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PENTÁGONO DEL SABER VERANO 2019 CICLO I . . 2019 201 2019 CICLO I ÍNDICE Pag. Comunicación Integral............
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- Edgar Gutierrez de la Cruz
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PENTÁGONO DEL SABER
VERANO 2019 CICLO I
.
.
2019 201
2019 CICLO I
ÍNDICE Pag. Comunicación Integral................................................
05
Álgebra......................................................................
25
Aritmética..................................................................
43
Razonamiento Matemático..........................................
79
Razonamiento Verbal..................................................
111
Geometría..................................................................
133
Física.........................................................................
177
Química ...................................................................................194
Comunicación
1
TILDACIÓN PALABRAS AGUDAS
1.
2.
3.
Observa, luego separa en sílabas las siguientes palabras: *
José ______________
*
volcán ______________
*
bondad ______________
*
sofá ______________
*
detrás ______________
*
vegetal ______________
*
ají ______________
*
pantalón ______________
*
nariz ______________
Completa la regla: Las palabras agudas llevan tilde cuando terminan en _ _ o _ _ .
o en las consonantes
N
TO W NE
Separa las palabras en sílabas, luego tilda las palabras que lo necesiten.
CICLO I
5
PALABRAS GRAVES O LLANAS 1.
Clasifica las siguientes palabras
ángel dinero vecina
fútbol
lunes saben
puedes
azúcar
Carmen
lapicero
clavas
Pérez tierra
amigo
árbol
La penúltima sílaba se pronuncia con más fuerza
Terminan en vocal
2.
Terminan en " o "
•_
•_
•_
•_
•_
•_
•_
•_
•_
•_
Terminan en otra consonante
N• _ TO W NE
•_ •_ •_ •_
Completa la regla:
Las palabras graves o _________________ llevan tilde cuando terminan en distinta de
6
o
CICLO I
Comunicación
PALABRAS ESDRÚJULAS 1.
Completa el texto utilizando las palabras del recuadro.
1.
helicóptero
2.
acrobático
3. 4. 5.
público histérico fotógrafo
6.
periódico
7. 8.
cáscara plátano
9.
célebre
CÓMICO REGRESO DE CÁNDIDO CÁNTICO De nuestro corresponsal Plácido Pálido. Cuando el famosísimo barítono Cándido Cántico bajó del con un salto un
se abalanzó hacia él.
Álvaro Máscara, el _______________________________ del _____________________________ "Crónica Mágica" pisó una
10. músico 11. micrófonos 12. cámaras 13. lápices
de ________________
3.
y se estrelló contra el
________________. Rodaron por el suelo
_______________________, __________________________ y ¡Qué
14. espectáculo
2.
,
!
Separa en sílabas estas palabras y encierra la sílaba tónica.
N
*
lámpara
_
*
árabe
_
* TO máscara W E N _ * diálogo
*
periódico
_
_
*
*
científico
_
_
*
_
_
_
_
_
oxígeno
_
_
penúltimo
_
_
Completa la regla La sílaba tónica de las palabras esdrújulas es la _________________________, las esdrújulas llevan tilde.
CICLO I
7
2
EL SUSTANTIV O
El sustantivo es la
que sirve para
personas,
________________________,
_______________________,
ideas,
, etc. 1.
2.
Copia sólo las palabras que son sustantivos: con
amapola
sillón
•
•
para
correr
camello
•
•
doctor
caserío
Cusco
•
•
Forma el plural de estos sustantivos: • huésped
_
_
• perro
_
_
• profesor
_
_
• tribu
_
_
• muchacho
_
_
• mes
_
N
• lápiz
_
_
• atleta
_
_
_
_
_ • río O WT E N CLASIFICACIÓN DE LOS SUSTANTIVOS
Elabora un mapa conceptual del sustantivo y sus clases:
8
CICLO I
Comunicación
Observa estos sustantivos: ciudad
Son sustantivos
niña
porque nombran a personas,
perro
animales y cosas en general.
Son sustantivos
Lima
1.
Rosa
porque los distinguen
Fido
de otros de su misma especie.
Clasifica estos sustantivos:
• amigo • Rímac
Los sustantivos propios se escriben con letra inicial mayúscula
• familia • Cusco
• Nicanor • cielo
Propios: Comunes: 2.
Escribe el sustantivo común que corresponde a cada sustantivo propio.
• Amazonas
_
_
_
• Huancayo
• Javier
_
río_
_
• América
• Atlántico
_
_
_
• Huascarán
TO W Fijate en estos sustantivos comunes: NE naranja
3.
_
_
_
N_
_
_
_
_
_
naranjal
Sustantivo Individual
Sustantivo Colectivo
Es el que, en singular, nombra .
Es el que, estando en singular, nombra .
El sustantivo
designa seres que percibimos con nuestros sentidos o
sabemos que existen. Ejemplos: , CICLO I
,
9
El sustantivo
designa seres que no pueden ser percibidos por nuestros
sentidos. Ejemplos: , 4.
,
Los sustantivos
son los que derivan de un nombre de un pueblo o
país.
5.
6.
•
Lima
_
_
_
•
Bolivia
_
_
_
•
Perú
_
_
_
•
Tacna
_
_
_
Anota cuatro nombres propios de:
a.
Profesores
:
b.
Cursos
:
c.
Escritores
:
d.
Héroes
:
e.
Ciudades
:
f.
Cantantes
:
g.
Deportistas
:
h.
Ríos
:
N TO W NE
Indica el género y número de los siguientes sustantivos:
• café
_ mas_c_._-_s_ing_ . __
• mano
_
_
_
• tigresa
_
_
_
• lapiceros
_
_
_
• colegio
_
_
_
• bosque
_
_
_
• amigos
_
_
_
• reglas
_
_
_
• escalera
_
_
_
• techo
_
_
_
10
CICLO I
Comunicación
Recuerda que algunos sustantivos usan dos formas distintas para el masculino y el femenino. Observa el ejemplo y completa:
masculino
femenino yegua
caballo toro padres carnero gallo yerno
SUSTANTIVOS INDIVIDUALES Y COLECTIVOS 1.
Forma un sustantivo colectivo haciendo uso de los siguientes sufijos: ada, ario, ar, aje, al, dad, eda, ado.
a.
Conjunto de plumas
_
b.
Grupo de vecinos
_
c.
Cantidad de árboles
_
d.
Serie de muchachos
_
_
e.
Conjunto de olivos
_
_
f.
Extensión de arena
_
_
g.
Número de vocablos
_
_
h.
Multitud de alumnos
_
_
CICLO I
_
TO W NE
N
_ _
11
2.
Escribe los sustantivos individuales correspondientes a los sustantivos colectivos que te presentamos. Averigua aquellos que no aparecen en el recuadro. lobo - isla - abeja - pez - ave - oveja
a.
archipiélago
_
_
b.
enjambre
_
_
c.
equipo
_
_
d.
auditorio
_
_
e.
bandada
_
_
f.
cardumen
_
_
g.
clero
_
_
h.
magisterio
_
_
i.
manada
_
_
j.
rebaño
_
_
k.
ejército
_
l.
piara
_
_
m.
jauría
_
_
n.
vecindad
_
_
12
N
TO _ W NE
CICLO I
Comunicación
3
EL PRONOMBRE
El pronombre es
Ejemplos:
estudió bastante Estuvo
en la fiesta
Además:
Dentro de un contexto dado, el pronombre ha de funcionar como sustantivo, adjetivo y adverbio * Yo bailo con mucho ritmo. (sustantivo)
N TO W NE
* Ese cuadro es original. adjetivo
* Déjalo en el lugar donde estaba adv.
CLASIFICACIÓN DE LOS PRONOMBRES *
Pronombres personales: 1ra persona:
,
,
,
,
2da persona:
,
,
,
,
3ra persona
,
,
,
,
CICLO I
13
*
*
*
Pronombres demostrativos: _
_
_
_
_
_
cerca:
,
,
lejos:
,
,
,
,
Pronombres posesivos: _
_
_
_
1ra persona:
,
2da persona:
,
3ra persona
,
Pronombres indefinidos _
_
_
_
variables:
,
invariables:
,
,
, TO W NE
N,
.
,
.
Los pronombres personales funcionan siempre como sustantivo Existen: •
P. proclítico: cuando va antes y separado del verbo Le compró todos
•
P. enclítico: cuando va después y adherido al verbo Comprole todos Entregósele el dinero
14
CICLO I
Comunicación
4 1.
2.
3.
PRACTIQUEMOS
Escribe un ejemplo por cada clase de pronombre:
-
Personal :
-
Demostrativo
-
Posesivo :
-
Relativos :
:
Subraya los pronombres que encuentres en cada oración:
a.
Mientras eso suceda, yo no saldré contigo.
b.
Aquellos siempre nos ayudan y son mis amigos.
c.
Tu cartera tiene más adornos que la mía.
d.
¿Te gustó el postre que preparó Dora?
e.
Pienso mucho en ella.
f.
Se lavó la cara.
N
TO W NE
Busca todos los pronombres en la sopa de letras y clasifícalos. c o n m i g o x t k
a i f v o s n l s w p k o d w z s a l m
c b o l e r j o q n
CICLO I
a b t z a p b l u p
d r r i x t u l e z
t q o i q h j y l j
b s s g p d o g z t
l a l x c d q m d r w w h o r l n h x b j y n x n w a e a z
l u v v t q e g n p
e j s a s g s u y o
u q a e d b q c j t x q u x u p e u n t s v p c a o m h w g i d c l o z d h k m
x t u y o f g h e x
15
Personal
Demostrativo
Posesivo
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
* Escribe en tu cuaderno oraciones usando los pronombres anteriores.
4.
Para evitar repeticiones, sustituye las palabras subrayadas por pronombres.
1.
Matilde peinó a su prima y luego llevó a su prima al colegio _
2.
_
N
_
_
Ayer vi a Luisa y di a Luisa tus saludos. _
16
_
TO W El niño cogió el sombrero y guardó NE el sombrero en la caja. _
4.
_
La profesora dijo a sus alumnos que tomaría un examen a sus alumnos. _
3.
_
_
_
CICLO I
Comunicación
5
EL ADJETIVO
El adjetivo es _
_
Ejemplos:
_
_
_
_
Clases de adjetivos
C....................
N....................
P....................
Los adjetivos c
D....................
I....................
son
_
_
_
Ejemplos:
*
Cualidades
*
Estados
_ _
_
TO _ W NE
N
_ _
Grados de adjetivos calificativos 1.
Grado positivo: Expresa una cualidad. Era un niño alegre. Ejemplo:
2.
Grado comparativo: Nombra la cualidad estableciendo una comparación.
•
De superioridad: Era más alegre que su hermana. Ejemplo:
CICLO I
17
•
De igualdad: Era tan alegre como su padre. Ejemplo:
•
De inferioridad: Era menos alegre que Jaime. Ejemplo:
3.
Grado superlativo: Nombra la cualidad en su grado máximo. •
Absoluto: Cualidad en su más alto grado Era un niño muy alegre. Ejemplo:
•
Relativo: Máxima cualidad en relación a un grupo. El niño era el más alegre de todos. Ejemplo:
Actividad 1.
Fijate en la altura de estas chicas y escribe sus nombres en los espacios y se ñala en qué grado está escrito.
N
•
TO W E N es más alta que
•
es altísima. ( ................................)
•
es la más baja de todas.
•
es más baja que
Ana
18
Lucha
Rita
( ............................... ) ( ............................... )
( ............................... )
Mili
CICLO I
Comunicación ADJETIVOS POSESIVOS, DEMOSTRATIVOS, INDEFINIDOS Y NUMERALES •
•
Adjetivos posesivos son: _ Ejemplo:
_
Adjetivos demostrativos son: _ Ejemplo:
_
•
Adjetivos indefinidos son: Ejemplo:
•
Adjetivos numerales son: Cantidad: Orden: Clases de Adjetivos Determinativos
Valor Significativo
Ejemplos
Posesivos: mío, tuyo, suyo ... mi, tu, su ... nuestro, vuestro, suyo ... (y sus femeninos plurales)
Dan a conocer una relación de posesión respecto de las personas gramaticales (yo, tú, él)
El radio tuyo Mis padres Nuestra casa
Demostrativos: este, ese, aquel esta, esa, aquella estos, esos, aquellos estas, esas, aquellas
Indican una relación de lugar o tiempo respecto de las personas gramaticales
Este reloj Esa naranja Aquellos días
Indefinidos: alguno, ninguno, cualquiera, cierto, tal, tanto, poco, mucho, bastante, demasiado, harto, varios, etc.
Modifican al sustantivo señalando una significación vaga, especialmente, de cantidad.
TO W NE
NAlgún momento Cierta persona Muchos regalos Varias hojas
Numerales: • Cardinales uno, dos, tres, ... • Ordinales primero, segundo, tercero, cuarto, ... • Múltiplos doble, triple, cuádruple • Partitivo medio, tercero, cuarto, quinto. • Distributivos cada, sendas, ambos.
Señalan la serie de números Indican orden, disposición.
Señalan multiplicación. Señalan división.
Indican distribución.
Dos manzanas Tres cuadras El primer cajón El tercer piso Doble trabajo Salto triple La cuarta parte La novena sinfonía Cada libro Sendos platos
Nota: No debeos emplear los partitivos como ordinales. Ejemplo: Juan va al quinceavo piso; sino, Juan va al décimo quinto piso.
CICLO I
19
6 1.
APLICO LO QUE APRENDÍ
Subraya los adjetivos calificativos en las siguientes oraciones. Escribe en qué grado está cada uno.
2.
a.
El día estuvo caluroso.
( ...............................)
b.
El gato es más veloz que el perro.
( ...............................)
c.
Roberto es tan estudioso como Flavio.
( ...............................)
d.
Tus copias son más nítidas que las mías.
( ...............................)
Completa con las palabras más adecuadas del recuadro: Concurso de voces fortísima
Un día, los animales hicieron un concurso para ver quién tenía la
más fuerte
voz más fuerte. Inició la actuación el cuervo, con su graznido
más poderoso
________________. Mucho _______________ fue el rugido
atronador
del león. Pero el campeón fue el elefante. Su ba-
seco
rrito sin duda fue la voz
más estruendosa
3.
_!
________________ ¡fue una voz
N
TO W NE
Observa cómo convertimos un adjetivo de grado positivo en un adjetivo de grado superlativo. cansado
ísimo
(grado positivo)
cansadísimo (grado superlativo)
Ahora, forma adjetivos superlativos con estos adjetivos en grado positivo. •
alto
_
_
_
•
triste
_
_
_
•
listo
_
_
_
•
bajo
_
_
_
•
ancho
_
_
_
•
estrecho
_
_
_
20
CICLO I
Comunicación
Cuidado con algunas palabras como éstas: fuerte 4.
_
_
_ bueno
Completa el texto con los adjetivos indefinidos del recuadro:
muchas demasiada
Con
frecuencia aparecen en los pe-
riódicos
noticias sobre injusticias que
ocurren en el mundo. Afortunadamente, hay
cualquier varias
organizaciones que actúan para que esas injusticias no se repitan y para que se respeten los derechos de las personas, de
perso-
na. Si tú quieres, puedes colaborar, ¡anímate!
5.
Inventa un texto sobre las vacaciones en donde utilices los siguientes adjetivos numerales: cinco - triple - décimo - medio
N _ TO W NE_
_ _
_ _
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
CICLO I
21
MARIPOSAS ¡Las mariposas son tan bellas! Parecen flores que vuelan. Las hay de un solo color y multicolores, de formas diversas, grandes y pequeñas. En todo el mundo, tanto en los lugares fríos, como en los calurosos, habitan millones de estos bonitos animales. Como en todos los insectos, su cuerpo se compone de tres partes: la cabeza, el tórax y el abdomen. En la cabeza están sus dos enormes ojos, que tienen de cuatro mil a 30 mil lentes diminutos. En la cabeza están también las antenas, que son sus órganos sensoriales. Les sirven para orientarse y reconocerse y reconocer las cosas, como nosotros lo hacemos con los dedos. El tórax se conforma de tres aros. De él salen las alas y las seis patas. Las alas están recubiertas de un polvito muy fino en forma de escamas, lo cual puede apreciarse al examinarlas con un microscopio. A menudo, los machos son de colores más vistosos que las hembras. Hay mariposas diurnas y nocturnas. Las diurnas pasean, revolotean, visitan las flores y buscan pareja a la luz del sol. Usualmente, descansan con las alas dobladas sobre su espalda. Las nocturnas, inician sus actividades al anochecer y durante el día permanecen ocultas en los troncos o en el follaje de los árboles. Las mariposas son útiles, pues desempeñan funciones muy importantes. Los únicos fabricantes de seda natural del universo son, precisamente, los gusanos de seda; éstos son, ni más ni menos, las orugas de un tipo de mariposa.
N
TO W NE
A los murciélagos y a ciertos pájaros e insectos les encanta comerse a las mariposas. Ellas, que no son nada agresivas, sólo pueden defenderse con artimañas: o bien, huyen volando a todo vapor, o hacen el muerto, o se confunden entre los árboles y las flores, o se ocultan. En su mayoría, las mariposas vuelan sobre un territorio reducido, cerca de donde nacieron; sin embargo, existe una notable excepción: la mariposa Monarca. Para no morirse de frío, viene a México desde Canadá y Estados Unidos, por lo que sus recorridos son de hasta ¡seis mil kilómetros!. El texto que leíste es informativo y señala algunas características de las mariposas, responde a la siguientes preguntas: •
¿Cómo son las mariposas? _
_
_
_
22
CICLO I
Comunicación
•
•
•
¿Qué hacen? _
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
¿Para qué sirven sus antenas?
¿Qué tipo de mariposas menciona el texto? _
_
_
_
_
_
Describir consiste en expresar oralmente o por escrito las características de un animal, objeto, persona, lugar o acontecimiento. Si describes un animal, lo retratas con palabras, de tal manera que quien escucha o lee pueda imaginarlo. Con la información anterior realiza la descripción de la mariposa.
N _ TO W NE
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_ s
CICLO I
23
N TO W NE
24
CICLO I
Álgebra
1
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Se llama "expresión algebraica" a aquella en la cual las variables (letras) y constantes (números) están relacionados por las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, etc. Ejemplo: a) 5x
d) P(x;y) = -7xy + 12x2y2 - 6x3y4
b) 2x - y + 3xy
2 e) Q(x;y) = 4xy 2x 3 6 9 f) P(x) = 9x 18x 12x 3x2
c) P(x) = 3x2
TÉRMINO ALGEBRAICO Es cada una de las partes componentes de la expresión algebraica y que aparecen unidas con
N
otras por los signos (+) y (-). Ejemplo: signo
TO W NE exponente
-8x3
parte literal
constante o coeficiente OBSERVA: 3xy - 2x - 6 En esta expresión algebraica existen tres términos algebraicos, donde: "3xy"
:
es el primer término, siendo 3xy el producto de la constante "3" por las variables "x" e "y".
"-2x"
:
es el segundo término siendo -2x el producto de la constante "-2" por la variable "x".
"-6" :
es el tercer término, siendo -6 una constante CICLO I
25
Importante 1.
2.
Recordar que: 1x = x;
1x2y3 = x2y3
-1x = -x;
-1x2y3 = -x2y3
Si algún término no esta precedido por ningún signo se supone que tiene el signo (+). Ejemplo: *
3x = +3x
*
6xy = +6xy
*
7x3y2 = +7x3y2
*
ab2c3 = +ab2c3
¡Ahora hazlo tu! I.
En cada una de las siguientes expresiones algebraicas señala su respectiva parte literal.
II.
En las siguientes expresiones algebraicas diga cuales son los exponentes de cada una de sus letras
1.
a2
_
_
_
1.
a2
_
_
_
2.
m
_
_
_
2.
b3
_
_
_
_
3.
m
_
_
_
n3 x 4
_
_
_
N
3.
3 4
nx
_
_
4.
2a b
_
_
O T W 4. _ NE
5.
-8a2
_
_
_
5.
c2d3
_
_
_
6.
-3a3z2
_
_
_
6.
-8a2b
_
_
_
7.
2a5x2z
_
_
_
7.
_
_
_
8.
b3z4
_
_
_
_
_
_
2
_
_
_
_
_
_
_
_
_
9. 10.
26
2 5
3
a2 x3y2 5 6
34 3
mnx
_
_
_
8. 9.
3 4
b3y 4
4cm5 8 4 3 bxm 5
10. 7abx2n
CICLO I
Álgebra III. En cada una de las siguientes expresiones, indica el significado de sus respectivos coeficientes:
4.
n5
= _
_
_
5.
a2b3
= _
_
_
6.
x3y4z5
= _
_
_
1.
3a2
= a2 + a2 + a2
7.
a2b2c2
= _
_
_
2.
2m
=
8.
x 5 y2 z
= _
_
_
3.
5x
=
9.
z4y2
= _
_
_
4.
4m2
=
= _
_
_
5.
-3b2
=
6.
-4b3
=
7.
-6a2n5
=
8.
7ax
=
9.
-3a5b4
=
10. -6xy3
10. z3y3x V.
En cada término algebraico señala sus cuatro elementos: c: constante e: exponente v: variable s: signo c -7x
=
v
e
s
3
8b5
IV. En cada una de las siguientes expresiones, indicar el significado de sus exponentes:
5x -z4 y2
N
m
1.
a3b2
= aaa.bb
2.
x2
= _
_
_
3.
m4
= _
_
_
5z O T W bx NE 6a x 3 4
-9a2bx3
CICLO I
27
2
TÉRMINOS SEMEJ ANTES
Se dice que dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras, respectivamente afectados de iguales exponentes. Ejemplos:
2 3 5
2 3 5
1 2 3 5 a b x ; -9a2b3x5 2
a.
3a b x ; -7a b x ;
b.
8x2m4 ; 6m4x2 ;
c.
6x4 ; x4 ; -7x4 ; -5x4 ; 6x4
1 4 2 m x 5
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Reducir dos o más términos semejantes, significa expresar a todos ellos en un sólo término, mediante las operaciones de adición o sustracción. Ejemplo: *
-6ax + 9ax - ax - 2ax + 18ax
N TO+ 27ax -9ax W N=E +18ax =
Reducción de términos semejantes suprimiendo signos de agrupación -
Se suprimen sucesivamente dichos signos empezando de preferencia por el signo de agrupación más interior.
-
Si en una expresión al suprimir signos de agrupación precedidos del signo más (+) deberá escribirse con su mismo signo cada uno de los términos que se hallaban dentro de él.
-
Si en una expresión al suprimir signos de agrupación precedido del signo menos (_) deberá escribir con signo cambiado cada uno de los términos que se hallaban dentro de él. 28
CICLO I
Álgebra
Ejemplos: a.
c.
