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• Ray Kevin Pascual Concha Bringas

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Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones. PONTIFICIA ESTUDIOS UNIVERSIDAD GENERALES CATÓLICA CIENCIAS DEL PERÚ

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO PRIMERA PRÁCTICA CALIFICADA SEMESTRE ACADÉMICO 2018-1 Horario: 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 124, B126

Duración: 110 minutos

Elaborado por todos los profesores del curso.

ADVERTENCIAS: -

Todo dispositivo electrónico (teléfono, tableta, computadora u otro) deberá permanecer apagado durante la evaluación. Coloque todo aquello que no sean útiles de uso autorizado durante la evaluación en la parte delantera del aula, por ejemplo, m ochila, maletín, cartera o similar, y procure que contenga todas sus propiedades. La apropiada identificación de las pertenencias es su responsabilidad. Si se detecta omisión a los dos puntos anteriores, la evaluación será considerada nula y podrá conllevar el inicio de un procedimiento disciplinario en determinados casos. Es su responsabilidad tomar las precauciones necesarias para no requerir la utilización de servicios higiénicos: durante la evaluación, no podrá acceder a ellos, de tener alguna emergencia comunicárselo a su jefe de práctica. En caso de que el tipo de evaluación permita el uso de calculadoras, estas no podrán ser programables. Quienes deseen retirarse del aula y dar por concluida su evaluación no lo podrán hacer dentro de la primera mitad del tiempo de duración destinado a ella.

INDICACIONES: -

Tiempo de duración: 1 hora y 50 minutos. No se permite el uso de apuntes de clase, libros ni calculadoras. Explique detalladamente las soluciones. La presentación, la ortografía, y la gramática serán tomadas en cuenta en la calificación.

1. Sabiendo que la proposición: (𝑝 → 𝑞) ∨ 𝑟 es falsa, determine si el foco en el circuito mostrado está encendido o apagado. Justifique su respuesta. 3 puntos

p

r

p q

2. Si los números reales 𝑎𝑛 , 𝑛 ∈ ℤ+ , se definen recursivamente por: 𝑎1 = 2 { 𝑎2 = 3 𝑎𝑛+2 = 2𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛 , 𝑛 ≥ 1 Demuestre usando inducción matemática que 𝑎𝑛 ≤ 3𝑛 , ∀𝑛 ∈ ℤ+ .

3 puntos

3. Dada la siguiente conjetura:

(𝑛 + 3)2 < 2𝑛+2 , ∀𝑛 ∈ ℤ+ , 𝑛 ≥ 𝑛0 a) Indique el menor número 𝑛0 entero positivo de tal manera que la conjetura sea válida. 1 punto b) Usando inducción matemática, demuestre que la conjetura es válida para todo 𝑛 ∈ ℤ+ , con 𝑛 ≥ 𝑛0 , siendo 𝑛0 el número hallado en el ítem a). 3 puntos Página 1 de 2

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4. Calcule en términos de 𝑛 las siguientes sumas: 𝑛

1 1 − ) a) ∑ ( + 8 − 2 √5𝑘 √5𝑘 𝑘=2

3 puntos

𝑛−1

1 𝑛 b) ∑ ( ) (2𝑘+1 − ) 𝑘 𝑘+1

3 puntos

𝑘=0

5. Analice la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones, justificando adecuadamente su respuesta: a) Para todo 𝑛 ∈ ℤ, el número (𝑛2 − 2𝑛 + 1)(𝑛2 − 3𝑛) es impar. 1 punto 3 3 b) ∀𝑥 ∈ ℝ , ∃𝑦 ∈ ℝ tal que 𝑥 + 𝑦 = 1. 1 punto 𝑥 c) Una condición suficiente para 𝑥 > −1 es 7𝑥 + 6 ≥ − . 1 punto 2 𝑎+𝑏 2

d) Si 𝑎 y 𝑏 son números reales, entonces (

2

) ≤

𝑎2 +𝑏 2 2

.

1 punto

Coordinadora de práctica. Elizabeth Advíncula C.

San Miguel, 12 de abril de 2018

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FUNDAMENTOS DE CÁLCULO PRIMERA PRÁCTICA CALIFICADA SEMESTRE ACADÉMICO 2018-1 Horario: 113,114,115,116,117,118,119,120,121,122,123,125,126 y B125 Duración: 110 minutos Elaborado por todos los profesores del curso.

