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PROBLEMA 1 2𝑥

𝑑𝑦 + 2𝑦 = 𝑥𝑦 3 𝑑𝑥

A la ecuación diferencial dada expresamos así: 𝑦

𝑑𝑦

1

+𝑥𝑦 = 𝑑𝑥

𝑦3 2

multiplicando por

−3 𝑑𝑦

1

1

𝑦 −3 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑦 −2 = 2 ; multiplicando por (1-n) es decir por -2 𝑑𝑦

2

−2𝑦 −3 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑦 −2 = −1

……. (1) 𝑑𝑧

𝑑𝑦

Sea z = 𝑦 −2 entonces: 𝑑𝑥 = −2𝑦 −3 𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥

−

2𝑧 𝑥

= −1

reemplazando en (1)

, ecuación diferencial lineal en z , y la solución general es: 2

2

𝑧 = 𝑒 − ∫ −𝑥𝑑𝑥 [∫ 𝑒 ∫ −𝑥𝑑𝑥 (−1)𝑑𝑥 + 𝑐] Efectuando 𝑧 = 𝑒 2𝑙𝑛𝑥 [− ∫ 2−2𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐]

∴ 𝑦 −2 = 𝑥 + 𝑐𝑥 2

PROBLEMA 2 El aire del interior de un pequeño cuarto con dimensiones de 12 por 8 por 8 metros contiene 3% de monóxido de carbono. Empezando en t=0, se sopla aire fresco que no tiene monóxido de carbono, hacia el interior del cuarto a razón de 100 m3/min. Si el aire del cuarto sale al exterior a través de una abertura a la misma velocidad, ¿cuánto tendrá el aire del interior del cuarto 0.01% de monóxido de carbono?

Solución: 𝑥 (𝑡) = 𝑚3 De monóxido de carbono en el instante 𝑡 𝑉 = 12𝑥8𝑥8 = 768𝑚3

100 m3/min

𝑑𝑥 𝑥 = −100 𝑑𝑡 768 𝑥(0) =

768m3 100 m3/min

3%

0

3 . 768 = 23,04 100

𝑑𝑥 100 =− 𝑑𝑡 𝑥 768 ⟹ ln|𝑥| = −

25𝑡 25 𝑡 + 𝐶 ⟹ 𝑥(𝑡) = 𝐶ℯ −192 192 25𝑡

𝑥(0) = 23,04 ⟹ 𝐶 = 23,04 ⟹ 𝑥(𝑡) = 23,04. ℯ −192 Calculamos el 0.01%: 𝑥(𝑡) = 768. 10−4. Así pues, el tiempo transcurrido será: 25𝑡

25𝑡

0, 0768 = 23, 04. ℯ −192 ⟹ ℯ −192 =

1 ⟹ 𝑡 = 43,805 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠. 300

PROBLEMA 3 Queremos inyectar un medicamento en un órgano humano. Supongamos que el volumen de circulación sanguínea del órgano es 150 cm 3 y que inyectan 1 cm3/min de agua destilada con 0.3 mg /cm3 de concentración de medicamentos. La sangre entra al órgano a la misma razón que sale. Si en el instante inicial no hay presencia de medicamento. ¿En qué momento la concentración del medicamento en el órgano será de 0.05 mg / cm3? Solución: Volumen A C1

V (t) Q (t)

Q}}

B

razón (V/t)

C (t) concentración (Msol/V)

Masa soluto

Se tiene que: 𝑐𝑚3

𝑐𝑚3

𝑚𝑔𝑟

𝑄(𝑡)