3x + (4x + 6x)
b.
3m - (6m - 4m) + 2m
3x + 10x
3m - 6m + 4m + 2m
13x
3m
-2n - [3n + 4n - (6n + 8n) - 4n + n] -2n - [3n + 4n - 6n - 8n - 4n + n]
se ha suprimido ( )
-8n - 3n - 4n + 6n + 8n + 4n - n
se ha suprimido [ ]
¡Ahora hazlo tú! I.
Reducir los siguientes términos semejantes:
1.
a6 - 6a6 + 5a6
2.
-8bn - 19nb
3.
2b2 + 5b2 - 6b2
4.
6xy3 + 18xy3
5.
-2m - 15m
6.
-35ab - ab
7.
15nb + 4nb
8.
7b2 + 5b2 - 6b2
9.
7m - 3n + 7n - 5m - 8m
N TO W NE
10. 2x5 - 8z2 + 3y4 - 6x5 - 8y4 + 5z2 11. -6x6 - 9b3y2 + 8x6 - 9z3 + 2b3y2 + 6z3 12. x5y3 - 2x4 + 2x2y3 - 16x2y3 - x4 13. -6ax - 2ax 14. b4 + 3b4 + 6b4 15. x3 + 6x3 + 16x3 CICLO I
29
II.
Suprimir (eliminar) los signos (), [], {}, según sea el caso y luego reducir los términos semejantes.
a)
15x - (2x - 3x - 5x + 8x)
b)
- (- 3x + 16x - 6x - 5x) - (- 2x + 3x - 2x)
c)
- {- 3x + 5x - (- 4x + 5x + 10x)} - [- 4x + (- 3x + 5x)]
d)
{3x2 + 5x2 - [- 2x2 + 3x2 - 5x2]}
e)
{- [- 2x + 4x2 - 5x] + [2x2 - 3x2 + 10x]}
f)
- (- 5x3 + 3x - 3x3) + 3x + 5x3 - 3x3
g)
4x + 4x - 4x - (- 4x + 4x - 4x)
h)
- {- 15x + 15x - 15x - (- 15x + 15x - 15x)}
i)
{- (16x2 + 32x2 - x) - (3x + 5x2 + 27x2)}
j)
- {- [- (3x + 10x - 5x - 3x + 4x)]}
N TO W NE
30
CICLO I
Álgebra
3
1.
MONOMIOS Y POLINOMIOS
¿Qué es un MONOMIO? Se dice que una expresión es un "monomio" cuando consta de un solo término. Ejemplo: * *
2.
M(b) = b2
M(x;z) = 5x2 z3
*
M(a) = -a4
*
*
M(y) = y
*
M(x;y) = 5b2x3y4 M(x;y) = -7x2y3
¿Qué es un POLINOMIO? Cuando una expresión algebraica tiene dos o más términos se llama polinomio. Ejemplo: *
P(x;y) = 6y2 - 4y2
*
P(x) = x2 + 2x + 4
*
P(x;y) = x2 + y2
*
P(x;y) = x3 + 3x2 + 3x + 1
*
P(x;y) = x3 - y3
*
P(x;y) = (x - y) (x2 + xy + y2)
N TO W NE
Nota: *
El polinomio que tiene 2 términos recibe el nombre de binomio. Ejemplo: *
*
P(x) = (x + 1)
El polinomio que tiene 3 términos recibe el nombre de trinomio. Ejemplo: *
P(x) = x2 + 6x + 9
CICLO I
31
Operaciones con monomios y polinomios ADICIONES ALGEBRAICAS Para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben una a continuación de la otra, con sus respectivos signos; luego se reducen términos semejantes si los hay. Ejemplo: A.
SUMA DE MONOMIOS 1.
Sumar: 5a; 6b; 8c
2.
Sumar: 3a; -2b
5a = +5a; 6b = +6b; 8c = +8c
3a = +3a; -2b = -2b
La suma será: 5a + 6b + 8c
La suma será:
3a + (-2b) = 3a - 2b
B.
SUMA DE POLINOMIOS 1.
Sumar:
a - b; 2a + 3bc - c; -4a + 5b (a - b) + (2a + 3b - c) + (-4a + 5b) a - b + 2a + 3b - c - 4a + 5b -a + 7b - c
ó
32
a-b 2a + 3b - c - 4a + 5b -a + 7b - c
N TO W + E N ¡Qué facil! se ordena los polinomios uno debajo del otro, de acuerdo a sus términos semejantes.
CICLO I
Álgebra 2.
Si: P(x) = x2 + 3x + 5 y Q(x) = 7 - 6x + 2x2 hallar:
P(x) + Q(x) “Polinomios ordenados”
Solución: Como:
P(x) = x2 + 3x + 5
P(x) = x 2 + 3x + 5
Q(x) = 7 - 6x + 2x2
Q(x) = 2x2 - 6x + 7 P(x) + Q(x) = 3x2 - 3x + 12
3.
Si: P(x;y) = x2 + 2xy + y2; Q(x;y) = 3x2 - 8xy + 7y2; S(x;y) = x2 - y2 hallar:
a)
P(x;y) + Q(x;y)
b)
P(x;y) + S(x;y)
c)
Q(x;y) + S(x;y)
d)
P(x;y) + Q(x;y) + S(x;y)
Solución: a)
como: P(x;y) = x2 + 2xy + y2 2
Q(x;y) = 3x - 8xy + 7y
2
P(x;y) + Q(x;y) = 4x2 - 6xy + 8y2 b)
N
como: P(x;y) = x2 + 2xy + y 2 S(x;y) = x
2
-y
2
TO W NE
P(x;y) + S(x;y) = 2x 2 + 2xy + 0 c)
como: Q(x;y) = 3x2 - 8xy + 7 y2 S(x;y) = x2
- y2
Q(x;y) + S(x;y) = 4x2 - 8xy + 6y2 d)
como: P(x;y) = x2 + 2xy + y2 Q(x;y) = 3x2 - 8xy + 7y2 S(x;y) = x2
- y2
P(x;y) + Q(x;y) + S(x;y) = 5x2 - 6xy + 7y2 CICLO I
33
¡Ahora hazlo tú! Afina tu destreza y resuelve, solo, tus ejercicios. I.
Sumar los siguientes monomios:
1.
a;b
2.
-3a ; 4b
3.
a ; -b
4.
-11m ; 8m
5.
xy ; -11xy
6.
m3 ; -8m2n ; 7mn2 ; -n3 ; 7m2n
7.
9x ; -11y ; -x ; -6y ; 4z ; -6z
8.
-3a2 ; 3b3x5 ; -8z3 ; -11b3x5 ; -7z3 ; 8a2
9.
2a3 ; -3b2 ; 5x4 ; -7b2 ; 5a3 ; -6x4
10. a ; c ; d ; e
II.
Sumar los siguientes polinomios:
N TO W NE
1.
3a + 2b - c ; 2a + 3b + c
2.
7a - 4b + 5c ; -7a + 4b - 6c
3.
m + n - p ; -m - n + p
4.
p + q + r ; -2p - 6q + 3r ; p + 5q - 8r
5.
-am + 6mn - 4s ; 6s - am - 5mn ; -2s - 5mn + 3am
6.
-3x2 + 6ab3 ; 5z4 - 8x2 + 7b2y3 ; -9ab3 + 4z4 ; -12b2y3 + 8x2
7.
-5m3 + 8x4z5 - 4a2x3 ; -7x4z5 + 9m3 - 6x3 ; 3a2x3 - 4x4z5 - 6m3 + 8x2
8.
x2 - 3a3 ; 5m4 - 6a3 ; 2x2 + 8m4 - 7a3
34
CICLO I
Álgebra 3.
Si: M(x) = 3x2 ; N(x) = - 18x2 ; R(x) = + 3x2 ; S(x) = - 10x2 Hallar:
4.
a)
M(x) + N(x)
d)
M(x) + N(x) + R(x) + S(x)
b)
N(x) + R(x)
e)
N(x) + S(x)
c)
R(x) + S(x)
f)
M(x) + S(x)
Si: P(x) = 3 - 4x + 8x2; Q(x) = 17x3 + 3x2 - 5x + 6; R(x) = - 16 + 5x
Recuerda el esquema para sumar polinomios.
P(x) = _
_
Q(x) = . . .
N
S(x) = P(x) + Q(x) +... + S(x) =
CICLO I
TO W NE
35
4
A.
SUSTRACCIONES ALGEBRAIC AS
SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS Para restar dos monomios, se escriben en primer lugar el monomio minuendo con su respectivo signo y a continuación se escribe el monomio sustraendo, con el signo cambiado; si son semejantes se reducen. Ejm.: a.
(5a3x2) - (2b4x5)
b.
3x2 de 12x2
Restar:
5a3x2 - 2b4x5
12x2 - 3x2 9x2
c. De: -2x2 restar -10x2 -2x2 - (-10x2) -2x2 + 10x2 +8x2 B.
SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS Para restar polinomios, se escribe el polinomio minuendo con sus respectivos signos y a continuación el polinomio sustraendo, cambiando el signo de cada uno de sus términos; si hay términos semejantes se reducen. Ejm.: a.
N
TO W NE De: 4x - 3y + 2 restar 2x + 5z - 6 4x - 3y + z - (2x + 5z - 6)
4x - 3y - 2x
ó
- 5z + 6
2x - 3y
4x - 3y + z - 2x - 5z + 6
+z - 4z + 6
2x - 3y - 4z + 6 b.
Restar:
4a3 + 6b2 + 1 de 8a3 + 10b2 + 5 8a3 + 10b2 + 5
8a3 + 10b2 + 5 - (4a3 + 6b2 + 1) 8a3 + 10b2 + 5 - 4a3 - 6b2 - 1 4a3 + 4b2 + 4
36
- 4a3 ó
4a3 +
CICLO I
6b2 - 1 4b2 + 4
Álgebra
¡Ahora hazlo tú! Siendo incapaz de engañar estarás siendo HONRADO
1.
2.
Efectua las siguientes restas de monomios: a.
(-3a3x4) - (-8a3x4)
b.
8a3 - (5a3)
c.
56m4n3 - (-2m4n3)
d.
Restar: -3x3 de - 4x3
e.
Restar: -x7y2 de -2x7y2
f.
De: 4xyz restar -4xyz
g.
De: -12xm2 restar - 12xm2
h.
De: x3y3 restar: -12x3y3
Efectúa las siguientes restas de polinomios:
a.
3.
3 4
3
3
3 4
N
(6a b + 2x + 3mn) - (-mn + 2x - a b ) 3
2 3
3 8
2
O T W 3 3 - 7a - 5m n8) NE
b.
(-5a - 7b x + 9m n ) - (4b
c.
De: 5m3 - 9n3 + 6m2n - 8mn2 restar: 14mn2 - 21m2n + 5m3 - 18
d.
De: -a5b + 6a3b3 - 18ab5 + 42 restar: -8a6 + 9b6 - 11a4b2 - 11a2b4
Si: M(x) = 15x; N(x) = - 16x; S(x) = 14x Hallar:
a)
M(x) - N(x)
b)
M(x) - S(x)
c)
N(x) - S(x)
d)
S(x) - M(x)
e)
S(x) - N(x)
f)
M(x) - N(x) - S(x)
CICLO I
37
3.
Si: M(x) = 15x; N(x) = - 16x; S(x) = 14x Hallar:
4.
a)
M(x) - N(x)
b)
M(x) - S(x)
c)
N(x) - S(x)
d)
S(x) - M(x)
e)
S(x) - N(x)
f)
M(x) - N(x) - S(x)
Si: P(x) = 3x2 - 8x + 5; Q(x) = - 5x2 - 3x - 2 Hallar:
a)
5.
P(x) - Q(x)
b)
Q(x) - P(x)
Si: P(x;y) = 7x2 + 14xy - 16y2 ; Q(x;y) = -3y2 + 18xy - 4x2 Hallar:
a)
P(x;y) - Q(x;y)
b)
Q(x;y) - P(x;y)
N TO W E N los términos del polinomio SUSTRAENDO.
Recuerda que en una sustracción debes cambiar de signo a todos
Ejemplo: Si
P(x) = 3x2 + 2x + 8 Q(x) = -2x2 - 3x + 6
luego:
P(x) = 3x2 + 2x + 8 -Q(x) = +2x2 + 3x-6
P(x) - Q(x) = 5x2 + 5x + 2
38
CICLO I
Álgebra
5
PRODUCTO DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO
El producto de un monomio por un polinomio se obtiene aplicando la propiedad distributiva. Ejemplo: Calcular los siguientes productos: a)
3 (x2 + 2x + 1) = (3 . x2) + (3 . 2x) + (3 . 1) = 3x2 + 6x + 3
b)
2x (3x2 + 5x - 10) = (2x . 3x2) + (2x . 5) - (2x) (10) = 6x3 + 10x2 - 20x
c)
x (x + 4) = (x . x) + (x . 4) = x2 + 4x
d)
-6x2 (x + 3) = (-6x2 . x) + (-6x2 . 3) = -6x3 - 18x2
Ahora hazlo tú: 1.
2.
3.
Si P(x) = 10x2 + 20x - 10, calcula los siguientes productos. a)
x . P(x)
d)
-x . P(x)
b)
x2 . P(x)
e)
-x2 . P(x)
c)
3x . P(x)
f)
-5x . P(x)
Completa la siguiente tabla: R(x)
S(x)
-5x
-10x
-3x
+4x
N TO W R(x) . S(x) NE
Hallar el área de los siguientes polígonos.
7x
2x 7x
A=
CICLO I
(4x + 3) A=
39
4.
5.
Simplificar:
a)
3 (x - 1) + 2 (x + 3)
b)
7 (x - 1) + 7 (x + 7)
c)
5x (2 + x) + 3x (3 + x)
d)
8x (-3 + x) + 3 (-x -3)
e)
-6x (2 + x) - 3x (5 - x)
f)
-5x (5 - x) - 10 (x + 5)
Si: P(x) = 3x (5x - 1) y Q(x) = 2x (6x - 3) Hallar:
a)
P(x) + Q(x)
b)
Q(x) - P(X)
c)
P(x) - Q(x)
N TO W NE
40
CICLO I
Álgebra
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
6
Ecuación.- Es una igualdad que es válida sólo para algún valor de la variable. Términos de una ecuación. Sea la ecuación:
Para recordar
4x - 5 = 2x + 5 primer miembro
Una ecuación es de primer grado cuando el exponente de la incógnita es 1:
segundo miembro
Ejemplos: a) 3x + 6 = 21 b) 4x - 5 = 2x + 5
Observaciones: 1.
Los términos son: 4x; -5; 2x; +5
2.
Los términos 4x y 2x son términos en x.
3.
Los términos -5 y +5 son términos independientes.
Resolución de ecuaciones. (Forma: ax + b = cx +d) Ejemplo 1.
4 (x + 8) = 16 (x - 4) 4x + 32 = 16x - 64 32 + 64 = 16x - 4x
N TO W E N (transponer términos)
(propiedad distributiva)
96 = 12x 96 =x 12 8=x
CICLO I
41
Ejemplo 2. 2 (2x + 8) = 2 (3x + 6) 4x + 16 = 6x + 12
(propiedad distributiva)
16 - 12 = 6x - 4x
(transponer términos)
4
= 4 =x 2
2x
2=x
Ahora hazlo tú: (Resuelve en tu cuaderno manteniendo el orden y la limpieza)
a)
10 (2x - 5) = 2 (3x + 10)
x=5
k)
8 (2x + 6) = 2 (14x + 6)
x=3
b)
9 (x - 1) = 3 (x + 3)
x=3
l)
5 (4x - 3) = 5 (5x - 7)
x=4
c)
5 (x + 9) = 3 (x + 21)
x=6
m)
3 (2x - 3) = 17 (3x - 57)
x = 20
d)
20 (x - 7) = 4 (x - 3)
x=8
n)
(6x - 9) 35 = (5x + 25) 3
x=2
e)
4 (x - 9) = 3 (x - 7)
x = 15
o)
(7x - 20) 5 = (15x - 30) 2 x = 8
f)
5 (x + 10) = 2 (x + 40)
x = 10
p)
g)
2 (x + 34) = 35 (x + 1)
x=1
h)
8 (x -2) = 2 (x + 19)
x=9
r)
5 (10x + 10) = 2 (5x + 25) x = 0
i)
(x + 7) 2 = (x - 3) 7
x=7
s)
7 (2x + 2) = 14 (3x - 25) x = 13
j)
(x - 50) 3 = (x- 25) 2
x = 100
t)
8 (5x - 65) = 4 (3x - 32)
42
N
O6 (3x - 20) = 2 (4x - 5) T W NE q) 2 (2x + 12) = 2 (5x - 24)
CICLO I
x = 11 x = 12
x = 14
Aritmética
ADICIÓN Y SUSTRA CCIÓN EN
1
ZZ Iniciaremos nuestro tema de adición y sustracción en ZZ , sumando números enteros con la ayuda de la recta numérica.
Ejemplo: a)
2+4=
-8
b)
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
5+2=
-8
6
7
8
3
4
5
6
7
8
N
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
3+4=
-8
c)
5
TO W NE
Sumar:
b)
4
-3 + 6 =
-8
a)
3
-2-3 =
-8
-7
CICLO I
43
d)
-5-2 =
-8
e)
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-2+6=
-8
g)
-6
6-3=
-8
f)
-7
3+2=
-8
N h)
-8
i)
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-4-2 =
-8
j)
TO W NE
4+3=
-6-1 =
-8
44
CICLO I
Aritmética
k)
-7+3=
-8
l)
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-1-2+3=
-8
n)
-6
-4+7=
-8
m)
-7
-7
5-2-3-2=
-8
-7
-6
N TO W NE
CICLO I
45
Ahora presta mucha atención a la explicación sobre adición y s us tracción de números enteros.
I.
ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
-
Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y la suma tiene el mismo signo. Ejm.: +4 + 9 = +13 -8 - 3 = -11
-
Si los sumandos tienen diferentes signos, se restan los valores absolutos y la suma tiene el signo del sumando de mayor valor absoluto. Ejm.: -5 + 4 = -1 -8 + 18 = +10
-
Si son más de dos sumandos se aplica la propiedad asociativa. Ejm.:
•
•
-9 + 4 + 3 -9 +
7
(+4) + (-2) + (+7) [(+4) + (-2)] + (+7)
-2
(+2)
N
+ (+7)
TO +9 W NE ¡Ahora hazlo tú! I.
Efectua las siguientes adiciones mentalmente:
a.
+7 + 3 =
e.
-5 - 4 =
i.
+4 - 3 + 6 =
b.
+13 + 6 =
f.
-3 - 2 =
j.
-5 + 2 + 1 =
c.
+27 + 8 =
g.
-8 - 6 =
k.
-3 - 8 - 5 =
d.
+6 - 5 =
h.
-2 - 5 =
l.
+18 + 6 =
46
CICLO I
Aritmética
II.
Sea: a = -5 ; b = -6 ; c = +8 ; d = -3 ; e = +7 y f = -2. Calcula: +
d
f+d
d+e
e
a+b c III. Razona cada situación y luego responde: a.
Tengo S/.36 y recibo S/.10. ¿Cuánto tengo?
b.
Debo S/.28 y luego adquiero una deuda por S/.25. ¿Cuánto debo?
c.
Delia debe S/.37 y su mamá le obsequia S/.40. ¿Cuánto le queda después de pagar su deuda?
d.
Javier debe S/.44, luego adquiere una nueva deuda por S/.28, pero después recibe S/.95. ¿Cómo indicaría lo que Javier tiene actualmente?
II.
SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para restar dos números enteros se suma el minuendo con el opuesto del sustraendo,
N
es decir, se transforma la resta en suma. Ejm.:
TO W NE
(-2) - (-3) = (-2) + (+3) = +1 (+10) - (+10) = (+10) + (-10) = 0
(-100) - (+20) = (-100) + (-20) = -120 ¡Ahora hazlo tú! 1.
Efectuar las siguientes restas de números enteros: a.
12 - (+7)
e.
24 - (+46)
b.
15 - (-8)
f.
28 - (+27)
c.
-36 - (+23)
g.
15 - (-6)
d.
-35 - (-22)
h.
-24 - (+49)
CICLO I
47
2.
3.
Efectuar mentalmente las siguientes restas:
a.
(-3) - (-4) =
_
_
_
b.
(+7) - (+3) =
_
_
_
c.
(-9) - (+6) =
_
_
_
d.
(-5) - (-4) =
_
_
_
e.
8 - (+5) =
_
_
_
f.
6 - (-30) =
_
_
_
g.
32 - (-17) =
_
_
_
h.
15 - (+8) =
_
_
_
Ahora con mucho ingenio y creatividad crea 6 restas de números enteros:
a.
_
_
_
b.
_
_
_
c.
_
_
d.
_
_
e.
_
f.
_
48
_
N
_
TO W _ NE
_
_
_
CICLO I
Aritmética
OPERACIONES COMBINAD AS I
Ahora realizaremos ejercicios que nos ayudarán aplicar nuestros conocimientos de adición y sustracción de números enteros.
A.
Adición en ZZ Podemos sumar los números enteros operando de izquierda a derecha. a)
2+3-1-3
f)
2 + 8 - 9 + 13 - 16 + 2
b)
10 - 8 - 3 + 20
g)
13 + 5 - 6 - 8 + 18 - 2
c)
15 + 3 - 2 - 4 - 5 + 11
h)
80 - 20 - 10 + 15 + 6 + 2
d)
30 - 15 - 5 - 8 + 10 + 15
i)
- 20 - 15 - 13 + 3 + 2 - 1
e)
10 + 5 - 2 - 8 + 30
j)
16 - 3 - 8 + 12 + 3 - 19
N TO W NE f)
- 31 - 32 + 10 - 3 + 16
Podemos sumar los números enteros ordenando los números positivos y los negativos: a)
+ 2 + 10 - 8 - 2 - 13
b)
100 - 80 + 73 - 10 - 3
g)
- 23 + 17 - 19 + 33 - 2
c)
3+4-6-2-4+4+6
h)
- 19 - 2 + 43 + 10 - 11
d)
+ 20 + 11 + 15 - 2 - 17 + 3
i)
+ 72 - 12 - 11 + 61
e)
- 2 - 3 + 2 + 15 - 27
j)
- 56 + 42 + 31 - 14
CICLO I
49
B.
Sustracción en ZZ Realizar las siguientes sustracciones sumando al minuendo el opuesto del sustraendo:
Cuando el signo menos se antepone a un signo colector, los signos de los números que se encuentra al interior del signo colector cambian.