ADVERTENCIAS: -

Todo dispositivo electrónico (teléfono, tableta, computadora u otro) deberá permanecer apagado durante la evaluación. Coloque todo aquello que no sean útiles de uso autorizado durante la evaluación en la parte delantera del aula, por ejemplo, mochila, maletín, cartera o similar, y procure que contenga todas sus propiedades. La apropiada identificación de las pertenencias es su responsabilidad. Si se detecta omisión a los dos puntos anteriores, la evaluación será considerada nula y podrá conllevar el inicio de un procedimiento disciplinario en determinados casos. Es su responsabilidad tomar las precauciones necesarias para no requerir la utilización de servicios higiénicos: durante la evaluación, no podrá acceder a ellos, de tener alguna emergencia comunicárselo a su jefe de práctica. En caso de que el tipo de evaluación permita el uso de calculadoras, estas no podrán ser programables. Quienes deseen retirarse del aula y dar por concluida su evaluación no lo podrán hacer dentro de la primera mitad del tiempo de duración destinado a ella.

INDICACIONES: -

Tiempo de duración: 1 hora y 50 minutos. No se permite el uso de apuntes de clase, libros ni calculadoras. Explique detalladamente las soluciones. La presentación, la ortografía, y la gramática serán tomadas en cuenta en la calificación.

1. Sabiendo que la proposición: (𝑝 ⟶ ~𝑞) ∨ (𝑟 ∨ ~𝑝) es falsa, determine si el foco en el circuito mostrado está encendido o apagado. Justifique su respuesta. 3 puntos

p r q

q

2. Los números reales 𝑎𝑛 , 𝑛 ∈ ℤ0+ , se definen recursivamente por: 𝑎0 = 1 {𝑎1 = −1 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 2𝑎𝑛−2 , si 𝑛 ≥ 2.

3 puntos

Demuestre usando inducción matemática lo siguiente: ∀𝑛 ∈ ℤ0+ : 𝑎𝑛 = (−1)𝑛 3. Dada la siguiente conjetura: 1+

1

+

1

+ ⋯+

1

> √𝑛, ∀𝑛 ∈ ℤ+ , 𝑛 ≥ 𝑛0

√2 √3 √𝑛 a) Indique el menor número entero positivo 𝑛0 de tal manera que la conjetura sea válida. 1 punto + b) Usando inducción matemática, demuestre que la conjetura es válida para todo 𝑛 ∈ ℤ , con 𝑛 ≥ 𝑛0 , siendo 𝑛0 el número hallado en el ítem anterior. 3 puntos Página 1 de 2

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4. Calcule en términos de 𝑛 las siguientes sumas: 𝑛

1 1 a) ∑ ( − ) 2𝑘 − 3 2𝑘 + 1 𝑘=3 𝑛

b) ∑ ( 𝑘=1

3 puntos

𝑛−1 1 ) (3𝑘 + ) 𝑘−1 𝑘

3 puntos

5. Analice la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones, justificando adecuadamente su respuesta: a) Para todo 𝑛 ∈ ℤ, el número (𝑛2 + 𝑛 − 5)(𝑛2 − 𝑛) es impar. b) ∀𝑥 ∈ ℝ , ∃𝑦 ∈ ℝ tal que 𝑥 2 + 2𝑥 < 𝑦. c) Una condición necesaria para que un entero positivo 𝑛 sea par es que 𝑛2 sea par. d) Si 𝑎 y 𝑏 son números reales diferentes de cero se cumple que

𝑎2 𝑏2

𝑏2

+ 𝑎2 > 2.

1 punto 1 punto 1 punto 1 punto

Coordinadora de práctica: Iris Flores San Miguel, 12 de abril de 2018

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FUNDAMENTOS DE CÁLCULO SEGUNDA PRÁCTICA CALIFICADA SEMESTRE ACADÉMICO 2018-1 Horario: 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 124, B126

Duración: 110 minutos

Elaborado por todos los profesores del curso.

