• Author / Uploaded
• Maite Zurita

Citation preview

´ CALCULO VECTORIAL - 2019 I ´ ´ SOLUCION DE LA PRACTICA N◦ 5 Facultad de Ingenier´ıa Universidad de Piura Tomada el 03 de JUNIO, 7:10 am Duraci´on 1:30 horas

1.

PREGUNTA N◦ 1

El tanque de hidr´ogeno l´ıquido en el transbordador espacial tiene la forma de un cilindro circular recto con una tapa semielipsoidal en cada extremo. El radio de la parte cil´ındrica del tanque es de 4.2 m. Determine el volumen del tanque que se muestra en la figura 1. (5.0 ptos.)

Figura 1

Soluci´on de la parte (a): El semielipsoide tiene semiejes en x y en y de longitud 4.2 mientras que en la direcci´on z el semieje tiene una longitud de 5.15, por consiguiente, la ecuaci´on del elipsoide que representa parte del tanque de hidr´ogeno es: x2 y2 z2 + + = 1. 4.22 4.22 5.152 La parte superior del tanque es la gr´afica de la funci´on f (x, y) = volumen del semielipsoide est´a dado por la integral doble: " 5.15 p 2 V se = 4.2 − x2 − y2 dA, 4.2 D

1 de 7

5.15 4.2

p 4.22 − x2 − y2 . El

donde D es un c´ırculo de radio 4.2. Si pasamos a coordenadas polares, la integral doble se convierte en " " 5.15 √ 2 5.15 p 2 2 2 4.2 − x − y dA = 4.2 − r2 r dA∗ . V se = 4.2 4.2 D∗

D

Calculamos la integral doble con las integrales iteradas: " Z Z √ 5.15 √ 2 1 5.15 2π 4.2 ∗ 2 V se = −2r 4.22 − r2 dr dθ, 4.2 − r r dA = − 4.2 2 4.2 0 0 D∗ # Z  4.2 1 5.15 2π 2  2 1 5.15 2   2 3/2  2 3/2 =− 4.2 − r dθ = − − 4.2 (2π), 2 4.2 0 3 2 4.2 3 0 2π V se = (4.2)2 (5.15). 3 El volumen del tanque de combustible, VT , ser´a la suma del volumen del cilindro Vc , m´as el doble del volumen del semielipsoide V se : VT = Vc + 2V se , = π(4.2)2 (19.3) + 2

2π (4.2)2 (5.15), 3!

4 = 4.22 π 19.3 + 5.15 , 3 = 461.58π = 1450.10 m3

2.

PREGUNTA N◦ 2

Calcular el volumen del s´olido E acotado por la superficie S 1 definida por la ecuaci´on x2 + y2 = 2x, debajo de la superficie S 2 dada por la ecuaci´on z = x2 + y2 y encima de la superficie S 3 definida por la ecuaci´on x + z = 0. Haga un dibujo mostrando la intersecci´on del s´olido con un plano adecuado que de idea de la forma del s´olido. Haga un dibujo de la regi´on de integraci´on. (5.0 ptos.)

Soluci´on de la parte (a): La superficie S 2 es la gr´afica de la funci´on u2 (x, y) = x2 + y2 considerando como dominio el c´ırculo D de radio uno y centro en (1, 0) mientras que la superficie S 3 es la gr´afica de la funci´on u1 (x, y) = x con el mismo dominio. La integral doble que permite calcular el volumen solicitado es: "  "  2 2 V= x + y − (−x) dA = x2 + y2 + x dA, D

D

2 de 7

Figura 2: Regi´on de integraci´on D.

Figura 3: Intersecci´on del s´olido con el plano xz.