𝐴 = 1 𝑚𝑖𝑛,𝐵 = 1 𝑚𝑖𝑛, 𝐶1 = 0.3 𝑐𝑚3 , 𝐶(𝑡) = 𝑉(𝑡) , 𝑄(𝑡) = 0, 𝑸(𝒕) =? ? 𝑑𝑉 = (𝐴 − 𝐵) 𝑑𝑡 ∫ 𝑑𝑉 = ∫(𝐴 − 𝐵) 𝑑𝑡 𝑉(𝑡) = (𝐴 − 𝐵)𝑡 + 𝑐 Ya que la sangre entra a la misma razón que sale entonces para todo t, A=B 𝑉(𝑡) = 𝑐 Por dato: 𝑉(𝑡) = 150𝑐𝑚3 Observando la variación del soluto en el tiempo: 𝑑𝑄 = 𝐴 ∗ 𝐶1 − 𝐵 ∗ 𝐶(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑄 𝑄(𝑡) = 𝐴 ∗ 𝐶1 − 𝐵 ∗ 𝑑𝑡 𝑉(𝑡)

𝑑𝑄

Reemplazando:

𝑑𝑡

= 1 ∗ 0.3 − 1 ∗ 𝑑𝑄

Resultando en la EDOL:

𝑑𝑡

+

𝑄(𝑡) 150 𝑑𝑡

𝑄(𝑡) 150

= 0.3 𝑡

𝐹𝐼 = 𝑒 ∫150 = 𝑒 150

Por factor integrante:

𝑡 𝑑𝑄 𝑡 𝑄(𝑡) 𝑒 150 [ + ] = 0.3 ∗ 𝑒 150 𝑑𝑡 150 𝑡

𝑑 [𝑒 150 ∗ 𝑄(𝑡)] 𝑑𝑡

𝑡

= 0.3 ∗ 𝑒 150

𝑡

𝑡

𝑒 150 ∗ 𝑄(𝑡) = ∫ 0.3 ∗ 𝑒 150 𝑑𝑡 𝑡

𝑡

𝑒 150 ∗ 𝑄(𝑡) = 45𝑒 150 + 𝑐 −𝑡

𝑄(𝑡) = 45 + 𝑐𝑒 150 Por dato: −0

𝑄(0) = 0 = 45 + 𝑐𝑒 150 𝑐 = −45 Obteniendo la masa del soluto en el tiempo: −𝑡

𝑄(𝑡) = 45 − 45𝑒 150 Se obtiene así la concentración en el tiempo: −𝑡

𝑄(𝑡) 45 − 45𝑒 150 𝐶(𝑡) = = 𝑉(𝑡) 150 −𝑡

Para 𝐶(𝑡) = 0.05, despejamos el tiempo de 0.05 =

45−45𝑒 150 150

5 −𝑡 ln ( ) = 6 150 𝑡 = 27,348 𝑚𝑖𝑛 PROBLEMA 4 Suponga que en el Perú, el ritmo al que se propaga la noticia del aumento del precio de la gasolina es conjuntamente proporcional al número de personas que se enteran del aumento y al número de personas que no se han enterado todavía. Si actualmente el 5% de los habitantes sabe la noticia y una semana más tarde el 15% se han enterado de dicha noticia: a) FORMULE una ecuación diferencial para determinar la cantidad de personas que se enteran de la noticia del aumento del precio de la gasolina en cualquier tiempo.

b) RESUELVA la ecuación diferencial para encontrar la cantidad de personas que se enteran de la noticia en función del tiempo. c) ¿Qué porcentaje de personas se habrán enterado de la noticia 2, 3, 4 y 5 semanas más tarde? Solución Respuesta a: K: constante de proporcionalidad P (t): personas que saben la noticia X: Población del Perú X = 31151643 personas. (En junio 2015) X-P (t): personas que aún no saben la noticia 𝒅𝑷 𝒅𝒕

: Ritmo, razón, rata

Se plantea la ecuación diferencial: 𝑑𝑃 = 𝐾 ∗ 𝑃(𝑡) ∗ (𝑋 − 𝑃(𝑡)) 𝑑𝑡 Dándole forma según Bernoulli, donde n=2: 𝑑𝑃 − 𝐾 ∗ 𝑋 ∗ 𝑃(𝑡) = −𝐾 ∗ 𝑃(𝑡)2 𝑑𝑡 Haciendo el cambio de variable: 𝑈 = 𝑃1−𝑛 → 𝑃1−2 → 𝑈 = 𝑃−1 → 𝑃 = 𝑈 −1 Derivando con respecto a t: 𝑑𝑃 𝑑𝑈 = −𝑈 −2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Reemplazando en la EDOB: −𝑈 −2

