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• Liseth Cabrera Aguirre

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2. Los siguientes datos registrados en días, representan el tiempo de recuperación para pacientes que se tratan al azar con uno de los medicamentos para curar infecciones graves de la vejiga: Medicamento 1 Medicamento 2 n1 = 14 n2 = 16 x1 = 17 x2 = 19 s1 2 = 1.5 s2 2 = 1.8 Encuentre un intervalo de confianza de 99% para la diferencia promedio en el tiempo de recuperación para los dos medicamentos, suponga poblaciones normales con varianzas iguales. ¿Qué Concluye?

Una máquina que produce bolas para cojinetes se le detiene periódicamente para verificar el diámetro. En este caso en particular no interesa el diámetro medio, sino la variabilidad de los diámetros. Supóngase que se toma una muestra de 31 bolas y se encuentra que la varianza de los diámetros es de 0.94 mm2 . Construya un intervalos de confianza de 95% para la varianza, e interprete los resultados, suponiendo normalidad en la población. 2) n=31 varianza=S^2=0.94 confianza=95%--> alfa=5%=0.05 El intervalo de la varianza es (n-1)*s^2 / Chi(1-alfa/2,n-1) , (n-1)*s* 2/Chi(alfa/2,n-1) Los valores de la chi cuadrado son consultando las tablas Chi(0.975,30)=46.9792 Chi(0.025,30)=16.7908

el intervalo será 30*0.94/46.9792 , 30*0.94/16.7908 es decir (0.6002 , 1.6794)

4. Los siguientes datos representan los tiempos de duración de las películas que producen dos compañías cinematográficas. Compañía Tiempo (minutos) I 103, 94, 110, 87, 98 II 97, 82, 123, 92, 175, 88, 118 a) Encuentre un intervalo de confianza del 90% para la diferencia entre los tiempos de duración promedio de las películas que ofrecen las compañías . Suponga que las diferencias de tiempo se distribuyen en forma aproximadamente de forma normal con varianzas diferentes. ¿Qué Concluye? b) Construya un intervalo de confianza del 90% para la relación o cociente de varianzas. ¿Qué Concluye? Entonces la media de POR es 98.4 La de Y es 110.7143 Calculamos las varianzas que las necesitamos para calcular la varianza ponderada Varianza de X: 76.3 Variande de Y: 1035.905 Varianza ponderada: ((4·76.3)+(6·1035.905))/10 = 652.0629 Vamos a llamar error al la expresión que viene dada por Varianzas ponderada * ((1/n1)+(1/n2)) = 652.0629*((1/5)+(1/7))=223.5644 entones el limite inferior del intervalo de confianza es media(x)-media(y)-k·raiz(error) = 98.4-110.7143-k*8.755036 = -12,3143 - 8.755036·K El limite superior es -12,3143 + 8.755036·K El valor de QUE viene dado por la distribución t de Student con 10 grados de libertad y que deja a su derecha una probabilidad 0.05, es decir, QUE = 1.812461 Entonces el intervalo queda [-12,3143 - 8.755036·1.812461 ; -12,3143 + 8.755036·1.812461] = [-28.18246 ; 3.55386] Entonces es el intervalo al 90%. Luego te preguntan si crees que el promedio de duración de las películas es el mismo para ambos estudios. Esto lo podemos suponer cierto a nivel de confianza 0.90 porque el intervalo contiene el valor cero.

5. En una muestra aleatoria de 1000 viviendas en cierta ciudad , se encuentra que 228 se calientan

con petróleo . Encuentre el intervalo de confianza del 99% para la `proporción de viviendas en esta ciudad que se calientan con petróleo. De que tamaño debe ser la muestra si con el mismo intervalo de confianza se desea obtener un error de estimación de 0.01

