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3.3. DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD HIPERGEOMETRICA. MATERIA: PROBABILIDAD Y ESTADISTICA DESCRIPTIVA TITULAR: ING. FELIPE SALINAS VELAZQUEZ.

La distribución de probabilidad hipergeométrica, difiere de la distribución binomial en dos puntos esenciales: a).- Sus ensayos no son independientes b).- La probabilidad de éxito cambia de un ensayo a otro. Aquí podemos decir que un proceso de selección de elementos es sin sustitución o sin reemplazo. Consideramos una población de N elementos, donde hay r elementos que los consideramos como éxitos, por lo que hay N−r elementos que son considerados como fracasos. La función hipergeométrica se usa para calcular la probabilidad de que en una muestra aleatoria de n elementos seleccionados sin reemplazo, se obtenga x elementos considerados como éxitos y n−x elementos etiquetados como fracasos.

La distribución de probabilidad hipergeométrica tiene la siguiente función:

P(X=x) =

(𝑥𝑟 ) ( 𝑁−𝑟 𝑛−𝑥) (𝑁 𝑛)

o de otra manera utilizando combinaciones:

P(X=x) =

𝑟𝐶𝑥 𝑁−𝑟𝐶𝑛−𝑥 𝑁𝐶𝑛

Dónde: P(X= x)= probabilidad de x éxitos en n ensayos o en la muestra x = número de éxitos obtenidos de la muestra n = número de ensayos (tamaño de la muestra) N = número de elementos en la población (cantidad de elementos del conjunto del que se toma la muestra) r = número de elementos de la población considerados como éxitos (cantidad de elementos existentes que se consideran éxitos). Observe que

x≤r

y

(n−x) ≤ (n−r)

Para evitar la detención en la aduana, un viajero coloca seis tabletas de narcótico en una botella que contiene nueve tabletas de vitaminas de aspecto semejante. Si el oficial de la aduana selecciona al azar tres tabletas para su análisis, ¿cuál es la probabilidad de que el viajero no sea arrestado por posesión ilegal de narcóticos? Este problema es hipergeométrico, ya que el oficial de la aduana va hacer una revisión, selecciona una muestra de 3 tabletas y esa revisión debe ser sin reemplazo, ya que selecciona una tableta y no la regresa a la botella, toma una segunda tableta y no la regresa a la botella y así hasta completar las tres tabletas que va analizar, en la botella van quedando una tableta cada vez menos y por lo tanto la probabilidad de encontrar una tableta de narcótico va cambiando. Variable aleatoria: x = número de tabletas de narcótico en la muestra. Para no ser arrestado x debe ser igual a cero, por lo tanto buscamos P(x=0) 9 tabletas de vitaminas y 6 tabletas de narcótico N= 15 Tamaño de la muestra

n=3

Tabletas de narcótico (éxitos)

r= 6

Tabletas de vitaminas

N- r = 9

P(X=x) =

P(X=x) =

(𝑥𝑟 ) ( 𝑁−𝑟 ) 𝑛−𝑥 (𝑁 𝑛)

=

(60) ( 15−6 ) 3−0 (15 3)

𝑟𝐶𝑥 𝑁−𝑟𝐶𝑛−𝑥 𝑁𝐶𝑛

=

= 0.1846

6𝐶0 15−6𝐶3−0

=

15𝐶3

6𝐶0 9𝐶3 15𝐶3

=

La media y la varianza de una distribución hipergeométrica es:

E(x)=μ =(n) (𝑁𝑟 ) 6

𝜇 = (3) ( ) = 1.2 15

Var(x)=σ2=(n) (𝑁𝑟 ) (1−𝑁𝑟 ) (𝑁−𝑛 ) 𝑁−1 𝜎 2 = (3)(1 −

6

)(

15

15−3

) = 1.5428

15−1

EJERCICIOS. 1.- De los 20 hombres y 18 mujeres del salón el 50% réprobo el examen de estadística, si tomamos 10 alumnos al azar ¿Cuál es la probabilidad de que: A) encontremos 4 alumnos reprobados? B) Encontremos 3 mujeres reprobadas? Solución del inciso A) N = 38 n = 10 r = 19 x=4

P(X=4) =

𝑟𝐶𝑥 𝑁−𝑟𝐶𝑛−𝑥 𝑁𝐶𝑛

=

19𝐶4 38−19𝐶10−4 38𝐶10

= 0.2224

Solución del inciso B) N = 38 n = 10 M=9 x=3 P(X=3) =

𝑟𝐶𝑥 𝑁−𝑟𝐶𝑛−𝑥 𝑁𝐶𝑛

=

9𝐶3 38−9𝐶10−3 38𝐶10

= 0.2273

2.- En un vagón de ferrocarril que acarrea a 60 reses: el 20% de ellas están enfermas de tuberculosis, si extraemos con propósito de inspección sanitaria una muestra del 10% de las reses ¿calcula la probabilidad de que hayan 2 vacas con dicha enfermedad? N = 60 n=6 r = 12 x=2 P(X=2) =

