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• Florencia Anglada

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Física 2º Bachillerato

I.E.S. La Jara/ Villanueva de Córdoba

TEMA 4º:

VIBRACIONES Y ONDAS

1 MOVIMIENTO PERIÓDICO. MOVIMIENTO OSCILATORIO. MOVIMIENTO VIBRATORIO. ① Definiciones iniciales. 1) Movimiento periódico, es aquel que se repite a intervalos iguales de tiempo. Ejemplos: - Movimientos circulares uniformes, como el de la punta de la aguja de un reloj. - Movimiento de un péndulo. - Movimiento de vibración de la membrana de un tambor. 2) Movimiento oscilatorio o vibratorio, es aquel que tiene lugar a un lado y a otro de una posición de equilibrio estable. Es un tipo de movimiento periódico. Ejemplos: - Movimiento de un péndulo. - Movimiento de vibración de la membrana de un tambor. Estas definiciones son simples, no se ha distinguido entre movimiento vibratorio y oscilatorio. Hay que profundizar en ellas. ② Recordatorio de las magnitudes características del movimiento circular. - Espacio angular, 𝜑 , es el ángulo abarcado en el movimiento. Se mide en radianes. - Espacio lineal, l ó s, es el espacio recorrido sobre la trayectoria. Se mide en metros y se puede calcular con la expresión: 𝑆 = 𝜑. 𝑅 donde R es el radio del movimiento. - Velocidad angular, 𝜔 , es el ángulo recorrido (espacio angular) en la unidad de tiempo. Se mide en radianes/segundo (rad/s) 𝜑 𝜔= 𝑡 - Velocidad lineal, v, es la distancia recorrida por la partícula en la unidad de tiempo. Se mide en m/s y puede determinar con la expresión 𝑉 = 𝜔. 𝑅 - Aceleración, a. También llamada aceleración normal o centrípeta, ac. En el movimiento circular uniforme la velocidad siempre tiene el mismo módulo, pero, como se ve en la figura, su dirección y sentido cambian. Por tanto, el cuerpo tiene una aceleración que se denomina centrípeta pues la dirección del vector va en la línea que une la partícula con el centro y su sentido es desde la partícula hasta en centro de giro. Su módulo, que se mide en m/s 2, se puede calcular con la expresión 𝑣2 𝑎𝑐 = 𝑅 - Periodo, T, es el tiempo que se tarda en repetir el movimiento. Se mide en segundos. - Frecuencia, f, es el número de vueltas que realiza el móvil en la unidad de tiempo. Se mide en s-1, unidad que se suele llamar Hertzio, Hz. 𝑓=

1 𝑇

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③ Definición de movimiento periódico. Si se analiza el movimiento circular se observa que cada vez que el punto móvil ha dado un giro completo se repite e valor de tres variables: - posición del móvil 𝑟⃗ - velocidad del móvil 𝑣⃗ - aceleración normal o aceleración centrípeta del móvil ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑎𝑐 Estas tres variables son vectores. Si nos fijamos detalladamente veremos que lo que va variando de 𝑟⃗, 𝑣⃗ y ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑎𝑐 es su dirección y sentido, pero sus módulos no cambian. Por tanto, en otro punto cualquiera de la trayectoria circular el módulo de estas variables no ha cambiado pero sí su dirección y su sentido. Por tanto, un cuerpo o una partícula describen un movimiento periódico cuando las variables posición, velocidad y aceleración de su movimiento toman los mismos valores después de un tiempo constante denominado periodo. ④ Definición de movimiento oscilatorio y vibratorio. No todos los movimientos periódicos son circulares, veamos tres ejemplos de movimientos periódicos no circulares:

Estos movimientos periódicos se suelen denominar vibratorios u oscilatorios. Como vemos, en ellos se desplaza un cuerpo o una partícula sucesivamente de un lado a otro de la posición de equilibrio, repitiendo a intervalos de tiempo regulares sus variables cinemáticas (posición, velocidad y aceleración). Diferencias entre movimientos oscilatorios y movimientos vibratorios: los movimientos oscilatorios son relativamente lentos (péndulo, muelle colgando, etc.). Cuando las oscilaciones son muy rápidas se denominan vibraciones y el movimiento correspondiente es un movimiento vibratorio (el ejemplo anterior del alambre correspondería a este caso). Se denomina elongación x a la posición que ocupa una partícula en un instante dado respecto a la posición de equilibrio. Y llamamos amplitud A a la elongación máxima. Movimiento vibratorio es aquel movimiento periódico en el cual el móvil se mueve a un lado y al otro de la posición de equilibrio. El movimiento vibratorio está producido por una fuerza periódica que depende del desplazamiento. 2.- EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE ( M.A.S.)

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Es el movimiento vibratorio en el cual la fuerza que actúa sobre la partícula es directamente proporcional al desplazamiento.

F   K. x.ux donde ux es un vector unitario en la dirección del alargamiento y el signo negativo indica que la fuerza es recuperadora es decir que va dirigida hacia la posición de equilibrio. El M.A.S. se puede expresar mediante la función armónica seno y coseno.

Fase es el estado en el que se encuentra el cuerpo que viene definido por su posición, velocidad, aceleración, energía, etc. Los tres cuerpos de la figura tienen un movimiento armónico simple, que se caracteriza por la ecuación:

x  x  t   A.sen t   

donde x es la elongación, A es la amplitud, vale:







(1)

es la velocidad angular o frecuencia angular y

2  2 f T

y

fig 2



es la fase inicial y nos indica el estado inicial del cuerpo cuando empieza el movimiento, es decir la elongación x para t = 0. Se mide en radianes.





En el ejemplo del cuerpo que cuelga de un muelle, el estado inicial es cuando se tira hacia abajo de él y se suelta, es decir la elongación inicial es y =A . Luego para que en la ecuación (1) se cumpla que para t = 0 , y = - A ,

3 tiene que ser, bien ,o 2



expresado de otra forma



 2



v

fig 3



radianes .



t



Efectivamente:

3   y  A.sen t     A.sen  .0   2  

   A.sen  .0t     A 2  Si por el contrario ponemos el cronómetro en marcha cuando el cuerpo pasa por la posición de equilibrio, entonces la fase inicial es = 0





Así pues t   es la fase en cualquier instante y se mide en radianes.

fig 4

a





t

 



t 

Si representamos de la ecuación (1) la y, frente al Vibraciones y Ondas

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tiempo se obtiene la gráfica de la figura 2. Si queremos obtener la velocidad en cada instante que tiene el cuerpo, tenemos que derivar la ecuación (1) :

v

dy  A..cos t    dt

(2)

En el m.a.s. se puede utilizar la función seno o la función coseno, variando convenientemente la fase inicial. La representación de v - t nos da los sucesivos valores de la velocidad del cuerpo según se aprecia en la figura 3. Se puede observar que la velocidad es máxima cuando

t

 2

,

5 ... etc, pues enton2

ces el coseno vale 1 y la velocidad:

vmax  A. Si queremos obtener la aceleración volvemos a derivar la ecuación (2):

𝑎= si sustituimos el

A.sen t   

𝑑𝑣 = −𝐴. 𝜔2 . 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) 𝑑𝑡 de la ecuación (1), obtenemos:

a   2 . y ; amax  A. 2 que como vemos nos indica que la aceleración no es constante, sino que varía en función de la elongación y, por lo tanto, la fuerza que causa el movimiento es:

𝐹 = 𝑚. 𝑎 → 𝐹 = 𝑚. (−𝜔2 . 𝑦) que si la comparamos con la de la ley de Hooke: 𝐹 = −𝑘. 𝑦 (el signo negativo nos indica que la fuerza es recuperadora y va siempre dirigida hacia la posición de equilibrio) , vemos que :

−𝑘. 𝑦 = 𝑚. (−𝜔2 . 𝑦) → 𝑘 = 𝑚. 𝜔2

(4)

2 m  2  4 m k  m  ; o despejando el periodo: T=2  .  T2 k  T  2

EJEMPLO 1. Una masa de 2kg cuelga de un muelle. Debido a ello, el muelle se deforma 10cm. Si se separa otros 10cm de la posición de equilibrio y se deja en libertad, calcula la frecuencia angular, la frecuencia, la amplitud, y por último escribe las ecuaciones del movimiento, de la velocidad y de la aceleración.

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k

F mg 2.9,8    200 N / m y y 0,1

k  m. 2   

k 200   10rad / s m 2

m 2   2 .  s k 200 5 1 5 y la frecuencia será: f   s 1 o Hz T  y T  2 .

La amplitud es la máxima separación que será por lo tanto A=10cm=0,1m. y la ecuación del movimiento puesto que el cuerpo se mueve en el eje y será:

3   y  A.sen t     0,1.sen  10.t   2   Puesto que para t  0 la y  - A, y por lo tanto  

3  o también  =2 2

3   v  A..cos .t     cos  10.t   2   3   y la aceleración: v   A. 2 .sen .t     10sen  10.t   2   EJEMPLO 2. Una masa de 200gr se mueve con M.A.S.; si la frecuencia es de 20Hz y la amplitud de 0,5cm, calcula: la constante elástica y la aceleración máxima.

T

1 1   o,05s; f 20

  2. . f  40.  k  m. 2  0, 2.  40.   320 / m 2

y la aceleración: a  A 2  0,005.  40.   8 2m / s 2 . 2

3.- ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA, CINÉTICA Y CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA. Por otra parte, cuando el cuerpo que cuelga del muelle se encuentra en la parte inferior no tiene ni energía potencial gravitatoria ni energía cinética, y toda la energía se encuentra almacenada en el muelle en forma de energía potencial elástica:

k . y 2 k . A2 Ee   2 2 y cuando pasa por la posición de equilibrio toda su energía es cinética:

m.v 2 k . A2 Ec   2 2

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Luego entre ambas posiciones la energía potencial elástica se va convirtiendo en energía cinética de tal forma que en posiciones intermedias la energía que posee el cuerpo será la suma de las dos:

ETOTAL

k . A2  Ee  Ec  2

Así pues, en cualquier instante la energía cinética viene dada por la energía potencial máxima menos la energía potencial en ese punto:

k . A2 k . y 2 Ec   2 2

y sustituyendo la y de la ecuación (1):

k . A2 k . A2 .sen 2 Ec   siendo   t    y sacando factor común: 2 2 k . A2 Ec  1  sen 2   y puesto que cos2   1  sen 2 2 k . A2 cos2  Ec  2

y como

v  A..cos  

v



 A.cos 

kv 2  Ec  2 2

En el oscilador armónico hay una transformación continuada de las energías cinética y potencial, que en cualquier instante su suma es constante en ese oscilador, de forma que la gráfica energía posición para el oscilador armónico es:

EJEMPLO 3.- De un muelle cuelga una masa de 5kg produciendo un alargamiento de 20cm. Después se estira 10cm más y se suelta. Calcula la constante elástica del muelle, la amplitud, la frecuencia y el periodo, así como la frecuencia angular  . La energía potencial elástica y cinética a los 2 s de soltarlo. ¿Cuál será la energía potencial máxima?, ¿y la cinética máxima?

