de deformación: • Definición de tensión: Sólo medimos carga y desplazamiento porque una teoría previa nos indica que otras variables no participan en los fenómenos que queremos ver Sólo vemos lo que miramos

Mecánica del continuo

Lo que miramos, lo que vemos

(Olivella, CIMNE)

Mecánica del continuo

Una barra de acero a tracción

• Como consecuencia de nuestras hipótesis • Hemos linealizado el problema • No hemos tenido en cuenta el efecto de la localización de deformaciones ¿Hemos medido las propiedades del acero o las de “esa” barra de acero?

(Warnes 2006)

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Mecánica del continuo

Escalas de observación

¿Cuánto mide la costa de Argentina? • Tomamos un mapa escolar y una regla: 20 cm x escala: 2800 km • Tomamos un mapa del IGM y un escalímetro: 3500 km • Salimos en trekking desde Magdalena en dirección sur. Vamos apoyando una vara de un metro: 4200 km • De vuelta desde Usuhaia usamos una vara de 10 cm de longitud. Detrás nuestro alguien mide con un palito de 1 cm de largo: 4350 km, 4480 km... Todos los valores son “correctos”: la longitud de la costa depende de cómo la medimos

Mecánica del continuo

VER y escalas de observación

Toda medición experimental requiere de una definición previa de la escala con que se observa el fenómeno • Microescala • Mesoescala: VER • Macroescala El tamaño del VER es el mínimo que hace que las “propiedades” varíen en forma “suave Ejercicio: Medir el VER en la figura

(Vafai 2005)

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Motivación Una barra de acero a tracción Escalas de observación Ecuaciones constitutivas Teoremas inf-sup Ejemplos

Mecánica del continuo

Ecuaciones constitutivas

• El equilibrio relaciona fuerzas con tensiones • La cinemática relaciona deformaciones con desplazamientos • Las ecuaciones constitutivas relacionan tensiones con deformaciones • Las ecuaciones constitutivas dependen del material que se estudia

Fuerza

Tensión

Deformación

Desplazamiento

Mecánica del continuo

Ecuaciones constitutivas

Hemos usado ecuaciones constitutivas • Elasticidad: en Resistencia de Materiales • Plasticidad: en los Criterios de Rotura • Mecánica de fluidos • Ley de los gases perfectos

Mecánica del continuo

Criterios de rotura

Los criterios de rotura son funciones del tensor de tensiones que definen cuando ocurre la falla • Tresca • Von Mises

• Mohr-Coulomb • Matsuoka-Nakai

Mecánica del continuo

Criterios de rotura

Tresca y Von Mises

Mohr-Coulomb

(Wikipedia)

(Plaxis UM)

Mohr-Coulomb vs Matsuoka-Nakai Influencia de σ2 Mecánica del continuo

σ1

σ2 = σ3

(Plaxis UM)

Mohr-Coulomb vs Matsuoka-Nakai Influencia de σ2 Mecánica del continuo

σ1

σ2 = σ3

σ1

σ2 σ3

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Teorema de límite inferior

Dado un conjunto de cargas externas actuantes, si puede encontrarse un campo tensional en equilibrio con esas fuerzas y que no viole el criterio de falla del material, el conjunto de cargas representa un límite inferior de aquellas cargas que causarán la falla

Mecánica del continuo

Teorema de límite superior

Dado un conjunto de cargas externas actuantes, si puede encontrarse un mecanismo tal que el trabajo ejercido por las fuerzas actuantes sea igual a la energía disipada por la deformación del suelo, entonces ese conjunto de fuerzas representa un límite superior de aquellas que causarán el colapso

Mecánica del continuo

Hipótesis necesarias para aplicación de teoremas inf-sup • Elasticidad lineal • Plasticidad perfecta • Plasticidad asociativa (normalidad)

Mecánica del continuo

Elasticidad y plasticidad

Elasticidad • Equilibrio entre fuerzas y tensiones • Compatibilidad entre deformaciones y desplazamientos • Relación tensión-deformación del material Plasticidad • Límite inferior cumple con equilibrio y relación tensióndeformación • Límite superior cumple con compatibilidad y relación tensión-deformación

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Hipótesis de normalidad

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Ejemplos

Mecánica del continuo

Pmáx = ?

υ =?

Pmáx = ?

Aplicación a capacidad de carga τ

Mecánica del continuo

P

D

su

B

σ f = P/B

σ0

σ0 σ0 = γ D

σ0

σf

σh

σh

σh

Solución de límite inferior = Solución del lado seguro

σf

σ'

Aplicación a capacidad de carga τ

Mecánica del continuo

P

D B

φ'

σ f = P/ B

σ0

σ0 σ0 = γ D

σ0

σf

σh

σh

σh

Solución de límite inferior = Solución del lado seguro

σ f σ'

Aplicación a capacidad de carga

Mecánica del continuo

τ su

σ'

Solución de límite superior = Solución del lado inseguro

Aplicación a capacidad de carga

Mecánica del continuo

τ s = σ tanϕ '

σ

Solución de límite superior = Solución del lado inseguro

Mecánica del continuo

Empuje activo (Coulomb 1776)

• • • •

Resuelve el equilibrio de una cuña rígida No resuelve compatibilidad de deformaciones No resuelve equilibrio en el resto de la masa de suelo Solución de límite superior = Solución del lado inseguro

Empuje activo (Rankine 1857)

Mecánica del continuo

Muro vertical liso y superficie horizontal τ s = c + σ ⋅ tan φ z

σ v = γ z = σ1

σ σh =σ3

σ v = σ1

Empuje activo (Rankine 1857) 2c Nφ

γ z⋅ K A q

Mecánica del continuo

q⋅ K A

z

Solución de límite inferior = Solución del lado seguro

Mecánica del continuo

Empuje pasivo (Rankine 1857)

τ s = c + σ tan φ z

P

σ'

σv = γ z= σ3

σv =σ3

Solución de límite inferior = Solución del lado seguro

σ h = σ1

Mecánica del continuo

Empuje pasivo (Terzaghi)

r = ro .eθ tan φ

Solución de límite superior = Solución del lado inseguro

Mecánica del continuo

Bibliografía Básica • Powrie, W. Soil Mechanics. Concepts and Applications. 2ª Ed. Spon Press. • Potts et al. Guidelines for the use of advanced numerical analyses. COST Action C7. Telford. • Jimenez Salas et al. Geotecnia y Cimientos. Rueda Complementaria • Chen, W. y Mizuno, W. Nonlinear analysis in soil mechanics. Elsevier. • Chen, W y Liu, X. Limit analysis in soil mechanics. Elsevier • Potts y Zdracovic. Finite element analysis in geotechnical engineering. Theldord. • Zienkiewicz et al. Computational geomechanics. Wiley.