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Problema 1 Un ingeniero está interesado en los efectos de la velocidad de corte (A), la geometría de la herramienta (B) y el ángulo de corte (C) sobre la vida (en horas) de una máquina herramienta. Se eligen dos niveles de cada factor y se corren tres replicas de un diseño factorial 2k. Los resultados fueron los siguientes: A B C Combinación de tratamientos + + + +

+ + + +

+ + + +

(+1) a b ab c ac ab abc

I 22 32 35 55 44 40 60 39

Replicas II 31 43 34 47 45 37 50 41

III 29 28 50 47 39 33 57 42

a) estimar los efectos de los factores b) usar el análisis de varianza para confirmar las conclusiones del inciso a). c) escribir un modelo de regresión para predecir la vida de la herramienta (en horas) con base a los resultados de este experimento. d) Analizar los residuos. ¿hay algún problema evidente? e) Con base al análisis de graficas de los efectos principales y las interacciones, ¿cuales serian los niveles de A, B y C que se recomendaría usar? Solución:

A -1 1 -1 1 -1 1 -1 1

B -1 -1 1 1 -1 -1 1 1

C -1 -1 -1 -1 1 1 1 1

Combinación de tratamientos (+1) a b ab c ac ab abc

I 22 32 35 55 44 40 60 39

Replicas II 31 43 34 47 45 37 50 41

III 25 29 50 46 38 36 54 47

Yi

̅ 𝐘𝐢

78 26 104 34,6666667 119 39,6666667 148 49,3333333 127 42,3333333 113 37,6666667 164 54,6666667 127 42,3333333 ̅ =40,8333333 Y=980 𝐘

1. Determinación de los contrastes 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒 𝐴 = −78 + 104 − 119 + 148 − 127 + 113 − 164 + 127 = 4 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒 𝐵 = −78 − 104 + 119 + 148 − 127 − 113 + 164 + 127 = 136 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒 𝐶 = −78 − 104 − 119 − 148 + 127 + 113 + 164 + 127 = 82 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒 𝐴𝐵 = +78 − 104 − 119 + 148 + 127 − 113 − 164 + 127 = −20 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒 𝐴𝐶 = +78 − 104 + 119 − 148 − 127 + 113 − 164 + 127 = −106 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒 𝐵𝐶 = +78 + 104 − 119 − 148 − 127 − 113 + 164 + 127 = −34 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒 𝐴𝐵𝐶 = −78 + 104 + 119 − 148 + 127 − 113 − 164 + 127 = −26 2. Determinamos los efectos 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐴 =

𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒 𝐴 4 = = 0,3333 4𝑟 12

𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐵 =

𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒 𝐵 136 = = 11,3333 4𝑟 12

𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐶 =

𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒 𝐶 82 = = 6,8333 4𝑟 12

𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐴𝐵 =

𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒 𝐴𝐵 −20 = = −1,6667 4𝑟 12

𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐴𝐶 =

𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒 𝐴𝐶 −106 = = −8,8333 4𝑟 12

𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐵𝐶 =

𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒 𝐵𝐶 −34 = = −2,8333 4𝑟 12

𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐴𝐵𝐶 =

𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒 𝐴𝐵𝐶 −26 = = −2,1667 4𝑟 12

3. Prueba de Hipotesis. a. Ho: 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐴 = 0 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐵 = 0 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐶 = 0 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐴𝐵 = 0 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐴𝐶 = 0 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐵𝐶 = 0 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐴𝐵𝐶 = 0