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k

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mg 5.9,8   250 N / m x 0, 2

u amplitud será 10cm es decir A  0,1m y   f 

 7,07   1,126 Hz 2 2

T

1  0,888s f

k 250 =  7,07 rad / s m 5

el alargamiento a los 2s será: y  A. sen .t    = 3.   =0,1.sen  7,07.2    0,00028 2   kx 2 250.0,000282   9,8.106 julios 2 2 2 kA 250.0,12 y la energía potencial máxima : Ee    1, 25 julios 2 2 kA2 kx 2 y la energía cinética Ec    1, 25  9,8.106  1, 25 julios 2 2

y la energía potencial elástica :

Ep 

El movimiento circular uniforme se puede suponer como la suma de dos movimientos armónicos simples en cada uno de los dos ejes X e Y. Estos dos m.a.s. deben de tener la misma amplitud, el mismo periodo y una diferencia de fase de 𝜋/2. EJEMPLO 4.- Cuando un hombre de 60kg se introduce en el interior de un automóvil, el centro de gravedad de éste baja 0,3cm. ¿Cuál es la constante elástica de los muelles del auto? Suponiendo que la masa del auto es de 500kg, ¿Cuál es el periodo de vibración cuando el automóvil está vacío y cuando el hombre está dentro?

k

mg 60.9,8   196000 N / m x 0,003

k 196000 =  19,8 rad / s m 500  19,8 f    3,15Hz 2 2 2 m 500 T  2 .  2 .  0,317 s  k 196000



T  2 .

m 560  2 .  0,336 s k 196000

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El péndulo. Como se aprecia en la figura, consiste en una pequeña bola que cuelga de un punto fijo mediante un hilo de longitud l. Cuando está en la posición de equilibrio el peso se iguala a la tensión, pero cuando no lo está existe una fuerza F (que es una de las componentes del peso) que actúa sobre él y cuyo valor es: F  m. g.cos  que tiende a llevarlo a la posición de equilibrio.

sen 

Para ángulos pequeños se cumple que:

x , siendo x el arco que representa a y que es el desplazamiento que ha experil

mentado el péndulo. l es la longitud del hilo. Luego: F=-K.x nos indica que: k 

F 

m. g . x , que comparada con la ley de Hooke l

m. g , y que representa la constante recuperadora. l

Si tenemos en cuenta ahora la ecuación (4) obtendremos el periodo:

T  2. .

m m l  2. .  2. . m. g k g l

(6)

que como vemos no depende ni de la masa del cuerpo ni de lo grandes que sean las oscilaciones. EJEMPLO 5.- Un niño de 30kg se columpia suspendido de la rama de un árbol mediante un columpio de 4m. Si la amplitud es de 1,6m, ¿con qué periodo y frecuencia se columpia? ¿Cuál es la velocidad máxima que alcanza el niño? Solución: Aplicando la ecuación tenemos:

T  2. .

l 4  2. .  4,01s g 9,8

1  0, 249 s -1 T y la frecuencia angular :   2 f  1,56rad / s

y la frecuencia será: f 

y la velocidad máxima de (2) : v  A..cos .t     A.  1,6.1,56  2,5m / s

Resonancia. Todos los cuerpos sólidos vibran con una determinada frecuencia, la cual se puede aumentar de forma notable si se le aplica una pequeña fuerza externa con la misma frecuencia natural de movimiento del cuerpo. Este fenómeno se conoce como resonancia mecánica. Un ejemplo lo tenemos cuando impulsamos un columpio, cuando con un coche se pisa la raya exterior de una carretera nacional, cuando saltamos en una cama elástica etc. El puente colgante sobre el Valle de Tacoma en Washington se derrumbó el mismo año de su inauguración debido a que la vibración del aire (que no era especialmente fuerte) se acopló con la vibración de la estructura. Debido a la resonancia está prohibido que la tropa pase tocando los tambores al pasar por los puentes. Vibraciones y Ondas

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4.- MOVIMIENTO ONDULATORIO. CARACTERÍSTICAS DIFERENCIADORAS DE LAS ONDAS. A) INTRODUCCIÓN. DEFINICIONES. ① Veamos ejemplos de perturbaciones producidas en un medio material que se propagan a través de dicho medio: - Al lanzar una piedra a una charca, se produce una perturbación en el punto de impacto y esta perturbación se propaga por todo el líquido que hace de “soporte” para que la perturbación se propague. Este es un ejemplo de onda viajera, cuando la perturbación, al cabo de cierto tiempo, alcanza todos los puntos del medio que no tiene límites. - Al tirar de una cuerda de guitarra, se produce una perturbación que se propaga por toda la cuerda que hace de “soporte” para que dicha perturbación se propague. Este es un ejemplo de onda estacionaria, cuando la perturbación está limitada mediante fronteras a una región específica del medio. ② Una onda consiste en la propagación de energía. Una onda es la transmisión de una perturbación (energía) a través de un medio, pero el medio “no se propaga”, es decir, no hay transmisión de materia. Un par de ejemplos: - Al lanzar una piedra a una charca se producen ondas. Cuando una onda llega a un corcho flotando éste sube y baja pero, una vez que la onda ha pasado el corcho se encuentra en la misma posición, es decir, no se desplaza con la onda. - “Como las ondas que se forman por el viento en un campo de mies, donde vemos correr las ondas del campo mientras que las espigas permanecen en su lugar” Leonardo da Vinci. Para entender el fenómeno de propagación de energía a través de un medio sin que exista propagación de materia podemos analizar la siguiente situación representada en la figura. - Al principio la primera bola es elevada manualmente, gana energía potencial. - Al soltar la bola pierde energía potencial pues cae, pero a cambio va ganando cada vez más energía cinética. - Al impactar la primera bola con la segunda aquella pierde toda su energía cinética, que se transmite a lo largo de las siguientes bolas. - Al llegar a la bola nº 5, que está libre, adquiere la misma energía cinética que tenía la bola nº 1 en el momento del impacto. - Finalmente la bola nº 5 se elevará hasta alcanzar la misma altura que tenía la bola nº 1 al iniciar todo el proceso. Es decir, podemos decir que toda la energía potencial inicial de la bola nº 1 se ha transmitido a través del medio material acero hasta la bola nº 5, pero, el medio material (bolas 2 a 4) ha permanecido siempre en el mismo sitio (es evidente que con el tiempo hay pérdidas de energía por transformación de ésta en calor que hacen que la bola nº 5 no adquiera en realidad toda la energía potencial de la bola nº 1). Si en lugar de hacer este experimento con bolas de acero se hubiera hecho con bolas de plastilina el resultado, como podemos imaginar, no sería el mismo. Vibraciones y Ondas

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③ Consecuencias de la transmisión de una onda por un medio: -Una onda es la propagación de energía entre dos puntos de un medio sin que exista transmisión de materia entre dichos puntos. -La transmisión de energía (onda) se inicia en una partícula del medio llamada foco emisor o centro emisor. -El medio de propagación ha de ser elástico (el acero es un medio elástico, la plastilina no). -Las partículas intermedias no se desplazan mientras se transmite la energía, pero dichas partículas vibran en torno a su posición de equilibrio. ④ Pulso y tren de ondas. -Un pulso es una onda de poca duración, como el primer caso de la figura adjunta. Cada partícula de la cuerda está realizando un solo movimiento, empezando por la primera (foco emisor), solo que cada una lo hace en un tiempo determinado. - Un tren de ondas tiene lugar si el foco emisor realiza el mismo movimiento continuadamente en el tiempo, se produce entonces una sucesión de pulsos, es decir, un tren de ondas. [3] ⑤ Nuevas ideas importantes - El movimiento de cada partícula del medio es un movimiento armónico simple en torno a su posición de reposo o equilibrio. - Cada partícula induce este m.a.s. a su vecina, empezando por la primera (foco emisor). - Las partículas no se desplazan de su posición, vibran en torno a ella. - Las leyes de Newton no se pueden aplicar al movimiento de la onda ya que no hay una masa que se esté desplazando. - El movimiento de una onda es uniforme, su velocidad es constante. B) TIPOS DE ONDAS Se pueden utilizar diferentes criterios de clasificación: 1) Según el tipo de energía que se propaga. 2) Según la relación entre la dirección de propagación y la dirección de vibración. 3) Según el número de dimensiones en que se propaga la energía. SEGÚN EL TIPO DE ONDA QUE SE PROPAGA. Podemos distinguir entre ondas mecánicas y ondas electromagnéticas. Ondas mecánicas o materiales - La energía que se propaga es energía mecánica, originada por un oscilador armónico. - Necesitan de un medio material para su propagación. - Ejemplos: ondas en la superficie del agua, en cuerdas, en muelles, el sonido, etc. - El movimiento ondulatorio se transmite entre las partículas del medio porque entre ellas: Vibraciones y Ondas

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

Existe una fuerza recuperadora de tipo elástico que tiende a mantener las partículas unidas (fuerza de naturaleza electromagnética).



bien, como ocurre en las ondas en el agua, la fuerza recuperadora es la gravedad, que tiende a que el agua vuelva a su posición de equilibrio (horizontal).

Ondas electromagnéticas - Se propaga energía electromagnética, producida por oscilaciones de cargas eléctricas aceleradas. - Están formadas por campos eléctricos y magnéticos periódicos y auto-sostenidos. - Se propagan por medios materiales, y también por el vacío, es decir, no precisan de un medio material para su propagación. - Son ondas electromagnéticas todas aquellas comprendidas en el llamado espectro electromagnético (ondas de radio y TV, microondas, ondas infrarrojas, luz visible, ultravioleta, rayos X y rayos gamma). SEGÚN LA RELACIÓN ENTRE LA DIRECCIÓN DE PROPAGACIÓN Y LA DIRECCIÓN DE VIBRACIÓN. Toda onda lleva asociados dos movimientos, el movimiento de propagación de la onda (energía) y el movimiento vibratorio de las partículas del medio (o de los campos eléctricos y magnéticos en las ondas electromagnéticas). Atendiendo a lo mencionado en el párrafo anterior las ondas se pueden clasificar: Ondas transversales - La dirección de propagación del movimiento ondulatorio es perpendicular a la dirección de vibración de las partículas del medio. - Son ondas transversales las que tienen lugar en una cuerda y las ondas electromagnéticas. - Una onda transversal es una sucesión de crestas y valles: Ondas longitudinales - También se suelen llamar ondas de presión - La dirección de propagación del movimiento ondulatorio coincide con la dirección de vibración de las partículas. - Son ondas longitudinales las que tienen lugar en un muelle que se comprime en una parte en horizontal (ver figura) o las ondas sonoras. - Una onda longitudinal es una sucesión de contracciones y dilataciones: SEGÚN EL NÚMERO DE DIMENSIONES EN QUE SE PROPAGA LA ENERGÍA. Ondas unidimensionales, si la energía se propaga en una dirección, como ocurre, por ejemplo, en una onda que se propaga por una cuerda. Vibraciones y Ondas

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Ondas bidimensionales, si la energía se propaga en dos direcciones, en un plano, como las ondas que se propagan por la superficie del agua. Ondas tridimensionales, si la energía se propaga en tres direcciones, en el espacio, como ocurre con el sonido. 5.- MAGNITUDES CARACTERÍSTICAS DE LAS ONDAS Las ondas que vamos a utilizar para nuestro estudio van a ser unidimensional por su mayor sencillez. Se llama longitud de onda λ a la distancia que existe entre dos pulsos sucesivos. O bien la distancia que existe entre dos puntos consecutivos que están con la misma fase.

Amplitud A, es la máxima elongación de los puntos vibrantes. O bien la máxima distancia que existe entre un punto vibrante y su posición de equilibrio.

Periodo es el tiempo T que transcurre entre dos pulsos sucesivos, el tiempo que tarda en propagarse una onda completa.

Frecuencia es el número de pulsos producidos en la unidad de tiempo y es la inversa del periodo.

Velocidad de propagación o velocidad de fase es la distancia que avanza una onda en un periodo, y es constante para cada movimiento ondulatorio siempre que el medio sea homogéneo e isótropo.

v

s    . f t T

El valor de la velocidad de propagación o velocidad de fase, depende de las propiedades del medio tales como elasticidad y rigidez. Un ejemplo es la velocidad de una onda por una cuerda:

𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑇 𝑣=√ =√ 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙 𝜇 siendo μ la densidad lineal de la cuerda (masa por unidad de longitud) y T es la tensión de la cuerda.

Número de onda k es el número de longitudes de onda contenidas en una longitud de 2.

k Por otra parte, puesto que

k

  v.T

2.





2



si lo sustituimos en la ecuación anterior tenemos:

2. 2. . f    ; es decir; k .v   v.T v v

Ondas armónicas. Son aquellas que pueden describirse utilizando las funciones matemáticas seno o coseno. Vibraciones y Ondas

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6.- ECUACIÓN MATEMÁTICA DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO ① La ecuación de una onda es una función matemática de dos variables, 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑡)  Se trata de una función armónica que contiene una función seno o una función coseno. En estos apuntes se trabaja fundamentalmente con ecuaciones de onda expresadas con una función seno.  La ecuación de una onda también se suele llamar función de onda.  La dependencia de dos variables de la función de onda permite, por ejemplo,  Conocer el estado vibración de todas las partículas del medio en un instante determinado.  Conocer el estado de vibración de una partícula concreta del medio en función del tiempo. Es decir, la ecuación del m.a.s. de esa partícula concreta. ② Punto de partida: supongamos una onda transversal que viaja sobre una cuerda estirada. El movimiento es hacia la derecha y se produce con una velocidad v (el sentido del movimiento es importante). En la figura adjunta se muestra la situación en el instante inicial (t = 0). La partícula situada en x = 0, el foco emisor, se encuentra en el estado de vibración y = 0. En realidad, la partícula x = 0 puede empezar su vibración en cualquier punto situado entre +A y –A, siendo A la amplitud de vibración del foco emisor y la amplitud del movimiento ondulatorio que se generará. ③ Situación cuando ha pasado un tiempo cualquiera tr (tiempo de retardo) En la figura el foco emisor se encuentra en y = 0, mientras que el punto P de la cuerda, localizado en x, se encuentra en un estado de vibración y. [8]

④ El punto P hace lo mismo que el foco emisor, pero con un cierto retraso, el tiempo necesario para que la onda llegue desde el origen hasta dicho punto. Como la onda tiene un movimiento uniforme, 𝒙 𝒙 𝒗 = → 𝒕𝒓 = 𝒕𝒓 𝒗 Donde tr es el tiempo de retraso entre el foco emisor y el punto P. ⑤ La ecuación del m.a.s. del foco emisor (x =0) se puede escribir como 𝑦(0, 𝑡) = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) En el ejemplo concreto representado en el punto de partida anterior 𝜑 = 0. En efecto, en el instante inicial, t = 0, 𝑦(0,0) = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔0 + 𝜑) = 0 0 = 𝑠𝑒𝑛(𝜑) → 𝜑 = 0 Vibraciones y Ondas

