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Introducción al Muestreo Minero por Marco Antonio Alfaro Sironvalle Santiago, Chile, 2002

Instituto de Ingenieros de Minas de Chile. Encomenderos 260, Of. 31. Tel (56-2) 2461615, Fax 2466387. E-Mail: instituto@iim ch.cl Web: http://www.iimch.cl Santiago, Chile, 2002. Es Propiedad. Prohibida la reproducción parcial o total sin autorización del autor. 1

Preface Is there a single important decision made on a mining project that is no t in a way or another, directly or indirectly based on some kind of assayed grad e, or in other terms on a mineral sample? And who, in the end, is responsible fo r the devastating consequences of taking bad samples? It clearly is a subject of utmost importance that Dr. Marco Alfaro has decided to bring to his audience in this simple, yet fundamental leaflet, which is directed not only to technical p rofessionals of the mining industry, but also to those who manage them and bear the ultimate responsibility for the results and consequences of mineral sampling . In this piece of work, Dr. Alfaro genuinely makes justice to the simplicity of sampling theory, and to the many services it renders and has rendered the indus try over several decades of applications. Like in many a discipline, however, th ere is Sampling and ‘Sampling’, good and poor applications, enlightenment and ignora nce, science and witchcraft. Practical implementations have kept improving, but have also suffered through many avatars, not all consistent with its eminently s cientific approach. Erroneous sampling equipment and experimental procedures, in correct application models and formulae, based on a highly commercial but appall ingly arbitrary modus operandi, have made their way into our service and equipme nt markets, and are currently offered to the non-discerning professional. The ut most critical sense and prudence must be exercised. It is to Dr. Alfaro’s credit t o have presented in a simple and short publication all the tools that will help the professional of the industry, as well as the managers and directors who are committed to the success of mining projects, tell the good from the bad, and not fall prey to ‘imitation sampling theory’ which plagues our plants, our mines, and e ven some of our ‘consultants’ calculations. As active devotees to the future and gro wth of genuine sampling theory, we feel indebted to Dr. Alfaro and thank him ver y much for this commendable effort. Pierre Gy & Dominique Francois-Bongarcon Sam pling Associates 2

Prólogo Estimado lector, he decidido publicar en el lenguaje más simple posible una introducción a la Teoría del Muestreo Minero, para ello, basado en mi experiencia do cente, he considerado fundamental incluir el máximo de gráficos. En algunas ocasione s el material presentado corresponde a minas conocidas, he omitido sus nombres, por razones de discreción minera. Agradezco sinceramente la ayuda, consejos y apoy o de los Doctores Pierre Gy y Dominique Francois-Bongarcon. Agradezco también a An a María por su apoyo y consejos. Estimado lector, agradeceré contactarme ante cualqu ier duda, comentario o sugerencia. Juntos mejoraremos futuras ediciones del libr o. Marco Antonio Alfaro Enero, 2002. A Ana María, Marco y Sebastián. 3

TEMARIO. I. Introducción e Importancia del muestreo de minerales. II. Conceptos im portantes en Teoría del Muestreo. Problema principal. III. El Muestreo Estadístico. Ecuaciones. IV. Consideraciones prácticas para el muestreo de minerales. V. Muestr eo de flujos de minerales en movimiento. VI. Tipos especiales de muestreo minero . VII. El Error Fundamental del Muestreo. Teoría de Pierre Gy. VIII. Bibliografía. A nexo 1. Tabla de números aleatorios. Anexo 2. El Profesor Pierre Maurice Gy. Anexo 3. Sesgos generados por muestreo y análisis. Anexo 4. Ejemplos de errores de mues treo importantes. Anexo 5. ¿Porqué los errores aleatorios son gaussianos? 5 8 14 18 40 49 64 74 75 76 77 78 79 4

I. Introducción e Importancia del muestreo de minerales. Definiciones. Según el Dicc ionario de la Lengua española: Muestra es una parte ó porción extraída de un conjunto po r métodos que permiten considerarla como representativa del mismo. Muestreo es la acción de recoger muestras representativas de la calidad ó condiciones medias de un todo ó la técnica empleada en esta selección ó la selección de una pequeña parte estadístic nte determinada para inferir el valor de una ó varias características del conjunto. Población ó lote: es el conjunto completo de observaciones que deseamos estudiar. El muestreo estadístico es diferente del muestreo de minerales: • En el muestreo estadís tico, el lote ó población está compuesto por objetos de igual peso. • En el muestreo de minerales, el lote está compuesto de objetos de diferentes pesos. Figura I.1: Muestreo estadístico y muestreo de minerales. El muestreo de minerales. Importancia: Casi todas las decisiones que se hacen re specto de un Proyecto Minero, desde la exploración hasta el cierre de la mina, están basadas en valores obtenidos de material muestreado. Estas decisiones significa n millones de dólares. Ejemplo: Pozos de tronadura en una mina a cielo abierto: En un pozo de tronadura el material acumulado (detritus de la perforación) puede ser enorme, lo que obliga a tomar una muestra. Sea un depósito minero, con densidad d e 2.5 ton/m3 en una malla de perforación de 10m*10m, con altura de 5

