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• Danny Jorge Huicy Fernandez

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1 Enunciado Se tiene un conductor formado por dos esferas de radios R1 y R2 (R1 < R2), muy alejadas entre sí (de forma que la influencia de una sobre la otra es despreciable), pero unidas por un cable conductor ideal. El conductor almacena una carga Q. 1. ¿Cuánta carga se va a cada esfera? ¿En cuál de las dos es mayor la carga almacenada? 2. ¿En cual de las dos esferas es mayor la densidad de carga? ¿Y el campo eléctrico en la superficie?

2 Solución 2.1 Carga en cada esfera 2.1.1 Cálculo directo Al estar muy alejadas, las dos esferas se comportan como conductores independientes, salvo por el hecho de que están conectadas por un hilo. Este hilo, al ser ideal, no añade capacidad ni carga al sistema, pero garantiza que ambas esferas estén al mismo potencial, ya que las cargas pueden moverse de una esfera a la otra. El potencial en cada una de las esferas será, en función de su carga

Si las dos esferas están al mismo potencial nos queda

lo que nos dice que la carga será mayor en la esfera más grande, en una cantidad proporcional a su radio (doble radio, doble carga). Como además la carga total es Q, tenemos el sistema de ecuaciones

con solución

El potencial en el conjunto es

2.1.2 Empleando un circuito equivalente La carga en cada esfera también es fácil de calcular empleando un circuito equivalente. Tal como se demuestra en otro problema, cada esfera forma con el infinito un condensador de capacidad

La esfera de mayor radio tiene mayor capacidad, proporcional a él. Al unirlos con el hilo, estos dos condensadores se conectan en paralelo (ya que dos de las placas están unidas por el hilo y las otras dos están también al mismo potencial, el de tierra). La capacidad de la asociación será

y, por tanto, el potencial de las placas cargadas (que son las esferas) es

Una vez que tenemos el potencial, podemos hallar la carga en cada una de las esferas, que corresponde an a las placas positivas de los condensadores.

2.2 Densidad de carga y campo

Tal como se ve en el caso de una sola esfera, la densidad de carga en la superficie de una esfera cuando no hay más cargas o conductores influyendo sobre ella, es uniforme e igual a

lo cual quiere decir que las densidades de carga en las dos esferas son, teniendo en cuenta que están al mismo potencial.

esto es, que cuanto más pequeña sea la esfera, mayor es su densidad de carga (aunque la carga total sea menor). En términos de la carga total

En cuanto al campo en la superficie, puesto que es proporcional a la carga superficial, también será más intenso en la esfera de menor radio

Esta es una aplicación de un principio más general, conocido como efecto punta: el campo eléctrico en la superficie de un conductor es más intenso donde el radio de curvatura es más pequeño. Este principio se encuentra, por ejemplo, en la base del funcionamiento de los pararrayos.

CAMPOS ELECTROSTÁTICOS 4.1 Dos esferas conductoras de radios 0.10 cm y 0.15 cm tienen cargas eléctricas de 10-7 C y 2 x 10-7 C, respectivamente. Se ponen en contacto y luego se separan. Calcular la carga con que queda cada esfera. La carga total es 3 x 10-7 C; al poner las esferas en contacto, esta carga total se reparte entre ellas de tal manera que ambas esferas queden al mismo potencial. Llamando V a este potencial final, y a q y Q a las cargas con que finalmente quedan las esferas de radios menor y mayor, respectivamente. Podemos decir que y también

igualando estas dos expresiones:

, es decir 0.15 q = 0.10 Q además: q + Q = 3 x 10-7 C En los últimos dos renglones hay un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas; la solución de este sistema de ecuaciones es: q = 1.2 x 10-7 C Q = 1.8 x 10-7 C 4.2 Un cilindro hueco largo tiene radio interior a y radio exterior b, como muestra la figura. Este cilindro tiene una densidad de carga por unidad de volumen dada por , donde k es una constante y r es la distancia al eje. Hallar el campo eléctrico y el potencial en las tres regiones: a) r < a b) a < r < b c) r > b.

Tomamos como superficie gaussiana un cilindro concéntrico de radio r y longitud L. Como el

es radial, entonces el flujo de a través de la superficie gaussiana es y la ley de Gauss dice:

, de donde

-1De otro lado

, es decir:

-2a) Para r < a la carga encerrada por la superficie gaussiana es cero y - 1 - da E = 0. Este resultado se introduce en - 2 - y obtenemos V = constante.

b) Para a < r < b la carga encerrada por la superficie gaussiana es ecuación - 1 - da

y la

. Este resultado se introduce en - 2 - así:

, de donde:

c) Para r > b la carga encerrada es . Este resultado se introduce en - 2 - así:

, de donde:

y la ecuación - 1 - da

4.3 Una esfera metálica hueca tiene radio interior a y radio exterior b, como muestra la figura. Hallar el campo eléctrico y el potencial en las regiones I, II y III sabiendo que hay una carga q en el centro.