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No obstante, el caso más general es considerar que existe una fase inicial. ⑥ La partícula situada a una distancia x del foco emisor empezará a moverse con un retrato, y su estado de vibración será en función de su tiempo t’ 𝑦(𝑥, 𝑡 ′ ) = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡′ + 𝜑) Ahora bien, sabemos que esta partícula vibra exactamente igual que el foco emisor solo que con un retraso en el tiempo, es decir, 𝑥 𝑡 ′ = 𝑡 − 𝑡𝑟 = 𝑡 − 𝑣 Por tanto, en función del tiempo medido desde el foco emisor, 𝑥 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔 [𝑡 − ] + 𝜑) 𝑣 ⑦ Transformemos la expresión anterior. 𝜔 = 2𝜋𝑓 =

2𝜋 𝑇

2𝜋 𝑥 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛 ( [𝑡 − ] + 𝜑) 𝑇 𝑣 𝑡 𝑥 𝑡 𝑥𝑓 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛 (2𝜋 [ − ] + 𝜑) = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛 (2𝜋 [ − ] + 𝜑) 𝑇 𝑇𝑣 𝑇 𝑣 𝑡

𝑥

𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛 (2𝜋 [𝑇 − 𝜆] + 𝜑) (1) 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛 ([

2𝜋𝑡 2𝜋𝑥 − ] + 𝜑) 𝑇 𝜆

𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝜑) (2) Las expresiones (1) y (2) son dos maneras de expresar la ecuación de una onda armónica sinusoidal que se desplaza de izquierda a derecha. ⑧ Si la onda se desplazara de derecha a izquierda la exposición sería la misma solo que cambiando la palabra “retraso” por “adelanto”. Así, el resultado sería: 𝑡 𝑥 (3) 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛 (2𝜋 [ + ] + 𝜑) 𝑇 𝜆 (4) 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝑘𝑥 + 𝜑) Las expresiones (3) y (4) son dos maneras de expresar la ecuación de una onda armónica sinusoidal que se desplaza de derecha a izquierda. ⑨ Consideraciones a tener en cuenta. a) La ecuación de onda permite calcular la elongación o estado de vibración de cualquier punto del medio y en cualquier instante. b) Si en la ecuación se fija el valor de x, nos estamos fijando en una partícula concreta del medio y la función de onda nos dará cómo varía la elongación de esa partícula en función del tiempo. Es la ecuación del m.a.s. de dicha partícula. -Ejemplo 1. Para el foco emisor, x = 0, Vibraciones y Ondas

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I.E.S. La Jara/ Villanueva de Córdoba 𝑦(0, 𝑡) = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) donde 𝜑 es la fase inicial del m.a.s. de la partícula x = 0. -Ejemplo 2. Para la partícula situada en x = a, 𝑦(𝑎, 𝑡) = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝑘𝑎 + 𝜑) → 𝑦(𝑎, 𝑡) = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝛿)

donde 𝛿 = 𝑘𝑎 + 𝜑 es la fase inicial del m.a.s. de la partícula x = a. c) Si en la función de onda se considera un instante concreto, es decir, se fija el tiempo, obtenemos el estado de vibración de todas las partículas del medio en dicho instante. Obtenemos así la “forma de la onda” que sería como si se tomara una foto instantánea de la onda en un momento concreto. -Ejemplo 1. Para el instante inicial, t = 0, 𝑦(𝑥, 0) = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 + 𝜑) -Ejemplo 2. Para el instante t = a, 𝑦(𝑥, 𝑎) = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑎 + 𝑘𝑥 + 𝜑) → 𝑦(𝑥, 𝑎) = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 + 𝛿) donde 𝛿 = 𝜔𝑎 + 𝜑 es un valor constante. La representación de esta función puede ser

d) No se debe confundir la velocidad de propagación de la onda, v, con la llamada velocidad de fase, que representa la velocidad de vibración de las partículas y que en el caso de las ondas transversales también se suele llamar velocidad transversal. -Velocidad de propagación, velocidad de la onda 𝑣 = 𝜆𝑓 -Velocidad de vibración, velocidad de fase, 𝑑𝑦 = 𝐴𝜔𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 + 𝑘𝑥 + 𝜑) 𝑑𝑡 Además, podemos calcular la velocidad de vibración máxima o velocidad máxima de fase, 𝑣=

𝑣𝑚𝑎𝑥 = ±𝐴𝜔 e) Al término (𝜔𝑡 + 𝑘𝑥 + 𝜑) se le denomina fase. f) La función de onda también puede expresarse en función del coseno. 𝜋 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 (𝛼 − ) 2 𝑡 𝑥 𝑡 𝑥 𝜋 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛 (2𝜋 [ + ] + 𝜑) = 𝐴 · 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋 [ + ] + 𝜑 − ) 𝑇 𝜆 𝑇 𝜆 2 𝜋 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝜑) = 𝐴 · 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝜑 − ) 2 Vibraciones y Ondas

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Estas son las ecuaciones de una onda armónica cosenoidal que se desplaza de izquierda a derecha, así como su relación con la misma onda pero sinusoidal. Doble periodicidad. Las ecuaciones anteriores son doblemente periódicas en un tiempo t=T y en un espacio

x 

2 . Es decir que la perturbación se repite cada cierto tiempo T y cak

da cierto espacio λ. Efectivamente, si en la ecuación (8) sustituimos el tiempo t por t + T el valor de la perturbación es el mismo:

y  x, t   A cos .t  k . x   A cos .  t  T   k . x    A cos .t  .T  k . x   A cos .t  2  k . x  =A cos .t  k . x  puesto que,

cos A  cos  A  2  y .T  2 . f .T  2 

Y si lo que sustituimos es la " x " por "

x

" tenemos:

y  x, t   A cos .t  k .x   A cos .t  k .  x       A cos .t  k .x  2   A cos .t  k .x  puesto que: cos A  cos  A  2  y k  

2



 2

De la doble periodicidad se pueden sacar varias conclusiones:  Todos los puntos de un medio que equidistan del centro emisor y están a una distancia

n.

de este, están en fase con él.

 Cuando entre dos puntos existe una distancia de n.λ en la dirección de propagación, los dos puntos están en fase.  Cuando entre dos puntos existe una distancia igual a un número impar de medias longitudes de onda, es decir de

 2n  1



2

en la dirección de propagación, los dos puntos

están en fase opuesta. 7. ENERGÍA ASOCIADA AL MOVIMIENTO ONDULATORIO. Se pueden poner numerosos ejemplos que muestran la capacidad de producir cambios por parte de las ondas, hecho que demuestra que las ondas transportan energía en la dirección y sentido en el que viajan: 

Las radiaciones solares son la principal fuente de energía de nuestro planeta.



Las olas del mar son capaces de erosionar la costa.



Las ondas sísmicas pueden destruir estructuras y edificios.



Las ondas sonoras muy intensas pueden romper vidrios y tímpanos. Vibraciones y Ondas

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Etc.

Una onda mecánica se llama así porque transmite energía mecánica por el medio. Una onda armónica transmite la energía de un oscilador armónico (el foco emisor) a través del medio: 1 2 1 1 𝑘𝐴 = 𝑚 𝜔2 𝐴2 = 𝑚 4 𝜋 2 𝑓 2 𝐴2 2 2 2 Donde m es la masa de la partícula vibrante que forma el foco emisor de ondas. Simplificando, 𝐸0 = 2 𝑚 𝜋 2 𝑓 2 𝐴2 𝐸0 =

Esta energía del foco emisor es la que se irradia con una velocidad v en todas las direcciones si la onda es tridimensional, en dos direcciones si es bidimensional y en una dirección si es unidimensional. Como se puede ver en la expresión, la energía que propaga una onda es proporcional al cuadrado de la amplitud y al cuadrado de la frecuencia. 8. ATENUACIÓN Y ABSORCIÓN DE UNA ONDA. ① La energía que propaga una onda viene dada por la expresión de Eo, que da la energía mecánica del foco emisor. ② En una onda tridimensional la energía del foco emisor se va repartiendo sobre superficies esféricas concéntricas cuyo centro es el foco emisor. ③ Al cabo de un tiempo, t1, la energía se habrá repartido entre las partículas que forman el frente de onda de radio r 1. Si v es la velocidad de la onda, 𝑟1 = 𝑣 𝑡1 ④

De la misma manera, un cierto tiempo después, t2, el radio del frente de onda, r2 , será: 𝑟2 = 𝑣 𝑡2

⑤ Ahora bien, la energía que tienen las partículas del frente de onda 1 es la misma que la que tienen en el frente de onda 2 y en el frente de onda 3 (véase la figura). Es la energía que tiene el foco emisor solo que cada vez repartida entre más partículas que ocupan los sucesivos frentes de onda (en una onda plana también hay reparto de energía entre las partículas de un frente de onda. En una onda unidimensional es de suponer que esto no ocurre pues toda la energía del foco emisor pasa a una única partícula vecina). ⑥ Llamaremos E1 a la energía del frente de onda 1, y E2 a la energía del frente de onda 2. Según se ha dicho en el punto anterior, 𝐸1 = 𝐸2 (= 𝐸0 ) 2 𝑚1 𝜋 2 𝑓 2 𝐴12 = 2 𝑚2 𝜋 2 𝑓 2 𝐴22 En esta igualdad vemos que, 

m1 ya no es la masa de una sola partícula sino que representa la masa de las partículas que conforman el frente de onda 1.



m2 representa la masa de las partículas que conforman el frente de onda 2.



Es claro que m2 > m1, la igualdad se mantiene porque entre los sucesivos frentes de onda cambian las amplitudes de vibración, indicadas por A1 y A2 (siendo A2 < A1). En definitiva, Vibraciones y Ondas

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I.E.S. La Jara/ Villanueva de Córdoba 𝑚1 𝐴12 = 𝑚2 𝐴22

⑦ Para determinar m1 y m2, supondremos que los frentes de onda tienen un espesor infinitesimal (dr ) y que el medio (homogéneo) tiene una densidad ρ. En general, la masa de una esfera hueca será, 𝑚 = 𝜌 𝑉 = 𝜌 𝑆 𝑑𝑟 = 𝜌 4 𝜋 𝑟 2 𝑑𝑟 Donde S es la superficie de la esfera y dr, como se ha dicho, su espesor. Por tanto, 𝜌 4 𝜋 𝑟12 𝑑𝑟 𝐴12 = 𝜌 4 𝜋 𝑟22 𝑑𝑟 𝐴22 𝑟12 𝐴12 = 𝑟22 𝐴22 𝑟1 𝐴1 = 𝑟2 𝐴2 𝑟 𝐴 = 𝑐𝑡𝑒 La amplitud de una onda en un punto es inversamente proporcional a la distancia de ese punto al centro emisor. ⑧ Por tanto, la onda, a medida que se aleja del centro emisor, se va amortiguando. La amplitud disminuye y, por tanto, las partículas vibran con menos energía. Esto se debe a que la misma energía se reparte, en cada frente de onda, entre mayor número de partículas, pero la suma de la energía de cada una de las partículas del frente de onda es igual a la energía mecánica del foco emisor. Este fenómeno recibe el nombre de atenuación. Tiene lugar, como se ha dicho, en las ondas bidimensionales y tridimensionales. ⑨ En los medios reales de propagación la onda también se amortigua por pérdida de energía debido a rozamientos, viscosidad, poca elasticidad, etc. En este caso se dice que la onda se amortigua por absorción. 9. INTENSIDAD DE UNA ONDA. Interesa conocer la cantidad de energía que, a través de una onda, llega a un determinado punto del medio en la unidad de tiempo. Para ello se define el término intensidad de una onda. Se llama intensidad de un movimiento ondulatorio en un punto a la energía que atraviesa la unidad de superficie perpendicularmente a la dirección de propagación en la unidad de tiempo. 𝐸 𝑃 𝐼= = 𝑆𝑡 𝑆 La unidad en el S.I. es: 𝐽 𝐽 = 2 2 𝑚 𝑠 𝑚 Volvamos a los frentes de onda 1 y 2 (pág. 17). Hablamos, por tanto, de ondas esféricas. Podemos analizar la relación que existe entre las intensidades de onda en los dos frentes, I 1 e I2, en un instante determinado 𝐼1 =

𝐸1 𝐸1 𝐸2 = , 𝑙ó𝑔𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐼2 = 2 𝑆1 𝑡 4 𝜋 𝑟1 𝑡 4 𝜋 𝑟22 𝑡

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I.E.S. La Jara/ Villanueva de Córdoba 𝐸1 𝐼1 4 𝜋 𝑟12 𝑡 𝑟22 = = 2 𝐸2 𝐼2 𝑟1 2 4 𝜋 𝑟2 𝑡

→ 𝐼1 𝑟12 = 𝐼2 𝑟22

𝐼1 𝑟22 𝐴12 = = 𝐼2 𝑟12 𝐴22 𝐼1 𝐴22 = 𝐼2 𝐴12 Como vemos, la intensidad de una onda es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco, 𝐼 · 𝑟 2 = 𝑐𝑡𝑒 También, la intensidad de una onda es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda, 𝐼 = 𝑐𝑡𝑒 𝐴2 10. ESTUDIO CUALITATIVO DE ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS ONDAS. Principio de Huygens. A finales del siglo XVIl Huygens explicó algunas propiedades de las ondas tales como la reflexión, la difracción , refracción, polarización e interferencias , explicando cómo se propagan los frentes de ondas de un punto a otro y como transmiten su energía diciendo : " Todo punto

de un frente de ondas se convierte en centro emisor de nuevas ondas elementales (ondas secundarias) cuya envolvente es el nuevo frente de ondas".