banco de 15m., con diámetro de perforación igual a 25cm. La cantidad de material acu mulado, en toneladas, es: Figura I.2: pozo de tiro. Tons = π d 2 hδ / 4 = 3.14 * 0.252 *15* 2.5 / 4 = 1.8 tonela as Figura I.3: Malla e pozos e trona ura. Tratemos e encontrar ahora el valor económico que representa una ecisión basa a en una muestra e un pozo, para ello calculemos el tonelaje que representa una mue stra, asumien o un área e influencia igual a la malla e perforación (figura I.3), expresan o el tonelaje en libras (se utiliza un factor e 2,204) y en onzas (se utiliza un factor e 32,150.75): Tonelaje = 10*10*15*2.5 = 3,750 tonela as = 3,7 50*2,204 = 8,265,000 libras = 3,750*32,150.75 = 120,565,312 onzas a) Caso e un epósito e cobre e 1% CuT (con un precio e 0.70 US$/libra): 6

Valor ecisión = US$ 57,855. b) Caso e un epósito e oro e 2 gr/ton (con un preci o e 300 US$/onza): Valor ecisión = US$ 72,339. El valor e la ecisión epen e el precio e los metales, pero a menu o es ¡mucho más e lo que se piensa! En una mina a cielo abierto, la ley e un pozo e trona ura es fun amental para la planific ación e corto plazo: este valor eci e, e una u otra manera, el estino e los m ateriales (planta, stock o bota ero). 7

II. Conceptos importantes en Teoría el Muestreo. Problema principal. La figura II .1 resume el problema principal el muestreo: estimar la me ia e una población (c on N elementos) ó lote ( e tamaño ML) a partir e una muestra ( e tamaño n ó MS): Figura II.1(a): El problema principal el muestreo. En general, el muestreo exhaustivo, es ecir tomar los N atos ó la masa total ML (llama o a veces censo) es muy ifícil y e alto costo. En Esta os Uni os, los mue streos e gobierno toman muestras e 105,000 personas, es ecir 1 persona ca a 1 ,240 personas. Figura II.1(b): Muestreo e minerales quebra os. 8

II.1. Etapas e un muestreo. En to o muestreo, ebe estar bien estableci o lo si guiente: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Objetivo el muestreo. Población a muestrear Datos a re colectar Manera e recolectar los atos Gra o e precisión esea o Méto o e me i a. Para cumplir bien con la efinición inicial e muestreo, se ebe cumplir el hecho siguiente, e vital importancia: “El muestreo ebe ser equiprobable” En el caso e los minerales: el muestreo e un lote ML compuesto e N fragmentos es equiprobable cuan o to as las combinaciones e n fragmentos tienen la misma probabili a e ser elegi os para la constitución e la muestra (MS es la muestra con n fragmentos). Según Pierre Gy, crea or e la teoría mo erna el muestreo e min erales, cuan o la con ición e equiprobabili a no se cumple, se tiene más bien un “es pécimen” (un ejemplar) en vez e una muestra. La figura II.2 muestra un ejemplo e e spécimen, las extracciones se basan en la hipótesis no realista y peligrosa e homog enei a . Figura II.2: El opera or toma incrementos e la parte más accesible el lote. La s uma e los incrementos constituye un espécimen. 9

En el muestreo esta ístico, la efinición e muestra equiprobable es análoga a la ante rior. Ejemplos e muestreos que no son equiprobables: a) Los muestreos e carros ó e marinas en minería, por lo general, no son equiprobables, porque se está obliga o a tomar una muestra superficial. b) En muestreo esta ístico, tomar voluntarios c onstituye un muestreo no equiprobable (ejemplo: test e roga ictos). II.2. Tipo s e Muestreo. Los principales tipos e muestreo son los siguientes: Muestreo al eatorio simple. Consiste en la selección e n fragmentos ó uni a es el lote ML e m o o que to as las muestras posibles e tamaño n tengan la misma probabili a e se r elegi as. Ejemplo: En una mina hay 100 cáto os e cobre (numera os) para análisis. Se sortean (con una tabla e números aleatorios) 5 cáto os y se envían para análisis al laboratorio .Se analiza Cu, O, S, Cl, Pb, Zn, Ni, Mn, Fe, Ag, As, Sb, Se, Te, B i, Sn, etc. (ver figura IV.8). Muestreo sistemático. En este caso las extracciones e las muestras son etermina as según una regla fija. Ejemplos: • Tomar canaletas en una galería ca a 2 metros. • En una cinta transporta ora, tomar una muestra ca a 10 minutos. Muestreo estratifica o. El lote ML se ivi e en partes o estratos qu e no se solapan entre sí. Ca a estrato es muestrea o posteriormente según los proce imientos anteriores. 10