Ahora resuelve los siguientes ejercicios:
10 - (2 - 1) =
b)
15 - (10 - 2 - 1) =
c)
24 - (3 + 4 - 2) =
h)
100 - (33 - 2 - 4) =
d)
- (10 + 3 + 2) =
i)
- (- 10 + 2 - 3) =
e)
- (- 2 - 3) =
j)
- (- 70 - 3 - 4) =
50
f)
N
a)
TO W g) NE
26 - (10 - 3) = 78 - (15 - 3 - 2) =
CICLO I
Aritmética
OPERACIONES COMBINAD AS II
Resuelve las siguientes operaciones combinadas y descubre la frase.
L = 17 - 15 + 13 + 15 + 8
Q = - 17 + (45 - 19)
O = - 6 + 18 - 25 - 17 + 16
U = - 225 - (28 - 22 - 15) + (- 17 + 12)
S = - 25 + 32 + 55 - 59 + 32
P = 8 - 3 + (17 - 42) - (51 - 7 - 8)
I = - 37 - 48 - 17 + 19 + 45
A = - 6 + {- 5 - (48 - 17 - 1) - 6 }
N = - 17 - 46 + 25 - 18 - 17
N
TO W NER = - 2 - {- 3 - [6 + 8 +( - 3 - 7 - 1)] + 2}
T = 65 + 3 - 19 - 28 - 52
B = - 10 - [- 5 + (8 - 6 - 7 + 1)] + (- 73 - 8)
E = - 43 - 72 - 115 + 223
X = - 46 - {- 1 + [- 17 + (- 6 - 9 - 1)]}
G = - 16 + 15 - 19 - 25 - 142
Y = - 15 + {- 61 - 55 - [- 17 - (- 29 + 1 +3)] - 3}
CICLO I
51
D = - 117 + 185 - 242 - 315
Z = - 62 - {- 17 - 6 - [- 17 + (6 - 9 - 11) - 1]}
C = - 6 - 15 - 13 + 2 - 55
K = - 18 + [- 9 - 6 - 7 - (6 - 7 - 8 - 10) - 1]
W = - 8 + 12 - {- 4 - [- 6 + 1 - (- 6 + 3 - 2)]}
J = - 69 - 17 + {- 19 - 6 - [17 + 18 - 46] + (51 - 76)}
¡Descubre la frase! +38
-14
35
-489
-38
-87
-7
-73
-56
-38
-7
-73
+35
-47
+35
-47
-82
-38
-14
+35
+38
-14
+9
-251
-7
-38
-73
-31
-7
+38
-14
-38
-187
-7
+9
-251
-7
-56
-7
+2
-14
-56
-38
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-73
+35
-489
-38
-87
-7
-73
-73
+38
-73
-47
N TO W NE
52
CICLO I
-31
-7
35
+38
-14
+35
-73
Aritmética
2
1.
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
CONCEPTO La división es una operación inversa de la multipliación que tiene por objeto: "Dados los números llamados dividendo y divisor hallar un tercer número llamado cociente, que multiplicado por el divisor dé el dividendo". El producto se llama dividendo, el factor conocido divisor, y el factor que se busca cociente.
2.
TÉRMINOS Dividendo Residuo
3.
3
Divisor
12
4
Cociente
(0 0)
SIGNO
:
4.
12
12 : 3 = 4
12 3
4
COMPROBACIÓN
N TO W NE
Se multiplica el cociente por el divisor y se suma el residuo, entonces deberá darnos como resultado el dividendo. D=c×d+r Ejemplo: 128
12
12
10
--8
D=
c×d + r
D=
10 × 12 + 8 120
D=
CICLO I
+8
128
53
5.
CLASIFICACIÓN: Se clasifica en:
a.
División exacta:
D=c×d
b.
División inexacta:
D=c×d+r
•
Por defecto
•
Por exceso
Ejemplo: A.
División Exacta 15
3
28
4
15
5
28
7
00
00
15 = 3 × 5 B.
28 = 7 × 4
División Inexacta 23 21 r=
3 7
2
23 = 7 × 3 + 2
54
N TO W NE
CICLO I
Aritmética
¡Practiquemos! 1.
Ejercicios sobre división de una cifra en el divisor. Después de efectuar la división, realiza su comprobación. a. 5 7 4 8
2.
6
b.
7065 6
8
c.
7596
7
N
Ejercicios sobre división con dos cifras en el divisor.
Después de efectuar la división, realiza su comprobación. a.
5 0 0 4 8
CICLO I
2 5
TO W NE b. 7
6 8 4 3
36
55
3.
Ejercicios sobre división con tres cifras en el divisor. Después de efectuar la división, realiza su comprobación. a.
5 8 6 4 37
245
b.
7000
¡Ahora hazlo tú! 1.
Resuelve las siguientes divisiones con sus respectiva comprobación: a)
1734
3
b)
1740
c)
2348
4
d)
2622
12
N23
TO W NE e)
1595
11
g)
5334
21
56
f)
2285
5
CICLO I
350
Aritmética
LEYES DE SIGNOS EN LA MUL TIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN Z
A.
MULTIPLICACIÓN EN ZZ.. Es la operación que conociendo dos o más números ENTEROS, llamados FACTORES, nos permite calcular otro número entero llamado PRODUCTO. Ley de signos:
(+) (+) = +
(+) (-) = -
(-) (-) = +
(-) (+) = -
•
El producto de dos números enteros de igual signo es positivo. Ejm.: (+7) × (+10) = +70 (-6) × (-7) = +42
•
El producto de dos enteros de diferente signo es negativo. Ejm.: (-5) × (+10) = -50 (+7) × (-3) = -21
Nota: Recordar que los factores también se pueden encerrar con paréntesis:
¡Ahora hazlo tú!
N
1.
Calcular teniendo en cuenta la ley de signos para la multiplicación: a. (+7) (+6) = b. (-3) (-12) = c. (-7) (-13) = d. (12) (-16) = e. (5) (+6) = f. (2) (1) (-3) (-5) (9) = g. (-1) (-2) (-3) (-6) (-2) = h. (+5) (-3) (-5) (+1) = i. (+7) (+8) (-2) (-3) =
2.
De las afirmaciones: I. (-) (-) (+) (-) (+) = (+) III. 4(-2) = -8
TO W NE
II. IV.
(-3) (-2) = -6 (-1) (1) = 1
¿Cuántas son verdaderas? a.
1
b. CICLO I
2
c.
3
d.
4
e.
ninguna 57
B.
DIVISIÓN EN ZZ.. La división nos permite encontrar un número llamado cociente, conociendo a otros dos llamados dividendo y divisor respectivamente.
Ley de signos:
•
•
(+) (+) = +
(+) (-) = -
(-) (-) = +
(-) (+) = -
El cociente de dos números enteros de igual signo es positivo. Ejm.: +28
+7 = +4
-50
-10 = +5
El cociente de dos números enteros de diferentes signo es negativo. Ejm.: -12 15
+4 = -3 -3 = -5 ¡AHORA HAZLO TÚ!
1.
2.
Calcular teniendo en cuenta la ley de signos para la división: a.
(+10) (+5) =
b,
(-24) (-4) =
c.
(-48) (-8) =
d.
(-42) (+7) =
e.
(+81) (-9) =
f.
(+36) (-4) =
g.
(-60) (+5) =
h.
(7 - 5 + 8) (3 - 2) =
i.
(-2 + 4 - 6 + 10) (4 - 5 - 2) =
j.
(-11 + 3 - 9 + 2) (4 - 7 + 8) =
k.
(-72) (-18) =
l.
(+64) (-4) =
N TO W NE
Sabiendo que: a = -18 ; b = -10 ; c = 55 ; d = -30 ; e = -2 ; f = -5; hallar: a.
be
b.
db
d.
cf
e.
de
58
c.
CICLO I
ae
Aritmética
Operaciones combinadas en ZZ En las operaciones donde intervienen adición, sustracción, multiplicación y división los calculos se realizan en el siguiente orden. 1ro. Se efectúan las operaciones indicadas dentro de los símbolos de colección, de adentro hacia afuera. 2do. Se efectúan la multiplicación y división. 3ro. Se efectúan las adiciones y sustracciones. Ejemplos: Efectuar. a)
I.
II.
- 5 + 3 x 8 - (4 - 1 x 5)
b)
- 12 x [- 6 - 10 x (- 2 - 3)]
= - 5 + 24 - (4 - 5)
= - 12 x [- 6 - 10 x (-5)]
= - 5 + 24 - (- 1)
= - 12 x [-6 + 50]
= - 5 + 24 + 1
= - 12 x [44]
= 20
= - 528
Halla el valor de A, que se deduce de las siguientes igualdades: a)
10A + 5A = 75
b)
8a = 90 + 3A
c)
N
5 (A - 5) = 75 O WT E N d)
(A + 9) : 5 = 16
Halla B en las igualdades: a)
5 (B - 6) = 30
c)
4B - 56 = 16 - 2B
b)
2 (5B - 9) = 42
d)
B : 7 = 90 - 2B
CICLO I
59
III. Resuelve las siguientes operaciones combinadas.
IV.
a)
(- 4 + 3) (1) + [3 - (- 8) (+ 2)] + (- 9) (+ 3) =
b)
[(- 7 + 5 - 2) - (- 2) + 4] (+ 6) - (- 10 + 3) (+ 7) =
c)
[- 8 + (- 7 + 4) - (- 2)] [(9) (- 3) - 1] =
d)
(- 9 + 6 + 5) x (- 4) + [7 - (- 8) (+ 2) - 5] - (- 3) =
e)
[10 - 5 (- 2)] (+ 5) + (- 4 + 6) (+ 3) + 8 (- 2) =
Calcula el número entero que resulta de las operaciones en los siguientes casos:
a)
b)
c)
(- 4) x
15 5
9 18
15 = 3
N TO W NE
x (- 7) =
=
6
20 d)
60
5 2
CICLO I
Aritmética
POTENCIA CIÓN
3
1.
CONCEPTO Se llama potenciación de un número al producto de dos o más factores iguales a dicho número.
2.
TÉRMINOS exponente 4
potencia
3 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 base
El factor que se multiplica se llama base. El número de veces que se multiplica se llama exponente. El resultado se llama potencia. 3.
EJEMPLOS a. b. c.
4.
122 se lee : "Doce elevado al exponente 2" o doce al cuadrado.
N
4
: "Ocho elevado al exponente 4" o ocho a la cuarta.
3
: "Cinco elevado al exponente 3" o cinco al cubo
8 se lee 5 se lee
TO W NE
PROPIEDADES a.
Exponente 1: Todo número natural elevado al exponente 1, es igual al mismo número. Ejm.: a.
51 = 5
b.
12001 = 1200
c.
Completa: 1. 2081 =
4.
82231 =
2.
3331 =
5.
10001 =
3.
501 =
6.
3231 =
CICLO I
5041 = 504
61
b.
Exponente 0: Todo número natural, elevado al exponente 0, da por resultado la unidad. Ejm.: a.
50 = 1
b.
12000 = 1
Completa: 1. 12010 =
c.
4.
10 =
35750 = 1
2.
8320 =
5.
230 =
3.
7770 =
6.
21031020 =
c.
Produto de potencias de igual base : Es igual a la base común elevado a la suma de los exponentes. am . an = am + n
N
Ejm: 0
1
0+1
1
52 . 52 = 52 = 52 = 52 2 3 2+3 5 2 .2 =2 = 2 = 32 Completa: 1. 282 . 281 =
TO W NE 4.
32 . 3 =
2.
26 . 20 =
5.
52 . 51 =
3.
6 . 62 =
6.
10 . 10 =
62
CICLO I
Aritmética
d.
Cociente de potencias de igual base: Es igual a la misma base elevada a la diferencia de los exponentes. am
an
am n
ó
am an
am
n
Ejm.: 84 82 = 84 - 2 = 82 = 64
Completa: 1.
26
24 =
4.
56
54 =
2.
35
3=
5.
104
3.
45
43 =
6.
5284
e.
Potencia de otra potencia: Es igual a la misma base elevada al producto de los
102 = 5284 =
exponentes.
N
(am)n = am × n ó {[[(am)]n]p}q = am × n × p × q Ejm.:
TO W E (32)4 = 32 × 4 = 38 = 6561N {[(102)3]5}0 = 102 × 3 × 5 × 0 = 100 = 1
Completa: 1.
((31)2) =
4.
((((21)2)3)4)0=
2.
(((52)3)0)1 =
5.
((31)2)1 =
3.
((62)1)2 =
6.
((41)2)3) =
CICLO I
63
¡Practiquemos! 1.
2.
Expresa cada potencia como una multiplicación y halla su resultado.
a.
122 =
b.
35 =
×
×
c.
43 =
×
×=
d.
26 =
×
×
×
= ×
×
×
=
×
=
Escribe con palabras y calcula:
a.
54
b.
123
al
es igual a
c.
92
al
es igual a
d.
86
a la
5 a la cuarta es igual a
es igual a
N 3.
Ordena de mayor a menor:
a.
5 2 ; 31 ; 43 ; 3 4 _
b.
_
6 3 ; 72 ; 84 ; 51 ; 4 5 _
64
_
8 2 ; 53 ; 25 ; 46 ; 3 0 _
c.
TO W NE
_
CICLO I
Aritmética
4.
Afina tu destreza y recuerda las propiedades: a.
Calcular *
33 . 3 4
*
5a . 5b
* *
b.
6.6.6 2
5
3
4
4 .4 .4 .4
5
= _
_
= _
_
= _
_
= _
_
¿Qué exponente se deberá colocar en los casilleros para que se cumpla las siguientes igualdades?
c.
5.
6.
*
52 . 5
*
75 . 78 . 7
= 53 = 720
*
4
*
6
. 42 = 4 1
. 6
2 2
. 6
=6
6
Encuentra el exponente que debe ir en cada recuadro:
*
4
= 16
*
8
*
7
= 49
*
12
= 512
N
= 144
TO W Escribe el número correspondiente a cada NEpotencia: *
103 =
*
102 =
*
100 =
*
106 =
*
104 =
*
107 =
*
105 =
*
101 =
Calcula el número que corresponde a cada producto.
*
5 × 102 =
*
9 × 104 =
*
8 × 103 =
*
6 × 101 =
*
7 × 100 =
*
3 × 105 =
CICLO I
65
7.
8.
Resolver dejando indicado el exponente a.
[(42)3]2 =
b.
[(62)4]0 =
c.
{[(1004)5]2}1 =
d.
{[82)3]6}5 =
Resolver:
a.
c.
e.
48 49
124 12
4
96
b.
d.
92
580 545 =
75 73 =
N TO W NE
66
CICLO I
Aritmética
RADICACIÓN
4
1.
CONCEPTO Calcular la raíz enésima de un número natural es encontrar otro número que elevado a la enésima potencia dé por resultado el número anterior.
2.
ELEMENTOS índice raíz
144 = 12 signo radical radical
Nota: Se acostumbra no escribir el índice cuando
índice
éste es “2” 3
27 = 3
raíz
radical 3.
N TO W NE
EJEMPLOS
porque 62 = 36
a.
b.
3
porque 72 = 49
c.
d.
porque 43 = 64
3
3
porque 5 = 125
CICLO I
67
4.
5.
OBSERVACIÓN *
El índice 2 se acostumbra a omitir su escritura.
*
El índice 2 y 3 se acostumbra a pronunciar como cuadrada y cúbica respectivamente
PROPIEDADES EN LA RADICACIÓN a.
Raíz de un producto indicado n
b.
axb
n
a x nb
Raíz de un cociente n
a
b
n
a
n
b
¡Practiquemos! 1.
Calculemos las siguientes raíces indicando por que: a. c.
3
e. g. i. 2.
3
49
porque
b.
0
porque
d.
100
porque
100
porque
O 16 T W NE h. 216
121
porque
j.
porque
64 3
27
f.
3 3
64
N
porque porque porque porque
Hallar: (no olvides las propiedades) a.
16
25
b.
81
9
c.
100 36
d.
400
68
4
CICLO I
Aritmética
Reforzando 1.
Calcula el valor de: a.
144
porque
b.
100
porque
c.
4
porque
d.
169
porque
e.
324
porque
f.
3
27
porque
g.
3
64
porque
h.
3
8
porque
i.
3
125
porque
j.
3
216
porque
N 2.
Hallar: (no olvides las propiedades) a.
3 27
64
b.
169
4
c.
324
9
d.
3
TO W NE
1000 125
e.
49 36 25
f.
255
g.
196 4 9
25
CICLO I
69
OPERACIONES COMBINADAS EN Z
5
*
Se operan en el orden siguiente: - Radicación y Potenciación - División y Multiplicación - Adición y Sustracción
*
En caso de existir la presencia de signos de agrupación, primero se calculan las operaciones indicadas en el interior de estos.
*
No olvides:
Se multiplica y divide de izquierda a derecha Se suma y se resta de izquierda a derecha
Ejemplo: a.
12 - 5 + 14 - 3 - 7 + 4 7
+ 14 - 3 - 7 + 4 21
-3-7+4 18
-7+4 11
+4 15
N b.
12 × 3 6 + 4 - 18 6 + 4 × 3 - 10 + 5 × 3
O T W NE36 6 + 4 - 18 6 + 4 × 3 - 10 + 5 × 3 6
+ 4 - 18 6 + 4 × 3 - 10 + 5 × 3
6
+4-
3
+ 4 × 3 - 10 + 5 × 3
6
+4-
3
+
12 - 10 + 5 × 3
6
+4-
3
+
12 - 10 + 15
3
+
12 - 10 + 15
+
12 - 10 + 15
10
7
19
- 10 + 15 9
+ 15 24
70
CICLO I
Aritmética
¡Practiquemos! 1.
Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones combinadas, no olvides las reglas: a.
18 - 6 + 25 - 19 - 6 + 8
b.
40 - [2 + (13 - 1) - (8 - 4)] - 6
c.
200 + {9 + 21 + [12 - (15 - 8) + (7 - 3) + 30] - 15} - 8
d.
6 × 5 × 4 20 + 20 5 4
e.
80 [(15 - 6) 3 + (18 - 3) 5]
f.
81
20
4
N
42
g.
(3 27 )2
h.
(42
9) 2
125
22
82
(42
22 )
4
3
(100
TO W NE 10)
[ 64
102 ]
2 7 9 50
i.
3
j.
40 - [2 + (13 - 1) - 22] - 6
43
CICLO I
71
I.
II.
¡Ahora hazlo tú!
Hallar: a)
+ 4 - 5 + 8 + 9 + 15 - 6 - 6
b)
- 3 + 10 + 3 - 8 - 12 + 5 - 3
c)
5 - [- 2 - (- 1 + 5 - 6)] - 3
d)
- 4 - 12 - [(- 13 - 20 + 8) - 4] - [21 + 16 - (15 + 3)]
e)
{[(+ 3) - (- 1)] + [(- 5 + 4)]} - {(+ 4) - (- 1 + 5)}
Resuelve las siguientes multiplicaciones, aplicando la ley de signos: a)
(- 2) (+ 3) (- 8) (- 3) =
b)
(- 10) (- 5) + (- 6) (3) =
c)
(- 6) (2) + (4) (10) =
d)
(12) (- 12) + (8) (- 10) =
e)
(- 13) (- 8) + (- 4) (- 2) =
III. Resuelve las siguientes divisiones aplicando la ley de signos:
IV.
a)
(300 + 3 + 2) (- 15 + 10)
b)
(- 20) (+ 5) - (18) (- 3)
c)
(100) (- 4) + (32) (- 4)
d)
(169) (- 13) + (225) (- 15)
e)
(- 32) (8) - (- 72) (2)
a)
{ 100 x (- 2) +
b)
155 + {18 + ( 9 x 4 x 3 - 15)}
c)
3 2 + 42 -
d)
(((21)2)3)0 +
e)
500 - 13 - 12 + 33 - 23 +
N
TO W E N Resuelve las siguiente operaciones combinadas:
f)
g)
72
9 + 20 - 4 - 3
16 x (- 5) + 4 (
5)
400 x 20} + 3210
( 15 3 x(
4 x 32 +100
81 -
2
4 +
225
12 - (- 2) 3 12 10) x 3 3)
CICLO I
Aritmética
6 1.
EL NÚMERO FRA CCIONARIO
IDEA DE FRACCIÓN Expresa una o más partes iguales en que se ha dividido la unidad. Ejemplo:
Esta figura se ha dividido en 4 partes. Cada una de ellas es un cuarto de la figura.
2.
Esta figura se ha dividido en 8 partes. Cada una de ellas es un octavo de la figura.
Esta figura se ha dividido en 6 partes. Cada una de ellas es un sexto de la figura.
TÉRMINOS DE UNA FRACCIÓN
N 1 numerador 4 denominador
3.
2TO numerador W NE 6 denominador
-
El numerador indica el número de partes que se toman.
-
El denominador indica el número de partes iguales en que se ha dividido la unidad.
LECTURA DE UNA FRACCIÓN Para leer una fraccción se menciona primero el numerador y luego el denominador. 8 9 4 6
se lee "ocho novenos se lee "cuatro sextos"
CICLO I
73
Nota: Si el denominador es mayor que 10 se agrega la terminación "avos". Ejemplos: • •
4.
6 12 4 13
se lee "seis doceavos"
•
se lee "cuatro treceavos"
•
3 17 5 15
se lee "tres diecisieteavos" se lee "cinco quinceavos"
REPRESENTACIÓN GRÁFICA (en una recta numérica, diagramas y figuras geométricas) a.
Ubiquemos fracciones en la recta *
En la mitad de la longitud entre 0 y 1 colocamos
0
1
1
2
1 2
3
2 *
La fracción
3
representa un número mayor que 1. Quiere decir que cada
2 unidad la dividimos en 2 partes iguales y tenemos 3, comenzando desde el
N
0.
TO W NE
0
*
1
2
3
2 Ahora en la recta ubicamos: 1 , , 3 , 4 2 4 6 8 1 2
2 4
3 6
4 8
0
74
3 2
1
2
3
CICLO I
Aritmética
b.
Reconozcamos fracciones en gráficos *
Escribe la fracción que representa el total de partes sombreadas en cada caso: 3 4 se lee: tres cuartos
1 2 se lee: un medio
4 3
N
se lee: cuatro tercios
TO W NE
CICLO I
75
¡Practiquemos! 1.
Escribe la fracción que representa el total de partes sombreadas en cada caso: 7 4
a.
2.
d.
b.
e.
c.
f.
Pinta la región que representa cada fracción y marca con un aspa la alternativa. Fracción
76
Representación
Comparación con la unidad
7 8
mayor que 1
menor que 1
igual que 1
5 4
mayor que 1
menor que 1
igual que 1
5 6
mayor que 1
menor que 1
igual que 1
4 7
mayor que 1
menor que 1
igual que 1
5 4
mayor que 1
menor que 1
igual que 1
7 4
mayor que 1
menor que 1
igual que 1
4 3
mayor que 1
menor que 1
igual que 1
N
TO W NE
CICLO I
Aritmética
Operaciones con fracciones Afina tu destreza resolviendo los siguientes ejercicios. 1.