Supongamos un frente de ondas, cada uno de los puntos a , b, c , d, . . ., posee un m.a.s. , con lo que se convierten en centros emisores de nuevos frentes de ondas secundarias. Al cabo de un cierto instante todas las ondas parciales habrán recorrido la misma distancia y alcanzan los puntos a´, b´, c´, d´, . . . Esta formación sucesiva de frentes de ondas constituye el fenómeno de la propagación del movimiento ondulatorio. Fenómenos ondulatorios que se pueden explicar con el principio de Huygens (entre otros): 

Reflexión



Refracción



Polarización



Difracción Vibraciones y Ondas

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Reflexión.

La reflexión es el cambio de dirección y sentido que experimenta una onda al encontrarse con una superficie que separa dos medios isótropos. Un medio isótropo es el que tiene las mismas propiedades en todos sus puntos. Los elementos de la reflexión son el rayo incidente, el rayo reflejado, la normal (recta perpendicular a la superficie y que pasa por el punto de incidencia ), el ángulo de incidencia (ángulo i que forma el rayo incidente y la normal) y el ángulo de reflexión ( ángulo que forma el rayo reflejado y la normal). Experimentalmente se comprueba que se cumplen las siguientes leyes: 1. El rayo incidente, la normal y el rayo reflejado está en un mismo plano. 2. El ángulo de incidencia y el ángulo de reflexión son iguales. En el caso de ondas luminosas, cada medio se encuentra caracterizado por el índice de refracción que se define como el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz en dicho medio y se designa por la letra n .

𝑛=

𝑣𝑣𝑎𝑐í𝑜 𝑣𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜

=

𝑐 𝑣𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜

𝑚

=

38 2 𝑠 𝑣𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜

Algunos valores de la velocidad de la luz y del índice de refracción son: sustancia

velocidad de la luz

indice de refracción

Vacío Aire agua Alcohol diamante

300.000 Km/s 299.000 Km/s 225.000 Km/s 220.000 Km/s 125.000 Km/s

1 1,0003 1,333 1,363 2,4

Refracción.

La refracción es el cambio de dirección de una onda luminosa al pasar de un medio isótropo a otro con distinto índice de refracción. Los elementos de la refracción son el rayo incidente, el rayo refractado, la normal, el ángulo de incidencia y ángulo de refracción. Al igual que en la reflexión se pueden comprobar experimentalmente las siguientes leyes: 1. La dirección de la onda incidente, de la refractada y la normal está en un mismo plano. 2. El cociente entre el seno del ángulo de incidencia y entre el seno del ángulo de refracción es igual al cociente entre la velocidad de la luz entre ambos medios: Vibraciones y Ondas

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sen i v1 n2   sen t v2 n1

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(16)

Esta ley se conoce con el nombre de ley de Snell . Cuando el rayo pasa de un medio de menor índice de refracción n1 a otro medio de mayor índice de refracción n2 (aire - agua) , el rayo refractado se acerca a la normal . En caso contrario, es decir si pasa de mayor a menor índice de refracción, se aleja. Polarización En las ondas longitudinales sólo hay una posibilidad de vibración, pero en las ondas transversales existen infinitos planos perpendiculares a la dirección de propagación en los que puede tener lugar la vibración. Cuando por medio de algún sistema logramos que la onda sólo

vibre en un sólo plano, entonces decimos que está polarizada. La polarización pues es una cualidad que sólo tiene sentido en las ondas transversales. Se llama plano de polarización al formado por la dirección de vibración y la dirección de propagación. Un ejemplo lo tenemos en la onda que se propaga por una cuerda si todos los pulsos se le dan en el mismo plano.

Difracción ① El fenómeno de difracción se produce cuando un obstáculo impide el avance de una parte de un frente de onda. ② Veamos en principio lo que ocurre en dos situaciones, representadas en las dos figuras siguientes.



Una sucesión de frentes de onda alcanza un obstáculo cuya abertura es mayor a la longitud de onda. Como se observa las ondas se propagan siguiendo la dirección rectilínea de los rayos que parten de la fuente.

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Una sucesión de frentes de onda alcanza un obstáculo cuya abertura tiene un tamaño comparable con la longitud de onda. Los rayos cambian de dirección al llegar a la abertura. Se ha producido un efecto de difracción.

La difracción es la desviación en la propagación rectilínea de las ondas cuando atraviesan una abertura o pasan próximas a un obstáculo. ③ Explicación según el principio de Huygens: en b) los puntos del frente de onda que no están tapados por el obstáculo se comportan como centros emisores de ondas cuya envolvente es el nuevo frente de ondas. Es como si la abertura en b) fuese un nuevo foco emisor de ondas. ④

Curiosidades.

Debido al fenómeno de la difracción podemos oír detrás de un obstáculo, o las ondas electromagnéticas pueden salvar obstáculos, tal como se muestra en la figura adjunta. Mediante este fenómeno se puede explicar la existencia de una zona de penumbra en la esquina entre una calle iluminada y una calle oscura.

Interferencia de dos ondas: Principio de superposición. Supongamos que dos pulsos de onda con sentidos opuestos se cruzan en una cuerda. Mientras se están cruzando sus efectos se suman y posteriormente cada uno conserva su forma general. Este comportamiento es lo que nos indica el principio de superposición que dice "cuando

se propagan dos o más ondas por un medio, la perturbación resultante en cada punto del medio, es igual, a la suma de las perturbaciones que producirían cada una de las ondas por separado".

La coincidencia de dos o más ondas en un punto del medio se conoce con el nombre de interferencia. Una característica esencial de la interferencia es que cada onda continúa propagándose sin sufrir modificaciones tras interferir con otras. En la figura se puede observar que en la zona en que se cruzan los pulsos, la perturbación resultante será la suma de los desplazamientos individuales de cada uno de los Vibraciones y Ondas

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pulsos. Puesto que los desplazamientos tienen sentido contrario, el desplazamiento resultante será la diferencia entre ellos. Cuando la perturbación resultante de la superposición de dos o más ondas supone un refuerzo, se habla de interferencia constructiva (figura 8); cuando ocurre como en la figura que la perturbación resultante es menor que las originales se llama interferencia destructiva. 11. SUPERPOSICIÓN DE ONDAS: ONDAS ESTACIONARIAS ①

¿Qué son? ¿Cuándo se producen?

Las ondas estacionarias se producen por interferencia de dos ondas idénticas (misma amplitud, frecuencia y longitud de onda) que se propagan en sentidos opuestos. ②

Ejemplos: 

Si en una cuerda con un extremo fijo y el otro libre generamos una onda en el extremo libre, éste se propaga hasta el extremo fijo y se refleja volviendo por la cuerda hasta el extremo libre. La onda incidente y reflejada tienen las mismas características.



Las ondas estacionarias se producen en instrumentos musicales, como guitarras y violines, son ondas que se propagan en medios no abiertos o limitados pues tienen obstáculos (los límites de las cuerdas) en los que son reflejadas, entonces las ondas reflejadas interfieren con las ondas incidentes y forman ondas estacionarias.



También se producen ondas estacionarias en tubos sonoros, como la flauta.

Distinguiremos pues tres casos: - Ondas estacionarias en una cuerda fija por un extremo - Ondas estacionarias en una cuerda fija por dos extremos - Ondas estacionarias en tubos sonoros ③

Observación de una onda estacionaria. Características.

El resultado de la interferencia es que unos puntos están siempre en reposo y otros presentan movimiento vibratorio armónico de distintas amplitudes, alcanzando todos en el mismo instante posiciones centrales y extremos de vibración. 

Reciben el nombre de ondas estacionarias porque el perfil de la onda no se desplaza. Cada punto del medio está vibrando siempre de la misma manera.

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

Los puntos que vibran con mayor amplitud se llaman vientres o antinodo. Hay puntos que no vibran, se llaman nodos.



Si la onda estacionaria no se desplaza, en realidad no es una onda pues no hay transporte de energía ya que hay puntos en reposo permanente (nodos) que no la transmiten. En una onda estacionaria se está transformando de forma permanente y para cada partícula vibrante (excepto nodos), energía cinética en energía potencial elástica y viceversa.

④

Ecuación de una onda estacionaria.

La situación de partida será la de la figura superior, una onda se propaga por una cuerda en el sentido negativo del eje OX, su ecuación: 𝑦𝑖 = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝑘𝑥) Al llegar al origen de coordenadas la onda es reflejada. La función de la onda reflejada será: 𝑦𝑟 = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝜋) Donde podemos observar que dicha onda está desfasada 180º respecto de la onda incidente (ha habido un cambio de fase en la reflexión). Ahora bien, como 𝑠𝑒𝑛 (𝛼 + 𝜋) = −𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑦𝑟 = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝜋) = −𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) Si queremos analizar cualquier punto de la cuerda, la función de onda dicho punto será, según el principio de superposición, 𝑦 = 𝑦𝑖 + 𝑦𝑟 = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝑘𝑥) − 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) Como 𝑠𝑒𝑛 𝑎 − 𝑠𝑒𝑛 𝑏 = 2 · 𝑐𝑜𝑠

𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 · 𝑠𝑒𝑛 2 2

entonces 𝑦 = 2 · 𝐴 · 𝑐𝑜𝑠

𝜔𝑡 + 𝑘𝑥 + 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 𝜔𝑡 + 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝑘𝑥 · 𝑠𝑒𝑛 2 2 𝑦 = 2 · 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 · 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡

La ecuación resultante es la ecuación de la onda estacionaria, que depende de la posición y del tiempo separadamente. Si llamamos amplitud resultante a 𝐴𝑟 = 2 · 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥, entonces 𝑦 = 𝐴𝑟 · 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 Como vemos en la ecuación, una onda estacionaria tiene la misma frecuencia y longitud de onda originales y su amplitud depende de la localización de la partícula en la cuerda y no del tiempo. Además vemos que se trata de la ecuación del m.a.s. con la particularidad de que, dependiendo de la partícula que se trate, así será la amplitud de dicho m.a.s. ⑤ Otras ecuaciones de ondas estacionarias. Dependiendo de la función de onda incidente y reflejada que se utilice, se obtienen diferentes formas de la función de onda estacionaria, tal como se observa en la tabla siguiente. Vibraciones y Ondas

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ONDAS INCIDENTE Y REFLEJADA

ONDA ESTACIONARIA

𝑦𝑖 = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝑘𝑥)

𝑦 = 2 · 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 · 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡

𝑦𝑟 = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝜋) 𝑦𝑖 = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝑘𝑥)

𝑦 = 2 · 𝐴 · 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 · 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡

𝑦𝑟 = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) 𝑦𝑖 = 𝐴 · 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝑘𝑥)

𝑦 = 2 · 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 · 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡

𝑦𝑟 = 𝐴 · 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) 𝑦𝑖 = 𝐴 · 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)

𝑦 = 2 · 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 · 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡

𝑦𝑟 = 𝐴 · 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝑘𝑥 + 𝜋)

Por tanto, la ecuación de la onda estacionaria depende de las ecuaciones de las ondas incidente y reflejada que se elijan. ⑥

Posición de nodos y vientres.

Utilizaremos la onda estacionaria deducida en el punto ④, es decir 𝑦 = 2 · 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 · 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑦 = 𝐴𝑟 · 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡

𝐴𝑟 = 2 · 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥

Vientres -La amplitud es máxima cuando 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 = ±1, en esta situación, 𝐴𝑟 = 2 · 𝐴. -Cuando ocurre esta circunstancia, 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 = ±1 2𝜋 𝜆

𝜋

𝑥 = (2𝑛 + 1) · 2

𝑘𝑥 = (2𝑛 + 1) ·

→

𝜋 2

𝜆

→ 𝑥 = (2𝑛 + 1) · 4 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 0, 1, 2, 3 …



Todos los puntos que distan un número impar de cuartos de longitudes de onda del extremo fijo son vientres.