Figura II.3: El muestreo estratifica o. Ejemplo: En las figuras II.4 se tiene un experimento e muestreo estratifica o e n un epósito e yo o. Se realizaron son ajes, e 2 metros e profun i a los cual es proporcionaron las leyes z1, z2, z3, ... Luego el material ML e la zanja e 5m*2m*1m se re ujo a la muestra MS consi eran o os estratos (material fino y ma terial grueso). El muestreo fue manual y la proporción finos/gruesos se eterminó “vis ualmente”. Los resulta os e la muestras y1, y2, y3, ... (ver Tabla 1) in ican la presencia e un sesgo o error sistemático ( atos en ppm.). Figura II.4(a): Bloques e 1m*5m*2m. Figura II.4(b): Generación “visual” 11

e la muestra MS.

Zanja 1 2 3 4 5 6 II.3. Exactitu y Precisión. Tabla 1 Ley son aje Zi 520 630 600 550 580 550 Ley muestra Yi 830 1050 1100 910 820 860 En teoría el muestreo e minerales se utilizan las nociones e exactitu y precis ión. La figura II.5 clarifica estos conceptos. En términos esta ísticos estos concepto s correspon en respectivamente a la me ia, la cual ebe ser insesga a (exactitu ) y a la varianza el error, la cual ebe ser pequeña (precisión) Figura II.5: a) Exactitu sin precisión. b) Precisión sin exactitu . c) Exactitu y precisión. ) Ninguno. En resumen: 12

Exactitu Me ia Precisión Varianza “La me ia ebe ser insesga a (sin esviación sistemát ica) y la varianza ebe ser pequeña”. Ejemplo: Sea ML una población o lote con 4 atos y MS una muestra e 2 observaciones el lote: ML = { x1, x2 , x3, x4} MS = {a1, a2} N=4 n=2 Las muestras posibles y las me ias muestrales correspon ientes son: {x1, x2} {x1 , x3} {x1, x4} {x2, x3} {x2, x4} {x3, x4} m1 = (x1 + x2 ) / 2 m2 = (x1 + x3 ) / 2 m3 = (x1 + x4 ) / 2 m4 = (x2 + x3 ) / 2 m5 = (x2 + x4 ) / 2 m6 = (x3 + x4 ) / 2 La me ia el lote es (observar que en nuestro caso minero nos interesa en genera l el muestreo sin reemplazamiento): m0 = (x1 + x2 + x3 + x4 ) / 4 y la me ia e las muestras (posibles) es: m*=(m1+m2+m3+m4+m5+m6) / 6 se observa entonces que: m 0 = m* Se ice que la me ia e la muestra ( e 2 observaciones) m=(xi+xj)/2 es un estima or insesga o e la me ia el lote m0=(x1+x2+x3+x4)/4. La propie a e isponer e un estima or insesga o se cumplirá cuan o la muestra sea equiprobable. En la práctica, cuan o sea posible, siempre se eben utilizar estima ores insesga os (la experiencia muestra que no existe na a más complejo que corregir sesgos). 13

III. El Muestreo Esta ístico. Ecuaciones. Figura III.1: Dispositivo para experimentos e muestreo. Sirve para e las fórmulas e muestreo “funcionan”.

emostrar qu

Estu iaremos a continuación las fórmulas el muestreo esta ístico las cuales constituy en una excelente intro ucción a las fórmulas el muestreo e minerales. III.1. Formu las el muestreo aleatorio. Sea ML = { x1, x2, x3,... xN } MS = { a1, a2, a3,... an } (se supone que los ai correspon en a una elección al azar, sin reemplazar e los xi). m*= (a1 + a2 + a3 +... + an ) / n es un estima or insesga o e: m0= (x 1 + x2 + x3 +... + xN ) / N por otra parte hay que calcular la varianza e la mu estra, según la formula siguiente: s2 = [ (a1-m*)2 +(a2-m*)2 +(a3-m*)2 + ... +(anm*)2 ] / (n - 1) Se pue e emostrar que la varianza S2 = Var(m*) el error e mu estreo está a a por: S2 = s2 ( 1/n – 1/N ) (n4 M Figura V.3: El iseño el corta or ebe consi erar los choques to e rebote. Figura V.4. Un corta or 41

e la partícula. Efec

e flujo e minerales. Existen varios tipos.