Adición de fracciones homogéneas.
a.
b.
c. 2.
1
6
8
8
8
d.
5 4
3 4
2 4
e.
6
1
2
9
9
5
3
1
8
8
8
6
3 4 20 20
20
f.
9
5
3
1
10
10
10
Adición de fracciones heterogéneas (resuélvelos en tu cuaderno) a.
6 4
3 5
d.
b.
5 3
4 2
e.
c. 3.
3
6 8
8 5
f.
7
1
2
4
3
6
5 8
1 4
2 3
2
1
TO8 W NE
9
N 1
6
Sustracción de fracciones homogéneas. a.
b.
c.
5 8
1 8
3
1
5
5
7 4
3 4
CICLO I
d.
e.
f.
7 5
2 5
8
7
7
7
3 9
2 9
77
4.
Sustracción de fracciones heterogéneas.
a.
5.
6.
7
1
9
5
b.
12 4
c.
7 5
8
3
9
5
e.
9 8
2 7
f.
5 6
2 8
f.
5 6
4 10
3 9
g.
7 4
2 14
8 3
h.
9 2
3 4
8 5
i.
7 3
6 8
2 5
TO 6 W j. 5 NE
3 9
2 8
7
9
5
4
8
2
3
8
5
3
4
2
d.
8 4 2 8
Multiplicación de fracciones.
a.
7 4
8 5
b.
6 4
3 2
c.
3 4
6 5
d.
6 4
3 2
e.
7 8
3 4
2 8 1 8 15 3 8 4 2 6
N
División de fracciones.
a.
b.
8
3
4
2
16
5
9
8
e.
f.
c.
8 5
2 9
g.
d.
7 4
6 3
h.
78
18 5
7 9 CICLO I
Razonamiento Matemático
1
NÚMEROS MISTERIOSOS
En esta clase pondremos a prueba toda tu habilidad operativa para encontrar ciertos "números misteriosos"; para encontrarlos deberás analizar con mucho cuidado las "pistas" que se dan. A estos números que vas a buscar los representaremos inicialmente con una letra de nuestro abecedario o simplemente con un signo de interrogación (?). Ejemplos: 1.
Descubre la relación operativa y encuentra el número que falta.
3
7
6
26
17 4
? 3
4
N
Solución: Debemos encontrar una "relación operativa" en los dos primeros gráficos
TO W En el primer gráfico se cumple: 3 × 4 N +E 5 = 17
(pueden ser sumando, restando, multiplicando, dividendo o combinando operaciones) En el segundo gráfico se cumple: 7 × 3 + 5 = 26
Luego, en el tercer gráfico se debe cumplir: 6 × 4 + 5 = 29 El número que falta es 29. 2.
Hallar el valor de "x" en: 11
x
20
2
3
6
7
4
7
1
5
5
2
3
1
CICLO I
79
Solución: En el 1er gráfico se cumple:
_
_
En el 2do gráfico se cumple:
_
_
En el 3er gráfico se debe cumplir:
_
_
Rpta.: 3.
Hallar "A" en: 21 3
53 4
7
_________
A 5
2
_________
7
____ ____ _
Rpta.: 4.
Encuentra el valor de "x" y justifica tu respuesta. 3
4
5
6
14
7
x
N
22
Rpta.:
4
TO W NE
.
EJERCICIOS PARA LA CLASE En cada uno de los siguientes ejercicios encuentra el número que falta justificando la "relación operativa" que te llevó a dicho resultado. Además en cada ejercicio encontrarás cuatro alternativas pero sólo una es la correcta, ¡Encuéntrala" . . . suerte. 1.
Hallar "x" 4 7 a.
80
4
5 29
3 b.
5
x 16 c.
5 6
31 d.
CICLO I
7
Razonamiento Matemático
Porque: 2.
Hallar "A", si:
6
9
3
4
12
2
a.
A
4
6
b.
5
5
c.
8
d.
6
Porque: 3.
Hallar "x" e "y" en:
16 3
8
18 5
7
9
y 2
11
x
1
N a.
x = 10 y = 22
b.
x = 12 y = 24
c.TO x = 12 W NE y = 6
d.
x = 11 y = 22
d.
196
Porque: 4.
Encuentra el número que completa la analogía.
a.
26
3
7
13
9
49
?
b.
65
c.
169
Porque:
CICLO I
81
5.
Hallar "B" en:
3
a.
12
4
7
1
b.
9
8
9
c.
4
32
5
B
d.
128
Porque: 6.
Hallar "x" en:
3
4
1
16
15
x
9 a.
10
22
b.
12
7
14
c.
15
8
19
d.
18
Porque: 7.
Hallar "w" en:
10 5 a.
7
4
72
N
b.
7
TO W NE 2
73
c.
w 9
8
63
d.
36
Porque: 8.
Hallar "z" en: 10
13 a.
227
7 15
130 b.
7
217
105 c.
147
z
31 d.
Porque:
82
CICLO I
211
Razonamiento Matemático
9.
Hallar "y" en:
a.
7
4
3
16
24
y
15
2
20
b.
12
3
28
c.
10
5
32
d.
35
Porque: 10. Hallar "x" en:
7
5
4
6
70
a.
9 x
48
59
b.
61
c.
90
d.
N
54
TO W NE
Porque: 11. Hallar "x" en:
3 2
5
7
4 60
24 a.
5
72
b.
132
2 x
c.
360
d.
70
Porque:
CICLO I
83
12. Hallar "P" en: 4
1
2
42
51
3
3 a.
7 4
5
56
b.
P
2
65
c.
28
d.
82
d.
7
d.
4
d.
18
Porque: 13. Hallar "Q" en:
40
3 2
a.
4 3
8
5
b.
42 6
8
c.
72
Q 2
8
9
Porque: 14. Hallar "x" en:
18 9
8 4
6
TO W NE
2 a.
9
4
N 27
3
b.
7
c.
x 2 6
8
Porque: 15. Hallar "R" en: 14 3
2
25
3
2
5 a.
R
15 5
7 b.
42
2 8
c.
33
Porque:
84
CICLO I
Razonamiento Matemático
2
ORDEN DE INFORMA CIÓN
¿Perú campeón? En un cuadrangular amistoso participaron las selecciones de Brasil, Italia, Francia y Perú. Si se sabe que Perú obtuvo más puntos que Brasil, Francia tuvo menos puntos que Italia y Brasil no obtuvo menor puntaje que Italia. ¿Quién fue el campeón del cuadrangular?
Amiguitos como se pueden dar cuenta la información brindada por el problema no está ordenada, por lo cual será importante ordenar la información de manera que contribuya a resolver el problema de manera fácil y rápida
Resolución:
N TO W NE
Una vez hecho el ordenamiento, debemos comprobar que este cumpla con todos los datos del problema.
CICLO I
85
Se cumple que:
•
Perú obtuvo más puntos que Brasil
Sí
No
•
Francia obtuvo menos puntos que Italia.
Sí
No
•
Brasil no obtuvo menor puntaje que Italia.
Sí
No
Luego de comprobar los tres datos del problema podemos decir que el ordenamiento hecho es correcto. A continuación desarrollaremos problemas de ordenamiento lineal y circular I.
ORDENAMIENTO LINEAL En este caso el orden de la información se realiza ubicando los datos en forma vertical u horizontal según sea el caso. Ejemplo 1: Juan es más alto que Raúl y Pedro es más alto que Juan. ¿Quién es el de menor estatura? Resolución:
N TO W NE
Rpta.:
86
CICLO I
Razonamiento Matemático Ejemplo 2: En una evaluación Rocío obtuvo menos puntos que Sofía, Evelyn menos puntos que Rocío y Kelly más que Ruth. Si Ruth obtuvo más puntos que Sofía, ¿quién obtuvo el puntaje más alto? Resolución:
Rpta.: Ejemplo 3: En un edificio de cuatro pisos viven cuatro hermanos. Arturo vive en el primer piso, Mario vive más abajo que Jorge y Willy un piso más arriba que Mario. ¿En qué piso vive Willy? Resolución:
N TO W NE Rpta.:
Ejemplo 4:
Cuatro amigas viven en la misma calle. Además: Sandra vive a la izquierda de Diana. La casa de Sandra queda junto a la de Diana y a la derecha de la de Carla. Carla vive a la derecha de Jessica. ¿Quién vive a la izquierda de las demás? Resolución:
Rpta.:
CICLO I
87
Ejemplo 5: En la clasificación final de un torneo ecuestre, María quedó primera, Jessica quedó en algún lugar delante de Pilar y Cecilia lo hizo inmediatamente después de Sandra. Si Pilar quedó quinta y Jessica no quedó en cuarto lugar, ¿quién quedó en segundo lugar? Resolución:
Rpta.:
II.
ORDENAMIENTO CIRCULAR En algunos problemas se presenta la información indicándose que las personas se ubican alrededor de un objeto, formando así una línea cerrada, es decir las personas hacen un círculo. Amiguitos para ordenar correctamente a las personas alrededor de una mesa circular, debemos definir la derecha y la izquierda de cada una de ellas.
N
TO W NE
*
Arturo, Beto, Carlos, David, Edgar y Frank se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos, distribuidos simétricamente.
A F
B
E
C D
88
CICLO I
Razonamiento Matemático Responder: •
¿Quién se sienta frente a Frank?
•
¿Quién(es) está(n) a la derecha de Carlos?
•
¿Quién está junto y a la izquierda de Beto?
•
¿Quién(es) está(n) a la izquierda de David?
•
¿Quién está sentado entre Andrés y Edgar?
•
¿Quién está junto y a la izquierda de Frank?
Ejemplo 1: Magaly, Gissell, Paola y Vanessa se sientan alrededor de una mesa circular con cuatro asientos, distribuidos simétricamente. Si se sabe que Gissell está sentada frente a Vanessa y Magaly está a la derecha de Vanessa. ¿Quién está sentada a la izquierda de Paola? Resolución:
Rpta.:
N
TO W E Cuatro personas: "A", "B", "C" y "D" se N sientan alrededor de una mesa circular con cuatro Ejemplo 2:
asientos, distribuidos simétricamente. Si "B" está a la izquierda de "C" y "A" no está sentado frente a "B". ¿Quién está sentado a la izquierda de "D"? Resolución:
Rpta.:
CICLO I
89
Ejemplo 3: Seis amigos: "A", "B", "C", "D", "E" y "F" se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente, además: "D" no se sienta junto a "B". "A" se sienta junto y a la derecha de "B" y frente a "C". "E" no se sienta junto a "C". ¿Quién se sienta frente a "F"? Resolución:
Rpta.:
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1.
Roberto es más alto que Julián y Edú es más alto que Roberto. ¿Quién es el de mayor estatura?
N TO W NE
2.
Jordan es más veloz que Paolo, Fabrizio es más lento que Renato y Augusto es tán rápido como Fabrizio. Si Renato es más lento que Paolo, ¿quién es el más rápido?
90
CICLO I
Razonamiento Matemático 3.
-
Pancho es mayor que Lucho.
-
Anacleto es menor que Antonio.
-
Zoila es menor que Anacleto.
-
Lucho es mayor que Antonio.
¿Quién es el menor de todos?
4.
Camila, Paola, Andrea y Cinthia viven en un edificio de cuatro pisos, cada uno en un piso diferente. Se sabe que: -
Andrea vive más arriba que Camila.
-
Paola vive más arriba que Cinthia.
-
Andrea vive más abajo que Cinthia.
¿En qué piso vive Camila?
N 5.
TO W E N En una banca se sientan cinco personas: Raúl, Víctor, Ramiro, Daniel y José. Si se sabe que: -
Raúl y Daniel se sientan a los extremos.
-
Ramiro está entre Víctor y José.
-
Víctor está junto y a la izquierda de Daniel.
¿Quién está junto y a la derecha de Raúl?
CICLO I
91
6.
Se deben realizar cinco actividades: "A", "B", "C", "D" y "E" una por día, desde el lunes hasta el viernes. -
"B" se realiza después de "D".
-
"C" se realiza dos días después de "A".
-
"D" se realiza el jueves o el viernes.
¿Qué actividad se realiza el martes?
7.
En una mesa circular se sientan cuatro personas: Raúl, Pedro, Juan y Roberto y están distribuidos simétricamente. Si se sabe que: -
Frente a Raúl está Roberto.
-
Pedro no está a la izquierda de Roberto.
¿Quién está a la izquierda de Juan?
N TO W NE 8.
Seis amigos: "A", "B", "C", "D", "E" y "F", se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Si se sabe que: -
"A" se sienta junto y a la derecha de "B" y frente a "C".
-
"D" no se sienta junto a "B".
-
"E" no se sienta junto a "C".
¿Dónde se sienta "F"?
92
CICLO I
Razonamiento Matemático
9.
Si "A", "B", "C", "D" y "E" se sientan alrededor de una mesa circular con seis sillas distribuidas simétricamente. Si se sabe que: -
"A" se sienta junto y a la izquierda de "B".
-
"D" se sienta frente a "C".
-
"E" se sienta junto y a la derecha de "C".
¿Adyacente a quiénes está el lugar vacío?
TAREA DOMICILIARIA Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno. 1.
Si se sabe que: -
"A" es más alto que "C".
-
"B" es más bajo que "D".
-
"C" es más alto que "D".
¿Quién es el de menor estatura? 2.
N TO W NE
Laura nació antes que Sonia, Rosa es mayor que Sonia pero no que Laura. ¿Quién es la menor de todas?
3.
En un edificio de cinco pisos viven las amigas: Gaby, María, Patty, Cecilia y Milagros, cada una en un piso diferente. Si se sabe que: -
Cecilia vive más abajo que María, pero más arriba que Milagros.
-
Gaby no vive más abajo que Patty.
-
María no vive más arriba que Patty.
¿Quién vive en el quinto piso?
CICLO I
93
3
SITUACIONES LÓGIC AS
¿Quién es el suegro de la
Si el mañana de anteayer
madre del hijo del hermano
de pasado mañana es jueves,
de mi padre?
¿qué día es hoy?
Si te es difícil comprender el enunciado, no te preocupes, pues en esta clase vas a aprender como solucionar problemas como estos. I.
PROBLEMAS SOBRE "PARENTESCOS" Para resolver problemas sobre parentescos podemos construir un esquema graficando las personas que aparecen en el problema de atras hacia delante. *
N
Ejemplo 1
TO W NE
¿Qué parentesco tiene Guille con la madre del esposo de la madre de su hermano? Solución: El personaje principal de este enunciado es Guille, por tanto él será nuestro punto de partida.
94
Guille:
Guille
Su hermano:
Guille
Su hermano
CICLO I
Razonamiento Matemático
Madre de Guille Madre de La madre de su hermano:
Su hermano
Guille
El esposo de la madre de su hermano: Padre de Guille
Esposo de la
Madre de Guille Madre de Su hermano
Guille
La madre del esposo de la madre de su hermano: Abuela de Guille La madre del Padre de Guille
Esposo de la
TO W NE
Guille
N Madre de Guille Madre de Su hermano
Por lo tanto la respuesta a la pregunta: ¿Qué parentesco tiene Guille con la madre del esposo de la madre de su hermano? Es: Su abuela
CICLO I
95
-
Ahora veamos otra manera de solucionar el problema, ésta es subrayando a los personajes que aparecen en el enunciado de atrás hacia adelante. ¿Qué parentesco tiene Guille con la madre del esposo de la madre de su hermano? madre de Guille Padre de Guille Abuela de Guille
Por lo tanto la respuesta es: Su abuela. *
Ejemplo 2: ¿Qué parentesco tiene conmigo el hijo de la hermana de mi padre? Solución 1: El personaje principal de este enunciado soy yo. Yo:
Mi padre:
Yo Mi padre
N
Yo
La hermana de mi padre:
TO W NMiE la hermana
padre
de mi padre
Mi tía
Yo El hijo de la hermana de mi padre: Mi padre
Mi tía el hijo de
Yo
96
Mi primo
CICLO I
Razonamiento Matemático
Por lo tanto la respuesta a la pregunta: ¿Qué parentesco tiene conmigo el hijo de la hermana de mi padre? Es: mi primo -
Solución 2: ¿Qué parentesco tiene conmigo el hijo de la hermana de mi padre? mi tía
mi primo Por lo tanto la respuesta es: mi primo.
II.
PROBLEMAS SOBRE DÍAS DE LA SEMANA Para resolver problemas sobre días de la semana podemos graficar una recta con las siguientes características: AA
A
H
M
PM
-2
-1
0
+1
+2
A N T E A Y E R
A Y E R
H O Y
M A Ñ A N A
TO W NE
N
P A S A D O
M A Ñ A N A
Ejemplo 1: Si el mañana de anteayer de pasado mañana es jueves, ¿qué día es hoy? Solución: Si:
+ 1 - 2 + 2 = "jueves"
Es decir: + 1 = "jueves"
CICLO I
mañana es jueves
97
AA
A
H
M
PM
-2
-1
0
+1
+2
M I É R C O L E S
J U E V E S
Por lo tanto hoy es: miércoles *
Ejemplo 2: Si el ayer de pasado mañana del mañana de anteayer es domingo, ¿qué día será el mañana del pasado mañana de ayer? Solución: Si:
- 1 + 2 + 1 - 2 = domingo Es decir: 0 = domingo
Hoy es domingo
N
TO W NE
Qué día será: + 1 + 2 - 1 . Es decir: ¿Qué día será el mañana del pasado mañana +2 de ayer? AA
A
H
M
PM
-2
-1
0
+1
+2
D O M I N G O
M A R T E S
Por lo tanto el mañana del pasado de ayer mañana será: Martes
98
CICLO I
Razonamiento Matemático
EJERCICIOS PARA LA CLASE 1.
¿Qué parentesco tiene conmigo el hijo de la hija de la esposa de mi padre?
2.
¿Qué parentesco tiene Lalo con la hija de la esposa del único vástago de la madre de su padre?
3.
¿Qué parentesco tiene conmigo el padre del padre del hijo de mi hermano?
N 4.
TO W E ¿Quién es la suegra de la mujer de miN hermano?
5.
¿Qué parentesco tiene Ricardo con el suegro de la madre del hijo del hermano de su padre?
CICLO I
99
6.
¿Qué parentesco tiene Edú con una mujer que es la hija de la esposa del único vástago de su padre?
7.
Si el ayer del pasado de mañana de mañana es miércoles, ¿qué día es hoy?
8.
Si el mañana del pasado mañana de ayer es sábado, ¿qué día será el ayer del mañana de pasado mañana de anteayer?
N 9.
TO W NE
Si el pasado mañana del mañana de hace dos días fue martes, ¿que día será el anteayer del mañana de pasado mañana?
10. Si el mañana del mañana del pasado mañana de ayer es domingo, ¿qué día será mañana?
100
CICLO I
Razonamiento Matemático
11. Si anteayer fue viernes, ¿qué día fue el mañana del mañana del anteayer del mañana de hace tres días?
12. Si hoy es martes, ¿cuál es el día que está inmediatamente después del día que precede al día que sigue al mañana del anteayer del día que subsigue el mañana del pasado mañana de hace tres días?
N TAREA DOMICILIARIA O
1.
WT E ¿Qué parentesco tiene conmigo la hijaN de la esposa de mi padre?
2.
¿Qué parentesco tiene Tina con el padre del esposo de su madre?
3.
¿Quién es la hija de la hermana del esposo de mi madre?
4.
Si hoy es jueves, ¿qué día será el mañana del pasado mañana?
5.
Si el anteayer del mañana de ayer es lunes, ¿qué día será el pasado mañana del mañana de anteayer?
CICLO I
101
4
SOLUCIÓN DE ECU ACIONES
Toda igualdad que tiene un término desconocido se llama ecuación. El término desconocido (variable) es la incógnita y es representada por una letra. Ejemplo: 8 x3
primer miembro
donde:
x2 3 2 x
segundo miembro
"x" es la variable o incógnita que debemos hallar.
EJERCICIOS PARA LA CLASE Desarrolla con tu profesor(a) las siguientes ecuaciones en tu cuaderno. Bloque I 1.
x + 12 = 56
N TO W NE 2.
x + 13 = 5 + 12 - 1
3.
2(x + 3) = 14
102
CICLO I
Razonamiento Matemático
4.
3(x + 1) + 4(x + 3) = 50
5.
2x + 15 = 31
6.
3x + 1 = x + 19
7.
17 + 8x - 2x = 43 + 5x
8.
21 + 4x = 45 - 2x
9.
17 + 8x + 13 - 3x = 5x + 15 - 2x + 17
N TO W NE
10. 3x + 5 = 72 - x
CICLO I
103
5
PLANTEO DE ECU ACIONES
¿Qué es plantear una ecuación? Plantear una ecuación es transformar enunciados verbales o conjunto de oraciones a formas matemáticas o simbólicas. Planteo
Forma Verbal
Forma Matemática
Practiquemos un poco: Traducir a lenguaje matemático los siguientes enunciados verbales: ENUNCIADO VERBAL
FORMA MATEMÁTICA x
1
Un número desconocido.
2
El doble de un número.
3
El triple de un número.
4
Al doble de un número le aumentamos 5.
5
La mitad de un número.
6
La edad de Pedro.
7
La edad de Pedro dentro de 7 años.
8
La edad de Pedro dentro de 3 años.
9
Al doble de la edad de Pedro, le aumentamos 5 años.
10
N
TO W NE
Si a la mitad de la edad de Pedro le aumentamos 3 años obtenemos 18 años.
En este último caso ya hemos planteado una ecuación, pues tenemos una igualdad y una variable por descubrir.
104
CICLO I
Razonamiento Matemático
PROBLEMAS PARA LA CLASE A continuación se presentan un grupo de problemas en los que traducimos el enunciado paso a paso y luego resolvemos la ecuación planteada. 1.
Hallar la edad de Julian, si al duplicarla y luego agregarle 24 nos da 68. La edad de Julián. Si al duplicarla. Luego agregarle 24. Nos da 68.
Resolvemos la ecuación:
N 2.
Hallar un número que al triplicarlo y luego agregarle 9 da como resultado 60. Un número.
TO W NE
Al triplicarlo. Luego agregarle 9. Da como resultado 60.
Resolvemos la ecuación:
CICLO I
105
3.
¿Cuál es el número de libros en un aula, si al quintuple de ellos, disminuido en 20 nos da 80 más su triple? El número de libros del aula. Al quintuple de ellos. Disminuido en 20. Nos da 80 más su triple
Resolvemos la ecuación:
4.