En la figura adjunta se puede ver que la distancia entre vientres consecutivos es λ/2.

Nodos -La amplitud es mínima cuando 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 = 0, en esta situación 𝐴𝑟 = 0 -Cuando ocurre esta circunstancia, 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 = 0 2𝜋 𝑥 =𝑛·𝜋 𝜆 

→

→ 𝑥 =𝑛·

𝑘𝑥 = 𝑛 · 𝜋

𝜆 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 0, 1, 2, 3 … 2

Todos los puntos que distan un número entero de veces la mitad de la longitud de onda son nodos. Vibraciones y Ondas

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En la figura anterior también se puede ver que la distancia entre nodos consecutivos es λ/2.

6.1.- Ondas estacionarias en una cuerda fija por un extremo y en un tubo con un extremo abierto Sea una cuerda, de longitud L, con un extremo fijo y otro libre. En el extremo fijo debe existir un nodo y en el libre, un vientre. La condición de vientre en una onda estacionaria es, según hemos visto 𝜆 4 Si aplicamos la condición de vientre al extremo libre, hacemos x = L 𝑥 = (2𝑛 + 1) ·

𝐿 = (2𝑛 + 1) ·

𝜆 4

Despejamos la longitud de onda 𝜆=

4𝐿 (2𝑛 + 1)

Esta condición es la que deben cumplir todas las ondas estacionarias que se creen en esta cuerda y que vienen descritos en la tabla y figuras siguientes.

n

Modo de vibración

Longitud de onda

frecuencia 𝑓 =

0

Fundamental

𝜆1 = 4𝐿

𝑓1 =

1

Tercer armónico

𝜆2 =

4𝐿 𝜆1 = 3 3

𝑓2 = 3

2

Quinto armónico

𝜆3 =

4𝐿 𝜆1 = 5 5

𝑓3 = 5

3

Séptimo armónico

𝜆=

4𝐿 𝜆1 = 7 7

𝑓4 = 7

𝑣 4𝐿

𝑣 4𝐿 𝑣 4𝐿 𝑣 4𝐿

𝑣 𝜆

Descripción 1 nodo 1 vientre

= 3𝑓1

2 nodo 2 vientres

= 5𝑓1

3 nodo 3 vientres

= 7𝑓1

4 nodo 4 vientres

Ondas estacionarias en una cuerda fija por un extremo

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Ondas estacionarias en un tubo con un extremo abierto cumplen las mismas condiciones

6.2.- Ondas estacionarias en una cuerda fija por sus dos extremos y en tubos con los dos extremos abiertos Sea una cuerda, de longitud L, con los dos extremos fijos. En estas condiciones los dos extremos fijos son dos nodos. La condición de nodo en una onda estacionario es, según hemos visto 𝜆 2 Si aplicamos la condición de nodo a uno de los extremos, hacemos x = L 𝑥=𝑛·

𝐿=𝑛·

𝜆 2

Despejamos la longitud de onda 2𝐿 𝑛 Esta condición es la que deben cumplir todas las ondas estacionarias que se creen en esta cuerda y que vienen descritos en la tabla y figuras siguientes. 𝜆=

n

Modo de vibración

Longitud de onda

frecuencia 𝑓 =

0

Fundamental

𝜆1 = 2𝐿

𝑓1 =

1

Segundo armónico

𝜆2 =

2𝐿 𝜆1 = 2 2

𝑓2 = 2

2

Tercer armónico

𝜆3 =

2𝐿 𝜆1 = 3 3

𝑓3 = 3

3

Cuarto armónico

2𝐿 𝜆1 𝜆= = 4 4

𝑓4 = 4

𝑣 2𝐿

𝑣 2𝐿 𝑣 2𝐿 𝑣 2𝐿

𝑣 𝜆

Descripción 2 nodo 1 vientre

= 2𝑓1

3 nodo 2 vientres

= 3𝑓1

4 nodo 3 vientres

= 4𝑓1

5 nodo 4 vientres

Ondas estacionarias en una cuerda fija por sus dos extremos

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Ondas estacionarias en tubos con los dos extremos abiertos

12. ONDAS SONORAS ① Definiciones: 

El sonido es una vibración o perturbación mecánica de algún cuerpo que se propaga en forma de ondas a través del medio material que rodea a dicho cuerpo.



La onda mediante la cual se propaga el sonido a través de un medio material elástico se llama onda sonora.

② Una onda sonora es una onda mecánica longitudinal. Analicemos básicamente cómo se genera una onda sonora en el aire. Un cuerpo en oscilación (por ejemplo, la membrana de un tambor al ser golpeada) pone en movimiento a las moléculas de aire (del medio) que lo rodean. Éstas, a su vez, transmiten ese movimiento a las moléculas vecinas y así sucesivamente. Cada molécula de aire entra en oscilación en torno a su punto de reposo. Es decir, el desplazamiento que sufre cada molécula es pequeño. Pero el movimiento se propaga a través del medio. Entre la fuente sonora (el cuerpo en oscilación) y el receptor (el ser humano) tenemos entonces una transmisión de energía pero no un traslado de materia. No son las moléculas de aire que rodean al cuerpo en oscilación las que hacen entrar en movimiento al tímpano, sino las que están junto al mismo, que fueron puestas en movimiento a medida que la onda se fue propagando en el medio. El (pequeño) desplazamiento (oscilatorio) que sufren las distintas moléculas de aire genera zonas en las que hay una mayor concentración de moléculas (mayor densidad), zonas de condensación, y zonas en las que hay una menor concentración de moléculas (menor densidad), zonas de rarefacción. Esas zonas de mayor o menor densidad generan una variación alterna en la presión estática del aire (la presión del aire en ausencia de sonido). Es lo que se conoce como presión sonora (ver figura adjunta) ③ Una onda sonora se puede estudiar bajo dos puntos de vista: 1º) Como una onda de presión. En la figura adjunta se ha representado cómo varía la presión en el aire en torno a un valor central (P) cuando se produce una onda sonora. La onda así representada (onda de presión) obedece a la expresión, ∆𝑃(𝑥, 𝑡) = ∆𝑃𝑚𝑎𝑥 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 ± 𝑘𝑥) Vibraciones y Ondas

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Esta función representa la variación armónica de la presión del medio en torno a una presión de equilibrio. 2º) Como una onda de desplazamiento. Se puede representar la variación de la posición de pequeños elementos de volumen del medio respecto de su posición de equilibrio (onda de desplazamiento). En efecto, cualquier elemento de volumen oscila longitudinalmente en torno a una posición de equilibrio con un movimiento armónico simple. La función de onda será: 𝜋 ∆𝑥(𝑥, 𝑡) = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 ± 𝑘𝑥 + ) = 𝐴 · 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 ± 𝑘𝑥) 2 Es decir la onda de desplazamiento está desfasada respecto de la onda de presión (y viceversa) 90º (no apreciable en las figuras de la página anterior y sí en la figura de esta página). Esto es así porque los máximos de presión corresponden a mínimos de desplazamiento y viceversa. 13. CUALIDADES DEL SONIDO El ser humano puede distinguir (sin mirar al foco emisor) entre diferentes tipos de sonidos. Esto es así porque distinguimos entre tres cualidades del sonido que están relacionadas con las características de las ondas sonoras: intensidad, tono y timbre. 13.1.- Intensidad Está relacionada con la amplitud de la onda (energía). Es el volumen acústico o energía que transmite la onda por unidad de tiempo a través de la unidad de superficie perpendicular a la dirección de propagación. Una forma de medir la intensidad relativa de una onda sonora es el decibelio, dB, (en honor a Alexander Graham Bell): 

El umbral de audición en el ser humano se sitúa para ondas sonoras cuya intensidad (intensidad umbral) es, 𝐼0 = 1.0 · 10−12 𝑊 · 𝑚−2



El umbral del dolor en el ser humano, es decir, la intensidad máxima que el oído humano puede registrar sin sentir dolor (no de forma continuada) se sitúa para ondas sonoras cuya intensidad está en torno a 1 W·m-2.



Se define el nivel de intensidad sonora (β) como un submúltiplo del belio, concretamente como la décima parte y se denomina decibelio (dB). Se determina con la expresión 𝛽 = 10 · 𝑙𝑜𝑔

𝐼 𝐼0

Donde Io es el umbral de audición, e I es la intensidad sonora considerada. - Es evidente que si I = Io, β = 0 dB. Es el umbral de audición - Si I = 1 W·m-2, β = 120 dB. Es el umbral del dolor.

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13.2.- Tono Es la cualidad del sonido relacionada con la frecuencia. Los sonidos graves son de baja frecuencia y los sonidos agudos son de alta frecuencia. Las ondas sonoras se llaman así porque las podemos percibir los seres humanos. Se trata de ondas cuya frecuencia oscila entre 20 y 20000 Hz. Así, 

Ondas sonoras de 20 Hz corresponden a sonidos muy graves. Para una velocidad de la onda sonora de 340 m/s corresponden a una longitud de onda es de 17 m (onda larga).



Ondas sonoras de 20000 Hz corresponden a sonidos muy agudos. Para un velocidad de la onda sonora de 340 m/s corresponden a una longitud de onda de 0,017 m (onda corta).



Las ondas ultrasónicas (no percibidas por los seres humanos) tienen una frecuencia superior a 0000 Hz. Los ultrasonidos son utilizados como “radar” por murciélagos y delfines. Las ecografías de abdomen se consiguen mediante ondas ultrasónicas cuya frecuencia oscila entre 2 y 5 MHz.



Los infrasonidos (no percibidos por los seres humanos) tienen una frecuencia inferior a 20 Hz. Los elefantes los utilizan para comunicarse. Las ondas sísmicas van acompañadas de infrasonidos.

13.3.- Timbre Es la cualidad del sonido que está relacionada con la forma de la onda. Esta cualidad es la que nos permite identificar entre dos sonidos con la misma intensidad y tono pero emitidos por cuerpos diferentes, por ejemplo, una misma nota emitida por un violín o un piano.

SELECTIVIDADES SELECTIVIDAD 2001 1.- Un objeto de 0,2 kg, unido al extremo de un resorte, efectúa oscilaciones armónicas de 0,1  s de período y su energía cinética máxima es de 0,5 J. a) Escriba la ecuación de movimiento del objeto y determine la constante elástica del resorte. b) Explique cómo cambiarían las características del movimiento si: i) se sustituye el resorte por otro de constante elástica doble; ii) se sustituye el objeto por otro de masa doble. 2.-Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, razonando las respuestas: a) Si la aceleración de una partícula es proporcional a su desplazamiento respecto de un punto y de sentido opuesto, el movimiento de la partícula es armónico simple. b) En un movimiento armónico simple la amplitud y la frecuencia aumentan si aumenta la energía. 3.- La ecuación de una onda en una cuerda es: y ( x, t ) = 0,2 sen 6  x · cos 20  t ( S.I.) a) Explique las características de la onda y calcule su periodo, longitud de onda y velocidad de propagación. b) Determine la distancia entre dos puntos consecutivos con amplitud cero e indique el nombre y las características de dichos puntos. 4.- Se hace vibrar transversalmente un extremo de una cuerda de gran longitud con un período de 0,5 s y una amplitud de 0,2cm, propagándose a través de ella una onda con una velocidad de 0,1 m.s – 1. a) Escriba la ecuación de la onda, indicando el razonamiento seguido. b) Explique qué características de la onda cambian si: i) se aumenta el período de la vibración en el extremo de la cuerda; ii) se varía la tensión de la cuerda. 5.- Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, razonando las respuestas: a) La velocidad de propagación de una onda armónica es proporcional a su longitud de onda. b) Cuando una onda incide en la superficie de separación de dos medios, las ondas reflejada y refractada tienen igual frecuencia e igual longitud de onda que la onda incidente. 6.- a) Defina: onda, velocidad de propagación, longitud de onda, frecuencia, amplitud, elongación y fase.

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b) Dos ondas viajeras se propagan por un mismo medio y la frecuencia de una es doble que la de la otra. Explique la relación entre las diferentes magnitudes de ambas ondas.