Mejor respuesta: n=1000 p=228/1000 = 0.228

99% confianza --> alfa=1% P(Z P(Z z=2.58 El intervalo es p +- z*raiz(p*(1-p)/n 0.228 +- 2.58*raiz(0.228*0.772/1000) 0.228 +- 0.0342 (0.228-0.0342 , 0.228+0.0342) El intervalo del 99% de confianza es (0.1938 , 0.2622) --El tamaño de la muestra es n>= z^2 * p(1-p)/e^2 El error del intervalo es de e=0.01,el intervalo es igual al anterior, z=2.58, p=0.228 por tanto n>=2.58^2 * 0.228*0.772 / 0.01^2 n>=11716.33 redondeando a enteros la muestra debe ser de 11716 o más viviendas. 6. Cierto genetista se interesa en la proporción de hombres y

mujeres en la población que tienen cierto trastorno sanguíneo menor. En una muestra aleatoria de 1000 hombres se encuentra que 250 lo padecen ; mientras que 275 de 1000 mujeres examinadas también lo tienen . Calcule un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre la población de hombres y mujeres que padecen el trastorno sanguíneo. ¿Qué Concluye?

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9. En su incansable búsqueda de un sistema de llenado adecuado, cierta empresa prueba dos máquinas. Robo-fill se usa para llenar 16 tarros y da una desviación estándar de 1.9 onzas en el llenado. Con Automat-fill se llenan 21 frascos que dan una desviación estándar de 2.1 onzas. Si la empresa tiene que elegir uno de estos sistemas en función de la uniformidad de llenado. Determinar en un intervalo de confianza del 90% el cociente de varianzas y ¿cuál es la conclusión en base a la inferencia?

Solución: Datos: Robo-Fill sRF = 1.9 nRF = 16

= 0.10 Automat-Fill sAF = 2.1 nAF = 21

Ensayo de hipótesis:

Estadístico de prueba:

La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor . Entonces los grados de libertad uno será el tamaño de la muestra de la población uno menos uno. 1= 21-1 = 20 y 2 = 16-1=15.

Regla de decisión: Si Fc

2.20 No se rechaza Ho,

Si la Fc > 2.20 se rechaza Ho. Cálculo:

Decisión y Justificación: Como 1.22 es menor que 2.20 no se rechaza Ho, y se concluye con un = 0.10 que la variación de llenado de la máquina Robo-Fill no es menor a la de Automat-Fill, por lo que se selecciona cualquier máquina. 10.El departamento de zoología de la Universidad de Virginia llevó a cabo un estudio para estimar la diferencia en la cantidad de ortofósforo químico medido en dos estaciones diferentes del río James. El ortofósforo se mide en miligramos por litro. Se reunieron 15 muestras de la estación 1 y se ontuvo una media de 3.84 con una desviación estándar de 3.07 miligramos por litro, mientras que 12 muestras de la estación 2 tuvieron un contenido promedio de 1.49 con una desviación estándar 0.80 miligramos por litro. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la diferencia del contenido promedio real de ortofósforo en estas dos estaciones, suponga que las observaciones vienen de poblaciones normales con varianzas diferentes.

1. El departamento de zoología de la Universidad de Virginia llevó a cabo un estudio para estimar la diferencia en la cantidad de ortofósforo químico medido en dos estaciones diferentes del río James. El ortofósforo se mide en miligramos por litro. Se reunieron 15 muestras de la estación 1 y se ontuvo una media de 3.84 con una desviación estándar de 3.07 miligramos por litro, mientras que 12 muestras de la estación 2 tuvieron un contenido promedio de 1.49 con una desviación estándar 0.80 miligramos por litro. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la diferencia del contenido promedio real de ortofósforo en estas dos estaciones, suponga que las observaciones vienen de poblaciones normales con varianzas diferentes. Solución: Datos: Estación 1

Estación 2

n1 = 15

n2 = 12

S1= 3.07

S2 = 0.80

Primero se procederá a calcular los grados de libertad:

Al usar =0.05, encontramos en la tabla con 16 grados de libertad que el valor de t es 2.120, por lo tanto:

que se simplifica a: 0.60

4.10

Por ello se tiene una confianza del 95% de que el intervalo de 0.60 a 4.10 miligramos por litro contiene la diferencia de los contenidos promedios reales de ortofósforo para estos dos lugares.