¿Cuál es la edad de Rodrigo, sabiendo que, si sumamos los años que tiene con los años que tendrá dentro de 20 años, nos da el cuádruple de su edad disminuido en 12?. La edad de Rodrigo. Si sumamos los años que tiene.
N TO W NE
Con los años que tendrá dentro de 20 años. Nos da el cuadruple de su edad actual. Disminuido en 12.
Resolvemos la ecuación:
106
CICLO I
Razonamiento Matemático
5.
Si al triple de la edad del profesor le disminuimos 19 años es igual al doble de su edad aumentado en 9 años. ¿Qué edad tiene el profesor? La edad del profesor. El triple de la edad del profesor. Le disminuimos 19 años. Es igual al doble de su edad. Aumentado en 9.
Resolvemos la ecuación:
6.
Si a la edad que cumple Satuko, este año le agregamos 9 años y luego lo multiplicamos
N
por 5 obtenemos 10 veces la edad que tuvo hace 9 años. ¿Qué edad cumple Satuko, este año? Edad que cumple Satuko este año.
TO W NE
Le agregamos 9 años. Luego lo multiplicamos por 5. Obtenemos 10 veces: "La edad que tuvo hace 9 años"
Resolvemos la ecuación:
CICLO I
107
7.
El número de TAPS que tiene Vladimiro es igual a que si al doble de dicho número le aumentamos media centena y luego la dividimos entre 7. ¿Cuántos TAPS tiene Vladimiro? x
Número de TAPS de Vladimiro. Es igual si al doble de dicho número
x = 2x x = 2x + 50
le aumentamos media centena y luego lo dividimos entre 7.
x=
2x + 50 7
Resolvemos la ecuación:
8.
La mitad de la edad de Manuel aumentada en 13 es igual a 27. ¿Cuántos años tiene Manuel?
N
La edad de Manuel. La mitad de la edad de Manuel. Aumentada en 13.
TO W NE
Es igual a 27.
Resolvemos la ecuación:
108
CICLO I
Razonamiento Matemático Observación: Números consecutivos
Enteros consecutivos
Ejm.: a. 7; 8; 9; 10; 11; 12; . . . . . . . . b. 23; 24; 25; 26, . . . . . . . . con variable: x; x + 1; x + 2; x + 3; . . . . .
Pares consecutivos
Ejm.: a. 8; 10; 12; 14; 16; . . . . . . . . b. 102; 104; 106; 108, . . . . . . . . con variable: x; x +2; x + 4; x + 6; . . . . . (x: par)
Impares consecutivos
Ejm.: a. 3; 7; 9; 11; 13; . . . . . . . . b. 311; 313; 315; 317; 319; . . . . . . . . con variable: x; x +2; x + 4; x + 6; . . . . . (x: impar)
9.
N
Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 147. Dos números consecutivos Cuya suma Sea 147
TO W NE
x; x + 1 x +x + 1 x + x + 1 = 147
Resolvemos la ecuación:
CICLO I
109
10. La suma de tres números pares consecutivos es igual a 42. Hallar el menor de ellos. x; x + 2;x + 4
Tres números pares consecutivos. La suma de tres números pares consecutivos.
x+x+2x+4
Es igual a 42.
x + x +2 + x + 4 = 42
Resolvemos la ecuación
N TO W NE
110
CICLO I
Razonamiento Verbal
1
INTRODUCCIÓN AL RAZONAMIENTO VERBAL VOCABULARIO
I.
ESCLARECIENDO SIGNIFICADOS Las siguientes expresiones contienen una palabra de significación que tal vez desconozcas. Lee atentamente las dos respuestas y en los paréntesis respectivos coloca una (V) si la significación es verdadera y una (F) si es falsa. 1.
Esta casa es "antediluviana", significa: a) b)
2.
3.
4.
( ) ( )
Juanito, ¿qué es un "binomio"? a) b)
Un hombre que se casa con dos mujeres. Expresión algebraica formada por dos términos.
( ) ( )
a)
Muy breve.
( )
b)
Llena de anécdotas.
( )
N
TO W Ebienvenida. Me escribió una carta "lacónica"N de
El presidente "abrogó" esa ley. a) b)
5.
Contra diluvios. Muy antigua y pasada de moda.
Anuló la ley. Postergó la ley.
( ) ( )
El profesor pidió analizar esa "anfibología". a)
Ciencia que estudia los anfibios.
( )
b)
Doble sentido que presentan algunas frases.
( )
CICLO I
111
6.
El invierno es más frío en los países "septentrionales". a) b)
7.
Alimentación a base de frutas. Una dieta moderada.
( ) ( )
Los acreedores lo "acosaban" a diario. a) b)
9.
( ) ( )
El médico le recomendó una comida "frugal". a) b)
8.
En los países del norte. En los países cercanos al polo.
Lo acusaban de tramposo. Lo perseguían insistentemente.
( ) ( )
Con "ahínco" empezaron sus labores estudiantiles. a) b)
Con mucho empeño. Con gran agotamiento.
( ) ( )
10. Esa noticia lo "exasperó". a) b) II.
Lo puso triste. Lo irritó.
( ) ( )
N
TO W E N Lee atentamente las expresiones que están entre comillas, advierte la ambigüedad, SIGNIFICADO AMBIGUO
luego, escríbelas en las líneas en blanco en forma correcta. 1.
Un letrero en la puerta de una lavandería anunciaba: "Aquí no rompemos su ropa a máquina lo hacemos a mano".
*
Podríamos entender que: -
Se rompe la ropa a mano; no con máquina. No se lava la ropa a máquina sino manualmente.
La forma comprensible de escribir el mensaje sería: "Aquí lavamos su ropa a mano, no usamos lavadora porque la máquina la estropea".
112
CICLO I
Razonamiento Verbal 2.
Noticia: "Se organizó ayer un desfile de perros de raza encabezado por el alcalde". -
El alcalde dirigió la organización del desfile.
-
El alcalde encabezó el desfile de perros.
El mensaje debería decir: _ 3.
_
"Los alumnos de la talla del niño Fernández asistieron a la convención" -
El alumno Fernández y sus compañeros tienen la misma estatura.
-
Asistieron alumnos de la misma capacidad que la del alumno Fernández.
El mensaje debería decir: _ 4.
_
"El Sr. Godoy, que venía acompañado de su esposa, tenía además otros problemas". -
La compañía de la esposa era un problema más.
-
El Sr. Godoy tenía muchos problemas, pero la compañía de su esposa no era problema.
El mensaje debería decir: _ 5.
N
_
"Juanita izó la bandera emocionada". -
TO W E N Juanita estaba emocionada.
-
La bandera estaba emocionada.
El mensaje debería decir: _ 6.
_
"Jorge saldrá pronto del hospital que tenía cólera". -
El hospital tenía cólera.
-
Jorge tenía cólera.
El mensaje debería decir: _
_
CICLO I
113
7.
"He llevado mi auto a un mecánico que fue chocado". -
El mecánico fue chocado.
-
El auto fue chocado.
El mensaje debería decir: _ 8.
_
"Ese futbolista exige respeto a sus dirigentes". -
Los dirigentes deben ser respetados.
-
Los dirigentes deben respetar al futbolista.
El mensaje debería decir: _
_
III. AMBIGÜEDAD HUMORÍSTICA Observa los siguientes gráficos y explica el significado correcto e incorrecto. "Agítese antes de usar"
N TO W NE
Tiene zapatos de cocodrilo Si, Sra. ¿qué # calza su cocodrilo?
El siempre se va por las ramas
114
CICLO I
Razonamiento Verbal *
PUPILETRAS Busca en el pupiletras 10 países de América y 10 países de Europa.
d
a
y
y
w
e
b
y
a
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a
r
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d
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N TO W NE
CICLO I
115
2
I.
POLISEMIA
HALLANDO SIGNIFICADOS Completa los significados de las siguientes palabras polisémicas.
1.
columna
2.
ducha
3.
luna
4.
orden
5.
tabla
6.
vista
7.
busto
8.
tierra
9.
sierra
116
N TO W NE
CICLO I
Razonamiento Verbal
lista
10. II.
BUSCANDO EL SIGNIFICADO Ayudándote de un diccionario, escribe el significado que corresponde a la palabra polisémica "CUERPO", de acuerdo al uso que se le da en cada oración. -
Me duele todo el cuerpo a causa de la gripe. Significado: _
-
_
Mi hermano mayor pertenece al Cuerpo de Bomberos de Jesús María. Significado: _
-
_
La Historia dice que Hitler se suicidó, pero la verdad es que nunca encontraron el cuerpo. Significado: _
-
_
N TO W NE
Como mi computador está malo, todo se imprime con cuerpo 10. Significado: _
-
_
La idea de hacer un equipo de fútbol en el barrio está tomando cuerpo. Significado: _
-
_
Los entendidos dicen que el vino chileno tiene mucho cuerpo y un gran aroma. Significado: _
_
CICLO I
117
III. COMPLETANDO EL TEXTO En el siguiente texto, se utiliza diez veces el verbo "hacer", en diversas conjugaciones, cada vez que se quiere designar una acción distinta. Reemplaza en él dicho verbo por otro más preciso. Puedes ayudarte del diccionario. A mi hermana le harán una operación mañana. El doctor que le hizo los exámenes dijo que todo saldrá bien, y que después mi hermana tendrá que hacer una dieta especial y hacer mucho ejercicio, pero primero deberá estar unos días haciendo reposo. En este momento mi hermana hace su maleta para llevar al hospital, mi mamá hace una comida liviana para mi hermana y yo haré una carta, para que mi hermana la lea mañana. Mi papá hace un pupiletras, para distraerse un poco de todo; le hará bien descansar un poco la mente. A mi hermana le ............................. una operación mañana. El doctor que le ............................. los exámenes dijo que todo saldrá bien, y que después mi hermana tendrá que ............................. una dieta especial y .............................
N
mucho ejercicio, pero primero deberá estar unos días
TO W para llevar al hospital, mi mamá ............................. una comida liviana para mi hermana NE ............................. reposo. En este momento mi hermana .............................. su maleta y yo ............................. una carta, para que mi hermana la lea mañana. Mi papá ............................. un pupiletras. para distraerse; yo pienso que le ............................. bien descansar un poco la mente. IV. ESCLARECIENDO SIGNIFICADOS Subraya las palabras polisémicas de las siguientes oraciones. Luego explica su significado. 1.
El amor es una locura que solo la cura el cura, y cuando el cura la cura comete una gran locura.
118
_
_
_
_
CICLO I
Razonamiento Verbal 2.
3.
4.
5.
6.
V.
Usted, no nada, absolutamente nada, en la piscina. _
_
_
_
Yo no traje mi traje de noche. _
_
_
_
¿Viste cómo se viste? _
_
_
_
Este rico vino, nos vino del cielo. _
_
_
_
El señor vocal se confundió en escribir esa vocal. _
_
_
_
PUPIPOLISÉMICAS
N
Halla palabras polisémicas, según las definiciones que se indican a continuación.
TO W NE
1.
Joya usada por las mujeres.
2.
Una cuesta.
3.
Enfermedad estomacal.
4.
Sacerdote
5.
Donde se encuentra un rey.
6.
Astro luminoso
7.
Manantial de agua.
8.
Gran enfado, ira.
9.
Plato grande en que sirven las viandas.
10.
Acción de curar.
11.
Juguete de papel que es utilizado en el aire.
12.
Acción de cortar.
CICLO I
119
3
I.
SINONIMIA
SUBRAYANDO SINÓNIMOS Encierra el sinónimo de la palabra en mayúscula.
II.
1.
SUCUMBIR
: rendirse - rebelarse - recluirse
2.
FOMENTAR
: fallar - favorecer - formar
3.
REFUGIAR
: cobijar - cerrar - huir
4.
ROLLIZO
: delgado - desganado - obeso
5.
AVARO
: tacaño - aviador - generoso
6.
SUMISO
: solitario - dócil - rebelde
GRADACIÓN DEL SINÓNIMO
N
En el cuadro, completa el sinónimo según la indicación dada. Palabra
TO W NE Indicaciones
grande
mayor intensidad
diminuto
mayor intensidad
pobre
mayor intensidad
opulento
mayor intensidad
alegre
mayor intensidad
desconsolado
mayor intensidad
dulce
mayor intensidad
risa
mayor intensidad
120
Sinónimo
CICLO I
Razonamiento Verbal
III. COMPLETANDO EL TEXTO Escribe al lado de cada palabra destacada su sinónimo correspondiente. Elígelo del cuadro. vestido - marido - experimentado - conocidísimos banquete - antepasados - inusual - antiquísima Visita al rey de Lejanilandia El rey de Lejanilandia ha llegado a nuestro país en visita oficial para reforzar los proverbiales
lazos de amistad que unen a su pueblo con el nuestro.
Siguiendo una inveterada atuendo
costumbre, el rey, que lucía el
típico de sus ancestros,
fue conducido
en carroza hasta el Ministerio del Extranjero, donde lo recibió el señor ministro, hombre avezado
en este tipo de recepciones.
El rey ofrecerá hoy en la sede de su embajada un ágape
durante
el cual anunciará oficialmente la boda de su hija con un conocido financiero de nuestro puesto que hasta ahora, las N
país. Es éste un hecho inusitado,
TO W NE
princesas de Lejanilandia estaban obligadas a buscar cónyuge los pastores de su país. V.
entre
MARCANDO EL SINÓNIMO Marca el sinónimo de cada palabra 1.
OBESO
2.
CRÉDULO
3.
BRUMA
a)
flaco
a)
ateo
a)
nebuloso
b)
ovalado
b)
inocente
b)
garúa
c)
rollizo
c)
capaz
c)
oscuridad
d)
tranquilo
d)
inteligente
d)
neblina
e)
N.A.
e)
creyente
e)
aurora
CICLO I
121
4.
7.
V.
RÓTULO
5.
ÓPTIMO
6.
DESPRECIAR
a)
quebrado
a)
excelente
a)
aceptar
b)
fisura
b)
pésimo
b)
rechazar
c)
madera
c)
tranquilo
c)
estimar
d)
letrero
d)
adinerado
d)
imitar
e)
aviso
e)
N.A.
e)
querer
DESACATAR
8.
ALBA
9.
CAPITAL
a)
ordenar
a)
crepúsculo
a)
costumbre
b)
desobedecer
b)
amanecer
b)
ciudad
c)
atar
c)
atardecer
c)
oscuro
d)
mandar
d)
anochecer
d)
importante
e)
N.A.
e)
mediodía
e)
baladí
PUPISINÓNIMOS Resuelve el siguiente pupiletras, hallando un sinónimo para cada término. 1.
acuerdo
_
_
2.
avaro
_
_
3.
apodo
_
TO W _ NE
4.
consumar
_
_
5.
fraude
_
_
6.
cortés
_
_
7.
calumniar
_
_
8.
orate
_
_
9.
juntar
_
_
10. limpio
_
_
11. rezar
_
_
12. andar
_
_
122
N
CICLO I
Razonamiento Verbal
VI. TAREA Extrae del cuadro dos sinónimos para cada palabra. Luego con la ayuda del diccionario, agrega dos más. ilustre - astuto- adverso - extraño - amedrentado - altruista - descuidado continuo - huraño - amilanado - agreste - célebre - funesto - inusitado - bravío generoso - ladino - desaseado - frecuente - insociable
insigne
asiduo
filántropo
taimado
desaliñado
acoquinado
montaraz
misántropo
N
TO W insólito NE
fatídico
CICLO I
123
ANTONIMIA
4
I.
SUBRAYANDO EL ANTÓNIMO Subraya el antónimo de las palabras resaltadas.
II.
1.
absurdo
: inexacto - razonable - disparatado
2.
tolerante
: inquieto - inabordable - intransigente
3.
elástico
: dócil - rígido - frágil
4.
respetuoso : sumiso - considerado - descarado
5.
orate
: demente - cuerdo - orador
6.
avaro
: tacaño - incapaz - generoso
PRACTICANDO Primero debes escribir un sinónimo de la palabra en negrita y luego su antónimo
N
correspondiente.
TO W NE 1. 2. 3. 4.
CONGOJA CUESTIONAR ENCOMIO CUCHITRIL
_ _ _ _
_ _ _ _
_ _ _ _
5.
AFABLE
_
_
_
6.
EFÍMERO
_
_
_
7.
BIZARRO
_
_
_
8.
FELÓN
_
_
_
124
CICLO I
Razonamiento Verbal III. ANTÓNIMOS CON PREFIJOS Forma antónimos con los prefijos que van a continuación. a-, anti-, desestético afinado dibujado rítmico higiénico igual figurar simétrico leal democrático IV. MARCANDO EL ANTÓNIMO Marca el antónimo de la palabra que está en mayúscula. 1.
4.
PULCRO
2.
ACEPTAR
N 3.
PLURAL
TO W a) persistir NE
a)
principal
b)
lograr
b)
mundial
a)
listo
b)
limpio
c)
rico
c)
rechazar
c)
múltiple
d)
sucio
d)
buscar
d)
singular
e)
puntual
e)
N.A.
e)
rural
RURAL
5.
INFANTIL
6.
MANSIÓN
a)
rústico
a)
pequeño
a)
castillo
b)
pueblerino
b)
irresponsable
b)
cuchitril
c)
ronco
c)
débil
c)
residencia
d)
urbano
d)
senil
d)
habitación
e)
N.A.
e)
pueril
e)
cabaña
CICLO I
125
V.
CRUCIANTÓNIMOS En el siguiente crucigrama, escribe los antónimos de las siguientes palabras.
1.
avaro
2.
paz
3.
ganar
1 2 3
4. 5.
responder 4 5
llanto
6 6.
fiel
7.
eterno
8
7 10
8.
esclavitud
9.
auténtico
9 11 12
10. singular 11. querer 12. insultar
126
N TO W NE
CICLO I
Razonamiento Verbal
VI. TAREA Completa el cuadro con los siguientes sinónimos y antónimos de las palabras en mayúscula. hastiar - divertir - levantar - empezar - suprimir - derribar - acabar concentrar - rechazar - establecer - fundir - apenar - aceptar disolver - concurrir - solidificar - dispersar - alegrar
Palabras
Sinónimos
Antónimos
ABATIR CONCLUIR DERRETIR ABURRIR ABOLIR CONFLUIR DILUIR ADMITIR AFLIGIR
CICLO I
N TO W NE
127
ANALOGÍAS
5 I.
TIPOS DE ANALOGÍA Completa con ejemplos los tipos de analogías 1.
De Sinonimia
:_
2.
De Antonimia
:_
3.
De Parte - Todo ()
:_
4.
De Causa - Efecto ()
:_
5.
De Elemento - Conjunto ()
:_
6.
De Especie - Género ()
:_
7.
De Ser - Función ()
:_
8.
De Ser - Lugar ()
9.
De Ser - Objeto ()
TO W NE :_ :_
10. De Objeto - Característica ()
:_
11. De Objeto - Función ()
:_
12. De Objeto - Lugar ()
:_
13. De Intensidad
:_
14. De Complemento
:_
15. Ser - Característica ()
:_
128
N
CICLO I
Razonamiento Verbal
II.
IDENTIFICANDO TIPOS DE ANALOGÍAS Escribe la relación analógica que existe entre las siguientes parejas de palabras: 1.
Rana
: Verde
_
_
_
2.
Excitar
: Aplacar
_
_
_
3.
Isla
: Archipiélago
_
_
_
4.
Mandarina
: Gajo
_
_
_
5.
Caña de Azúcar
: Ron
_
_
_
6.
Niño
: Puericultorio
_
_
_
7.
Albañil
: Ladrillo
_
_
_
_
_
_
N TO W NE
8.
Pie
: Zapato
9.
Vagabundo
: Errante
_
_
_
10.
Olluco
: Tubérculo
_
_
_
11.
Pie
: Pierna
_
_
_
12.
Enseñanza
: Aprendizaje
_
_
_
CICLO I
129
III. RELACIONANDO PAREJAS ANÁLOGAS Relaciona cada pareja base con el tipo de relación que se establece entre ellas. Luego, únelo con su par análogo. Pareja Base
Parejas Análogas
A. antorcha : libertad
1. ser
: lugar
a. pedal
: bicicleta
B. antena
2. insumo
: producto
b. copioso
: escaso
C. sacerdote : clero
3. ser
: instrumento
c. tenista
: raqueta
D. juez
: tribunal
4. de intensidad
d. tabaco
: cigarrillo
E. trabajo
: cansancio
: significado
e. risa
: carcajada
F. julio
: agosto
5. símbolo 6. causa
: efecto
f. corazón
: amor
G. dúctil
: rígido
7. de contigüidad
g. pez
: banco
H. policía
: silbato
8. parte
h. mecánico : taller
I. caucho
: llanta
9. antónimos
J. temblor
: terremoto
10. elemento
* Ejm:
V.
Tipo de Relación
: televisor
: todo
i. indisciplina : castigo : conjunto
j. martes
: miércoles
Escribe tus resultados: A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
5f
CRUCIANALOGÍAS En el crucigrama de la página siguiente, halla las palabras que completan las analogías.
N
1.
JUNIO
: MAYO
2.
FUEGO
: CALOR
TO W E ::N LICOR
3.
SONIDO
: ECO
4.
MÉDICO
5.
:_
_
:_
_
:: LUZ
:_
_
: DOCTOR
:: PROFESOR
:_
_
PERRO
: JAURÍA
:: PEZ
:_
_
6.
ETERNO
: INFINITO
:: MALDAD
:_
_
7.
INFLADOR
: INFLAR
:: SERRUCHO
:_
_
8.
LEAL
: FIEL
:: TRAIDOR
:_
_
9.
CANGURO
: SALTAR
:: CULEBRA
:_
_
10. CHISTE
: RISA
:: GOLPE
:_
_
11. CUCHILLO
: BISTURÍ
:: COMPUTADORA
:_
_
12. GORDO
: OBESO
:: FLACO
:_
_
130
:: DICIEMBRE
CICLO I
Razonamiento Verbal
6
7
1 5
C L
3
E 2
E 9
12 8
O
4
11 10
IV. MARCANDO LA ALTERNATIVA Marca la alternativa que reproduzca la relación de las siguientes parejas de palabras:
1.
3.
PULPO
: TENTÁCULOS
a)
AJEDREZ
: PARTIDA
: cola
a) damas
: llegada
b) elefante
: trompa
b) tenis
: ajedrez
c)
: patas
mono
2.
N
d) calamar
: tinta
TO c) fútbol W E N d) automovilismo
e)
: aletas
e) ludo
: jugada
HOY
: MAÑANA
araña
tiburón
: carrera
EXPOSICIÓN
: CUADROS
a) recital
: música
a) viene
: vino
b) concierto
: musical
b) pasado
: futuro
c)
: juego
c)
: anteayer
d) teatro
: acto
d) ayer
: hoy
e) pintura
: dibujo
e) ahora
: después
feria
CICLO I
4.