Figura V.5: Muestrea or rotatorio. Figura V.6: Muestrea or

e ca ena y tacho.

Figura V.7: Muestrea or

e brazo. Pro uce, en general, malos resulta os.

42

Figura V.8: Muestrea or

e martillo. Pro uce, en general, malos resulta os.

Figura V.9. Muestrea or rotativo. 43

Figura V.10: Otro iseño e muestrea or rotativo. En este caso el flujo gira. Pro uce, en general, malos resulta os. Cuan o se corta el flujo e una cinta transporta ora, hay que consi erar las sit uaciones e las figuras V.11 y V.12. Figura V.11. Corte e muestras en cintas transporta oras. 44

Figura V.12. Corte

e un flujo e mineral. Vista

e arriba.

Para trayectorias circulares es conveniente utilizar un corta or rotatorio o Vez in, el cual pue e operar en forma continua o iscontinua. Según Pierre Gy, 1999, e s el único méto o equiprobable para este tipo e flujos (figura V.13) Figura V.13: Corta or Vezin. Vista e arriba. 45

V.2. Ejercicios y complementos. 1. El ivisor e aletas. Este ispositivo es incorrecto porque en la muestra se tiene más material e un la o el flujo (figura V.14). Figura V.14. El ivisor e aletas. 2. Explicar porqué es malo el sistema e muestr eo e minero uctos e la figura V.15. Figura V.15: Muestreo en un minero ucto. ¿Se pue e mejorar? 3. Entre los siguientes casos para un Vezin, con flujo circular (figura V.16), s olo uno e los iseños siguientes es correcto. ¿Cual? 46

Figura V.16. Diseños correcto e incorrectos. 4. El muestrea or siguiente también es incorrecto (figura V.17): Figura V.17: Una variación (figura V.18)? Figura V.18: Corta or 47

el ivisor

e muestras.

e aletas. 5. ¿Qué le parece el iseño siguiente

6. ¿Porqué es incorrecto el Vezin e figura V.19? Figura V.19: Vezin incorrecto. a = vista lateral. b = vista

e arriba.

7. División e un lote en os muestras potenciales A y B. ¿Cómo seleccionar la muestra potencial A o B? Aplicar al caso en que se tienen 5 muestras potenciales S1, S2 ,..., S5. Figura V.20. Muestra potencial ¿A o B?. 48

VI. Tipos especiales e muestreo minero. Estu iaremos a continuación algunos tipos especiales e muestreo, e gran utilización en minería. VI.1. Muestreo e canaletas . Las figuras siguientes muestran lo ifícil que es realizar un buen muestreo e c analetas o canales. Figura VI.1: Es ifícil perativa.

elimitar bien la muestra en una canaleta. No hay solución o

Figura VI.2: Canaleta bien muestrea a. 49

Otros factores que afectan la cali a e la muestra e canal serían los siguientes : a) Por lo general son manuales y el opera or corta (en forma consciente ó incons ciente) las partes más blan as e la pare ó partes que tienen una característica común (color), etc. b) En ciertas minas las leyes altas se encuentran en fracturas. Al construir las galerías, las pare es e éstas correspon en en forma natural a caras e fracturas. En la gran mayoría e las minas que utilizan canaletas, se ha compro ba o que existe un sesgo, al comparar las leyes e las canaletas con las leyes e los son ajes próximos. En algunas minas subterráneas se ha aban ona o el muestreo por canaletas. En otras se utiliza como alternativa perforaciones e poca profun i a . Figura VI.3: Perforaciones para reemplazar canaletas. VI.2. Muestreo en minas e calizas subterráneas. En ciertas minas e calizas subte rráneas se utilizaban méto os e muestreo no equiprobables tal como muestran las fig uras anexas: a) b) c) ) El capta or no es perpen icular al flujo. El capta or n o es ra ial. La re ucción e la muestra es manual. Las muestras se intro ucen en u n gran cilin ro plástico y se hace un nu o para ca a metro e perforación. Se compro bó que esta operación contaminaba las muestras. 50

Figura VI.4: El corte e muestra no es perpen icular al flujo. Figura VI.5: El capta or no es ra ial, luego no es equiprobable. Figura VI.6: Contaminación entre muestras e caliza. Las minas e caliza tienen, es e el punto e vista el muestreo, una ventaja: s us leyes son altas (sobre 65%). Una ley alta es favorable en lo que respecta al error e muestreo (tal como veremos más a elante). Una ley baja, por ejemplo e or o (en gr/ton, es ecir ppm.), es esfavorable. VI.3. Muestreos e carros mineros . Camiones. El muestreo e carros mineros y el muestreo e camiones mineros (fig ura VI.7) no es equiprobable ebi o a que obligatoriamente la muestra es superfi cial. 51