SELECTIVIDAD 2002 1.- a) Represente gráficamente las energías cinética, potencial y mecánica de una partícula que vibra con movimiento armónico simple.

b) ¿Se duplicaría la energía mecánica de la partícula si se duplicase la frecuencia del movimiento armónico simple? Razone la respuesta. 2.- a) Explique los fenómenos de reflexión y refracción de una onda. b) ¿Tienen igual frecuencia, longitud de onda y velocidad de propagación la onda incidente, la reflejada y la refractada? 3.- La perturbación, , asociada a una nota musical tiene por ecuación:  ( x, t ) = 5,5 · 10 - 3 sen ( 2764,6 t – 8,11 x )

(SI)

a) Explique las características de la onda y determine su frecuencia, longitud de onda, período y velocidad de propagación. b) ¿Cómo se modificaría la ecuación de onda anterior si, al aumentar la temperatura del aire, la velocidad de propagación aumenta hasta un valor de 353 m s - 1? 4.- a) Explique las diferencias entre ondas transversales y ondas longitudinales y ponga algún ejemplo. b) ¿Qué es una onda estacionaria? Comente sus características. 5.- a) ¿Qué características debe tener una fuerza para que al actuar sobre un cuerpo le produzca un movimiento armónico simple? b) Represente gráficamente el movimiento armónico simple de una partícula dado por: y=5cos(10t+/2) (S I) y otro movimiento armónico que tenga una amplitud doble y una frecuencia mitad que el anterior. 6.- Por una cuerda tensa (a lo largo del eje x) se propaga una onda armónica transversal de amplitud A = 5 cm y de frecuencia f = 2 Hz con una velocidad de propagación v = 1,2 m s - 1. a) Escriba la ecuación de la onda. b) Explique qué tipo de movimiento realiza el punto de la cuerda situado en x = 1 m y calcule su velocidad máxima.

SELECTIVIDAD 2003 1.- Un altavoz produce una onda sonora de 10-3m de amplitud y una frecuencia de 200Hz, que se propaga con una velocidad de 340ms-1. a) Escriba la ecuación de la onda, suponiendo que ésta se propaga en una sola dirección. b) Represente la variación espacial de la onda, en los instantes t = 0 y t = T / 4. 2.- a) Explique las diferencias entre ondas longitudinales y ondas transversales y ponga algún ejemplo de onda de cada tipo. b) ¿Qué es una onda estacionaria? Comente sus características. 3.- Dos fenómenos físicos vienen descritos por las expresiones siguientes: y = A sen b t y = A sen (b t – c x) en las que “x” e “y” son coordenadas espaciales y “t” el tiempo. a) Explique de qué tipo de fenómeno físico se trata en cada caso e identifique los parámetros que aparecen en dichas expresiones, indicando sus respectivas unidades. b) ¿Qué diferencia señalaría respecto de la periodicidad de ambos fenómenos? 4.- Una onda armónica de amplitud 0,3m se propaga por una cuerda con una velocidad de 2ms-1 y longitud de onda de 0,25 m. a) Escriba la ecuación de la onda en función de x y t. b) Determine la velocidad de un punto de la cuerda situado en x = 13/16 m, en el instante t=0,5s. 5.- Considere la ecuación de onda: y (x, t) = A sen (b t – c x) a) ¿Qué representan los coeficientes A, b y c? ¿Cuáles son sus unidades?

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b) ¿Qué cambios supondría que la función fuera “cos” en lugar de “sen”? ¿Y que el signo dentro del paréntesis fuera “+” y no “-“?

SELECTIVIDAD 2004 1.- a) ¿Cuáles son las longitudes de onda posibles de las ondas estacionarias producidas en una cuerda tensa, de longitud L, sujeta por ambos extremos? Razone la respuesta. b) ¿En qué lugares de la cuerda se encuentran los puntos de amplitud máxima? ¿Y los de amplitud nula? Razone la respuesta. 2.- Por una cuerda se propaga un movimiento ondulatorio caracterizado por la función de onda:

x t y  A sen 2     T  Razone a qué distancia se encuentran dos puntos de esa cuerda si: a) La diferencia de fase entre ellos es de π radianes. b) Alcanzan la máxima elongación con un retardo de un cuarto de periodo. 3.- a) ¿Qué es una onda armónica o sinusoidal? ¿De cuáles de sus características depende la energía que transporta? b) ¿Qué diferencias existen entre el movimiento de una onda a través de un medio y el movimiento de las partículas del propio medio? 4.- Una partícula de 50g vibra a lo largo del eje X, alejándose como máximo 10cm a un lado y a otro de la posición de equilibrio (x = 0). El estudio de su movimiento ha revelado que existe una relación sencilla 2

entre la aceleración y la posición que ocupa en cada instante: a = -16 π x. a) Escriba las expresiones de la posición y de la velocidad de la partícula en función del tiempo, sabiendo que este último se comenzó a medir cuando la partícula pasaba por la posición x=10cm. b) Calcule las energías cinética y potencial de la partícula cuando se encuentra a 5cm de la posición de equilibrio. 5.- Por una cuerda tensa, colocada a lo largo del eje X, se propaga un movimiento ondulatorio transversal cuya función de onda es:

y  0,15sen  4 x  400 t 

a) Represente gráficamente la forma de la onda en el instante inicial y un cuarto de periodo después. b) Determine la elongación y la velocidad de un punto de la cuerda situado en la posición x=0,5m, en el instante t=0,01s. 6.- Un tabique móvil ha provocado, en la superficie del agua de un estanque un movimiento ondulatorio caracterizado por la función:

  y  0, 04sen 10 x  4 t   2 

Suponiendo que los frentes de onda producidos se propagan sin pérdida de energía, determine: a) El tiempo que tarda en ser alcanzado por el movimiento un punto situado a una distancia de 3 m del tabique. b) La elongación y la velocidad, en dicho punto, 0,5 s después de haberse iniciado el movimiento.

SELECTIVIDAD 2005 1.- Razone las respuestas a las siguientes cuestiones: a) ¿En qué consiste la refracción de ondas? Enuncie sus leyes. b) ¿Qué características de la onda varían al pasar de un medio a otro? 2.- Una partícula de 0,2 kg describe un movimiento armónico simple a lo largo del eje x, de frecuencia 20 Hz. En el instante inicial la partícula pasa por el origen, moviéndose hacia la derecha, y su velocidad es máxima. En otro instante de la oscilación la energía cinética es 0,2 J y la energía potencial es 0,6 J. a) Escriba la ecuación de movimiento de la partícula y calcule su aceleración máxima.

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b) Explique, con ayuda de una gráfica, los cambios de energía cinética y de energía potencial durante una oscilación. 3.- La ecuación de una onda armónica en una cuerda tensa es:

y  x, t   Asen t  kx 

a) Indique el significado de las magnitudes que aparecen en dicha expresión. b) Escriba la ecuación de otra onda que se propague en la misma cuerda en sentido opuesto, de amplitud mitad y frecuencia doble que la anterior. 4.- La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda tensa es:

y  x, t   0,05sen  25t  2x  (S.I .)

a) Explique de qué tipo de onda se trata y en qué sentido se propaga e indique cuáles son su amplitud, frecuencia y longitud de onda. b) Calcule la velocidad de propagación de la onda y la velocidad del punto x = 0 de la cuerda en el instante t = 1 s y explique el significado de cada una de ellas. 5.- Una partícula describe un movimiento armónico simple de amplitud A y frecuencia f. a) Represente en un gráfico la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula en función del tiempo y comente sus características. b) Explique cómo varían la amplitud y la frecuencia del movimiento y la energía mecánica de la partícula al duplicar el periodo de oscilación. 6.- La ecuación de una onda en una cuerda es: y(x,t)0,4sen12xcos40t (S.I.) a) Explique las características de la onda y calcule su periodo, longitud de onda y velocidad de propagación. b) Determine la distancia entre dos puntos consecutivos con amplitud cero.

SELECTIVIDAD 2006 1.- a) Comente la siguiente afirmación: “las ondas estacionarias no son ondas propiamente dichas” y razone si una onda estacionaria transporta energía. b) Al arrojar una piedra a un estanque con agua y al pulsar la cuerda de una guitarra se producen fenómenos ondulatorios. Razone qué tipo de onda se ha producido en cada caso y comente las diferencias entre ambas. 2.- Un bloque de 0,5 kg cuelga del extremo inferior de un resorte de constante elástica k = 72 N m -1. Al desplazar el bloque verticalmente hacia abajo de su posición de equilibrio comienza a oscilar, pasando por el punto de equilibrio con una velocidad de 6 m s -1. a) Razone los cambios energéticos que se producen en el proceso. b) Determine la amplitud y la frecuencia de oscilación. 3.- a) Demuestre que en un oscilador armónico simple la aceleración es proporcional al desplazamiento pero de sentido contrario. b) Una partícula realiza un movimiento armónico simple sobre el eje OX y en el instante inicial pasa por la posición de equilibrio. Escriba la ecuación del movimiento y razone cuándo es máxima la aceleración. 4.- La ecuación de una onda en una cuerda tensa es: y (x, t) = 4 · 10 -3 sen 8  x cos 30  t

(S.I.)

a) Indique qué tipo de onda es y calcule su período y su longitud de onda. b) Explique cuál es la velocidad de propagación de la onda y cuál es la velocidad de los puntos de la cuerda. Calcule la velocidad máxima del punto x = 0,5 m. 5.- a) Explique qué son una onda transversal y una onda longitudinal. ¿Qué quiere decir que una onda está polarizada linealmente? b) ¿Por qué se dice que en un fenómeno ondulatorio se da una doble periodicidad? ¿Qué magnitudes físicas la caracterizan? 6.- Por una cuerda se propaga la onda; y = cos (50 t – 2 x)(S.I.)

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a) Indique de qué tipo de onda se trata y determine su velocidad de propagación y su amplitud. b) Explique qué tipo de movimiento efectúan los puntos de la cuerda y calcule el desplazamiento del punto situado en x = 10 cm en el instante t = 0,25s

SELECTIVIDAD 2007 1.- La ecuación de una onda armónica que se propaga por una cuerda es: y (x, t) = 0,08 cos (16 t - 10 x) (S.I.) a) Determine el sentido de propagación de la onda, su amplitud, periodo, longitud de onda y velocidad de propagación. b) Explique cómo se mueve a lo largo del tiempo un punto de la cuerda y calcule su velocidad máxima. 2. Un movimiento armónico simple viene descrito por la ecuación x (t) = A sen (ωt + δ). a) Escriba la velocidad y la aceleración de la partícula en función del tiempo y explique cómo varían a lo largo de una oscilación. b) Deduzca las expresiones de las energías cinética y potencial en función de la posición y explique sus cambios a lo largo de la oscilación. 3. a) Explique qué es una onda armónica y escriba su ecuación. b) Una onda armónica es doblemente periódica. ¿Qué significado tiene esa afirmación? Haga esquemas para representar ambas periodicidades y coméntelos. 4. La ecuación de una onda es: y (x, t) = 0,16 cos (0,8 x) cos (100 t) (S. I.) a) Con la ayuda de un dibujo, explique las características de dicha onda. b) Determine la amplitud, longitud de onda, frecuencia y velocidad de propagación de las ondas cuya superposición podría generar dicha onda. 5. a) Defina qué es una onda estacionaria e indique cómo se produce y cuáles son sus características. Haga un esquema de una onda estacionaria y coméntelo. b) Explique por qué, cuando en una guitarra se acorta la longitud de una cuerda, el sonido resulta más agudo. 6. Un cuerpo realiza un movimiento vibratorio armónico simple. a) Escriba la ecuación de movimiento si la aceleración máxima es 52 cm s -2, el periodo de las oscilaciones 2 s y la elongación del cuerpo al iniciarse el movimiento 2,5 cm. b) Represente gráficamente la elongación y la velocidad en función del tiempo y comente la gráfica.

SELECTIVIDAD 2008 1.- En una cuerda tensa de 16m de longitud, con sus extremos fijos, se ha generado una onda de ecuación:

 y  x, t   0, 02sen  4

 x  cos  8 t  

 S .I .

a) Explique de qué tipo de onda se trata y cómo podría producirse. Calcule su longitud de onda y su frecuencia. b) Calcule la velocidad en función del tiempo de los puntos de la cuerda que se encuentran a 4 m y 6 m, respectivamente, de uno de los extremos y comente los resultados. 2. a) Explique qué son ondas estacionarias y describa sus características. b) En una cuerda se ha generado una onda estacionaria. Explique por qué no se propaga energía a través de la cuerda. 3. a) Describa el movimiento armónico simple y comente sus características cinemáticas y dinámicas. b) Una masa oscila verticalmente suspendida de un muelle. Describa los tipos de energía que intervienen y sus respectivas transformaciones. 4. La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda es:

y  x, t   0,02sen 100t  40x 

 S.I .

a) Razone si es transversal o longitudinal y calcule la amplitud, la longitud de onda y el periodo. b) Calcule la velocidad de propagación de la onda. ¿Es ésa la velocidad con la que se mueven los puntos de la cuerda? ¿Qué implicaría que el signo negativo del paréntesis fuera positivo? Razone las respuestas.