𝑑𝑈 − 𝐾 ∗ 𝑋 ∗ 𝑈 −1 = −𝐾 ∗ 𝑈 −2 𝑑𝑡

Multiplicando todo por 𝑈 2 , tenemos una ecuación lineal: 𝑑𝑈 + 𝐾 ∗ 𝑋 ∗ 𝑈(𝑡) = 𝐾 𝑑𝑡 Por factor integrante:

𝐹𝐼 = 𝑒 ∫ 𝐾∗𝑋∗𝑑𝑡 = 𝑒 𝐾∗𝑋∗𝑡

𝑒 𝐾∗𝑋∗𝑡 [

𝑑𝑈 + 𝐾 ∗ 𝑋 ∗ 𝑈(𝑡)] = 𝐾 ∗ 𝑒 𝐾∗𝑋∗𝑡 𝑑𝑡

𝑑[𝑒 𝐾∗𝑋∗𝑡 ∗ 𝑈(𝑡)] = 𝐾 ∗ 𝑒 𝐾∗𝑋∗𝑡 𝑑𝑡 𝑒 𝐾∗𝑋∗𝑡 ∗ 𝑈(𝑡) = ∫ 𝐾 ∗ 𝑒 𝐾∗𝑋∗𝑡 𝑑𝑡 𝑒 𝐾∗𝑋∗𝑡 ∗ 𝑈(𝑡) = 𝑈(𝑡) = Pero por el cambio de variable:

1 𝐾∗𝑋∗𝑡 𝑒 +𝑐 𝑋

1 + 𝑐𝑒 −𝐾∗𝑋∗𝑡 𝑋

𝑃 = 𝑈 −1 𝑃(𝑡) =

1 1 −𝐾∗𝑋∗𝑡 𝑋 + 𝑐𝑒

Por condición inicial, dato: 𝑃(0) = 0.05𝑋 =

𝑐=

1 1 −𝐾∗𝑋∗0 𝑋 + 𝑐𝑒

19 𝑋

También, Por condición inicial, dato: 𝑃(1) = 0.15𝑋 =

𝑃(1) = 0.15𝑋 =

1 1 −𝐾∗𝑋∗1 𝑋 + 𝑐𝑒

1 1 19 −𝐾∗𝑋 𝑋+ 𝑋 ∗𝑒

Despejamos K: 0.15 + 0.15 ∗ 19 ∗ 𝑒 −𝐾∗𝑋 = 1 𝑒 −𝐾∗𝑋 =

17 57

−𝐾 ∗ 𝑋 = ln(

17 ) 57

𝐾=

−1 17 𝑙𝑛( ) 𝑋 57

Por tanto: 𝑐 = 6.099196758 ∗ 10−7 𝐾 = 3.883705022*10−8 Finalmente se tiene la solución para determinar la cantidad de personas que se enteraron de la noticia en cualquier tiempo, donde X es dato: 𝑃(𝑡) =

1 1 −7 −3.883705022∗10−8 ∗𝑋∗𝑡 𝑋 + 6.099196758 ∗ 10 ∗ 𝑒

PROBLEMA 5 Supongamos que decides matar al profesor de análisis de circuitos .Una vez perpetrado el hecho, se encuentra el cuerpo en el despacho del mismo que está a una temperatura de 20°C a las 6 de la tarde. La temperatura corporal de cadáver era de 35°C en dicho momento. Una hora más tarde la temperatura era de 33°C. ¿A qué hora se produjo el horripilante y brutal suceso? 