ADVERTENCIAS: -

Todo dispositivo electrónico (teléfono, tableta, computadora u otro) deberá permanecer apagado durante la evaluación. Coloque todo aquello que no sean útiles de uso autorizado durante la evaluación en la parte delantera del aula, por ejemplo, mochila, maletín, cartera o similar, y procure que contenga todas sus propiedades. La apropiada identificación de las pertenencias es su responsabilidad. Si se detecta omisión a los dos puntos anteriores, la evaluación será considerada nula y podrá conllevar el inicio de un procedimiento disciplinario en determinados casos. Es su responsabilidad tomar las precauciones necesarias para no requerir la utilización de servicios higiénicos: durante la evaluación, no podrá acceder a ellos, de tener alguna emergencia comunicárselo a su jefe de práctica. En caso de que el tipo de evaluación permita el uso de calculadoras, estas no podrán ser programables. Quienes deseen retirarse del aula y dar por concluida su evaluación no lo podrán hacer dentro de la primera mitad del tiempo de duración destinado a ella.

INDICACIONES: -

Tiempo de duración: 1 hora y 50 minutos. No se permite el uso de apuntes de clase, libros ni calculadoras. Explique detalladamente las soluciones. La presentación, la ortografía, y la gramática serán tomadas en cuenta en la calificación.

1. Analice el valor de verdad de las siguientes proposiciones, justificando sus respuestas. 2

2

a) Si |𝑥| < 2 entonces (𝑥+3) ∈ ]5 ; 1[.

1 punto

b) 1 < |𝑥 − 2| < 4 es condición suficiente para afirmar ||𝑥 − 2| − 3| < 3. c) El rango de la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥) =

𝑥+1 , 𝑥−2

con 𝑥 ∈ [3; 5], es [2; 4].

1 punto 1 punto

d) Si la gráfica de una función lineal interseca al eje Y en un punto de ordenada positiva, entonces interseca al eje X en un punto de abscisa positiva. 1 punto 2. Resuelva en ℝ las siguientes inecuaciones: a) 𝑥 3 + 8 ≤ 2 − 3𝑥 2 − 2𝑥 𝑥−3 b) (𝑥 2 + 4𝑥 + 8) (2 − |2𝑥−1|) > 0 c)

|𝑥−3|

𝑥−|2𝑥−6|

10 a) Halle el mayor valor que puede tomar 𝑘, de modo que la función 𝑓 sea inyectiva. b) Determine la inversa de la función 𝑓 para el valor de 𝑘 hallado en a).

2 puntos 2 puntos

4. Una empresa estima que el valor 𝑃, en dólares, de un auto se deprecia a lo largo del tiempo mediante la siguiente expresión: 𝑃(𝑡) = 45 000 𝑒 −0.125 𝑡 donde 𝑡 es el número de años transcurridos desde que se compró el auto. A partir de la información dada, responda lo siguiente: a) ¿Cuál es el valor del auto al inicio? b) Bosqueje la gráfica de la función 𝑃 y determine la ecuación de su asíntota. c) ¿Después de cuánto tiempo el valor del auto será la mitad de su valor original? 5. Determine y grafique una función real f , que satisface las condiciones siguientes:

0.5 puntos 1 punto 1.5 puntos 4 puntos

 En ]−2, 0], f es parte de una función racional cuya gráfica pasa por el punto (0, 1) y tiene asíntota vertical a la recta 𝑥 = −2.  En [2, +∞[, f es parte de una función logarítmica de la forma 𝑓(𝑥) = log 𝑎 (𝑥 + 𝑏), cuya gráfica pasa por los puntos (2, 0) y (9, 3).  f es una función par en ℝ.

Coordinadora de práctica. Elizabeth Advíncula C. San Miguel, 14 de junio de 2018

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Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones. PONTIFICIA ESTUDIOS UNIVERSIDAD GENERALES CATÓLICA CIENCIAS DEL PERÚ

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO CUARTA PRÁCTICA CALIFICADA SEMESTRE ACADÉMICO 2018-1 Horario: 113,114,115,116,117,118,119,120,121,122,123,125,126 y B125 Duración: 110 minutos Elaborado por todos los profesores del curso.