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5. En una cuerda tensa, sujeta por sus extremos, se tiene una onda de ecuación:

y  x, t   0,02sen  4 x  cos  200 t 

 S.I .

a) Indique el tipo de onda de que se trata. Explique las características de las ondas que dan lugar a la indicada y escriba sus respectivas ecuaciones. b) Calcule razonadamente la longitud mínima de la cuerda que puede contener esa onda. ¿Podría existir esa onda en una cuerda más larga? Razone la respuesta. 6. Un bloque de 0,5 kg se encuentra sobre una superficie horizontal sin rozamiento, sujeto al extremo de un resorte de constante elástica k = 200 N m-1. Se tira del bloque hasta alargar el resorte 10 cm y se suelta. a) Escriba la ecuación de movimiento del bloque y calcule su energía mecánica. b) Explique cualitativamente las transformaciones energéticas durante el movimiento del bloque si existiera rozamiento con la superficie.

SELECTIVIDAD 2009 1.- La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda tensa es: y (x, t) =0,03 sen (2t - 3x) (S. l.) a).Explique de qué tipo de onda se trata, en qué sentido se propaga y calcule el valor de la elongación en x =0,1 m para t =0,2s. b) Determine la velocidad máxima de las partículas de la cuerda y la velocidad de propagación.. 2.- a) Escriba la ecuación de un movimiento armónico simple y explique el significado físico de cada una de las variables que aparecen en ella. b) ¿Cómo cambiarían las variables de dicha ecuación si se duplicaran el periodo de movimiento y la energía mecánica de la partícula. 3.- a) Razone qué características deben tener dos ondas, que se propagan por una cuerda tensa con sus dos extremos fijos, para que su superposición origine una onda estacionaria. b) Explique qué valores de la longitud de onda pueden darse sí la longitud de la cuerda es L. 4.- Una antena emite una onda de radio de 6.107Hz. a) Explique las diferencias entre esa onda y una onda sonora de la misma longitud de onda y determine la frecuencia de esta última. b) La onda de radio penetra en un medio y su velocidad se reduce a 0,75 c. Determine su frecuencia y su longitud de onda en ese medio. c=3.108 m.s-1; v=340 m.s-1 5.- Una onda armónica se propaga de derecha a izquierda por una cuerda con una velocidad de 8 m.s -1. Su periodo es de 0,5s y su amplitud es de 0,3m. a) Escriba la ecuación de la onda, razonando cómo obtiene el valor de cada una de las variables que intervienen en ella. b) Calcule la velocidad de una partícula de la cuerda situada en x=2m, en el instante t = 1 s. 6.- a) Explique qué magnitudes describen las periodicidades espacial y temporal de una onda e indique si están relacionadas entre sí. b) Razone qué tipo de movimiento, efectúan los puntos de una cuerda por la que se propaga una onda armónica. 7.- Por una cuerda tensa se propaga la onda: y (x, t) =8.10-2 cos (0,5 x) sen (50t) (S.I.) a) Indique las características de la onda y calcule la distancia entre el 2º y eI 5° nodo. b) Explique las características de las ondas cuya superposición daría lugar a esa onda, escriba sus ecuaciones y calcule su velocidad de propagación.

SELECTIVIDAD 2010 1. a) Escriba la ecuación de una onda estacionaria en una cuerda con sus dos extremos fijos, y explique el significado físico de cada una de los parámetros que aparecen en ella. b) Explique qué puntos de la cuerda del apartado anterior permanecen en reposo. ¿Qué puntos oscilan con amplitud máxima? 2. Un bloque de 0,12 kg, situado sobre una superficie horizontal lisa y unido al extremo de un resorte, oscila con una amplitud de 0,20 m.

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a) Si la energía mecánica del bloque es de 6 J, determine razonadamente la constante elástica del resorte y el periodo de las oscilaciones. b) Calcule los valores de la energía cinética y de la energía potencial cuando el bloque se encuentra a 0,10 m de la posición de equilibrio. 3. a) Explique qué son ondas longitudinales y transversales. b) ¿Qué diferencias señalaría entre las características de las ondas luminosas y sonoras? 4. a) Explique qué es un movimiento armónico simple y cuáles son sus características dinámicas. b) Razone cómo cambiarían la amplitud y la frecuencia de un movimiento armónico simple si: i) aumentara la energía mecánica, ii) disminuyera la masa oscilante.

 2

5. La ecuación de una onda es: y  x, t   10.sen 

 x  .sen 100 t  

S.I.

a) Explique de qué tipo de onda se trata y describa sus características. b) Determine la amplitud y la velocidad de propagación de las ondas cuya superposición daría lugar a dicha onda. ¿Qué distancia hay entre tres nodos consecutivos? 6. Un cuerpo, situado sobre una superficie horizontal lisa y unido al extremo de un resorte, efectúa un movimiento armónico simple y los valores máximos de su velocidad y aceleración son 0,6 m s -1 y 7,2 m s-2 respectivamente. a) Determine el período y la amplitud del movimiento. b) Razone cómo variaría la energía mecánica del cuerpo si se duplicara: i) la frecuencia; ii) la aceleración máxima. 7. La ecuación de una onda armónica es: y  x, t   A.sen  bt  cx  a) Indique las características de dicha onda y lo que representa cada uno de los parámetros A, b y c. b) ¿Cómo cambiarían las características de la onda si el signo negativo fuera positivo? 8. En una cuerda tensa se genera una onda viajera de 10 cm de amplitud mediante un oscilador de 20 Hz. La onda se propaga a 2 m s-1. a) Escriba la ecuación de la onda suponiendo que se propaga de derecha a izquierda y que en el instante inicial la elongación en el foco es nula. b) Determine la velocidad de una partícula de la cuerda situada a 1 m del foco emisor en el instante 3 s.

SELECTIVIDAD 2011 1. Un cuerpo de 0,1 kg, unido al extremo de un resorte de constante elástica 10 N m -1, se desliza sobre una superficie horizontal lisa y su energía mecánica es de 1,2 J. a) Determine la amplitud y el periodo de oscilación. b) Escriba la ecuación de movimiento, sabiendo que en el instante t = 0 el cuerpo tiene aceleración máxima, y calcule la velocidad del cuerpo en el instante t = 5 s. 2. Una partícula de 3 kg describe un movimiento armónico simple a lo largo del eje X entre los puntos x = - 2 m y x = 2 m y tarda 0,5 segundos en recorrer la distancia entre ambos puntos. a) Escriba la ecuación del movimiento sabiendo que en t = 0 la partícula se encuentra en x = 0. b) Escriba las expresiones de la energía cinética y de la energía potencial de la partícula en función del tiempo y haga una representación gráfica de dichas energías para el intervalo de tiempo de una oscilación completa. 3. a) Escriba la ecuación de un movimiento armónico simple y explique el significado de cada una de las variables que aparecen en ella. b) ¿Cómo cambiarían las variables de dicha ecuación si el periodo del movimiento fuera doble? ¿Y si la energía mecánica fuera doble? 4. Por una cuerda se propaga la onda de ecuación: y (x, t) = 0,05 sen 2 π (2t - 5x) (S. I.) a) Indique de qué tipo de onda se trata y determine su longitud de onda, frecuencia, periodo y velocidad de propagación. b) Represente gráficamente la posición de un punto de la cuerda situado en x = 0, en el intervalo de tiempo comprendido entre t = 0 y t =1s. 5. La ecuación de una onda en una cuerda es: y (x, t) = 0,1 sen π x cos 2 π t (S. I.) a) Explique las características de la onda y calcule su periodo, longitud de onda y velocidad de propagación.

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b) Explique qué tipo de movimiento realizan las partículas de la cuerda y determine la velocidad de una partícula situada en el punto x = 1,5 m, en el instante t = 0,25 s. 6. a) Movimiento armónico simple; características cinemáticas y dinámicas. b) Un bloque unido a un resorte efectúa un movimiento armónico simple sobre una superficie horizontal. Razone cómo cambiarían las características del movimiento al depositar sobre el bloque otro de igual masa. 7. Una onda transversal se propaga por una cuerda en el sentido negativo del eje X con las siguientes características: A = 0,2 m, λ = 0,4 m, f = 10 Hz. a) Escriba la ecuación de la onda sabiendo que la perturbación, y(x,t), toma su valor máximo en el punto x = 0, en el instante t = 0. b) Explique qué tipo de movimiento realiza un punto de la cuerda situado en la posición x = 10 cm y calcule la velocidad de ese punto en el instante t = 2 s. 8. a) Movimiento armónico simple; características cinemáticas y dinámicas. b) Razone si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: En un movimiento armónico simple la amplitud y la frecuencia aumentan si aumenta la energía mecánica.

SELECTIVIDAD 2012 1. a) Escriba la ecuación de un movimiento armónico simple y explique cómo varían con el tiempo la velocidad y la aceleración de la partícula. b) Comente la siguiente afirmación: “si la aceleración de una partícula es proporcional a su desplazamiento respecto de un punto y de sentido opuesto, su movimiento es armónico simple”. 2. a) Energía mecánica de un oscilador armónico simple. Utilice una representación gráfica para explicar la variación de las energías cinética, potencial y mecánica en función de la posición. b) Dos partículas de masas m1 y m2 (m2 > m1), unidas a resortes de la misma constante k, describen movimientos armónicos simples de igual amplitud. ¿Cuál de las dos partículas tiene mayor energía cinética al pasar por su posición de equilibrio? ¿Cuál de las dos pasa por esa posición a mayor velocidad? Razone las respuestas. 3. a) Defina el concepto de onda e indique las características de las ondas longitudinales y transversales. Ponga un ejemplo de cada tipo. b) ¿Qué es una onda polarizada? Comente la siguiente frase: “las ondas sonoras no se pueden polarizar”. 4. La ecuación de una onda en la superficie de un lago es: y (x, t) = 5·10-2 cos (0,5 t - 0,1 x) (S. I.) a) Explique qué tipo de onda es y cuáles son sus características y determine su velocidad de propagación. b) Analice qué tipo de movimiento realizan las moléculas de agua de la superficie del lago y determine su velocidad máxima. 5. Un radar emite una onda de radio de 6·107 Hz. a) Explique las diferencias entre esa onda y una onda sonora de la misma longitud de onda y determine la frecuencia de esta última. b) La onda emitida por el radar tarda 3·10-6 s en volver al detector después de reflejarse en un obstáculo. Calcule la distancia entre el obstáculo y el radar. c = 3·108 m s-1 ; vsonido = 340 m s-1 6. Una onda transversal se propaga en el sentido negativo del eje X. Su longitud de onda es 3,75 m, su amplitud 2 m y su velocidad de propagación 3 m s-1. a) Escriba la ecuación de la onda suponiendo que en el punto x = 0 la perturbación es nula en t = 0. b) Determine la velocidad y la aceleración máximas de un punto del medio. 7. Una cuerda vibra de acuerdo con la ecuación:

1  y  x, t   5cos   x  ·sen  40t   S .I . 3  a) Indique qué tipo de onda es y cuáles son su amplitud y frecuencia. ¿Cuál es la velocidad de propagación de las ondas que por superposición dan lugar a la anterior? b) Calcule la distancia entre dos nodos consecutivos y la velocidad de un punto de la cuerda situado en x =1,5 m, en el instante t = 2 s.

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8. En una cuerda tensa de 16 m de longitud con sus extremos fijos se ha generado una onda de ecuación:

y  x, t   0,02sen  x  ·cos 8 t   S.I .

a) Explique de qué tipo de onda se trata y cómo podría producirse. Calcule su longitud de onda y su frecuencia. b) Calcule la velocidad en función del tiempo de los puntos de la cuerda que se encuentran a 4 m y 4,5 m, respectivamente, de uno de los extremos y comente los resultados. 9. Una onda en una cuerda viene descrita por: y (x, t) = 0,5 cos x · sen (30 t) (S. I.) a) Explique qué tipo de movimiento describen los puntos de la cuerda y calcule la máxima velocidad del punto situado en x = 3,5 m. b) Determine la velocidad de propagación y la amplitud de las ondas cuya superposición darían origen a la onda indicada.