Solución: Queremos hallar la hora que se produjo el suceso a partir de la velocidad de enfriamiento del cadáver. La teoría de enfriamiento de Newton se da que el calor transferido es proporcional a la variación de temperatura, viene descrita por la ecuación: 𝑑𝑇 = −𝑘(𝑇 − 𝑇𝑎) 𝑑𝑡 Cuya solución general viene dada por: 𝑇 = 𝑇𝑚 + 𝑐𝑒 −𝑘𝑡

Determinaremos c, para esto se tiene: para t=0, T=T0, c=T0-Tm 𝑇 = 𝑇𝑚 + (𝑇˳ − 𝑇𝑚)𝑒 −𝑘𝑡

Datos:

T=33° C

Ta=20° C

T0=35° C

t=60 min

33 = 20 + (35 − 20)𝑒 −𝑘𝑡

13 = 15𝑒 −𝑘(60)

13 = 15𝑒 −𝑘𝑡

⇒

→

𝑘 ≈ 0.00238

Por lo tanto la solución toma la forma:

𝑇 = 20 + 15𝑒 −0.00238𝑡

Para determinar el instante de la muerte, tendremos en cuenta que la temperatura normal de una persona viva es de 37° C, y por tanto: 37 = 20 + 15𝑒 −0.00238𝑡

1.13 = 𝑒 −0.00238𝑡

→

→

17 = 15𝑒 −0.00238𝑡

𝑡 ≈ −51.35 ≈ 51 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

Por lo tanto la hora de la muerte fue: 18ℎ − 51𝑚𝑖𝑛 = 17.09ℎ → 5.09𝑝𝑚 PROBLEMA 6 Una población de 5000 habitantes, 10 de ellos tienen una enfermedad contagiosa .La velocidad a la que se propaga la enfermedad es proporcional al producto de personas contagiadas por las aun contagiadas, con una constante de proporcionalidad de 0,2. ¿Al cabo de que tiempo se contagian todas? P: Población

𝑑𝑝

.t: Tiempo

𝑑𝑡

= 𝐾𝑝

K: constante

∫

𝑑𝑝 𝑝

= ∫ 𝐾𝑑𝑡

𝑙𝑛𝑝 = 𝐾𝑡 + 𝐶 𝑒 𝑙𝑛𝑝 = 𝑒 𝐾𝑡 + 𝐶

𝑝 = 𝑒 𝐾𝑡 + 𝐶 problema



Esta va ser la fórmula que nos ayudara a resolver el

Reemplazando los datos 𝑝 = 5000 𝐾=2 𝑡= ?



En la formula 500 = 𝑒 2𝑡 + 10 4990 = 𝑒 2𝑡 𝑙𝑛4990 = 2𝑡 8.5 =𝑡 2 𝑡 = 4.25.

PROBLEMA 7 La sangre conduce un medicamento a un órgano a razón de 3𝑐𝑚3 /𝑠 y sale con la misma razón. El órgano tiene un volumen liquido de 125𝑐𝑚3 . Si la concentración de medicamento que entra al órgano es de 0.2𝑔/𝑐𝑚3 ¿Cuál es la concentración de medicamento en el órgano en el instante t, si inicialmente no había rastros de dicho medicamento? SOLUCION: 3𝑐𝑚3 /𝑠

3𝑐𝑚3 /𝑠

CE. =0.2 𝑔/𝑐𝑚3

CS. =? V=125𝑐𝑚

3

CE: concentración de entrada. CS: concentración de salida.

Entonces definimos a:

X (t)=cantidad de medicamento en el órgano en el tiempo t (en gramos)

𝑉(𝑡) = 𝑉𝑜 + 𝑉𝑒 − 𝑉𝑠 𝑉(𝑡) = 125 + 3𝑡 − 3𝑡 𝑉(𝑡) = 125 𝑐𝑚3 𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑡 .

Si revisamos la concentración de entrada.

Entonces: 𝐶(𝑡) =

𝑥(𝑡) 𝑉(𝑡)

𝐶(𝑡) =

𝑥 125

Ahora la razón de cambio de la cantidad de medicamento en el órgano con respecto al tiempo es:

Fe= flujo de entrada Fs.=flujo de salida Ce=concentración de entrada Cs=concentración de salida 𝑑𝑥 = 𝑅𝑒 − 𝑅𝑠 𝑑𝑡