La figura 2 muestra la regi´on de integraci´on D. La figura 3 muestra la intersecci´on del s´olido con el plano coordenado xz. Para calcular la integral doble la convertimos en una integral doble en coordenadas polares: " "   2 2 V= x + y + x dA = r2 + r cos θ r dA∗ , D

D∗

donde D∗ es el regi´on mostrada en la figura 4 #2 cos θ Z π Z 2 cos θ Z π 4 r3 r 3 2 + cos θ dθ, = r + r cos θ dr dθ = 3 −π 0 −π 4 0 Z π Z π 8 20 4 4 = 4 cos θ + cos θ dθ = cos4 θ dθ, 3 3 −π −π !2 Z π Z π 1 + cos 2θ 20 5 1 + 2 cos 2θ + cos2 2θ dθ, = dθ = 3 −π 2 3 −π Z π 5 1 + cos 4θ = 1 + 2 cos 2θ + dθ, 3 −π 2 " #π 5 3 1 = θ + sen 2θ + sen 4θ 5π. 3 2 8 −π 3 de 7

Figura 4: Regi´on de integraci´on D∗ en el plano rθ.

PREGUNTA N◦ 3

3.

Una l´amina ocupa la regi´on dentro del c´ırculo x2 + y2 = 2y pero fuera del c´ırculo x2 + y2 = 1. La masa est´a distribuida de modo que la densidad en un punto de la l´amina es inversamente proporcional a la distancia al origen de coordenadas. Se pide: (a) Construir una suma de Riemann que aproxime la masa de la l´amina con una partici´on de 2×3 divisiones etiquetada en el centro de cada divisi´on considerando todas las divisiones que se intersecten con la l´amina. (Si alguna etiqueta cae fuera de la l´amina considerar que la densidad es cero en dicho punto). Explique con claridad las hip´otesis que hace al construir la aproximaci´on. (b) Explique por qu´e al construir la suma de Riemann en una partici´on con m´as divisiones y m´as fina mejora la aproximaci´on a la masa de la l´amina. (c) Plantee la integral doble que permite calcular la masa de la l´amina y calcule dicha integral. ((a) 4.0 ptos. (b) 2.0 ptos. (c) 4.0 ptos.)

3.1.

Soluci´on de la parte (a):

La densidad del material de la l´amina est´a dada por la funci´on: ρ(x, y) = p

k x2 + y2

4 de 7

.

Sabemos que si la densidad es constante (la masa est´a distribuida de manera uniforme), la masa se calcula seg´un la expresi´on: m = ρA donde A es el a´ rea de la l´amina. La l´amina ocupa la regi´on fuera de la circunferencia de radio uno y centro en el origen y dentro de la circunferencia de √ radio uno y centro en (0, 1). Las √ circunferencias se cortan en los puntos (− 3/2, 1/2) y ( 3/2, 1/2). Para aproximar la masa de la l´amina dada debemos reducir nuestro problema al caso descrito arriba. Para esto construimos una partici´on etiquetada de la regi´on que ocupa la placa. Consideramos ahora una de las divisiones de la partici´on de a´ rea ∆Ai y con etiqueta (xi∗ , y∗i ). Calculamos la densidad en dicha etiqueta: ρ(xi∗ , y∗i ) = q

k xi∗2 + y∗2 i

y asumimos que dicho valor de la densidad es constante en toda la divisi´on de a´ rea ∆Ai , por lo tanto la masa de dicha porci´on de l´amina es: ∆mi ≈ q

k xi∗2

+

∆Ai . y∗2 i

Si repetimos este razonamiento en cada elemento de la partici´on que se intersecte con la regi´on que ocupa la placa (o que est´e totalmente contenido en la placa) tendremos una suma de Riemann que nos da una aproximaci´on a la masa de la placa: m≈

n X

∆mi =

i=1

n X

k q

i=1

xi∗2 + y∗2 i

∆Ai .