Figura VI.7: Es casi imposible tener una muestra equiprobable e un carro o camión minero. VI.4. Muestreo en puntos e extracción. Marinas. El muestreo en puntos , por ejemplo en una mina explota a por block-caving, es ifícil, ebi superficial a emás e no ser equiprobable ebi o a la gran varie a e punto (a veces existen bolones e gran iámetro). Lo mismo ocurre con s e marinas.

e extracción o a que es tamaños en el las muestra

Figura VI.8: Muestreo en un punto e extracción. Para mejorar la situación existen soluciones e alto costo. Una e ellas es constr uír un scoop muestra or el cual tiene incorpora o un chanca or. La otra, aplicable al caso e marinas, es utilizar una torre e muestreo (figura VI.9) y enviar el avance completo a la torre. Algunos autores consi eran que isponer e una buen a torre e muestreo constituye un seguro e vi a para la mina. 52

Figura VI.9: Una torre 53

e muestreo.

VI.5. El muestreo e hoyos e trona ura. En la figura VI.10 aparece un esquema e un hoyo e trona ura y uno e los méto os para tomar una muestra el “cono”: el tubo muestrea or (figura VI.11). Figura VI.10. Pozo e trona ura Figura VI.11: El tubo muestrea or. Figura VI.12: Forma e tomar la muestra e incrementos

el tubo.

En algunos casos el material acumula o en el cono pue e ser el or en e una ton ela a. Es imprescin ible entonces tomar una muestra e unos cuantos kilos. En la figura VI.13 se emuestra con un ejemplo hipotético que si se utiliza un capta or e etritus, su iseño ebe ser ra ial. Un corte en el cono proporciona un círculo e ra io 2r. Si suponemos, por ejemplo, que los gruesos están en un círculo concéntric o e ra io r y los finos en el exterior, entonces la proporción real e finos/grue sos es e 3:1. En este ejemplo, un capta or rectangular entrega una proporción e finos/gruesos e aproxima amente 1:1. 54

Figura VI.13: Comparación entre capta or ra ial y no ra ial. En la figura VI.14 se emuestra con un ejemplo hipotético que el tubo e muestreo no es equiprobable. Asumien o un ángulo e reposo e 45 gra os, se tiene una propo rción real e finos/gruesos e 7:1, mientras que el tubo entrega una proporción e a proxima amente 1:1. Figura VI.14: Esquema para probar que el tubo no es equiprobable. Se concluye entonces que uno e los mejores méto os prácticos ebería ser un capta or ra ial. Sin embargo esta solución es muy ifícil e implementar en minas gran es, e bi o a la gran canti a e material que cae en el capta or. Por esta razón, en min as gran es, se utiliza aún el méto o el tubo muestrea or. El tubo presenta otros pr oblemas ebi o a que, en algunas minas, en el invierno, no se pue e utilizar (se congela el cono) y existe muestreo e verano (realiza o con un tubo) iferente el muestreo el invierno (realiza o con una pala). Otro problema asocia o es qu e a veces se remueve, en forma empírica la pasa ura en la superficie el cono. 55

Ejemplos e capta ores. Hace unos años, el autor e este libro realizó una encuesta en minas chilenas, obtenien o los iseños, con sus imensiones correspon ientes. S e conocen como el “cajón”, el “mol e” y la “cuña”. Figura VI.15: El cajón capta or

e muestra. No es ra ial.

Figura VI.16: El mol e capta or e muestra. No es ra ial. 56

Figura VI.17: La cuña capta ora e muestra. Es ra ial. En ciertas minas se pone un a cuer a para retirar el ispositivo al llegar a la pasa ura. Resulta os para el “cajón”. El autor realizó experiencias, os, con el cajón, toman o en 40 hoyos la muestra total (la en un local cerra o para mayor confiabili a ) y la muestra rva que las granulometrías e la muestra y el lote no son Figura VI.18: curva granulométrica finos que el lote.

en una mina, en la zona e óxi cual se re ujo y preparó el capta or. Se obse iguales (figura VI.18).

e la muestra y el lote. La muestra tiene menos

Se comprobó a emás que la ley el lote era iferente e la ley e la muestra. Se com probó también que la ley e los finos es superior a la ley e los gruesos, tal como muestra la figura VI.19. 57

Figura VI.19: La ley esos.

e los finos es significativamente superior a la e los gru

VI.6. El capta or e “lo os”. s con agua y la muestra es e ena, pro ucien o una muestra que el muestreo e lo os pro Figura VI.20: El capta or

Se utiliza en algunas minas subterráneas. La perforación e “lo o” o barro. La recuperación, por lo general no es bu e u osa cali a . En varias minas se ha comproba o uce sesgos.

e lo os en minería subterránea.

