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• julián Andrés Toro

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CALCULO MULTIVARIADO TAREA CUATRO INTEGRALES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Presentado a: Julieth Katherine Rodríguez Gutiérrez Tutora

Entregado por:

Hilton Fernando Vallejo García Código: 94.323.891

Grupo: 203057A_39

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS CURSO DE CALCULO MULTIVARIADO Noviembre 28 2019

Grupo de ejercicios 1 – Integrales Dobles. (Aplicaciones de las integrales dobles – Momento de Inercia) Momento de Inercia.

Si una partícula de masa m está a una distancia d de una recta fija, su momento de inercia respecto de la recta se define como: 𝑰 = 𝒎𝒅𝟐 = (𝒎𝒂𝒔𝒂)(𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂)𝟐 Se puede generalizar este concepto para obtener los momentos de inercia de una lámina de densidad variable respecto de los ejes 𝑥 y 𝑦. Estos segundos momentos se denotan por 𝑰𝒙 e 𝑰𝒚 y en cada caso el momento es el producto de una masa por el cuadrado de una distancia.

Donde (𝑦 2 ) es el cuadrado de la distancia al eje 𝑥 (𝑥 2 ) es el cuadrado de la distancia al eje 𝑦 𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 es la Masa A la suma de los momentos e se le llama el momento polar de inercia y se denota Por 𝑰𝟎 . Evaluar la integral doble requerida para hallar el momento de inercia I, con respecto a la recta dada, de la lámina limitada o acotada por las gráficas de las siguientes ecuaciones. Realizar las gráficas en GeoGebra: d. 𝑦 = √𝑎2 − 𝑥 2 , 𝑦 = 0, donde 𝜌 = 𝑘𝑥, y la recta 𝑥 = 5 Ya que 𝐼 = 𝑚𝑑 2 Cálculo de la masa: 𝑎

√𝑎2 −𝑥 2

𝑚 = ∬ 𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑅

−𝑎

0

𝑘𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑎

= 𝑘 ∫ (𝑥𝑦 | −𝑎

√𝑎2 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 𝑜

𝑎

= 𝑘 ∫ 𝑥√𝑎2 − 𝑥 2 𝑑𝑥 −𝑎

𝑢 = 𝑎2 − 𝑥 2 𝑑𝑢 = −2𝑥𝑑𝑥 =

−𝑘 𝑎 1 𝑘 2 3 𝑎 ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 = − ( ) ( ) 𝑢2 | 2 −𝑎 2 3 𝑜 =

=

3 𝑎 −𝑘 2 (𝑎 − 𝑥 2 )2 | 3 𝑜

3 3 −𝑘 2 𝑘 (𝑎 − 𝑎2 )2 + (𝑎2 + 𝑎2 )2 3 3

𝑚= 𝑘

3 𝑘 (2𝑎2 )2 3

𝐼 = 𝑚 − 𝑑 2 = (3 𝑎3 ) ⋅ (5)2 ⇒ 𝐼 =

25 3

𝑘𝑎3

Grupo de ejercicios 2 – Integrales Triples. (Aplicaciones para hallar el valor promedio) Utilice integrales triples para calcular el valor promedio de 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) sobre la región dada:

d. 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧 sobre el cubo en el primer octante acotado por los planos coordenados y los planos 𝑥 = 1, 𝑦 = 1 y 𝑧 = 1.

Calcular el volumen 𝑉𝐷 = 1 ∗ 1 ∗ 1 = 1 1 1 1 1 1 𝑥2 1 ∫ ∫ ∫ ( 𝑥𝑦𝑧) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = ∫ ∫ ( 𝑦𝑧) 2 0 0 0 0 0 0 1

1

=∫ ∫ 0

0

1 𝑦𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑧 2

1

1 𝑦2 1 =∫ ( 𝑧) 𝑑𝑧 2 2 0 0 1

=∫ 0

=

1 1 2 1 𝑧 𝑑𝑧 = 𝑧 | 4 8 0

1 8

Ya que el valor promedio esta dado por:

𝐹=

1 ∭ 𝐹 𝑑𝑣 𝑉𝐷 𝐷

𝐹= El valor promedio es

1 1 1 ( ) = 1 8 8

1 8

Grupo de ejercicios 3 – Integrales de Línea. (Aplicaciones de las integrales de línea – Trabajo y campos de Fuerza) Calcule el trabajo total realizado al mover una partícula a lo largo del arco C si el movimiento lo ocasiona el campo de fuerza F. Suponga que el campo que el arco se mide en metros y la fuerza en Newton.

d. 𝐹(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 2 𝒊 + (2𝑥 2 + 2𝑦 2 )𝒋 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐶: 𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑦 = 𝑥 2 desde el punto (1, 1) hasta (4, 5). La definición de trabajo en físico: 𝑊𝑎𝑏 = ∫ 𝐹 𝑑𝑟 donde 𝐹 = ∫(𝑥, 𝑦) = ⟨2𝑥𝑦 2 , 2𝑥 2 + 2𝑦 2 ⟩ Parametrizando 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑑𝑟 = 𝑟′ (𝑡) 𝑑𝑡 𝑥= 𝑡 𝑦 = 𝑡2

⇒ 𝑟′ (𝑡)(1, 2𝑡)

⇒ ∫(2(𝑡)( 𝑡 2 )2 + 2( 𝑡 2 )2 ) → 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑠 4

= ∫(2𝑡 5 ,

2𝑡 2 + 2𝑡 4 ) (1,2𝑡) 𝑑𝑡

1

𝐹(𝑥, 𝑦)

𝑟′ (𝑡)