𝑑𝑥 = 𝐹𝑒 ∗ 𝐶𝑒 − 𝐹𝑠 ∗ 𝐶𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑥 = 3 ∗ 0.2 − 3 ∗ 𝑑𝑡 125 𝑑𝑥 3 + 𝑥 = 0.6 … . . (1) 𝑑𝑡 125 Como vemos en la ecuación (1) entonces aplicamos la fórmula de la ecuación diferencial ordinaria lineal (EDOL). 𝑌 , (𝑥) + 𝑓(𝑥) ∗ 𝑌(𝑥) = 𝑔(𝑥) 𝑌(𝑥) = 𝑒 − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 [∫ 𝑔(𝑥)𝑒 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶] Como vemos en la ecuación (1) entonces vemos que: 𝑓(𝑥) =

3 125

𝑔(𝑥) = 0.6

Como estamos con respecto al tiempo entonces: 𝑢(𝑡) = 𝑒 ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 3

𝑢(𝑡) = 𝑒 125𝑡 𝑢(𝑡) ∗ 𝑥 = ∫ 𝑢(𝑡)𝑄(𝑡)𝑑𝑡 + 𝐶

Entonces reemplazando tenemos: 3

3

𝑒 125𝑡 ∗ 𝑥 = ∫ 0.6 ∗ 𝑒 125𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶 3 3 125 𝑒 125𝑡 ∗ 𝑥 = 0.6 ( ) 𝑒 125𝑡 + 𝐶 3 3

3

𝑒 125𝑡 ∗ 𝑥 = 25 𝑒 125𝑡 + 𝐶

… . . (2)

Como X(o)= 0 0 = 25 + 𝐶 −25 = 𝐶 Entonces reemplazando estos datos en la ecuación (2) queda −3

𝑥(𝑡) = 25 − 25𝑒 125𝑡 Pero como vimos antes en la concentración se sabe que: 𝐶(𝑡) =

𝑥(𝑡) 𝑉(𝑡) −3

25 − 25𝑒 125𝑡 𝐶(𝑡) = 125

𝐶(𝑡) =

−3 1 (1 − 𝑒 125𝑡 ) 5

PROBLEMA 8 Calcular. ∞

∫ 0

𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑡 𝑑𝑥 𝑥2 + 1

Solución ∞ 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑡

Sea 𝐹(𝑡) = ∫0

𝑥 2 +1

𝑑𝑥 , tomando Transformada de Laplace. ∞

∞

𝐿[𝐹(𝑡)] = ∫ 𝑒

−𝑠𝑡

(∫

0

∞

𝐿[𝐹(𝑡)] = ∫ 0

0

∞ 𝑥 (∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑡𝑑𝑡) 𝑑𝑥 𝑥2 + 1 0 ∞

𝐿[𝐹(𝑡)] = ∫

𝑥2

0 ∞

𝐿[𝐹(𝑡)] = ∫ 0

𝐿[𝐹(𝑡)] =

𝐿[𝐹(𝑡)] =

𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑡 𝑑𝑥) 𝑑𝑡 𝑥2 + 1

𝑥 𝐿{𝑠𝑒𝑛𝑥𝑡}𝑑𝑥 +1

𝑥 2 𝑑𝑥 (𝑥 2 + 1)(𝑥 2 + 𝑥 2 )

∞ 1 𝑠2 1 ∫ ( − 2 ) 𝑑𝑥 2 2 2 𝑠 −1 0 𝑥 +𝑠 𝑥 +1

1 1 𝑥 1 𝑠𝜋 𝜋 𝜋 1 [𝑠 ∗ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥] = 2 [ + ]= ( ) 2 𝑠 −1 𝑠 𝑠 −1 2 2 2 𝑠+1 0

Luego ∞

𝐿[𝐹(𝑡)] = 𝐿 [∫ 0

𝑠 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑡 𝜋 1 𝑑𝑥] = ( ) 2 𝑥 +1 2 𝑠+1