VI.7. Conclusiones. Los ejemplos analiza os muestran que en minería es muy ifícil o btener una muestra equiprobable a un costo y con iciones operacionales razonable s. Cuan o por efinición la muestra no cumple con la con ición e equiprobabili a 58

(espécimen), se eben hacer estu ios acerca e la existencia e sesgos y el posibl e cambio el sistema. Mencionemos a emás que es fácil emostrar que un ispositivo e muestreo es incorrecto pero es muy ifícil emostrar que un cierto ispositivo e s correcto. 59

VI.8. Ejercicios y complementos. 1. A continuación se presenta como se muestrean los hoyos e trona ura en minas no rteamericanas (Cana á y USA). ¿Cuáles proporcionan especimenes? Figura VI.21. Mina 1. Figura VI.22: Mina 2. 60

Figura VI.23: Mina 3. Figura VI.24: Mina 4. Una variación el tubo. 61

Figura VI.25. Mina 5. 3. ¿Qué le parece el equipo e muestreo siguiente, correspon i ente a una mina española? Figura VI.26. Equipo e muestreo e pozos e tiro. 4. Para muestrear pozos e ma nera automática, existen inventos (ra iales) que se ponen en la plataforma e la p erfora ora. Comentarios. Figura VI.27. Muestrea or automático. A y B son puertas que se abren y cierran. 62

5. El conocimiento geológico el epósito es fun amental para etectar errores en el muestreo. Ejemplo: en una mina e óxi os e cobre es importante la ley e carbona to CaCO3. En una cierta mina se etectó que había valores anómalos que no correspon ían con los valores normales entro e una uni a geológica. Se comprobó que el problema estaba en la perforación e los pozos: la muestra se contaminaba con aceite (el c ual contiene carbono). 6. Comprobación que la ley e los finos es mayor que la e los gruesos. En una mina e óxi os e cobre se tomó como muestra el pozo completo so bre una altura e banco e 10m. Se utilizaron harneros y tamices para separar lo s iferentes tamaños (en una muestra el or en e 700K). La tabla 2 resume los res ulta os para el cobre total y el carbonato (100# = 0.149mm) Tabla 2 Granulometría CuT en % % 4.5 0.25 7.7 0.30 7.8 0.30 30.6 0.34 19.6 0.48 14.3 0.58 5.2 0.70 10. 3 3.24 100.0 0.71 Fracción 3/8’’ 1/4’’ 4# 14# 35# 100# 150# -150# Total CaCO3 % 0.31 0.24 0.24 0.24 0.33 0.36 0.46 2.40 0.51 Se observa entonces que es fun amental que una muestra respete la granulometría e l lote, luego ebe ser equiprobable. ¿Qué pasaría si usara una poruña con hoyos (figura IV.2)? 7. Muestreo e marinas. Se utiliza en minería subterránea. En la pila e la t rona ura esponja a se pone un cor ón (real o imaginario) y se toman incrementos en los puntos e la figura VI.28. ¿Está bien elimita a la muestra? Figura VI.28: Muestreo 63

e marinas. Méto o el cor ón.

VII. El Error Fun amental el Muestreo. Teoría e Pierre Gy. Antes e estu iar la teoría e Pierre Gy, veremos un experimento iseña o por Dominique Francois-Bongarco n: VII.1. Un experimento e muestreo. Este experimento se pue e realizar fácilment e y consiste en lo siguiente: En un recipiente se ponen 20 kilos e arroz, los c uales correspon en aproxima amente a 1,000,000 e granos. Se toman 10 granos, se pintan e color rojo, se intro ucen en el recipiente y se revuelve (observamos que lo anterior correspon e a un lote que po ría ser e oro con una ley “alta” e 10 g r/ton; a emás está “libera o”). Figura VII.1. Un experimento e muestreo. Luego, con una pala a ecua a se toma una muestra e unos 250 gramos. La experien cia se repite un cierto número e veces. Se observa en este experimento: 1. Que es complica o tomar muestras en el caso e leyes bajas (10 ppm.). Cuan o la ley es más alta, por ejemplo pintar 10,000 granos (caso e una ley e cobre e 1%), la s ituación es más favorable. 2. En ca a repetición resulta una ley (granos rojos/total e granos) iferente, a pesar e que la muestra es equiprobable. 3. Las iferenci as entre las leyes observa as y la ley real e 10 ppm. correspon en al error e muestreo, el cual se llama error fun amental el muestreo. Este error es inevita ble en las con iciones el enuncia o y no se pue e re ucir. 4. La me ia e las iferencias anteriores es nula, ebi o a que la muestra es equiprobable. 5. La va rianza e las iferencias se llama varianza el error fun amental el muestreo. 64