Ho: 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐴 ≠ 0 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐵 ≠ 0 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐶 ≠ 0 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐴𝐵 ≠ 0 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐴𝐶 ≠ 0 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐵𝐶 ≠ 0 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐴𝐵𝐶 ≠ 0 b. Nivel de significancia 𝛼 = 0,05 c. Criterio de rechazo Se rechaza Ho: 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐴 𝑠𝑖: 𝐹0 > 𝐹𝑐 = 𝐹𝛼;(𝑎−1);𝑎𝑏𝑐(𝑟−1) = 𝐹0,05;1;16 = 𝟒, 𝟒𝟗 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐵 𝑠𝑖: 𝐹0 > 𝐹𝑐 = 𝐹𝛼;(𝑏−1);𝑎𝑏𝑐(𝑟−1) = 𝐹0,05;1;16 = 𝟒, 𝟒𝟗 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐶 𝑠𝑖: 𝐹0 > 𝐹𝑐 = 𝐹𝛼;(𝑐−1);𝑎𝑏𝑐(𝑟−1) = 𝐹0,05;1;16 = 𝟒, 𝟒𝟗 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐴𝐵 𝑠𝑖: 𝐹0 > 𝐹𝑐 = 𝐹𝛼;(𝑎−1)(𝑏−1);𝑎𝑏𝑐(𝑟−1) = 𝐹0,05;1;16 = 𝟒, 𝟒𝟗 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐴𝐶 𝑠𝑖: 𝐹0 > 𝐹𝑐 = 𝐹𝛼;(𝑎−1)(𝑐−1);𝑎𝑏𝑐(𝑟−1) = 𝐹0,05;1;16 = 𝟒, 𝟒𝟗 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐵𝐶 𝑠𝑖: 𝐹0 > 𝐹𝑐 = 𝐹𝛼;(𝑏−1)(𝑐−1);𝑎𝑏𝑐(𝑟−1) = 𝐹0,05;1;16 = 𝟒, 𝟒𝟗 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐴𝐵𝐶 𝑠𝑖: 𝐹0 > 𝐹𝑐 = 𝐹𝛼;(𝑎−1)(𝑏−1)(𝑐−1);𝑎𝑏𝑐(𝑟−1) = 𝐹0,05;1;16 = 𝟒, 𝟒𝟗 d. Cálculos 3

2

3

2

𝑆𝑆𝑇 = ∑ ∑ ∑ ∑ 𝑌𝑖𝑗𝑘𝑙 2 − 𝑖=1 𝑗=1 𝑘

𝑙

𝑌2 𝑁

𝑆𝑆𝑇 = (222 + 312 + 252 + ⋯ + 472 − 𝑺𝑺𝑻 = 𝟐𝟎𝟗𝟓, 𝟑𝟑𝟑𝟑 (𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒 𝐴)2 𝑆𝑆𝐴 = 8𝑟 𝑺𝑺𝑨 =

(𝟒)𝟐 = 𝟎, 𝟔𝟔𝟔𝟕 𝟐𝟒

9802 24

𝑆𝑆𝐵 =

(𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒 𝐵)2 8𝑟

𝑆𝑆𝐵 =

(136)2 = 770,6667 24

𝑆𝑆𝐶 =

(𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒 𝐶)2 8𝑟

𝑺𝑺𝑪 =

(𝟖𝟐)𝟐 = 𝟐𝟖𝟎, 𝟏𝟔𝟔𝟕 𝟐𝟒

𝑆𝑆𝐴𝐵 =

(𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒 𝐴𝐵)2 8𝑟

𝑺𝑺𝑨𝑩 =

(−𝟐𝟎)𝟐 = 𝟏𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟕 𝟐𝟒

𝑆𝑆𝐴𝐶

(𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒 𝐴𝐶)2 = 8𝑟

𝑺𝑺𝑨𝑪 =

(−𝟏𝟎𝟔)𝟐 = 𝟒𝟔𝟖, 𝟏𝟔𝟔𝟕 𝟐𝟒

𝑆𝑆𝐵𝐶 =

(𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒 𝐵𝐶)2 8𝑟

𝑺𝑺𝑩𝑪 =

(−𝟑𝟒)𝟐 = 𝟒𝟖, 𝟏𝟔𝟔𝟕 𝟐𝟒

𝑆𝑆𝐴𝐵𝐶

(𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒 𝐴𝐵𝐶)2 = 8𝑟

𝑺𝑺𝑨𝑩𝑪 =

(−𝟐𝟔)𝟐 = 𝟐𝟖, 𝟏𝟔𝟔𝟕 𝟐𝟒

𝑆𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝑇 − 𝑆𝑆𝐴 − 𝑆𝑆𝐵 − 𝑆𝑆𝐶 − 𝑆𝑆𝐴𝐵 − 𝑆𝑆𝐴𝐶 − 𝑆𝑆𝐵𝐶 − 𝑆𝑆𝐴𝐵𝐶 = 2095,3333 − 0,6667 − 770,6667 − 280,1667 − 16,6667 − 468,1667 − 48,1667 − 28,1667 𝑺𝑺𝑬 = 𝟓𝟏𝟎, 𝟖𝟑𝟑𝟏

e. ANOVA.

Fuente de

Grados de

Suma de

Media de

variación

libertad

cuadrados

cuadrados

A

1

0,6667

0,6667

0,020882




4,49

C

1

280,1667

280,1667

8,7752

>

4,49

AB

1

16,6667

16,6667

0,5222




4,49

BC

1

48,1667

48,1667

1,50865