Tomando la transformada inversa. 𝜋 1 𝜋 𝐹(𝑡) = 𝐿−1 [ ( )] = 𝑒 −𝑡 2 𝑠+1 2 ∞

∴∫ 0

𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑡 𝜋 𝑑𝑥 = 𝑒 −𝑡 2 𝑥 +1 2

PROBLEMA 9 ∞

Demostrar que: ∫0 𝑒 −𝑠𝑡

1−𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑡2

𝜋

𝑠

𝑠2

𝑑𝑡 = 2 + 2 𝑙𝑛 (1+𝑠2 ) − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑠

Solución: 𝐿[1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡] =

𝐿[

1 𝑠 − 2 = 𝑓(𝑠), 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛, 𝑠 𝑠 +1

∞ ∞ 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡 1 𝑢 1 1 𝑠2 ]=∫ ( − 2 ) 𝑑𝑢 = [𝑙𝑛𝑢 − 𝑙𝑛(𝑢2 + 1)] = 0 − 𝑙𝑛 ( ) 𝑡 𝑢 𝑢 +1 2 2 1 + 𝑠2 0 0

𝐿[

1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡 1 𝑠2 ] = 𝑙𝑛 ( ) = 𝑔(𝑠) 𝑡 2 1 + 𝑠2

1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡 1 ∞ 𝑢2 + 1 𝐿[ ] = ∫ 𝑙𝑛 ( 2 ) 𝑑𝑢 , 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑡2 2 0 𝑢 ∞

1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡 1 𝑢2 + 1 𝐿[ ] = [𝑢 ∗ 𝑙𝑛 ( ) + 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑢] 𝑡2 2 𝑢2 0 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝜋 𝑠 𝑠2 𝐿[ ] = + 𝑙𝑛 ( ) − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑠 𝑡2 2 2 1 + 𝑠2

𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑝𝑎𝑐𝑒

∞

∫ 𝑒 −𝑠𝑡 0

1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝜋 𝑠 𝑠2 𝑑𝑡 = + 𝑙𝑛 ( ) − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑠 𝑡2 2 2 1 + 𝑠2

PROBLEMA 10 Un gran depósito está lleno con 500 gal de agua pura. Una salmuera que contiene 2 lb de sal por galón se bombea al tanque a razón de 5 gl/min; la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia afuera con la misma rapidez. Halle el número de libras de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera.

SOLUCION: 𝑑𝑦 = 𝑅1 − 𝑅2 𝑑𝑡

5 gal/min 500gal 𝐻2 𝑂 𝑝𝑢𝑟𝑎

21 lib/gal

𝑦(0) = 0

𝑅1 = 5 𝑔𝑎𝑙 / min∗ 2

𝑅2 = 5𝑔𝑎𝑙/ min∗

5 gal/min

𝑙𝑏 = 10𝑙𝑏/𝑚𝑖𝑛 𝑔𝑎𝑙

𝑦 𝑙𝑏 𝑦 = 𝑙𝑏/𝑚𝑖𝑛 50 𝑔𝑎𝑙 100

Entonces reemplazamos R1 y R2 en la ecuación. 𝑑𝑦 𝑦 = 10 − 𝑑𝑡 100 𝑑𝑦 1000 − 𝑦 = 𝑑𝑡 100 Despejamos y: 100 𝑑𝑦 = 𝑑𝑡 1000 − 𝑦 100 𝑑𝑦 = −𝑑𝑡 𝑦 − 1000 Integramos a ambas partes: 100 ∫

1 𝑑𝑦 = ∫ −𝑑𝑡 𝑦 − 1000

10𝑙𝑛|𝑦 − 1000| = −𝑡 + 𝑒1 𝑙𝑛|𝑦 − 1000| = Entonces elevamos todo con e:

−𝑡 +𝐶 100

−𝑡

𝑒 𝑙𝑛|𝑦−1000| = 𝑒 100 + 𝐶 −𝑡

𝑦 − 1000 = 𝑒 100 𝑡

𝑦 = 𝐶𝑒 100 + 1000 Vemos al inicio que: Cuando y (0) =0 Entonces −0

0 = 𝐶𝑒 100 + 1000 0 = 𝐶(1) + 1000 𝐶 = −1000 −𝑡

𝑦 = −1000𝑒 100 + 1000

−𝑡

𝑦 = 1000 − 1000𝑒 100