Las etiquetas de cada divisi´on se muestran en la siguiente tabla: xi∗

y∗i

-1/2 1/2 -1/2 1/2 -1/2 1/2

3/4 3/4 5/4 5/4 7/4 7/4

Para determinar si el punto (1/2, 3/4) se encuentra dentro de la placa determinamos el valor de y del punto de la circunferencia x2 + y2 = 1 correspondiente a x = 1/2: !2 1 + y2 = 1, 2 3 y2 = , 4√ 3 y=± = 0.8660. 2 5 de 7

Puesto que la coordenada y∗i = 3/4 de la etiqueta es menor que 0.866, la etiqueta est´a fuera de la l´amina y no consideramos en nuestra suma de Riemann los dos primeros puntos por que las etiquetas caen fuera de la l´amina. Para determinar si el punto (1/2, 7/4) se encuentra dentro de la placa determinamos el valor de y del punto de la circunferencia x2 + y2 = 2y correspondiente a x = 1/2: 1 2

!2 + y2 = 2y,

y2 − 2y +

1 = 0, 4

√ 3 y=1+ = 1.8660. 2

Puesto que la coordenada y∗i = 7/4 = 1.75 de la etiqueta es menor que 1.866, la etiqueta est´a dentro de la l´amina y consideramos en nuestra suma de Riemann los dos u´ ltimos puntos por que las etiquetas caen dentro de la l´amina. Finalmente nos quedamos con los puntos indicados en la tabla xi∗

y∗i

-1/2

5/4

1/2

5/4

-1/2

7/4

1/2

7/4

ρ(xi∗ , y∗i )∆Ai 1 25 2 + 4 16 √ 1k 25 21 4 + 16 √ 1k 49 21 4 + 16 √ 1k 49 21 +

√ 1k

4

4 X

ρ(xi∗ , y∗i )∆Ai =

4k



√1 29

16

+

√1 53



i=1

3.2.

Soluci´on de la parte (b):

El error al calcular la masa de la l´amina con las sumas de Riemann se debe a dos motivos: Al sumar las divisiones que se intersectan con la regi´on que ocupa la l´amina (totalmente contenidas en la l´amina) estamos considerando regiones que no pertenecen a la l´amina y estamos aproximando la masa por exceso (estamos dejando de calcular la masa de regiones que si pertenecen a la l´amina y estamos aproximando por defecto). Hemos considerado la densidad en la etiqueta como constante en toda la divisi´on y no es as´ı. Al construir las sumas de Riemann en particiones con m´as divisiones y m´as finas las divisiones que se intersectan con la l´amina (totalmente contenidas en la l´amina) cubren cada vez mejor la regi´on ocupada por la l´amina disminuyendo el primer error. Por otro lado, al tener m´as divisiones, e´ stas son m´as peque˜nas por lo que asumir que la densidad es constante en una regi´on m´as peque˜na tiene menos error (siempre que la densidad sea una funci´on continua). 6 de 7

3.3.

Soluci´on de la parte (c):

La masa de la l´amina est´a dada exactamente por el l´ımite de las sumas de Riemann construidas en particiones m´as numerosas, n → ∞ y cada vez m´as finas δ → 0: m = l´ım

n→∞

n X

q i=1

"

k xi∗2

+

∆Ai = y∗2 i

k p

D

x2 + y2

dA

donde D es la regi´on que ocupa la l´amina y se muestra en la figura 5a. Transformamos la integral doble en una integral doble en coordenadas polares: " " k k dA = r dA∗ m= p 2 2 r x +y ∗ D

D

donde D∗ es la regi´on de la figura 4. Planteamos la integrales iteradas. Z 2π/3 Z 2 sen θ Z 2π/3 m= k dr dθ = k (2 sen θ − 1) dθ, π/6 1 π/6 √ √ 2 3 2π 2 3 π 2π/3 = −2k cos θ − θ]π/6 = − + + , 2 3 2 6 √ π m= 3− . 2

(a) Regi´on que ocupa la l´amina.

(b) Regi´on de integraci´on en el plano rθ.

Figura 5: Regiones de integraci´on para el c´alculo de la masa de la l´amina.

7 de 7