𝑟𝐶𝑥 𝑁−𝑟𝐶𝑛−𝑥 𝑁𝐶𝑛

=

12𝐶2 𝑋 60−12𝐶6−2 60𝐶6

= 0.2565

3.-De 60 aspirantes a la UABJO, 40 son del Istmo de Tehuantepec, si seleccionamos 20 aspirantes al azar ¿calcular la probabilidad de que 10 sean del Istmo de Tehuantepec? N = 60 n = 20 r = 40

x = 10 P(X=10) =

𝑟𝐶𝑥 𝑁−𝑟𝐶𝑛−𝑥 𝑁𝐶𝑛

=

40𝐶10 𝑋 60−40𝐶20−10

RESUELVAN LOS SIGUIENTES COMPRUEBENLO CON MATLAB

60𝐶20 EJERCICIOS

= 0.0374

PASO

A

PASO

Y

Un embarque de 15 televisiones contiene cuatro que son defectuosas. Si del embarque se seleccionan al azar tres y se envían a un cliente, encuentre la probabilidad de que el cliente reciba exactamente una unidad defectuosa. R=48.35% Como parte de una inspección de rutina en los bares, un inspector decide examinar si hay menores de edad, al llegar al bar “Muy Feliz”, decide examinar a 6 personas sospechosas de ser menores de edad. ¿Cuál es la de que encuentre a 3 menores de edad si en el bar hay 18 personas y de esos hay 5 menores de edad? R= 15.40% De un grupo de 20 estudiantes de ingeniería industrial, se seleccionan a 8, ¿Cuál es la probabilidad de que sean seleccionados tres mejores estudiantes?

RESOLVER EL EJERCICIO CON MATLAB Una caja contiene 9 baterías, de las cuales cuatro están en buen estado, y las restantes defectuosas. Se toma una muestra eligiendo al azar tres baterías. Calcule la probabilidad que en la muestra se obtengan: a).- Ninguna batería en buen estado.

P(X=0)

b).- Al menos una batería en buen estado. P(X≥ 1) c).- No más de dos baterías en buen estado P(X≤ 2) X= Número de baterías en buen estado. x= 0,1,2,3,…,9 N=9 Total de baterías

k=r

n=3 número de baterías de la muestra r=4 cantidad de baterías en buen estado en la muestra

%AUTOR: %PROGRAMA:ESTE ES EL PROGRAMA DE DETERMINA LAS PROBABILIDADES DE %LA DISTRIBUCION HYPERGEOMETRICA. % DECLARE LOS DATOS DE x, N, k, n % INSERTE LOS VALORES DE LA VARIABLE x=0, N=9 r=k=4 n=3 x=0:9 % OBTENGA LAS PROBABILIDADES DE LA VARIABLE f=hygepdf(x,9,4,3) % OBTENGA LA MEDIA Y LA VARIANZA DONDE N=9, k=4, n=3 [mu,var,]=hygestat(9,4,3) % CONSTRUYA EL HISTOGRAMA DE LAS PROBABILIDADES. bar(f,1,'b'),grid on % NO OLVIDE EN GUARDAR LA GRAFICA CON LA EXTENSION tiff EN DOCUMENTOS %MATLAB, PERO ANTES DEBERA NOMBRAR AL EJE DE LAS 'X' Y DE 'Y' Y EL %TITULO % DETERMINE LAS PROBABILIDADES ACUMULADAS f=hygecdf(x,9,4,3) %GRAFIQUE LA OJIVA CON LAS PROBABILIDADES ACUMULADAS plot(x,f,'ob'),grid on hold on plot(x,f,'k'),grid on hold on % NO OLVIDE EN GUARDAR LA GRAFICA CON LA EXTENSION tif EN DOCUMENTOS %MATLAB, PERO ANTES DEBERA NOMBRAR AL EJE DE LAS 'X' Y DE 'Y' Y EL %TITULO. % CALCULE LA PROBABILIDAD DE QUE % a).- NINGUNA BATERIA ESTA EN BUEN ESTADO P(X= 0) x=0:9 f=hygepdf(0,9,4,3) % b).- AL MENOS UNA BATERIA ESTA EN BUEN ESTADO P(X≥ 1) % c).- NO MAS DE DOS BATERIAS ESTAN EN BUEN ESTADO P(X≤ 2)

x=0:9 f=hygepdf(2,9,4,3)