En la región II, por ser metálica, el campo electrostático es cero, y en consecuencia el potencial es constante: - 1 - EII = 0 VII = constante Para hallar EI tomamos como superficie gaussiana una esfera concéntrica de radio r < a. Como se espera que tenga dirección radial, entonces el flujo de gaussiana es

a través de la superficie

y la ley de Gauss dice que

, de donde:

-2Sabemos que

, es decir

, de donde

-3Podemos fácilmente hallar la carga eléctrica que se acumula en la superficie interior del metal, la que tiene radio a. Imaginamos el volumen comprendido entre dos esferas, una de radio r < a y otra de radio k tal que a < k < b, como muestran los trazos punteados en la figura.

Calcularemos el flujo del campo eléctrico a través de la superficie de este volumen mencionado; utilizando -1- y -2- vemos que el flujo es dice que

y utilizando -2- vemos que la carga acumulada es y de signo contrario se acumula en la otra pared:

y la ley de Gauss

. Una carga igual

- 4 - En la pared exterior del metal (la que tiene radio b) se acumula una carga q. Finalmente utilizaremos la ley de Gauss para hallar EIII. Imaginemos el volumen comprendido entre dos esferas, una de radio r > b y otra de radio k tal que a < k < b, como muestran los trazos punteados en la figura.

Calcularemos el flujo del campo eléctrico a través de la superficie de este volumen mencionado; utilizando -1- vemos que el flujo es

y la ley de Gauss dice:

y - 4 - esto permite entonces concluir que

-5-

; e integrando como en - 3 -:

-6- 2 - 3 - 4 - 5 – 6 - es lo que se obtiene si no hubiera metal. 4.4 Considere una esfera de material dieléctrico con susceptibilidad eléctrica . Esta esfera es de radio b y en el centro hay una carga puntual q. Encuentre: a) el campo eléctrico para r > b; b) el campo eléctrico para r > b; c) la carga de polarización en la superficie de la esfera.

a)

r>b

b) c) Para

la polarización es

evaluar en r = b:

Vemos entonces que anterior.

, lo que debe compararse con el enunciado - 4 - de la página

Apliquemos nuestro resultado , es decir

para el vidrio, por ejemplo; para el vidrio se tiene

, entonces

.

4.5 Se coloca una lámina de cuarzo, cuya constante dieléctrica es en un campo eléctrico -1 de 20kV-m . El vector del campo eléctrico forma un ángulo de 45º con las caras superior e inferior y es paralelo a las caras frontal y posterior. Calcular la densidad de carga en cada una de las caras.

Sabemos que

entonces

, de donde

. De otro lado,

, así:

En las caras frontal y posterior se tiene

perpendicular a

En todas las otras caras

, entonces

hace 45º con

, entonces

.

. 4.6 Calcule la capacitancia de un condensador formado por dos cascarones metálicos esféricos concéntricos, de radios a y b: Suponemos que el cascaron pequeño tiene

carga q y el grande carga

. Deseamos saber la diferencia de voltaje

ya que dividiendo q sobre

se encuentra la capacitancia C.

,

Para encontrar se halla primero E y luego, por integración, se encuentra . Para encontrar el valor E(r) imaginamos una superficie gaussiana esférica, concéntrica y de radio r tal que a < r < b, y que aparece con trazos punteados en la figura de arriba. El flujo de E a través de la superficie gaussiana es sea que la ley de Gauss dice que

, y la carga encerrada es q, o

, de donde

-1Ahora,

; integrando se tiene que:

y con - 1 - :

4.7 Considere un condensador formado por dos cascarones cilíndricos, rectos, coaxiales e infinitos, y de radios a y b, como muestra la figura. Considere un trozo de longitud L y halle su capacitancia C.

Suponemos que el cascaron menor se carga con un carga el cascaron grande con ya que

por unidad de longitud, y

. Deseamos saber la diferencia de potencial

,

es la capacitancia.

Para encontrar se halla primero E y luego, integrando, se encuentra . Para encontrar E imaginamos como superficie gaussiana otra superficie cilíndrica coaxial, de longitud L y radio r, tal que a < r < b, y que aparece con trazo punteado en esta figura.

El flujo de a través de la superficie gaussiana es que la ley de Gauss dice que

, de donde

-1Ahora,

; integrando

y con - 1 - :

y la carga encerrada es

, o sea

Nota 1. Los dos últimos problemas se resuelven siguiendo la misma rutina: SUPONER que las piezas conductoras tienen carga. Encontrar E usando la ley de Gauss. Integrar E para encontrar Dividir carga sobre

.

para encontrar la capacitancia.