ADVERTENCIAS: -

Todo dispositivo electrónico (teléfono, tableta, computadora u otro) deberá permanecer apagado durante la evaluación. Coloque todo aquello que no sean útiles de uso autorizado durante la evaluación en la parte delantera del aula, por ejemplo, mochila, maletín, cartera o similar, y procure que contenga todas sus propiedades. La apropiada identificación de las pertenencias es su responsabilidad. Si se detecta omisión a los dos puntos anteriores, la evaluación será considerada nula y podrá conllevar el inicio de un procedimiento disciplinario en determinados casos. Es su responsabilidad tomar las precauciones necesarias para no requerir la utilización de servicios higiénicos: durante la evaluación, no podrá acceder a ellos, de tener alguna emergencia comunicárselo a su jefe de práctica. En caso de que el tipo de evaluación permita el uso de calculadoras, estas no podrán ser programables. Quienes deseen retirarse del aula y dar por concluida su evaluación no lo podrán hacer dentro de la primera mitad del tiempo de duración destinado a ella.

INDICACIONES: -

Tiempo de duración: 1 hora y 50 minutos. No se permite el uso de apuntes de clase, libros ni calculadoras. Explique detalladamente las soluciones. La presentación, la ortografía, y la gramática serán tomadas en cuenta en la calificación.

1. Sea 𝑓 una función definida por 𝑥+4 , 𝑥 < −1, 𝑥 ≠ −3 𝑓(𝑥) = { 𝑥 + 3 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥, −1 ≤ 𝑥 < 4 a) Halle los puntos de intersección de la gráfica de 𝑓 con los ejes de coordenadas, si existen. b) Halle las ecuaciones de las asíntotas de la gráfica de 𝑓, si existen. c) Esboce la gráfica de la función 𝑓 e indique su rango.

1 punto 1 punto 2 puntos

2. Sea 𝑓 la función que cumple la ecuación 3𝑒 −𝑓(𝑥) + 1 = 𝑥 a) b) c) d)

Determine la regla de correspondencia de 𝑓, su dominio y su rango. 1.5 puntos Demuestre que 𝑓 es inyectiva usando la definición. 1 punto −1 Halle la función 𝑓 . 1 punto −1 Grafique 𝑓 y 𝑓 en un mismo plano, indicando para cada una de ellas las ecuaciones de sus asíntotas. 1.5 puntos 3. Dada la función f, definida por log(𝑥 − 1) ; 𝑥 < 𝑘 𝑓(𝑥) = { 𝑥−12 𝑒 ; 𝑥 ≥ 12 a) Determine el mayor valor que puede tomar 𝑘, de modo que la función 𝑓 sea inyectiva. 2 puntos b) Determine la inversa de la función f para el valor de 𝑘 hallado en a). 2 puntos

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Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones.

4. Una compañía estima que los pedidos mensuales de computadoras está dado por la expresión 𝑃(𝑡) = 2000 − 1500𝑒 −𝑡/4, donde 𝑡 es el número de meses después de poner las computadoras en el mercado. A partir de la información dada responda las siguientes cuestiones: a) ¿Cuál es el pedido de las computadoras al cabo de cuatro meses después de haberlas puesto en el mercado? 0.5 puntos b) ¿Cuánto tiempo debe pasar para lograr un pedido de 1850 computadoras? 1.5 puntos c) Bosqueje la gráfica de la función 𝑃 y determine la ecuación de la asíntota. 1 punto 5. Determine y grafique una función real 𝑓, que cumple las condiciones siguientes: 4 puntos i. 𝑓 es parte de una función racional en el intervalo  , 3 , su gráfica pasa por el punto (4 , 1) y tiene como asíntota vertical a la recta 𝑥 = −3. ii. 𝑓 es parte de una función logarítmica de la forma 𝑦 = log 𝑎 (𝑥 + 𝑏) en el intervalo 3 , 0 y su gráfica pasa por los puntos (3 , 0) y (1, 1). iii. 𝑓 es una función impar en ℝ.