: pelota
ayer
131
VI. TAREA Marca la alternativa que reproduzca la relación de las siguientes parejas de palabras. 1.
EXPLOSIÓN
: BOMBA
a) fuego
CONCRETO
: ABSTRACTO
: incendio
a) fundamental
: propio
b) terremoto
: falla
b) medular
: accidental
c)
: inundación
c)
real
: imaginario
: metralleta
d) adjetivo
: sustantivo
lluvia
d) bala
2.
e) N.A. 3.
e) N.A.
ICTIOLOGÍA
: PECES
a) veterinaria
PIRÁMIDE
: RECTA
: perros
a) esfera
: curva
b) ornitología
: aves
b) cubo
: arista
c)
: hombres
c)
triángulo
: grados
: geografía
d) circunferencia
: puntos
anatomía
d) tierra
4.
e) N.A. 5.
CAMPO
: RURAL
a) estrella
: firmamento
b) lugar
: espacial
TOa) W NE b)
c)
: terrenal
c)
: urbano
d) nube
tierra
d) ciudad e) N.A.
132
e) N.A. 6.
LLANTA
: CAUCHO
N
periódico
: noticias
cerradura
: candado
zapato
: cuero : viento
e) N.A.
CICLO I
Geometría
SEGMENTOS: OPERACIONES DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN, PUNTO MEDIO
1
SEGMENTO DE RECTA
B. Punto medio
Porción de línea recta comprendida entre dos puntos de ella, a los cuales se les denomina extremos.
Es el punto que divide al segmento en dos partes de igual longitud.
Z Segmento de extremos A y B: AB Z Longitud del segmento: AB Z En la figura: AB = a
Y Partes: AM y MB Y Punto medio: M AM = MB
A. Adición y sustracción
Nota
Adición: x=a+b
Sustracción: a=x–b
En la figura, los puntos son colineales y consecutivos.
ON T NEW
4. Calcula «x».
1. Calcula «x».
Resolución: Nos piden: longitud del segmento, AB = x En la parte superior: Longitud total = x + 8 cm + 5 cm En la parte inferior: Longitud total = 20 cm Entonces: x + 8 cm + 5 cm = 20 cm x = 7 cm
5. Calcula «x», si: B es punto medio de AC. 3
Resolución: Nos piden: AB = x B es punto medio de AC AB = BC 3
2. Calcula «x». 6 A 18 3. Calcula CD – AB.
Todo: AD partes: AB, BC, CD x + x + 10 = 30 cm 2x = 20 cm x = 10 cm Respuesta: 10 cm
CICLO I
133
6. Calcula «x», si: M es punto medio de BC.
Del dato: CD = 3(AB) – BC CD = 3(5) – 7 cm CD = 8 cm x = 8 cm Luego: AD = x + 12 cm AD = 8 cm + 12 cm AD = 20 cm
C 7. Calcula «x». 2x+22cm
Respuesta: 20 cm
14cm
8. En una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, de forma que AB = 5 cm, BC = 7 cm y CD = 3(AB) – BC. Calcula AD. Resolución: Nos piden: AD = 5 cm + 7 cm + x AD = 12 cm + x
9. En una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, de forma que AB = 2 cm, BC = 6 cm y CD = 2(AB) + BC. Calcula AD. 10. En una línea recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que AB = x, BC = 2x, CD = 8 cm y AD = 23 cm. Calcula «x».
ON T NEW
134
CICLO I
Geometría
1. De acuerdo con el gráfico, calcula RS – TU.
a) b) c) d) e)
5. De acuerdo con el gráfico, calcula «x».
a) b) c) d) e)
1m 2m 3m 4m 6m
Nivel intermedio 6. De acuerdo con el gráfico, calcula «x».
2. De acuerdo con el gráfico, calcula «x».
a) b) c) d) e)
2u 3u 4u 5u 6u
3u 4u 5u 6u 7u
a) b) c) d) e)
3. De acuerdo con el gráfico, calcula «x».
11 u 12 u 13 u 14 u 15 u
7. Según la figura, calcula «x» si B y D son puntos medios de .
a) b) c) d) e)
ON T NEW
4m 5m 6m 7m 8m
4. De acuerdo con el gráfico, calcula «x» si B es punto medio de AC
a) b) c) d) e)
a) b) c) d) e)
10 cm 20 cm 30 cm 40 cm 50 cm
8. Según la figura, calcula «x» si P es punto medio de .
20 m 30 m 40 m 50 m 60 m
a) b) c) d) e)
CICLO I
5u 10 u 15 u 20 u 25 u
135
9. De acuerdo con el gráfico, calcula «x».
a) b) c) d) e)
a) b) c) d) e)
2u 3u 4u 5u 6u
6 cm 7 cm 8 cm 9 cm 10 cm
12. Sobre una línea recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que AC = 16 u, BD = 14 u, AD = 25 u. Calcula BC.
10. Según la figura, calcula «x».
a) b) c) d) e)
11. En una línea recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que AB = x, BC = 3x, CD = 12 cm y AD = 48 cm. Calcula «x».
a) b) c) d) e)
3u 4u 5u 6u 7u
10 u 11 u 12 u 13 u 14 u
1. De acuerdo con el gráfico, calcula «x».
3. De acuerdo con el gráfico, calcula 2CD + 3AB.
ON T NEW a) 10 u b) 11 u c) 12 u
d) 13 u e) 14 u
a) 50 u b) 55 u c) 60 u
d) 65 u e) 70 u
2. De acuerdo con el gráfico, calcula «x». 4. Si los puntos A, B y C son colineales, calcula (5AB + 3BC) – AC.
a) 15 u b) 16 u c) 17 u
136
d) 18 u e) 19 u
a) 9 u b) 12 u c) 15 u
d) 18 u e) 21 u
CICLO I
Geometría 5. De acuerdo con el gráfico, calcula «x» si H es punto medio de GI.
9. En una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, de forma que AB = 2 m, BC = 4 m y CD = 6 m
a) 11 u b) 13 u c) 15 u
d) 17 u e) 19 u
6. De acuerdo con el gráfico, calcula «x» si M es punto medio de BC. x
22cm A
a) 2 cm b) 4 cm c) 6 cm
B M 38cm
C
Calcula AD. a) 10 m b) 11 m c) 12 m d) 13 m e) 14 m 10. En una línea recta se toman los puntos consecutivos P, Q, R y S, de modo que PQ = x, QR = 2x, RS = 18 m y PS = 42 m. Calcula «x». a) 2 m b) 4 m c) 6 m d) 8 m e) 10 m
d) 8 cm e) 10 cm
7. A partir de la figura, resuelve: 2AB +C D BC
ON T NEW
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 8. En una línea recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que AB = 8cm, BC = 10 cm, CD = 3(AB) – BC. Calcula AD. a) 30 cm b) 31 cm c) 32 cm d) 33 cm e) 34 cm
CICLO I
137
2
ÁNGULOS: CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA Y OPERACIONES DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
El ángulo está formado por dos rayos con el mismo origen donde dicho punto representa el vértice del ángulo.
-
Clases de ángulos A. Ángulo agudo Es el ángulo cuya medida es menor de 90°.
Ángulo AOB: ; AOB ° es la medida del ángulo
ON T NEW
B. Ángulo recto Es el ángulo cuya medida es 90°.
138
CICLO I
Geometría
D. Ángulo llano Es el ángulo que mide 180° y se grafica como una recta.
C. Ángulo obtuso Es el ángulo mayor de 90° y menor de 180°.
Observación: Las rectas secantes que forman 90° se llaman rectas perpendiculares. y
son perpendiculares
ON T NEW
CICLO I
139
1. Calcula la m BOC.
a) b) c) d) e)
10° 20° 30° 40° 50°
5. Calcula «x». a) b) c) d) e)
10° 20° 30° 40° 50°
2. Calcula la m AOD. a) b) c) d) e)
5° 10° 20° 25° 30°
6. ¿Cuántos ángulos agudos hay en la figura? a) b) c) d) e)
100° 110° 120° 130° 140°
3. ¿Cuántos ángulos obtusos hay?
a) b) c) d) e)
1 2 3 4 5
ON T NEWa) 3 b) c) d) e)
4 5 6 7
7. Calcula «x».
4. Calcula «x».
a) b) c) d) e)
140
20° 30° 40° 50° 60°
CICLO I
Geometría 8. Calcula «x».
a) b) c) d) e)
11.
a) b) c) d) e)
10° 15° 20° 30° 40°
12.
9. Calcula «x».
a) b) c) d) e) 10.
a) b) c) d) e)
30° 35° 40° 50° 55°
a) b) c) d) e)
Calcula «x».
20° 30° 40° 50° 60° Calcula «x».
10° 20° 30° 40° 50°
Calcula «x».
ON T NEW
10° 20° 30° 40° 50°
CICLO I
141
1. Calcula «x» si la mPOR = 150°.
a) 5° b) 10° c) 15°
d) 20° e) 25°
5. Calcula «x».
a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50°
2. Calcula «x» si la mFOH = 120°. 6. Calcula «x».
a) 10° b) 15° c) 20°
d) 25° e) 30°
3. Calcula la «x» si la mAOC = 115º. a) 10° b) 15° c) 20° d) 25° e) 30°
a) 30° b) 35° c) 40° d) 45° e) 50°
ON T NEW
7. ¿Cuántos ángulos agudos hay en la figura?
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
4. Calcula la mFOI.
8. Calcula «x».
a) 145° b) 150° c) 155°
142
d) 160° e) 165°
a) 20° b) 25° c) 30° d) 35° e) 40°
CICLO I
Geometría 9. Calcula «x».
a) 40° b) 50° c) 60°
10. Calcula «x».
d) 70° e) 80°
a) 20° b) 30° c) 40°
d) 50° e) 60°
ON T NEW
CICLO I
143
3
ÁNGULOS ENTRE RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE
C. Ángulos alternos internos
Si L1 // L2
A. Ángulos correspondientes
=
=
B. Ángulos conjugados internos
Propiedades Si L1 // L2 1. Se cumple: x=a+b
2. Se cumple:
+ = 180º
1. Calcula «x», si L1 // L2 .
Resolución: Nos piden: x
144
ON T NEW
m+n=x+y+z
Por ángulos opuestos por el vértice: trasladamos 60°.
Luego, por ángulos conjugados: 2x + 20° + 60° = 180° 2x = 100° x = 50°
CICLO I
Geometría 2. Calcula «x», si L1 // L2 .
7. Calcula «x», si: L1 // L2 .
50°
3. Calcula «x», si: L1 // L2 .
4. Calcula «x», si L1 // L2 .
8. Calcula «x», si: L1 // L2 .
Resolución: Nos piden: x Por propiedad: 110° + = 180° = 70°
5. Calcula «x», si: L1 // L2 . Luego:
40°
x + = 90° x + 70° = 90 x = 20°
ON T NE9.W Calcula «x», si: L // L . 1
Resolución: Nos piden: x Por la propiedad: x + 40° + 10° = 50° + 30° x + 50° = 80° x = 30° 6. Calcula «x», si L1 // L2 .
2
65°
10. Calcula «x», si: L // L . 1
2
50° 40° 30°
CICLO I
145
1. Si L1 // L2 , calcula «x».
a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50° 2. Calcula «x» si .
a) 30° b) 35° c) 40° d) 45° e) 50° 3. Si , calcula «x» L1 // L2 .
a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60°
146
4. Si L1 // L2 , calcula «x».
a) 35° b) 40° c) 45° d) 50° e) 55° 5. Calcula «x» si L1 // L2 .
a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° e) 70°
ON T NEW 6. Calcula «x» si L1 // L2 .
a) 60° b) 70° c) 80° d) 90° e) 100°
CICLO I
Geometría 7. Calcula «x» si L1 // L2 .
a) 20° b) 30° c) 35° d) 40° e) 45° 8. Calcula «x» si L1 // L2 .
a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50°
10. Si L1 // L2 , calcula «x».
a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50° 11. Si L1 // L2 , calcula «x».
a) 50° b) 60° c) 70° d) 80° e) 90°
9. Si L1 // L2 , calcula «x».
ON T NE12.WSi L // L 1
a) 5° b) 10° c) 15° d) 20° e) 25°
2
, calcula «x».
a) 16° b) 18° c) 20° d) 22° e) 25°
CICLO I
147
1. Calcula «x» si
.
6. Calcula «x» si
.
L3
a) 5° b) 10° c) 15° d) 20° e) 25°
3x+80°
L2 70°
2. Calcula «x» si
a) 5° b) 10° c) 20°
. L3
a) 37° b) 38° c) 39° d) 40° e) 41°
36°
L1 3x+27°
L1
10° 30° 35° 2x 25°
L1
d) 30° e) 35°
7. Calcula «x» si
L2
L2
.
L1
2x 80°
3. Si
, calcula «x».
a) 36° b) 39° c) 42° d) 45° e) 48°
4. Calcula «x» si
x
.
148
L2
L2
a) 19° b) 21° c) 23°
ON T NEW
d) 25° e) 27°
8. Calcula «x» si
L3
.
L1
x
L1
54°
L2
6x
. 30° 70° 40° x 35°
a) 30° b) 35° c) 40°
L1
3x
a) 9° b) 10° c) 11° d) 12° e) 13° 5. Calcula «x» si
30°
L3
L1
120° a) 15° b) 20° c) 25°
d) 30° e) 35°
L2
d) 45° e) 50°
CICLO I
L2
Geometría
9. Calcula «x» si
.
10. Si
L1
55°
a) 25° b) 35° c) 45°
d) 55° e) 65°
L1
x 50°
L2
x
, calcula «x».
a) 40° b) 50° c) 60°
L2
d) 70° e) 80°
ON T NEW
CICLO I
149
4
TRIÁNGULOS: PROPIEDADES FUNDAMENTALES
Un triángulo es la figura geométrica que se forma al unir tres puntos no colineales (vértices) mediante segmentos de recta (lados).
2. En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos exteriores (uno por vértice) es igual a 360°.
Elementos
En el triángulo ABC x + y + z = 360º 3. En todo triángulo, la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de dos ángulos internos no adyacentes a él.
Vértices: A, B, C Lados: AB, BC, CA Notación: ABC Se lee: triángulo de vértices A, B y C. Z Z Z
Ángulos determinados: Z Interiores: , , Z Exteriores: x, y, z x = +
Propiedades fundamentales 1. En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos interiores es igual a 180°.
Longitud del perímetro del ABC
ON T NEW
En el triángulo ABC + + = 180º
2p = a + b + c
1. Calcula «». Resolución: Nos piden: Ahora, en el triángulo ABC: + 40° + 50° = 180° + 90° = 180° x = 180° – 90° x = 90° 150
CICLO I
Geometría
2. Calcula «».
8. Calcula «».
7 3. Calcula «».
Resolución: Se pide: por ángulo exterior: mACB = 50° + 30° mACB = 80° Suma de ángulos internos en el ∆ABC: 70° + + 80° = 180° 150° + = 180° = 30°
90° 60° 4. Calcula «x».
2x
9. Calcula «».
50° 5. Calcula «x». 10. Calcula «». 90° 50° Resolución: Se pide: x Por propiedad de la suma de los ángulos exteriores: x + 60° + x + 80° + x + 40° = 360° 3x + 180° = 360° 3x = 180° x = 60°
ON T NEW
6. Calcula «x». 3x+15°
3x+40°
4x+15° 7. Calcula «x». 50°
CICLO I
151
1. En el triángulo RST, calcula «».
a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50° 2. Calcula «x».
a) 3° b) 5° c) 10° d) 15° e) 2° 3. Calcula «x».
a) 25° b)30° c) 35° d) 40° e) 45°
152
4. Calcula «».
a) 12° b) 14° c) 16° d) 18° e) 20° 5. Calcula «x».
a) 56° b) 63° c) 70° d) 73° e) 76°
ON T NEW6. Calcula «x».
a) 10° b) 15° c) 20° d) 25° e) 30°
CICLO I
Geometría 7. Calcula el valor de «x».
a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60°
10. Calcula «».
a) 35° b) 45° c) 55° d) 65° e) 75°
8. Calcula el valor de «».
a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° e) 70°
11. Calcula el valor de «».
a) 73° b) 75° c) 77° d) 79° e) 81°
ON T NEW
9. Calcula «x».
12. Calcula el valor de «2».
a) 61° b) 64° c) 67° d) 70° e) 73°
a) 150° b) 151° c) 152° d) 153° e) 154°
CICLO I
153
1. En el triángulo PQR, calcula «θ». a) 81° b) 82° c) 83° d) 84° e) 85°
6. Calcula «x».
Q
P
B 100°
65°
30°
120° A
R
2. En el triángulo ABC, calcula «θ». B 115° 25° C
a) 136° b) 140° c) 144°
2 a) 10° b) 20° c) 30°
d) 40° e) 50°
3. En el triángulo LMN, calcula «x». a) 5° b) 10° c) 15° d) 20° e) 25°
a) 20° b) 23° c) 26° d) 29° e) 32°
C
M
L
80°
2x+30° N
B
+5°
C
a) 23° b) 25° c) 27°
d) 29° e) 31°
ON T 8. Calcula «θ». NEW B
E 40° 65° A
5. Calcula «θ».
2
G
2 +10° F
154
5 B
A
A
a) 20° b) 30° c) 40°
d) 148° e) 152°
7. Calcula «α».
A
4. Calcula «α».
C x
a) 17° b) 18° c) 19°
50°
C d) 20° e) 21°
3 H d) 50° e) 60°
CICLO I
D
Geometría 9. Calcula «α».
10. Calcula «x». B x
A 40°
Q
70°
E
T C
2 +10° P
a) 25° b) 26° c) 27°
30°
D
S
R d) 28° e) 29°
a) 34° b) 36° c) 38°
d) 40° e) 42°
ON T NEW
CICLO I
155
5
TRIÁNGULOS: CLASIFICACIÓN SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS Y SEGÚN LA LONGITUD DE SUS LADOS
Los triángulos se clasifican de acuerdo con las medidas de los ángulos interiores y las longitudes de sus lados.
A. Según la medida de sus ángulos interiores 1. Triángulo acutángulo Las medidas de sus ángulos interiores son menores de 90°.
Si , y son menores de 90°, y mayores que 0° entonces el triángulo ABC es acutángulo.
2. Triángulo rectángulo La medida de uno de sus ángulos es 90°.
ON T NEW Si mABC = 90°, entonces el triángulo ABCes un triángulo rectángulo recto en B.
3. Triángulo obtusángulo La medida de uno de sus ángulos es mayor de 90°.
Si 90° > > 180°, entonces el triángulo ABC es obtusángulo, obtuso en B.
156
CICLO I
Geometría
B. Según la medida de sus lados
3. Triángulo equilátero Es aquel que tiene sus lados de igual longitud.
1. Triángulo escaleno Sus lados son de diferente longitud.
AB = BC = AC a≠b≠c
mA = mB = mC
2. Triángulo isósceles Es aquel que tiene dos lados de igual longitud. Al lado diferente se le denomina base.
AB = BC = a Base: AC
ON T NEW
1. Calcula «x» e indica qué tipo de triángulo es ABC, según la medida de sus ángulos.
Resolución: x + 10° + x + 20° + x = 180° 3x + 30° = 180° 3x = 150° x = 50° Reemplazando «x» en el triángulo, tenemos ángulos menores de 90°. Entonces, es un triángulo acutángulo. 2. Calcula «x» e indica qué tipo de triángulo es ABC, según la medida de sus ángulos.
CICLO I
157
6. Calcula «x», si: el triángulo ABC es equilátero.
3. Calcula «x» y clasifícalo según la medida de sus ángulos.
7. Calcula «x», si: el triángulo ABC es isósceles y AB = BC. 60º
80º
4. Clasifica el ABC según la medida de sus ángulos interiores. 8. Calcula «x».
5. Calcula «x» si el triángulo ABC es equilátero. Resolución: Del gráfico:
Resolución: Nos piden: x Completando el gráfico:
ON T triángulos ABC y CBD son isósceles. NEW Los En el triángulo ABC: mCBD = 40° En el triángulo ABC: 2x + 50° = 180° x = 65° 9. Calcula «x» y clasifica el ABD según sus lados.
Según el gráfico:
PQC
x + 60° + 90° = 180°
40º
x + 150° = 180° x = 180° – 150° x = 30° 158
CICLO I
Geometría 10. Calcula «x», si: el triángulo ABC es equilátero.
1. Calcula «x» y clasifica el ΔABC según sus lados.
a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 60° 4. Calcula «x» si AB = BC.
a) Acutángulo b) Obtusángulo c) Rectángulo d) Equilátero e) Isósceles 2. Clasifica el ΔRST según la medida de sus ángulos interiores.
a) 30° b) 35° c) 40° d) 45° e) 50°
ON T NE5.W Calcula «x» si el perímetro del triángulo equilátero PQR es 21 cm. a) Rectángulo b) Obtusángulo c) Acutángulo d) Isósceles e) Equilátero 3. Calcula «x» sabiendo que el triángulo PQR es equilátero.
a) 2 u b) 3 u c) 4 u d) 5 u e) 6 u 6. Calcula «x» si el triángulo ABC es isósceles y AB = BC.
CICLO I
159
a) Equilátero b) Escaleno c) Obtusángulo d) Rectángulo e) Acutángulo a) 14° b) 15° c) 16° d) 17° e) 18°
10. Calcula «x» si el triángulo MNP es equilátero.
7. Calcula «x» si los triángulos ABC y CDE son equiláteros y sus perímetros, 15 cm y 18 cm.
a) 60° b) 65° c) 70° d) 80° e) 85° 11. Calcula «x» si el triángulo PQR es isósceles.
a) 6 cm b) 7 cm c) 8 cm d) 10 cm e) 11 cm 8. Si los triángulos ABC y FDE son equiláteros, calcula AF.
a) 6 u b) 7 u c) 8 u d) 9 u e) 10 u
ON T NEW 12. Clasifica el ΔABC según la medida de sus ángulos interiores.
a) 10 u b) 12 u c) 13 u d) 15 u e) 18 u 9. Calcula «x» e indica qué tipo de triángulo es ABC, según sus ángulos.