6. El experimento se pue e enriquecer al reemplazar los 10 granos rojos por 10 g ranos e metal (efecto e segregación). Se comprueba que la varianza el error fun amental aumenta. 7. Se comprueba a emás que, si hay segregación, una manera e re u cir la varianza el error fun amental es realizan o incrementos, es ecir tomar, por ejemplo, 5 submuestras e 50 gramos para constituir la muestra primaria. Es te experimento, muy instructivo, se pue e enriquecer aún más al utilizar una mezcla e porotos, lentejas y garbanzos... VII.2. La formula e Pierre Gy. La formula e Pierre Gy proporciona, en el caso e material quebra o, la varianza relativa el error fun amental el muestreo (la varianza relativa correspon e a la varianz a el error fun amental ivi i a por la ley me ia el lote eleva a al cua ra o, luego es una varianza sin imensión). La Teoría fue esarrolla a por el Dr. Pierre G y, Ingeniero Civil Químico francés (ver Anexo 2). Antes e presentar la fórmula e Gy, es necesario hacer una observación: se trata e una fórmula aproxima a cuya emostr ación es ifícil. En la figura VI.2 se pue e ver un extracto e la emostración, reali za a por el geomatemático francés Georges Matheron, ¡la cual ocupa 11 hojas!). Figura VII.2. Extracto

e la emostración e la fórmula

Esta fórmula ha mostra o ebili a es en el caso 65

e Gy, por Georges Matheron.

e minerales e baja ley (ppm.).

La fórmula e Gy. La varianza relativa el error fun amental e muestreo está or: S2 = K 3 ( 1 / MS – 1 / ML ) (VII.1)

a a p

(Observar la estrecha analogía entre esta fórmula y la el muestreo aleatorio simple ). Significa o e los términos e la fórmula e Gy: ML MS = masa el lote en gramo s = masa e la muestra en gramos = iámetro máximo e partículas en cm. (en la práctica se utiliza el valor 95 correspon iente al iámetro que verifica que el 95% e los iámetros son menores que 95) también se llama iámetro nominal. La constante K (e n estricto rigor no es una constante) se mi e en gr/cm3 y tiene la expresión sigui ente: K=cgfl En que: c g f l = factor e composición mineralógica (gr/cm3) = factor e istribución e tamaño (sin imensión) = factor e forma e las partículas (sin imen sión) = factor e liberación (0 < l < 1, sin imensión ) Estu iaremos ahora, por separa o, los factores c, g, f, l. El factor e composic ión mineralógica c. Tiene la expresión siguiente: c = ((1 – aL) / aL )( (1 – aL) g1 + aL g 2 ) valor aproxima amente igual a g1/aL si aL es pequeño. 66

aL g1 g2 = proporción en peso el componente crítico o con valor comercial (mena) = peso espe cífico el componente crítico (mena) = peso específico e la ganga El factor e istribución e tamaño g. Depen e e y e ’ . Se utiliza lo siguiente: 2 < / ’ < 4 1 < / ’ < 2 / ’ = 1 / ’ > 4 g = 0.50 g = 0.75 g = 1.00 g = 0.25

’ es el iámetro e las partículas mínimas, me i o en cms. (en la práctica se utiliza 05 ). El valor más utiliza o es g=0.25 que correspon e a una situación bastante general (el iámetro e la partícula máxima es superior a 4 veces el iámetro e la partícula míni a). El factor e forma e las partículas. Está efini o por: f = (volumen e la partíc ula) / 3 Si se supone que las partículas son aproxima amente esféricas, entonces f = 3.14159 / 6 = 0.52. Se recomien a entonces utilizar el factor: f = 0.5 El fact or e liberación l. Sean: l = tamaño máximo e partícula = tamaño e liberación el comp nente crítico 67

Figura VII.3: El iámetro e liberación correspon e al iámetro que hay que moler para que la mena se “libere” e la ganga. Se recomien a utilizar: l=1 l = ( l /