4

= ∫(2𝑡 5 + 4𝑡 3 + 4𝑡 5 ) 𝑑𝑡 1

4

= ∫(6𝑡 5 + 4𝑡 3 ) 𝑑𝑡 1

6𝑡 6 4𝑡 4 4 4 =[ ] = (𝑡 6 + 𝑡 4 ) = [(4)6 + (4)4 − (1 + 1) ] 6 4 1 1 𝑊 = 4350 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒

Grupo de ejercicios 4 – Integrales de Flujo (Aplicaciones a las integrales de superficie – Carga Eléctrica)

En los siguientes ejercicios utilizar la Ley de Gauss para hallar la carga total en el interior de la superficie dada: d. Sea 𝐸 = 2𝑥𝑧𝒊 + 3𝑥𝑧𝒋 − 𝑥𝑦𝒌 un campo electrostático. Usar la Ley de Gauss para hallar la carga total que hay en el interior de la superficie cerrada formada por el hemisferio 𝑧 = √9 − 𝑥 2 − 𝑦 2 y su base circular en el plano 𝑥𝑦. Ley de Gauss Φ = ∫ ∫ ⃗⃗⃗ 𝐸 ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠 = ∭ ∇ ∗ 𝐸⃗ 𝑑𝑉 𝑉

∇𝐸 = (

𝜕 𝜕 𝜕 𝑖 + 𝑗 + 𝑘) (2𝑥𝑧𝑖 + 3𝑥𝑧𝑗 − 𝑥𝑦𝑘 ) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

Calcula el divergente del volumen según Gauss ∇𝐸 = 2𝑧𝑖 + 0𝑗 − 0𝑘 3

√9−𝑦 2

√9−𝑥 2 𝑦 2

= ∫ ∫

∫

2𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥

−3 −√9−𝑦2 0

Cambiando a coordenadas polares: 2𝜋

𝑄𝑒𝑛𝑐 = 𝜀 ∫

√9−𝑟 2

3

∫ ∫

0

0

2𝜋

2𝑧𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃

0

3

∫ (𝑟𝑧 2 ) |

= 𝜀∫ 0

0

2𝜋

= 𝜀∫

√9 − 𝑟 2 𝑑𝑟 𝑑𝜃 0

3

2𝜋

∫ 𝑟(9 − 𝑟

0

2)

𝑑𝑟 𝑑𝜃 = 𝜀 ∫

0

2𝜋

𝑄𝑒𝑛𝑐 = 𝜀 ∫ 0

0

9𝑟 2 𝑟 4 3 ( − ) 𝑑𝜃 2 4 0

81 81 2𝜋 𝑑𝜃 = 𝜀 ( 𝜃) 4 4 0

𝑄𝑒𝑛𝑐 =

81𝜋 𝜀 2

Grupo de ejercicios 5 – Teoremas de Integración (Aplicación de los Teoremas de Integración – Movimiento de un líquido)

En los siguientes ejercicios el movimiento de un líquido en un recipiente cilíndrico de radio 1, se define mediante el campo de velocidad 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧). Hallar

Donde S es la superficie superior del recipiente cilíndrico: d. 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −3𝑥𝒊 + 4𝑦𝒌 𝜕𝑅 𝜕𝑄 𝜕𝑃 𝜕𝑅 𝜕𝑄 𝜕𝑃 𝑟𝑜𝑡𝐹 = ( − ) 𝑖 + ( − ) 𝑗 + ( − ) 𝑘 → 𝑅𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑛=

∇ℎ 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 =( ) → 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎 |∇ℎ| √𝑥 2 + 𝑦 2

Ya que

∬(𝑟𝑜𝑡𝐹)𝑁𝑑𝑆 𝑠

Reemplazo ∬(𝑟𝑜𝑡𝐹)𝑁𝑑𝑆 = ∬ [(

𝜕𝑅 𝜕𝑄 𝜕𝑃 𝜕𝑅 𝜕𝑄 𝜕𝑃 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 − )𝑖 + ( − )𝑗 + ( − )𝑘 ][ ] 𝑑𝑆 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 √𝑥 2 + 𝑦 2

Se distribuye la integral 𝜕𝑅 𝜕𝑄 𝑥 𝜕𝑃 𝜕𝑅 𝑦 − )( )+( − ) ( )] 𝑑𝑆 𝜕𝑦 𝜕𝑧 √𝑥 2 + 𝑦 2 𝜕𝑧 𝜕𝑥 √𝑥 2 + 𝑦 2 Resolviendo para −3𝑥𝑖 + 4𝑦𝑘 P R ∬ [(

𝑥 𝑦 ⇒ ∬ [(4) ( ) + (0) ( )] 𝑑𝑆 √𝑥 2 + 𝑦 2 √𝑥 2 + 𝑦 2 ⇒∬

4𝑥 √𝑥 2 + 𝑦 2

𝑑𝑆 , 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑒𝑠 = 1

⇒∬ 1

⇒ 4∫ ( −1

4𝑥 √𝑥 2 + 𝑦 2

√1−𝑦 2

1

𝑑𝑆 = ∫ ∫

1

4𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 4 ∫ (

−1 −√1−𝑦2

−1

𝑥 2 √1 − 𝑦 2 ) 𝑑𝑦 2 −√1 − 𝑦 2

1 1 − 𝑦2 1 − 𝑦2 𝑦3 1 4 16 + ) = 4 ∫ (1 − 𝑦 2 ) 𝑑𝑦 = 4 (𝑦 − ) = 4∙ = 2 2 3 −1 3 3 −1

∬

4𝑥 √𝑥 2 + 𝑦 2

𝑑𝑆 =

16 3