160
a) Isósceles b) Acutángulo c) Equilátero d) Obtusángulo
CICLO I
Geometría
1. Indica qué tipo de triángulo es ABC, según sus ángulos y calcula «x». a) Isósceles, 35º b) Acutángulo, 35º c) Rectángulo, 70º d) Obtusángulo, 35º 2x e) Equilátero, 70º A
5. Calcula «x» si el triángulo PQR es equilátero. Q
B
a) 40° b) 50° c) 60° d) 70°
35° C
e) 80°
2. Indica qué tipo de triángulo es RST, según sus ángulos y calcula «x».
T
x P
R
S
6. Calcula «x» si el triángulo ABC es equilátero y su perímetro es 21 cm.
S
a) Equilátero, 35º 3x b) Rectángulo, 35º c) Obtusángulo, 30º d) Acutángulo, 25º 70° e) Isósceles, 25º R
B
35° T
3. Indica qué tipo de triángulo es PQR (recto en Q), según sus lados y calcula «x».
d) Acutángulo, 30º P e) Obtusángulo, 45º
x
x
2x+3cm
A
C
7. Calcula «x» si el triángulo ABC es isósceles y AB = BC.
ON T NEWa) 102°
Q
a) Rectángulo, 60º b) Equilátero, 30º c) Isósceles, 45º
a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm d) 4 cm e) 5 cm
R
b) 105° c) 110° d) 115° e) 120°
A
B
x
C
4. Indica qué tipo de triángulo es ABC, según sus lados y calcula «x». 8. Calcula «x».
B
a) Isósceles, 50º b) Equilátero, 60º c) Acutángulo, 50º x+10° d) Escaleno, 60º A e) Obtusángulo, 60º
CICLO I
60° B 50°
C
a) 60° b) 70° c) 80° d) 90° e) 100°
x D A
55° C
161
9. Clasifica el ABD, según sus lados y calcula «x».
10. Calcula «x» si el perímetro del triángulo ABC es 22 u. B
B
8u
A
x D
40°
C x
a) Equilátero, 50º b) Obtusángulo, 60º c) Rectángulo, 60º d) Escaleno, 50º e) Isósceles, 50º
a) 4 u b) 5 u c) 6 u d) 7 u e) 8 u
ON T NEW
162
CICLO I
Geometría
TRIÁNGULOS: PROPIEDADES AUXILIARES
6
En la figura: B x = + +
D x
A
C
B
D
m
C
+ =
m +n
Sabías que: Los triángulos tienen propiedades auxiliares.
n E
A B x C
A a
a + b = x +y
b
ON T NEW
y D
x + 10º = 140º x = 130º
Nivel básico 1. Calcula el valor de «x». B
2. Calcula el valor de «x». B
75º
A
D x+10º
Resolución: Nos piden «x». Según la figura, se cumple: x + 10º = 35º + 75º + 30º
CICLO I
C
D x+20º A 80º C
163
6. Calcula el valor de «x».
3. Calcula el valor de «x». B
35º
D
B x+10º
A
C
30º
D
35º
E
C
80º
x A 7. Calcula el valor de «x».
4. Calcula el valor de «x». B
B
70º
x+5º
60º A
50º D
D
8. Calcula el valor de «x». D 50º
5. Calcula el valor de «x». D
B
120º
B
C 70º x
E
Resolución Nos piden «x». Del gráfico:
ON T NEW
Nos piden «x». Aplicamos la propiedad: B
C
D
90º + x = 60º + 70º
B G
F = 30º + 50º + 20º = 100º Luego, en el triángulo: B
E m+n
Según el gráfico, se cumple:
50º
n + =
D
m
A
164
G x C
F A 50º
Resolución
x = 40º
125º
55º
Nivel avanzado
Nivel intermedio
x = 130º – 90º
115º
C
A
A
C
A 50º x + + 50º = 180º x + 100º + 50º = 180º x = 180º – 150º x = 30º
CICLO I
x
C
Geometría 9. Calcula el valor de «x». E
10. Calcula el valor de «x». B
40º
x C
B
F F 40º C
D A x
D 65º 40º
G
50º
E
A
ON T NEW
CICLO I
165
Nivel básico 1. Calcula el valor de «x». B 40º A x+20º 40º
a) 70º b) 80º c) 90º C
d) 100º e) 110º
5. Calcula el valor de «x». B
D 60º d) 70º e) 80º
a) 40º b) 50º c) 60º
4x D 135º
A
2. Calcula el valor de «x».
A
60º D
B
x+20º
50º 55º
a) 45º b) 50º c) 55º
a) 10º b) 20º c) 30º
d) 40º e) 50º
Nivel intermedio 6. Calcula el valor de «x».
C d) 60º e) 65º
B 60º
3. Calcula el valor de «». A 40º 50º B
A
C
D a) 20º b) 25º c) 40º
2
C
40º
100º D
ON T NEW7. Calcula el valor de «».
E
110º
2x+10º
a) 10º b) 20º c) 30º
d) 50º e) 60º
C
B 80º
4. Calcula el valor de «x».
d) 35º e) 40º
D C
A
A 130º
D x+30º B 60º
166
30º
a) 40º b) 50º
C
120º d) 70º e) 80º
c) 60º
CICLO I
E
Geometría
Nivel avanzado 11. Calcula el valor de «x». B
8. Calcula el valor de «2x». B
140º
C
C
F
a) 30º b) 40º c) 50º
d) 70º e) 80º
d) 60º e) 70º
12. Calcula el valor de «x». B
9. Calcula el valor de «x». B
E D 50° x 60°
E D 65° x 65°
a) 40º b) 50º c) 60º
60°
130° A
50° C d) 70º e) 80º
a) 30º b) 40º c) 50º
10. Calcula el valor de «x». B x C
D
75º E
A a) 55º b) 60º c) 65º
d) 70º e) 75º
CICLO I
E
A
D
a) 40º b) 50º c) 60º
A
x
40º G
x
A
D x
F
120° C
d) 60º e) 70º
130º
ON T NEW
167
Nivel básico 1. Calcula el valor de «x». A x+40º D
C
b) 20º
e) 50º
4. Calcula el valor de «x». B
B d) 130º e) 140º
2. Calcula el valor de «x».
d) 40º
c) 30º
70º a) 80º b) 90º c) 120º
a) 10º
x+60º D 80º
A
C
B E
D 2x A
30º
x
a) 30º b) 50º c) 60º
C
a) 10º
d) 40º
b) 20º
e) 50º
c) 30º
d) 70º e) 90º
3. Calcula el valor de «x».
Nivel intermedio
A
N 5.O Calcula el valor de «x». T B NEW 60º
E F
x B
D
D
x
130º
G
C
168
60º
a) 40º
d) 70º
b) 50º
e) 80º
c) 60º
CICLO I
Geometría
6. Calcula el valor de «x». A 40º
B
9. Calcula el valor de «x». B 95º
40º C E 130º d) 50º e) 60º
x
D
D
a) 20º b) 30º c) 40º 7. Calcula el valor de «x».
B
95º D d) 19º e) 20º
30º
a) 45º
d) 60º
b) 50º
e) 65º
10. Calcula el valor de «x». B 80º C
A Nivel avanzado
8. Calcula el valor de «x». E
F x
D 2x
D 2x
120º
a) 20º
d) 50º
b) 30º
e) 60º
E
ON T NEW
B
A
C
c) 40º
55º
a) 10º b) 15º c) 20º
E
C
5x
a) 13º b) 15º c) 18º
A x
c) 55º
60º
A
80º F
C
d) 25º e) 30º
CICLO I
169
TEOREMA DE PITÁGORAS Y TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS
7
Sea el triángulo rectángulo ABC, recto en C. A c
b C Catetos: AC, CB Hipotenusa: AB
a
B
Teorema de Pitágoras «La suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa». a2 + b2 = c2
Recuerda 5u
3u
10u
6u
4u
8u 13u
5u
17u N O T NEW15u 8u
25u
7u
12u
24u
Nivel básico
Resolución: Por teorema de Pitágoras tenemos: AB2 = (6 m)2 + (8 m)2
1. Calcula el valor de la hipotenusa. A
AB2 = 36 m2 + 64 m2 6m B C
170
8m
AB2 = 100 m2 AB = 100 m2 AB = 10 m
CICLO I
Geometría y2 = 72 + 242
2. Calcula el valor de la hipotenusa. A
y2 = 625 y = 25 u
5u B
Luego calculamos «x» x2 + 152 = 252
C
12 u
x2 + 225 = 625 x2 = 400 x = 20 u
3. Calcula el valor de «x». C
6. Calcula el valor de «x».
12 u
x A
C B
13 u
B x 3m
4. Calcula el valor de la hipotenusa. A
A
D
4m
x
7u
7. Calcula x + y.
C
B
18 u
D
B
8u
3u Nivel intermedio
A
x
E
y
C
5. Calcula el valor de «x». D
Nivel avanzado x
7u B
C
24 u
ON T NEW
8. Calcula el valor de «x». B
A
10 u
6u A
Resolución Recuerda: x
a Nos piden «x».
b
x2 = a2 + b2
C
E 3u
x
D Resolución Nos piden «x».
Se traza AC.
B E
D 6u
A y
7u
A
x
10 u 8u
3u C
4u C x
D
x=5u
B
24 u
C
Calculamos AC = y
CICLO I
171
9. Calcula el valor de «x». A 7u
10. Calcula «x».
D 10 u
25 u E
B
B
C
5u
x
A
D
C x
ON T NEW
172
17 u
CICLO I
E
Geometría
Nivel básico 1. Calcula el valor de «x». A
5. Calcula la longitud del cateto AC. 10 u A
5u
75 u
5u C
C
B
x d) 22 u e) 23 u
a) 15 u b) 20 u c) 21 u
a) 5 u b) 5 u
e) 15 u
Nivel intermedio 6. Calcula el valor de «x». B 11 u
14 u
x d) 20 u e) 25 u
a) 5 u b) 10 u c) 15 u
3u B
4. Calcula el valor de «x».
A
D a) 6 u b) 7 u c) 8 u
d) 12 u e) 15 u
ON T NEW
7. Calcula el valor de x + y.
50 m
D 147 u
A
CICLO I
a) 10 u b) 15 u c) 20 u
14 u
12 u
5u
120 m d) 140 m e) 150 m
C x
B
x
4u
24
3. Los catetos de un triángulo rectángulo ABC tienen de longitud 9 m y 12 m. Calcula la longitud de la hipotenusa. a) 12 m d) 18 m b) 15 m e) 24 m c) 16 m
a) 110 m b) 120 m c) 130 m
d) 10 u
c) 8 u
2. Calcula el valor de «x». C
A
B
x
C
y
E
d) 25 u e) 30 u
173
8. Calcula el valor de «x».
Nivel avanzado 11. Calcula el valor de «x». B
C
B x 15 u
10 u
25 u
A a) 21 u b) 22 u c) 23 u 9. Calcula el valor de «x». 2u B
D 5u
D
20 u d) 24 u e) 25 u
A
3u
12. Calcula el valor de x + y + z. F
2u A
5u
4u A
10. Calcula el valor de «x». 17 u B
y
A
D 4u d) 10 u e) 11 u
x
a) 22 u b) 23 u c) 24 u
C
3u
a) 6 u b) 7 u c) 8 u
D
B
C
x d) 5 u e) 6 u
a) 2 u b) 3 u c) 4 u
8u C
15 u
y d) 25 u e) 26 u
ON T NEW
Esquema formulario
3u
5u
6u
4u
5u
10 u 8u
13 u 12 u
174
E
C x d) 32 u e) 36 u
a) 12 u b) 22 u c) 24 u
D
13 u
7u
17 u
15 u 8u
25 u 24 u
CICLO I
10 u
8u E
z
G
Geometría
a) 2 u b) 3 u c) 4 u
Nivel básico 1. Calcula la longitud de la hipotenusa. B 2u
Nivel intermedio
7u
A
5. Calcula el valor de «x». 56 u B
C
x
a) 2 u b) 3 u c) 4 u
d) 5 u e) 6 u
6. Calcula «x».
B a) 2 u b) 3 u c) 4 u
D 6u d) 10 u e) 11 u
A
a) 7 u b) 8 u c) 9 u
11 u
A
d) 5 u e) 6 u
17 u B
4u
3. Calcula el valor de «x». B x
E 4u C3uD
15 u
a) 12 u b) 13 u c) 14 u
d) 15 u e) 16 u
C 3u d) 9 u e) 10 u
a) 6 u b) 7 u c) 8 u
N O T 7. Calcula AD. NEW
B
4u C
3u A
4. Calcula la longitud de PQ. P
x D
5u O
x
D
9u A
C 44 u
x
2. Calcula la longitud de la hipotenusa. x A C 5u
d) 5 u e) 6 u
2u
CICLO I
Q
a) 2 2 u b) 3 2 u c) 4 u
d) 5 u e) 5 2 u
175
Nivel avanzado
10. Calcula x + y. B
8. Calcula el valor de «x». B 13 u
5u A
10 u A
E 8u
C x
x D
y
a) 18 u
d) 21 u
b) 19 u
e) 22 u
c) 20 u
D a) 6 u b) 7 u c) 8 u
17 u
8u
d) 9 u e) 10 u
9. Los catetos de un triángulo rectángulo tienen de longitud 6 u y 10 u. Calcula la hipotenusa. a) 2 u d) 5 u b) 3 u e) 6 u c) 4 u
ON T NEW
176
CICLO I
C
Física
1
MOVIMIENTO MECÁNICO
Cuando hablamos de movimiento nos referimos al movimiento mecánico, pero… ¿qué es el movimiento mecánico? Es el cambio de posición que experimenta un móvil.
ON T NEW
Elementos: Z Z Z Z
Móvil: Cuerpo físico que está en movimiento. Trayectoria: Es la línea que describe el móvil, su camino o la huella que deja a su paso. Recorrido (e): Longitud o medida de la trayectoria. Distancia (d): Longitud recta entre dos posiciones (inicial y final).
Tipos de movimiento:
Circunferencial
Rectilíneo
Parabólico
CICLO I
177
Nivel básico 1. Determina la distancia de A a B.
Resolución: La posición inicial es A y la final es B, entonces la distancia es 3 m.
7. Calcula la distancia entre A y B.
2. Determina el recorrido de P a Q.
Nivel avanzado 3. Calcula el recorrido del móvil.
4. Calcula la distancia de A a B.
8. Calcula «e» y «d».
Resolución: e = 3 + 4 = 7m d=5m
ON T W NE 9. Calcula «e».
10. Indica qué tipo de movimiento es: Nivel intermedio 5. Relaciona: a) Medida de la trayectoria ( ) Móvil b) Cuerpo que realiza movimiento ( ) Recorrido 6. Calcula el recorrido de A a B. 178
CICLO I
Física
1. Calcula el recorrido de A a B.
a) 16 m c) 4 m e)12 m
b) 8 m d) 2 m
2. Calcula la distancia de A a B.
a) 6 m c) 4 m e) 10 m
b) 8 m d) 3 m
6. Medida de la trayectoria: a) Recorrido b) Trayectoria c) Distancia d) Móvil e) Movimiento 7. Cuando decimos que es el cambio de posición, no estamos refiriendo a: a) Móvil b) Movimiento mecánico c) Trayectoria d) Distancia e) Recorrido 8. Calcula la distancia de A a B.
3. Calcula la distancia de C a D.
a) 5 m c) 8 m e) 14 m
b) 10 m d) 18 m
4. Calcula el recorrido de A a B.
a) 2 m c) 6 m e) 11 m
b) 3 m d) 1 m
5. La distancia, en el SI, se mide en: a) Joule b) Metros c) Km d) m/s e) m/s2
CICLO I
a) 4 m b) 6 m c) 2 m d) 1 m e) 14 m
ON T NE9.W Calcula el recorrido total:
a) 9 m b) 2 m c) 4 m d) 1 m e) 11 m
179
10. Calcula el recorrido total:
Nivel básico
4. Calcula el recorrido de A a B.
1. Longitud recta entre las posiciones inicial y final 8m a) Trayectoria b) Recorrido c) Móvil
d) Distancia e) Posición
3m
2. Calcula el recorrido de A a B.
8m c) 3 m d) 64 m
a) 19 m b) 16 m
e) 24 m
2m A 6m
a) 2 m b) 8 m
B c) 4 m d) 5 m
e) 3 m
ON Nivel intermedio T cuerpo que realiza movimiento mecánico NE5.WUn se llama: a) Trayectoria b) Desplazamiento c) Móvil
3. Calcula la distancia de A a B. A
d) Distancia e) Posición
6. Calcula la distancia de A a B: 6m
A 6m B
a) 2 m b) 3 m
180
c) 6 m d) 5 m
e) 10 m
60°
a) 6 m b) 18 m c) 12 m
B
60°
60°
6m
d) 15 m e) 10 m
CICLO I
Física
7. El movimiento de las agujas del reloj es un movimiento: a) Rectilíneo b) Parabólico c) Circunferencial
10. El recorrido es la medida de: a) La trayectoria b) El móvil c) La distancia d) El recorrido e) La posición
d) Curvo e) Elíptico
Nivel avanzado 8. Calcula el recorrido total desde A hasta B: 15m
A 4m B 4m d) 5 m e) 23 m
a) 18 m b) 4 m c) 1 m
9. Calcula la distancia de A a B.
B
A 4m a) 2 m b) 4 m c) 6 m
d) 9 m e) 8 m
CICLO I
ON T NEW
181
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRUV)
2
Características: Z Z Z
Velocidad constante Trayectoria rectilínea En tiempos iguales, se recorren distancias iguales.
td V
Trabajaremos con la siguiente ecuación: d V t Donde: Unidades en el Sistema Internacional (SI): Velocidad (v) metro por segundo m/s Distancia (d)
metro
m
Tiempo (t)
segundo
s
Conversión:
ON T W Si con el dedo tapamos una letra del MRU, obtenemos E N una de sus fórmulas. Para convertir km/h a m/s se multiplica a la velocidad Mnemotecnia
por 5/18. Ejemplo: 4
Vd t
V 72 km / h 72
5 4 5 20 m/s 18 1
¡Qué interesante!
d V t
182
CICLO I
Física
Nivel básico
6. Calcula el tiempo (t).
1. Calcula la distancia (d).
Resolución: d = v t ;
7. Calcula la distancia (d). d = 10 2
d 20 m
2. Calcula la distancia (d).
Nivel avanzado 8. Calcula la distancia (d).
3. Calcula el tiempo (t).
50m 4. Calcula el módulo de la velocidad (V).
ON T NEW
Resolución: 2 km 5 m 36 10 h 18 s 1
d = v t; d = 10 2 = 20 m 9. Calcula el tiempo (t).
Nivel intermedio 5. Calcula el mòdulo de la velocidad (v).
10. Calcula el módulo de la velocidad en m/s.
Resolución: d V ; t
V
CICLO I
16 4
v = 4 m/s
183
1. Calcula (t).
a) 6 s b) 10 s c) 4 s d) 8 s e) 2 s 2. Calcula «x».
a) 36 m/s b) 183 m/s c) 12m/s d) 80m/s e) 10m/s 3. Calcula «d».
5. Calcula «d».
a) 5 km b) 7 km c) 10 km d) 16 km e) 20 km 6. Calcula la velocidad (V).
a) 2 m/s b) 4 m/s c) 8m/s d) 10 m/s e) 16 m/s 7. Si el móvil se mueve a velocidad constante , calcula V:
ON T NEW a) 9 m/s a) 4 m b) 8 m c) 16 m d) 2 m e) 6 m 4. Calcula V:
a) 10 m/s b) 20 m/s c) 30 m/s d) 40 m/s e) 80 m/s 184
b) 36 m/s c) 15 m/s d) 18 m/s e) 20 m/s 8. Calcula la velocidad (V).
a) 9 m/s b) 10 m/s c) 81 m/s d) 16 m/s e) 136 m/s
CICLO I
Física
10.
Calcula «d».
9. Calcula el tiempo (t).
a) 330 m b) 240 m c) 630 m d) 180 m e) 380 m
a) 16 s b) 8 s c) 15 s d) 10 s e) 22 s
d: distancia (m) V: velocidad (m/s) T: tiempo (s)
ON T NEW
CICLO I
185
Nivel intermedio
Nivel básico 1. Calcula «d».
5. Calcula el tiempo (t).
8s
5m/s
8t
5m/s 17m/s
17m/s
d a) 40 m b) 80 m c) 50 m
d) 10 m e) 75 m
2. Calcula «d»:
5s
3m/s
3m/s
d a) 10 m b) 12 m c) 15 m
34m a) 1 s b) 2 s c) 3 s
d) 4 s e) 5 s
6. Calcula el módulo de la velocidad (V) 2h V
V
d) 20 m e) 16 72km
3. La unidad de la velocidad, en el S.I. es: a) km/h b) m/s c) m
d) km e) horas
4. Calcula el tiempo (t). t 18m/s
18m/s
a) 10 m/s b) 20 m/s c) 30 m/s
d) 40 m/s e) 80 m/s
ON T NE7.WLa unidad de la distancia, en el S.I. es: a) m b) km c) km/h d) s e) m/s
36m a) 3 s b) 4 s c) 5 s
186
d) 2 s e) 1 s
CICLO I
Física
Nivel avanzado 8. Calcula la distancia (d). 4s 36 km/h
36km/h
10. La unidad del tiempo, en el S.I. es: a) m b) m/s c) s d) km e) h
d a) 12 m b) 15 m c) 20 m
d) 40 m e) 5 m
9. Calcula el tiempo (t). t 8m/s
8m/s
80 m a) 80 s b) 10 s c) 15 s
d) 20 s e) 18 s
ON T NEW
CICLO I
187
3
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE
Notamos que por cada segundo la rapidez del móvil varía en 2 m/s. A esta variación se le conoce como «aceleración».
VARIADO (M.R.U.V)
II. Si la rapidez del móvil está disminuyendo, diremos que está desacelerando o retardando. Su aceleración tiene sentido contrario a la velocidad.
Características: La trayectoria que describe el móvil es en línea recta. La aceleración del móvil es constante, es decir, no cambia su valor. Z El valor de la velocidad es variable. Entonces: V Vi V Vf a f d i t 2 t Z Z
Donde:
d t Vi Vf a
d : distancia t : tiempo Vi : módulo de la velocidad inicial Vf : módulo de la velocidad final a : módulo de la aceleración
Según el S.I m s m/s m/s m/s2
Nota: I. Si la rapidez del móvil está aumentado, diremos que está acelerando. Su aceleración y velocidad tienen el mismo sentido.
188
ON T NEW Sabías que…: El caracol es el animalito más lento del mundo.
El segundo animal más lento es la tortuga.
CICLO I
Física
Nivel básico
6. Calcula la distancia (d) que recorre el móvil.
1. Calcula el mòdulo de la aceleración (a).
Resolución:
18 8
7. Calcula el tiempo (t).
10
2 V V a 2m / s a f t i;a 5 5 2. Calcula el módulo de la aceleración (a).
Nivel avanzado 8. Calcula el módulo de la velocidad inicial (Vi). 3. Calcula el módulo de la aceleración (a).