)b si l >

si l
>4) Al aplicar la fórmula se obtiene la varianza relativa: S2 = c g f l 3 ( 1 / MS – 1 / M L ) = 1.128*10-5 2S = 0.007 = 0.7% Con un 95% e confianza el error relativo es el 0.7% (bastante bueno) Observación: en la práctica se tiene que ML >> MS , luego, se pue e espreciar el termino 1/ ML y la fórmula e Gy que a: S2 = c g f l 3 / MS Se pue e fijar el error esea o 2S (luego S es conoci o) para encontrar el ta maño mínimo e la muestra: MS = c g f l 3 / S2 VII.3. El Factor e Liberación. Como i ntro ucción estu iemos un ejemplo: Se tiene una pila e 400 kilos, correspon iente a un hoyo e trona ura en una mina e oro. El iámetro nominal e las partículas es = 1 cm El peso específico el oro es 19 gr/cm3. El iámetro e liberación el oro e s e 10 micrones = 0.001 cm 95 = 1.0 f = 0.5 g = 0.25 c = g1/aL = 19,000,000 (s uponien o aL = 1gr/ton = 1*10-6) Sea: l = ( l / )0.5 = 0.0316. Formula errónea pu blica a por P. Gy, consi era a hoy ía como arbitraria en casos particulares. Si S = 0.1, se obtiene un valor MS igual a: MS = 7.5 tonela as! El problema, escubi erto por el Dr. D. F. Bongarcon, ra ica en el factor e liberación l, el cual se p ue e expresar más generalmente como: 69

l = ( l / )b La eterminación el coeficiente b requiere experimentos e muestreo y no pue e ser re uci a a la aplicación e una formula arbitraria tal como l=( l/ )0.5 la cual no es soporta a ni por la teoría ni por experimentos. En el caso el oro, se observa empíricamente que a menu o b ~ 1.5; en el caso el cobre, b ~ 0.5 . Si aplicamos ahora la fórmula e Gy, obtenemos: MS = 7.51 kilos Resulta o bastan te más razonable que el anterior. VII.4. Los Protocolos e Muestreo. Las operacion es que conciernen al tratamiento e las muestras (chanca o, mezcla, re ucción, etc .) eben que ar claramente estableci as, es e un peso inicial Q ( e varios kilo s) hasta la muestra e laboratorio q ( e algunos gramos). Ejemplo: testigos en u na mina e oro: Figura VII.4. Testigo (izquier a) méto os para cortarlo ( erecha) a) b) c)

) e) f)

cortar el testigo por la mita = 6 cm, peso = 8 kilos moler 100% me iante chan ca or primario a un tamaño e 1 cm re ucir la muestra a 4 kilos utilizan o riffle moler 100% me iante molino e ro illos a un tamaño e 0.2 cm seleccionar, por me i o e riffle 400 gramos e mineral pulverizar los 400 gramos a –150#. En la figura VII.5 se tiene un protocolo bastante riguroso. 70

Figura VII.5: Protocolo e muestreo para mineral e oro. Las iferentes operaciones se pue en llevar a un gráfico log-log (figura VII.6). L a operación no ebe pasar la línea e seguri a e Gy (ver ejercicio 3 siguiente). Figura VII.6: Gráfico log-log. 71

VII.5. Ejercicios y complementos. 1. Otro ejemplo para comprobar que la formula l=( l/ )0.5 es errónea es el siguien te: Sean fragmentos iguales (g=1) cúbicos e oro (f=1), g1=20. Se toma una muestra e 2000 gramos. Se esea una precisión S=0.01. Se pi e calcular el iámetro e libe ración. Solución: MSS2

l =

3cfg

2 Se obtiene l=10-12cm=0.0001Amstrong! Pero 1 átomo e oro = 1.5 Amstrong. 2. Bolon es en muestreo e canaletas. En las minas e oro en vetas se hacen canaletas y s e re uce la muestra por cuarteo manual. Cuan o el trabaja or encuentra un bolón, l o parte con un combo y luego proce e a ivi ir la muestra. Explicar esta operación basán ose en la formula e Gy. Figura VII.7: Re ucción el iámetro máximo e la muestra antes e cuartear. Siempre c onviene re ucir el iámetro nominal antes e ivi ir la muestra. 3. Probar que la formula e Gy se pue e escribir como: C 3−b S = MS 2 Al tomar logaritmos, esta ecuación se transforma en: log( S 2 ) = log(C ) + (3 − b) log( d ) − log( M S ) Sea x=log(S2), y=log(MS); entonces se tiene la ecuación: 72

x + y = log(C ) + (3 − b) log(d ) Que es la ecuación de una recta de
endiente –1 en coordenadas logarítmicas (ver figur a VII.5). Las formulas anteriores se
ueden
rogramar fácilmente en un com
utador. En el
asado se utilizaba una regla de calculo, diseñada
or P. Gy. Figura VII.7: Sam
ling slide rule, regla de calculo
ara muestreo. 4. La formula de Gy coincide con la formula del muestreo estadístico cuando se tiene material l iberado. Consideremos la figura III.1. Se tienen N
artículas esféricas de igual diáme tro y de igual densidad. Su
ongamos que K de estas
artículas son de color negro. La ley del material negro es a=K/N. Su
ongamos que se toma una muestra de n
artíc ulas del reci
iente (K,n