Coordinadora de práctica: Iris Flores San Miguel, 14 de junio de 2018

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ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones PONTIFICIA que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones. UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ

Fundamentos de Cálculo Primer examen Semestre Académico 2018 -1

Horario: Todos

Duración: 3 horas Elaborado por todos los profesores del curso

Advertencias: • Todo dispositivo electrónico (teléfono, tableta, computadora u otro) deberá permanecer apagado durante la evaluación. • Coloque todo aquello que no sean útiles de uso autorizado durante la evaluación en la parte delantera del aula, por ejemplo, mochila, maletín, cartera o similar, y procure que contenga todas sus propiedades. La apropiada identificación de las pertenencias es su responsabilidad. • Si se detecta omisión a los dos puntos anteriores, la evaluación será considerada nula y podrá conllevar el inicio de un procedimiento disciplinario en determinados casos. • Es su responsabilidad tomar las precauciones necesarias para no requerir la utilización de servicios higiénicos: durante la evaluación, no podrá acceder a ellos, de tener alguna emergencia comunicárselo a su jefe de práctica. • En caso de que el tipo de evaluación permita el uso de calculadoras, estas no podrán ser programables. • Quienes deseen retirarse del aula y dar por concluida su evaluación no lo podrán hacer dentro de la primera mitad del tiempo de duración destinado a ella.

Indicaciones: • • • •

Se prohíbe usar apuntes de clase, libros, tablas, calculadora o computadora personal. Debe explicar detalladamente sus soluciones. La presentación, la ortografía y la gramática serán tomadas en cuenta en la calificación. Enumere las páginas del cuadernillo en la parte superior del 1 al 12 y reserve dos páginas para resolver cada una de las preguntas, según la distribución siguiente: Pregunta Páginas

1 1y2

2 3y4

3 5y6

4 7y8

5 9 y 10

1. Analice el valor de verdad de las siguientes proposiciones, justificando su respuesta adecuadamente. a) ∀ x ∈ R, ∃ y ∈ Z tal que x4 − yx2 + y > 0. a+1 7 5 b) Si a ∈ R − {2} tal que 7 < ≤ 10, entonces ≤ a ≤ . a−2 3 2 c) Si f es una función impar que cumple f (x0 ) > a, entonces − x0 es solución de f (x) < −a.

(1 punto) (1 punto) (1 punto)

2. a) Los números a n , con n ∈ Z+ , se definen recursivamente por   a1 = 0 a =1  2 a n+1 = 3a n − 2a n−1 , n ≥ 2.

Demuestre, usando inducción matemática, que para todo n ∈ Z+ se cumple

a n = 2n−1 − 1.

(2 puntos)

b) Calcule en términos de n la suma siguiente: Ã ! k−1 n . k =1 k + 2 k + 1

nX −1

(2 puntos)

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Este material, de distribución gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones.

3. a) Sea f una función definida por f (x) = (m2 − 4m + 4)x2 + (5 − 3m)x + 3. Halle todos los valores de m de modo que f (x) > 0 para todo x ∈ R. (2 puntos) b) Considere las funciones f y g definidas por

f (x) = −| x − 2| + 2, x ≤ 5

y

g(x) =

½

−x x2 + x

, x 1, es inyectiva. 3

𝜋 4

𝜋 4

c) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (𝑐𝑜𝑠 (− )) = − .

1 punto 1 punto

2. a) Sea f una función impar y polinómica de grado 5, con −1 y −2 dos de sus raíces y cuya gráfica pasa por el punto (3, 20). Halle los intervalos donde 𝑓(𝑥) > 0 y 𝑓(𝑥) < 0. b) Considere la función 𝑔, definida por 𝑔(𝑥) =

2 puntos 3 puntos

2𝑥 2 − 4𝑥 + 2 , 2𝑥 2 − 𝑥 − 1

𝑥 ≤ 2.

Esboce la gráfica de 𝑔, hallando (i) las coordenadas de los puntos de intersección de 𝑔 con los ejes coordenados; (ii) el dominio y el rango de la función 𝑔 y (iii) las ecuaciones de las asíntotas de la gráfica de 𝑔, si las tiene. Página 1 de 2

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3. Dada la función 𝑓 definida por

𝜋

2𝑠𝑒𝑛 (𝑥 − 2 ) , 0 < 𝑥 < 𝜋 𝑓(𝑥) = { . 𝑒 𝑥−4 + 1, 4≤𝑥 2, es inyectiva. 1 punto 2. Sea 𝑓 la función definida por 𝜋

𝜋

𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (𝑥 − 2 ) , 𝑥 ≥ 2 𝑓(𝑥) = { . 𝜋 𝜋 𝑙𝑛 ( − 𝑥) , 0