Resolución: V Vi a f t
ON20 V T NEW 8 2
4. Calcula el módulo de la velocidad final (Vf).
i
16 = 20 – Vi Vi = 20 – 16 Vi = 4 m/s Nivel intermedio
9. Calcula el módulo de la velocidad inicial (Vi).
5. Calcula la distancia que recorre el móvil:
10. Calcula el módulo de la velocidad final (Vf). Resolución: V Vf d i t ; d 20 40 2 2 2 d = 60 m
CICLO I
189
Nivel básico 1. Calcula el módulo de la aceleración (a).
Nivel intermedio 5. Calcula el tiempo (t).
a) 1 s a) 3 m/s2 b) 4m/s2 c) 2m/s2 d) 1m/s2 e) 8m/s2
b) 2 s c) 3 s d) 4 s e) 5 s
2. Calcula la velocidad final (Vf).
6. Calcula la velocidad final (Vf).
a) 12 m/s b) 13 m/s c) 11 m/s d) 18 m/s e) 10 m/s
a) 30 m/s b) 18 m/s c) 20 m/s d) 10 m/s e) 40 m/s
ON T NEW
7. Calcula la velocidad inicial (Vi).
3. Calcula la distancia (d).
a) 70 m b) 60 m c) 56 m d) 80 m e) 76 m
a) 10 m/s b) 15 m/s c) 20 m/s d) 18 m/s e) 21 m/s 8. Calcula la distancia (d).
4. La unidad de la aceleración, en el SI, es: a) 1 m/s b) m c) km d) m/s2 e) Newton
190
a) 605 m b) 630 m
CICLO I
Física
c) 500 m d) 600 m e) 36 m
d) 18 m/s e) 10 m/s 10. Calcula la aceleración (a).
Nivel avanzado 9. Calcula la velocidad final (Vf).
a) 3 m/s2 b) 2m/s2 c) 1m/s2 d) 8m/s2 e) 7m/s2
a) 20 m/s b) 22 m/s c) 25 m/s
ON T NEW
CICLO I
191
Nivel básico 1. Calcula «a».
4. Calcula la distancia «d». 4s
2s a
5m/s
70m/s
15m/s
30m/s
d
a) 40 m/s2 b) 5 m/s2 c) 15 m/s2
d) 20m/s2 e) 36 m/s2
a) 200 m b) 100 m c) 300 m
2. Calcula el módulo de la aceleración (a).
Nivel intermedio
5s a
d) 50 m e) 80 m
5. Calcula la distancia «d».
1m/s
3s
21m/s 50m/s
a) 9 m/s2 b) 6 m/s2 c) 7 m/s2
d) 4m/s2 e) 8 m/s2
3. Calcula el módulo de la velocidad final (Vf). 6s
a) 60 m/s b) 50 m/s c) 40 m/s
192
d
d) 90 m e) 105 m
c) 80 m 6. Calcula la distancia (d).
2
a=6m/s 30m/s
ON T m NEWa)b) 100 120 m
30m/s
5s Vf
d) 66 m/s e) 88 m/s
a) 90 m b) 60 m c) 50 m d) 80 m e) 30 m
9m/s
11m/s
d
CICLO I
Física
7. Calcula el módulo de la aceleración (a).
10. Calcula la distancia (d).
2s
2s
a 19m/s
29m/s
a) 8 m/s2 b) 7 m/s2 c) 5 m/s2
8m/s
d) 6 m/s2 e) 10 m/s2
16m/s
d a) 15 m b) 18 m c) 24 m
d) 16 m e) 26 m
Nivel avanzado 8. Calcula el módulo de la velocidad inicial (Vi). 50s a=2m/s2 Vi
100m/s
a) 0 m/s b) 2 m/s c) 4 m/s
d) 6 m/s e) 1 m/s
ON T NEW
9. Calcula el módulo de la velocidad inicial (Vi). 6s a=1m/s2 Vi
a) 8 m/s b) 6m/s c) 3m/s
10m/s
d) 5m/s e) 4m/s
CICLO I
193
1
MÉTODO CIENTÍFICO
¿En qué consiste el método científico? Las personas podemos conocer el mundo que nos rodea de dos formas: empírica o científicamente.
El conocimiento empírico
Recuerda que
Es el que se obtienen por medio de la experiencia y la práctica.
ON T El conocimiento científico EW Se consigue a través de un proceso N de razonamiento llamado método científico, que consiste básicamente en observar, pensar, experimentar y generalizar.
Toda persona que realiza actividades científicas debe seguir este método para que su trabajo tenga validez.
¿Cuáles son los pasos del método científico? El método científico puede resumirse en seis pasos, los cuales son:
194
CICLO I
Química
Consiste en fijar nuestra atención en un hecho o suceso de nuestro entorno.
1. Observación
Consiste en registrar los datos obtenidos de las observaciones y las descripciones hechas del fenómeno.
2. Recolección de datos
Suposición inteligente del fenómeno producido que es necesario comprobar.
3. Hipótesis
ON T NEW
Consiste en comprobar la veracidad de la hipótesis mediante experimentos.
4. Experimentación
Confirmación o no confirmación de la hipótesis. Ejemplo: La teoría atómica, la teoría de la evolución.
5. Teoría
CICLO I
195
Cuando la hipótesis es comprobada y aceptada mundialmente. Ejemplo: Ley de la combustión, ley de la gravedad.
6. Ley
Nivel básico
Nivel intermedio
1. El conocimiento científico se consigue a través de un proceso de razonamiento llamado . Resolución: Método científico
5. Cuando la hipótesis es comprobada y aceptada mundialmente, se convierte en una .
2. ¿Cuál es el paso del método científico donde se registran los datos obtenidos de las observaciones?
6. ¿Qué conocimiento se obtiene mediante la experiencia y la práctica?
3.
Resolución: Ley
ON T EW ¿Cuál es el paso del método científico donde se N comprueba la veracidad de la hipótesis mediante experimentos?
7. Menciona tres ejemplos de teorías:
4. ¿Cuál es el último paso del método científico?
196
CICLO I
Química
10. Menciona los seis pasos del método científico:
Nivel avanzado 8. Cuando afirmamos: «Todos los cuerpos arden por la presencia del oxígeno»; nos referimos al paso del método científico llamado . Resolución: Ley, por ser aceptada a nivel mundial.
Y Y Y Y
9. Fijar nuestra atención en un hecho o suceso corresponde al paso del método científico llamado .
Y Y
ON T NEW
CICLO I
197
Nivel Básico
1. Conocimiento que se consigue a través del método científico. a) Conocimiento empírico b) Conocimiento irreal c) Conocimiento científico d) Conocimiento matemático e) Conocimiento histórico 2. Cuando afirmamos: «Todos los cuerpos caen por efecto de la gravedad», nos referimos al paso del método científico llamado: a) Teoría b) Hipótesis c) Recolección de datos d) Ley e) Observación 3. ¿Cuál es el paso del método científico conocido como la suposición inteligente de un fenómeno producido? a) Observación b) Ley c) Hipótesis d) Experimentación e) Teoría
Nivel Intermedio
6. ¿Cuántos son los pasos del método científico? a) 3 b) 5 c) 6 d) 8 e) 9 7. Comprobar la veracidad de la hipótesis corresponde al paso del método científico llamado: a) Observación b) Experimentación c) Recolección de datos d) Ley e) Hipótesis 8. La afirmación: «La fórmula del agua es H2O»; ¿a qué paso del método científico corresponde? a) Hipótesis b) Recolección de datos c) Ley d) Observación e) Teoría
ON T EW N 4. ¿Cuál es el segundo paso del método científico? a) Hipótesis b) Teoría c) Recolección de datos d) Experimentación e) Ley 5. Cuando la hipótesis es comprobada y aceptada mundialmente, corresponde al paso del método científico llamado . a) ley b) teoría c) observación d) recolección de datos e) hipótesis
198
9. Mirar las estrellas a través de un telescopio, ¿a qué paso del método científico corresponde? a) Ley b) Hipótesis c) Experimentación d) Observación e) Recolección de datos Nivel Avanzado
10. El conocimiento científico se consigue a través de un proceso de razonamiento llamado: a) Suposición b) Método científico c) Método sistemático d) Método visual e) Conclusión
CICLO I
Química
Nivel intermedio
Nivel básico 1. ¿Cuál es el primer paso del método científico? a) Ley b) Hipótesis c) Observación d) Teoría e) Recolección de datos 2. Anotar todo lo observado de un fenómeno producido corresponde al paso del método científico llamado: a) Teoría b) Recolección de datos c) Hipótesis d) Observación e) Ley
a) observación b) teoría c) hipótesis d) recolección de datos e) ley 6. Aprender a contar corresponde a un conocimiento : a) científico b) empírico c) físico d) astrológico e) biológico
3. «La caida de un meteorito en la tierra fue quien extinguió a los dinosaurios»; es un ejemplo que se refiere a la (paso del método científico). a) observación b) hipótesis c) ley d) teoría e) experimentación
5. «La fórmula química del monóxido de carbono es CO»; es un ejemplo que corresponde a la .
7. Buscar información de un tema específico en libros, revistas o internet, ¿a qué paso del método científico corresponde? a) Hipótesis b) Observación c) Ley d) Experimentación e) Recolección de datos
ON T NEW
4. ¿Qué paso del método científico tiene que ser comprobado? Nivel avanzado a) Observación b) Recolección de datos c) Experimentación d) Hipótesis e) Análisis
CICLO I
8. Partir una manzana en dos y observar que cambia de color progresivamente, ¿a qué paso del método científico corresponde? a) Experimentación
199
b) Observación c) Hipótesis d) Recolección de datos e) Teoría 9. ¿Cuál es el último paso del método científico? a) Teoría b) Observación c) Experimentación d) Ley e) Hipótesis
10. Fijar nuestra atención en un hecho o suceso, ¿a qué paso del método científico corresponde? a) Experimentación b) Ley c) Observación d) Teoría e) Hipótesis
ON T NEW
200
CICLO I
Química
2
MATERIA I
Recuerda que
¿QUÉ ES MATERIA?
«Todas las cosas presentes a nuestro alrededor, cerca o lejos, se conocen con el nombre de MATERIA».
Es todo aquello que constituye el universo. Se encuentra en constante movimiento y transformación. Su existencia es independiente de nuestra voluntad.
ON T NEW Manifestación de la materia La materia se manifiesta, según Albert Einstein, en materia condensada y materia dispersada.
Materia condensada
Materia dispersada
Es aquella que posee dos características imprescindibles: masa y volumen. Ejemplos: La Tierra, el agua, el aire, los objetos, animales, etc.
Es aquella que se presenta comoenergía.Laenergíacausa el cambio o transformación de los cuerpos. Ejemplo: La luz solar, las ondas de radio o de TV, los rayos X, el calor, etc.
CICLO I
201
Propiedades de la materia Son las diversas formas en que nuestros sentidos perciben la materia; y se clasifican en propiedades generales y propiedades particulares.
Propiedades generales
1. Masa
4. Gravedad
Es la cantidad de materia que poseen los cuerpos . Ejemplos: 1kg de azúcar, 20 g de pasas, etc.
Es la atracción que ejerce la Tierra sobre los cuerpos Ejemplo: Los hombres caminan sobre la superficie de la Tierra debido a que la gravedad los atrae.
2. Volumen
5. Inercia
Es el espacio ocupado por un cuerpo. Ejemplos: Un cuaderno tiene largo y ancho, por lo tanto, tiene volumen.
Todo cuerpo se resiste a cambiar su estado de reposo a movimiento. Ejemplo: Una bicicleta que está en movimiento solo se detendrá si se aplican los frenos.
ON T NEW 3. Impenetrabilidad Dos cuerpos no pueden ocupar un mismo espacio al mismo tiempo. Ejemplo: Si tenemos un vaso lleno de agua y le echamos un objeto, el agua se derrama.
202
6. Divisibilidad Todo cuerpo puede ser dividido en partes más pequeñas hasta llegar a las moléculas y estas pueden ser divididas en átomos. Ejemplo: La manzana se puede dividir hasta llegar a átomos.
CICLO I
Química
Nivel básico 1. Es una propiedad general de la materia:
d) Rayos solares e) Agua
a) Elasticidad
Nivel intermedio
b) Tenacidad
5. ¿Por qué las ondas de radio son un ejemplo de materia dispersada?
c) Inercia Resolución: d) Ductibilidad Las ondas de radio son materia dispersada porque se presenta como energía.
e) Dureza Resolución: Las propiedades generales de la materia se presentan en todo cuerpo sin excepción.
6. ¿Qué científico plantea que la materia se manifiesta en materia condensada y dispersada?
La inercia está presente en todos los cuerpos.
2. ¿Qué propiedad de la materia es la atracción que ejerce la Tierra sobre los cuerpos? 7. ¿A qué propiedad general de la materia corresponde «1 kg de huevos»?
3.
ON T ¿Qué características imprescindibles presenta NEW una materia condensada?
4. Señala un ejemplo de materia dispersada: a) Libro b) Tiza c) Aire
CICLO I
203
Nivel avanzado 8. ¿Por qué el aire y el agua son ejemplos de materia condensada?
9. ¿Qué propiedad de la materia explica que dos cuerpos no pueden ocupar un mismo espacio al mismo tiempo?
Resolución: El aire y el agua son materia condensada por tener masa y volumen.
10. Explica mediante un ejemplo la propiedad de divisibilidad de la materia:
ON T NEW
204
CICLO I
Química
Nivel básico
Nivel Intermedio
1. No es materia: a) Gelatina b) Aire c) Petróleo d) Tiempo e) Núcleo de la Tierra
6. Es una propiedad general de la materia: a) Dureza b) Porosidad c) Tensión superficial d) Maleabilidad e) Volumen
2. Es materia: a) Agua b) Aire c) Sombra d) Tiempo e) a y b
7. Ejemplo de materia condensada: a) Rayos solares b) Ondas de radio c) Rayos X d) Mochila e) Ondas de TV
3. Materia condensada es todo aquello que existe en el Universo y cuya característica fundamental es tener y . a) masa – masa b) masa – volumen c) masa – tiempo d) tiempo – volumen e) tiempo – espacio 4. Señala la materia que no tiene masa: a) Tierra b) Agua c) Aire d) Calor e) Niebla
ON T NEW
5. La afirmación: «Todo cuerpo se resiste a cambiar su estado de reposo a movimiento»; corresponde a la propiedad de . a) gravedad b) divisibilidad c) masa d) inercia e) volumen
CICLO I
8. Es la cantidad de materia presente en un cuerpo: a) Maleabilidad b) Inercia c) Masa d) Volumen e) Gravedad 9. ¿Qué propiedad de la materia es el espacio ocupado por un cuerpo? a) Inercia b) Masa c) Gravedad d) Volumen e) Impenetrabilidad Nivel Avanzado
10. ¿Qué científico afirmó que la materia se manifiesta como condensada y dispersada? a) Dimitri Mendeleiev b) Albert Einstein c) Ernst Rutherford d) John Dalton e) Joseph Thomson
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Nivel básico 1. La materia dispersada, es aquella que se presenta como . a) fuerza c) volumen e) inercia b) energía d) masa 2. Todo aquello que constituye el universo es . a) gravedad c) materia e) fuerza b) espacio d) tiempo 3. La definición: «Todo cuerpo puede ser dividido en partes más pequeñas», corresponde a la propiedad de la . a) maleabilidad d) divisibilidad b) inercia e) gravedad c) impenetrabilidad 4. Es ejemplo de materia: a) Tiempo d) Ondas de TV b) Sombra e) Amor c) Segundo
Nivel intermedio 5. La materia condensada es aquella que presenta masa y . a) volumen c) fuerza e) intensidad b) gravedad d) presión 6. No es materia: a) Sol c) Humo b) Luna d) Sombra
c) estructura – volumen d) forma – animal e) sombra – cuerpo
Nivel avanzado 8. La materia se manifiesta, según Albert Einstein, en y . a) homogénea y heterogénea b) simple y compuesta c) sustancia y mezcla d) condensada y dispersada e) elemento y compuesto 9. Cuando vemos la imagen de los astronautas caminando sobre la superficie de la luna, ¿qué propiedad de la materia se está manifestando? a) Volumen d) Inercia b) Masa e) Divisibilidad c) Gravedad 10. La luz solar es ejemplo de materia a) dispersada d) concreta b) condensada e) universal c) gravitatoria
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e) Rayos X
7. La masa es la de materia que posee un en su estructura. a) proporción – tamaño b) cantidad – cuerpo
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CICLO I
.
Química
3
MATERIA II
Las propiedades particulares son las características que solo pertenecen a un tipo de materia. Estas propiedades dependen del estado físico de la materia.
¿Cuáles son las propiedades particulares o específicas de la materia?
En el estado sólido
P R O P D I E D A D Z Propiedad por la que algunos cuerpos ofrecen E Z resistencia a ser rayados. Ejemplo: Diamante S
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Maleabilidad
Z
CICLO I
P A R T E I C U L A Z Propiedad de algunos cuerpos para deformarse, R estirarse y recuperar su forma. Ejemplo: Elástico, plastilina. E S 207
Estado líquido
PROPIEDADES PARTICULARES
Z
V
Z
Tensión superficial
Estado gaseoso
ON T W NE Z Todo gas tiende a ocupar todo el espacio posible.
PROPIEDADES PARTICULARES
Compresibilidad
Z
E
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CICLO I
Química
Nivel básico
c)
1. ¿Cuáles son las propiedades particulares presentes en la materia en estado gaseoso? d) Resolución: Las propiedades presentes en la materia en estado gaseoso son la compresibilidad (comprimir) y la expansibilidad (expandir). Nivel Intermedio 2. ¿Cuál es la propiedad que poseen algunos cuerpos para convertirse en hilos?
5. Un gas se puede reducir mediante la aplicación de una fuerza externa. Esta afirmación corresponde a la propiedad denominada . Resolución: Compresibilidad (comprimir)
3. ¿Cuáles son las propiedades presentes en un tipo de materia?
4.
6. ¿En qué consiste la propiedad particular de la materia denominada maleabilidad?
ON T W E N Menciona cuatro ejemplos de materia que pre- 7. ¿Cuál es una propiedad particular de la materia? senten la propiedad de elasticidad. a) ____________________________________
a) Inercia b) Gravedad c) Viscosidad
b)
d) Divisibilidad e) Masa
CICLO I
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8. Según la escala de Mohs, ¿cuál es el sólido que presenta mayor dureza?
c)
Resolución: d) El sólido que presenta mayor dureza en la escala de Mohs, es el diamante.
Nivel Avanzado
10. Propiedad particular por la que algunos cuerpos se resisten a ser rayados:
9. ¿Cuáles son las propiedades particulares presentes en la materia en estado sólido? a)
b)
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CICLO I
Química
Nivel Básico
1. La maleabilidad es la propiedad de algunos cuerpos para convertirse en . a) hilos b) gases c) láminas d) agua e) fibras 2. Propiedad de los gases que les permite ocupar todo el espacio posible: a) Comprensibilidad b) Dureza c) Impenetrabilidad d) Expansibilidad e) Volumen 3. Ejemplo de materia que presenta la propiedad de elasticidad. a) Tela b) Madera c) Agua d) Plastilina e) a y d
Nivel Intermedio
6. Propiedad general de la materia en donde «todo cuerpo se resiste a cambiar su estado de reposo a movimiento». a) Dureza b) Elasticidad c) Expansibilidad d) Inercia e) Masa 7. La es una propiedad particular por la que los líquidos se oponen a fluir. a) tensión superficial b) viscosidad c) comprensibilidad d) dureza e) elasticidad 8. El diamante, ¿qué propiedad particular de la materia presenta? a) Expansibilidad b) Elasticidad c) Tensión superficial d) Dureza e) Maleabilidad
ON T W 4. Propiedad particular correspondiente a una E N materia en estado líquido. a) Ductilidad b) Tensión superficial c) Comprensibilidad d) Dureza e) Elasticidad 5. La dureza es la propiedad por la que los cuerpos se resisten a ser . a) rotos b) estirados c) rayados d) laminados e) evaporados
CICLO I
Nivel Avanzado
9. Propiedad particular de la materia por la que un zancudo puede caminar sobre la superficie del agua sin hundirse. a) Viscosidad b) Ductilidad c) Dureza d) Comprensibilidad e) Tensión superficial 10. De acuerdo a las propiedades particulares de la materia, escribe verdadero (V) o falso (F), según corresponda: I. El diamante es dúctil. ( ) II. La goma es más viscosa que el agua. ( )
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III. El vidrio se puede convertir en láminas. ( ) IV. La dureza está presente en todo tipo de materia. ( ) V. La impenetrabilidad es una propiedad particular de la materia. ( )
a) V – V – F – F – V b) F – V – F – V – F c) V – V – V – V – V d) F – V – F – F – F e) F – V – F – F – V
Nivel básico 1. Es una propiedad particular de la materia: a) Maleabilidad b) Dureza c) Elasticidad d) Viscosidad e) T.A. 2. Es una propiedad general de la materia: a) Masa b) Extensión c) Impenetrabilidad d) Divisibilidad e) T.A. 3. Propiedad por la que algunos cuerpos ofrecen resistencia a ser rayados: a) Viscosidad b) Dureza c) Tensión superficial d) Masa e) Inercia 4. Es una propiedad particular correspondiente a un cuerpo en estado gaseoso: a) Maleabilidad b) Viscosidad c) Dureza d) Expansibilidad e) Elasticidad
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Nivel intermedio 5. La tensión superficial es una propiedad de la materia: a) general b) molecular c) particular d) atómica e) universal 6. La liga es un ejemplo de materia que presenta la propiedad particular denominada : a) elasticidad b) extensión c) comprensibilidad d) dureza e) maleabilidad
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7. La es una propiedad particular por la que los gases tienden a ocupar todo el espacio posible. a) tensión superficial b) viscosidad c) comprensibilidad d) dureza e) expansibilidad
Nivel avanzado 8. Son proposiciones correctas: I. El diamante es maleable. II. Son propiedades generales: la inercia y la dureza. III. La dureza es una propiedad particular de la materia.
CICLO I
Química
IV. Son propiedades particulares: la comprensibilidad y la viscosidad. V. La ductilidad es una propiedad particular de un cuerpo en estado sólido. a) Solo IV b) Solo II c) I y III d) I y II e) III y IV
10. Ejemplo de materia que presenta la propiedad de elasticidad. a) Elástico b) Madera c) Agua d) Liga e) a y d
9. Ductilidad, propiedad de algunos cuerpos para convertirse en . a) hilos b) gases c) láminas d) agua e) fibras
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CICLO I
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