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• Ariel Patricio Herrera

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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL – EPN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA – FIM MEC6B5-GR1 – Elementos de Máquinas (2018-B) Deber 1 Fecha de entrega: 11-octubre-2018 1. Considere el tetraedro sometido a los vectores esfuerzo tx, ty, tz en las caras negativas de las direcciones x, y, z, respectivamente, como se indica en la figura. A partir de las condición de equilibrio

t  n An  t x Ax  t y Ay  t z Az  0 , donde t(n) es el vector esfuerzo actuando sobre el plano definido por la normal n y An, Ax, Ay, Az son las áreas de los planos definidos por las direcciones n, x, y, z, respectivamente, demostrar que: a. nx  sin  cos  , ny  sin  sin  , nz  cos  b. Ax  An nx ,

Ay  An ny ,

Az  An nz

t x  n     xy  xz   nx    n    xx   c. t y    yx  yy  yz  n y    n     zy  zz   nz  t z   zx

2. Considere el estado de esfuerzo definido por el tensor [σ] mostrado a seguir. a. Demostrar que el tensor [σ] es simétrico, es decir:  xy   yx ,  xz   zx y  yz   zy . b. Los esfuerzos y planos principales se reducen a un problema de auto-valores de la forma   n   n , donde los auto-valores λ son los esfuerzos principales y los auto-vectores n definen los planos principales. Demostrar que el polinomio característico tiene la forma 3 2 p       I1  I 2   I 3  0 , donde I1, I2 e I3 se denominan invariantes del estado de esfuerzo:

I1   xx   yy   zz I 2   xx yy   xx zz   yy zz   xy 2   xz 2   zy 2 I 3   xx yy zz  2 xy xz zy   xx yz 2   yy xz 2   zz xy 2

 xx  xy     yx  yy  zx  zy 

 xz    yz   zz 

3. Considere el estado de esfuerzo dado por: σxx = −20 MPa, σyy = 100 MPa, σzz = −50 MPa, σxy = −110 MPa y σxz = σyz = 0. a. Represente gráficamente este estado de esfuerzo en un paralelepípedo b. Determine los esfuerzos y planos principales c. Represente gráficamente los esfuerzos y planos principales Prof. Marco Guamán A. ([email protected]) Oficina: Antiguo Lab. Máquinas-Herramientas / 311-B

4. Considere el estado de esfuerzo dado por: σxx = −80 MPa, σyy = 120 MPa, σzz = −40 MPa, σxy = 40 MPa, σxz = 50 MPa y σyz = −60MPa. a. Represente gráficamente este estado de esfuerzo en un paralelepípedo. b. Determine los esfuerzos y planos principales. c. Determine las componentes normal t(n)n y tangencial t(n)s del esfuerzo actuante en un plano definido por el vector normal unitario (1/4, 1/2, nz). 5. Considere el estado de esfuerzo plano representado en la figura a seguir. a. Represente gráficamente este estado de esfuerzo en el plano xy. b. Determine las componentes normal σx’x’ y tangencial σx’y’ del esfuerzo actuante en un plano x’y’ definido por una rotación θ en sentido anti-horario a partir del eje x, alrededor del eje z, como se indica en la figura a seguir. c. Sea σxx = −80 MPa, σyy = 0 y σxy = 40 MPa. Determine el ángulo θ para el cual σx’y’ = 0.

Prof. Marco Guamán A. ([email protected]) Oficina: Antiguo Lab. Máquinas-Herramientas / 311-B