SELECTIVIDAD 2013 1.- La ecuación de una onda en una cuerda es: y(x,t) = 0,02 sen(8x - 96t) (S.I.) a) Indique el significado físico de las magnitudes que aparecen en esa ecuación y calcule el periodo, la longitud de onda y la velocidad de propagación. b) Determine la elongación y la velocidad de un pto de la cuerda situado en x=0,5m, en el instante t=2s. 2.- La ecuación de una onda en una cuerda tensa es: y(x,t) = 4·10-3 sen(8π x) · cos(30π t) (S.I.) a) Indique qué tipo de onda es y calcule su periodo, su longitud de onda y su velocidad de propagación. b) Indique qué tipo de movimiento efectúan los puntos de la cuerda. Calcule la velocidad máxima del punto situado en x = 0,5 m y comente el resultado. 3.- a) Una partícula describe un movimiento armónico simple a lo largo del eje X. Escriba la ecuación que expresa la posición de la partícula en función del tiempo e indique el significado de las magnitudes que aparecen en ella. b) Explique cómo varían las energías cinética y potencial de la partícula a lo largo de una oscilación completa. 4.- Explique las características de una onda estacionaria e indique cómo se produce. b) Razone el tipo de movimiento de los puntos de una cuerda tensa en la que se ha generado una onda estacionaria. 5.- Una onda armónica que se propaga por una cuerda en el sentido negativo del eje X tiene una longitud de onda de 25 cm. El foco emisor vibra con una frecuencia de 50 Hz y una amplitud de 5 cm. a) Escriba la ecuación de la onda explicando el razonamiento seguido para ello. b) Determine la velocidad y la aceleración máximas de un punto de la cuerda. 6.- Un cuerpo de 80 g, unido al extremo de un resorte horizontal, describe un movimiento armónico simple de amplitud 5 cm. a) Escriba la ecuación de movimiento del cuerpo sabiendo que su energía cinética máxima es de 2,5·103 J y que en el instante t = 0 el cuerpo pasa por su posición de equilibrio. b) Represente gráficamente la energía cinética del cuerpo en función de la posición e indique el valor de la energía mecánica del cuerpo. 7.- a) Explique las diferencias entre una onda transversal y una longitudinal y ponga un ejemplo de cada una de ellas. b) Una onda armónica en una cuerda puede describirse mediante la ecuación: y(x, t) = A sen (ω t - k x) Indique el significado físico de las magnitudes que aparecen en esa ecuación, así como sus respectivas unidades en el Sistema Internacional. 8.- Un cuerpo de 0,1 kg se mueve de acuerdo con la ecuación: x(t) = 0,12 sen (2π t + π / 3) (S.I.) a) Explique qué tipo de movimiento realiza y determine el periodo y la energía mecánica. b) Calcule la aceleración y la energía cinética del cuerpo en el instante t = 3 s. 9.- a) Explique el significado de las magnitudes que aparecen en la ecuación de un movimiento armónico simple e indique cuáles son sus respectivas unidades en el Sistema Internacional. b) Demuestre que en un oscilador armónico simple la aceleración es proporcional al desplazamiento de la posición de equilibrio pero de sentido contrario.

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SELECTIVIDAD 2014 1.- La energía mecánica de una partícula que realiza un movimiento armónico simple a lo largo del eje X y en torno al origen vale 3 ·10-5 J y la fuerza máxima que actúa sobre ella es de 1,5 ·10-3 N. a) Obtenga la amplitud del movimiento. b) Si el periodo de la oscilación es de 2 s y en el instante inicial la partícula se encuentra en la posición x0 = 2 cm, escriba la ecuación de movimiento.

2.- a) Describa el movimiento armónico simple y comente sus características dinámicas. b) Un oscilador armónico simple está formado por un muelle de masa despreciable y una partícula de masa, m, unida a uno de sus extremos. Se construye un segundo oscilador con un muelle idéntico al del primero y una partícula de masa diferente, m’. ¿Qué relación debe existir entre m’ y m para que la frecuencia del segundo oscilador sea el doble que la del primero?

3.- La ecuación de una onda que se propaga en una cuerda es:

𝜋 𝑦(𝑥, 𝑡) = 0,04𝑠𝑒𝑛 (6𝑡 − 2𝑥 + ) 𝑆. 𝐼. 2 a) Explique las características de la onda y determine su amplitud, longitud de onda, período y frecuencia. b) Calcule la velocidad de propagación de la onda y la velocidad de un punto de la cuerda situado en x = 3 m en el instante t = 1 s. 4.- a) Escriba la ecuación de una onda estacionaria y comente sus características. b) Explique las diferencias entre una onda estacionaria y una onda viajera. 5.- Se hace vibrar una cuerda de 0,5m de longitud, sujeta por ambos extremos, observando que presenta tres nodos. La amplitud de los vientres es de 1cm y la velocidad de propagación de las ondas por la cuerda es de 100ms-1. a) Escriba la ecuación de la onda, suponiendo que la cuerda se encuentra en el eje X y la deformación de la misma en el eje Y. b) Determine la frecuencia fundamental de vibración. 6.- a) Describa el movimiento armónico simple y comente sus características cinemáticas. b) Una partícula de masa m está unida a un extremo de un resorte y realiza un movimiento armónico simple sobre una superficie horizontal. Determine la expresión de la energía mecánica de la partícula en función de la constante elástica de resorte, k, y de la amplitud de la oscilación, A. 7.- En una cuerda tensa, sujeta por sus extremos, se ha generado una onda de ecuación: y(x, t) = 0,02 sen(πx) cos(8πt) S. I a) Indique de qué tipo de onda se trata y explique sus características. b) Determine la distancia entre dos puntos consecutivos de amplitud cero. 8.- Sobre una superficie horizontal hay un muelle de constante elástica desconocida, comprimido 4 cm, junto a un bloque de 100 g. Al soltarse el muelle impulsa al bloque, que choca contra otro muelle de constante elástica 16 N m-1 y lo comprime 10 cm. Suponga que las masas de los muelles son despreciables y que no hay pérdidas de energía por rozamiento. a) Determine la constante elástica del primer muelle. b) Si tras el choque con el segundo muelle el bloque se queda unido a su extremo y efectúa oscilaciones, determine la frecuencia de oscilación. 9.- Escriba la ecuación de una onda armónica que se propaga a lo largo del eje X e indique el significado de las magnitudes que aparecen en ella. b) Escriba la ecuación de otra onda que se propague en sentido opuesto y que tenga doble amplitud y frecuencia mitad que la anterior. Razone si las velocidades de propagación de ambas ondas es la misma.

SELECTIVIDAD 2015 1.-

a) ¿Qué es una onda electromagnética? Explique las características de una onda cuyo campo

⃗⃗(z, t) = E0⃗i cos(az − bt) eléctrico es: E b) Ordene en sentido creciente de sus longitudes de onda las siguientes regiones del espectro electromagnético: infrarrojo, rayos X, ultravioleta y luz visible y comente algunas aplicaciones de la radiación infrarroja y de los rayos X. Vibraciones y Ondas

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2.- El extremo de una cuerda realiza un movimiento armónico simple de ecuación: y(t) = 4 sen (2πt) (S. I. ) La oscilación se propaga por la cuerda de derecha a izquierda con velocidad de 12 m s-1. a) Encuentre, razonadamente, la ecuación de la onda resultante e indique sus características. b) Calcule la elongación de un punto de la cuerda que se encuentra a 6 m del extremo indicado, en el instante t = 3/4 s. 3.- La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda es:

y(x, t) = 0,3 cos(0,4πx − 40πt) (S. I. ) a) Indique los valores de las magnitudes características de la onda y su velocidad de propagación. b) Calcule los valores máximos de la velocidad y de la aceleración en un punto de la cuerda y la diferencia de fase entre dos puntos separados 2,5 m. 4.-a) Explique qué es un movimiento armónico simple y cuáles son sus características cinemáticas. b)Comente la siguiente frase: “Si se aumenta la energía mecánica de una partícula que describe un movimiento armónico simple, la amplitud y la frecuencia del movimiento también aumentan”. 5.- a) Defina movimiento armónico simple y explique sus características cinemáticas. b) Un cuerpo de masa m sujeto a un resorte de constante elástica k describe un movimiento armónico simple. Indique cómo variaría la frecuencia de oscilación si: i) la constante elástica se duplicara; ii) la masa del cuerpo se triplicara. Razone sus respuestas. 6.- Las ondas sísmicas S, que viajan a través de la Tierra generando oscilaciones durante los terremotos, producen gran parte de los daños sobre edificios y estructuras. Una onda armónica S, que se propaga por el interior de la corteza terrestre, obedece a la ecuación:

y (x, t) = 0,6 sen (3,125 · 10−7 x − 1,25 · 10−3 t) (S. I. ) a) Indique qué tipo de onda es y calcule su longitud de onda, frecuencia y velocidad de propagación. b) Si se produce un seísmo a una distancia de 400 km de una ciudad, ¿cuánto tiempo transcurre hasta que se perciben los efectos del mismo en la población? ¿Con qué velocidad máxima oscilarán las partículas del medio? 7.- a) Explique las características cinemáticas del movimiento armónico simple. b)Dos bloques, de masas M y m, están unidos al extremo libre de sendos resortes idénticos, fijos por el otro extremo a una pared, y descansan sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Los bloques se separan de su posición de equilibrio una misma distancia A y se sueltan. Razone qué relación existe entre las energías potenciales cuando ambos bloques se encuentran a la misma distancia de sus puntos de equilibrio. 8.- Un bloque de 2,5 kg está en reposo sobre una superficie horizontal sin rozamiento y unido al extremo de un muelle de masa despreciable y constante elástica k = 103 N m-1 que, por el otro extremo, está unido rígidamente a una pared. Se estira el muelle hasta una cierta longitud aplicando al bloque una fuerza constante F, siendo el trabajo que realiza esta fuerza de 5 J. En un instante dado, la fuerza deja de actuar sobre el bloque. a) Razone que el bloque describirá un movimiento armónico simple, calcule su amplitud y frecuencia y escriba la ecuación de dicho movimiento. b) Haga un análisis energético del problema y, a partir de él, calcule la fuerza F. Si hubiera un pequeño rozamiento entre el bloque y la superficie, de modo que la partícula oscilara, ¿se mantendría constante la amplitud de la oscilación? Razone la respuesta. 9.- Una partícula de masa m sujeta a un muelle de constante k describe un movimiento armónico simple expresado por la ecuación: x (t) = A sen (ωt +φ) a) Represente gráficamente la posición y la aceleración de la partícula en función del tiempo durante una oscilación. Explique ambas gráficas y la relación entre las dos magnitudes representadas. b) Explique cómo varían la energía cinética y la energía potencial de la partícula durante una oscilación.

SELECTIVIDAD 2016 Vibraciones y Ondas

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1. a) Explique las características cinemáticas de un movimiento armónico simple.

b) Dos partículas de igual masa, m, unidas a dos resortes de constantes k1 y k2 (k1>k2), describen movimientos armónicos simples de igual amplitud. ¿Cuál de las dos partículas tiene mayor energía cinética al pasar por su posición de equilibrio? ¿Cuál de las dos oscila con mayor periodo? Razone las respuestas. 2. Una onda se propaga en un medio material según la ecuación: 𝑥 𝑦(𝑥, 𝑡) = 0,2 𝑠𝑒𝑛 2𝜋 (50𝑡 − ) 0,1 a)Indiqué el tipo de onda y su sentido de propagación y determine la amplitud, período, longitud de onda y velocidad de propagación. b)Determine la máxima velocidad de oscilación de las partículas del medio y calcule la diferencia de fase, en un mismo instante, entre dos puntos que distan entre sí 2,5 cm. 3. a) Periodicidad espacial y temporal de las ondas; su interdependencia. b) Escriba la ecuación de una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje X e indique el significado de las magnitudes que aparecen en ella. Escriba la ecuación de otra onda que se propague en sentido opuesto y que tenga doble amplitud y frecuencia mitad que la anterior. Razone si las velocidades de propagación de ambas ondas es la misma. 4. a) Explique qué es una onda estacionaria e indique cómo puede producirse. Describa sus características. b) Explique cómo se mueven los puntos de una cuerda sujeta por sus extremos en la que se ha formado una onda estacionaria. 5. La ecuación de una onda en una cuerda es: 𝑦(𝑥, 𝑡) = 0,5 𝑠𝑒𝑛 (3𝜋𝑡 + 2𝜋𝑥) a) Explique las características de la onda y calcule su periodo, longitud de onda y velocidad de propagación. b) Calcule la elongación y la velocidad de una partícula de la cuerda situada en x = 0,2 m, en el instante t = 0,3 s. ¿Cuál es la diferencia de fase entre dos puntos separados 0,3 m? 6. Sobre un plano horizontal sin rozamiento se encuentra un bloque, de masa m = 0,25 kg, sujeto al extremo libre de un resorte horizontal fijo por el otro extremo. El bloque realiza un movimiento armónico simple con un periodo de 0,1π s y su energía cinética máxima es 0,5 J. a) Escriba la ecuación de movimiento del bloque sabiendo que en el instante inicial se encuentra en la posición de equilibrio. b) Razone cómo cambiarían la amplitud y la frecuencia del movimiento si se sustituye el resorte por otro de constante elástica doble, manteniendo la misma energía cinética máxima. 7. Un bloque de masa m = 10 kg realiza un movimiento armónico simple. En la figura adjunta se representa su elongación, y, en función del tiempo, t.

a)Escriba la ecuación del movimiento armónico simple con los datos que se obtienen de la gráfica. b)Determine la velocidad y la aceleración del bloque en el instante t = 5 s. 8. a) Superposición de ondas; descripción cualitativa de los fenómenos de interferencia de dos ondas. b) Comente las siguientes afirmaciones: En una onda estacionaria se cumple: i) la amplitud es constante; ii) la onda transporta energía; iii) la frecuencia es la misma que la de las dos ondas que interfieren.

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