Nota 2. La rutina mencionada se basa en SUPONER que las piezas conductoras están cargadas, pero la respuesta final, la capacitancia, siempre resuelta independiente de la cantidad de carga que se supone en el literal a) de la Nota 1. La capacitancia es una propiedad que depende de la forma, tamaño y orientación relativa de las piezas conductoras, y también depende del dieléctrico utilizado; pero C no depende de si el condensador está cargado o no, así como el volumen de una botella no depende de si está llena o vacía. 4.8 Considere un condensador de placas paralelas, cada una con un área de 0.2 m 2 y separadas una distancia 1cm. A este condensador se le aplica una diferencia de potencial V = 3000 voltios hasta que el condensador se carga, después de lo cual se desconecta de la batería y el condensador queda aislado. Luego se llena el condensador con un material dieléctrico de constante desconocida , y se observa que el potencial disminuye a V’ = 1000 voltios. Calcule: a) la capacitancia C antes de rellenar el condensador con un material dieléctrico; b) la carga libre en cada placa, antes y después de rellenar; c) la capacitancia Cd después; d) la energía almacenada en el condensador, antes y después; e) la constante .

a)

b) carga libre . Como el condensador está desconectado de la pila durante el proceso de rellenar con material dieléctrico, esta q permanece constante.

c)

d) energía antes =

energía después =

¿a qué se debe el cambio de energía

?

e)

Dividiendo un renglón por el otro se obtiene a) y c) se obtiene que

. Ahora, usando las respuestas de los literales

, entonces

4.9 Un condensador de placas planas paralelas de área A se llena con tres materiales dieléctricos de constantes capacitancia.

y de espesores d1, d2 y d3, como muestra la figura. Hallar la

Para hallar la capacitancia C suponemos que las placas se cargan con densidades de carga . Debemos entonces calcular los valores del campo eléctrico E1, E2 y E3 en los tres dieléctricos, y para cada uno de ellos usamos como superficie gaussiana un cilindro tal que una de las bases está dentro de la placa metálica y la otra base está en el respectivo dieléctrico. En la figura mostramos estos tres cilindros; el de la izquierda sirve para calcular E1, el del centro sirve para calcular E2 y el de la derecha para E3.

Calculemos por ejemplo E2: el flujo del desplazamiento es

, entonces la ley de Gauss dice que

es decir

, de donde obtenemos

. De la misma manera se calculan E1 y E3, para obtener

:

-1-

y la carga libre encerrada es

;

;

.

,

y

La caída de potencial en el material k1 es

; así mismo

y

, y la diferencia de potencial entrelas dos placas conductoras es

:

-2-

Finalmente,

:

-24.10 Para el condensador del problema anterior: a) Calcule la energía total contenida en él. b) Calcule la energía del campo eléctrico en cada uno de los tres materiales dieléctricos. c) Sume las tres contribuciones de la respuesta b) y compare con la respuesta a). a)

b) En el medio k1 la densidad volumétrica de energía es

; como este material k1 tiene

volumen Ad1 entonces la energía del campo eléctrico en el medio k1 es

; ahora usando - 1 - de la página anterior se tiene:

. Así mismo

y

.

:

c) Finalmente sumamos estas tres contribuciones:

que coincide con la respuesta del literal a). Hemos verificado, pues, que la "energía contenida en un condensador" es la energía del campo eléctrico. 4.11 Se carga a 1000 voltios un condensador de 20 y se desconecta del generador de voltaje. Luego, los terminales de este condensador se conectan a los de otro condensador de que inicialmente se encontraba descargado. Calcular a) la carga eléctrica inicial del sistema, b) la caída de potencial en cada condensador al final del proceso c) las energías inicial y final. Usaremos la siguiente notación: q: carga del sistema, , ,V= 1000 voltios, Vf = voltaje al final del proceso; E, Ef: las energías al comienzo y al final del proceso. a)

: constante

b) Como los dos condensadores están conectados en paralelo, la capacitancia total del sistema es

:

Al final del proceso los dos condensadores quedan a una distancia de potencial dada por

:

V

que es considerablemente menor que el voltaje inicial V que era 1000 voltios.

c)

En el proceso de conectar un condensador cargado a otro descargado se produce una corriente eléctrica, y esta corriente produce radiación y/o calor en los alambres. La diferencia es la energía de radiación y/o la energía calórica. Pérdidas de estas también ocurren en el proceso mencionado en el problema 4.1.

4.12 Considere el circuito de condensadores que aparecen en la figura y suponga que un voltaje V se aplica entre los puntos a y b. Calcule el voltaje, la carga y la energía en cada condensador.

El circuito es equivalente a:

-1que a su vez equivale a

-2Cuando un circuito se compone de condensadores en serie (como en - 1 -), la cantidad de carga en uno cualquiera de los condensadores es igual a la cantidad de carga total del circuito. Con - 1 - vemos que la carga contenida en uno de los condensadores en serie es , y con - 2 - vemos que la carga total en el circuito es podemos decir entonces que

:

, es decir

y como

tenemos:

Sabemos que carga = capacitancia x voltaje y así calculamos la carga contenida en cada condensador:

Ahora calculamos la energía en cada condensador:

Sumar

para hallar la energía total:

-3La energía total se puede calcular también de otra manera directa; en efecto, sabemos que

y con - 2 -:

que coincide con - 3 -.

Solución del Ejercicio 435: Fuera de la esfera el potencial es potencial dentro de la esfera (siendo

. Para determinar el )

hace falta adicionar al potencial

un valor numéricamente igual al trabajo realizado por el campo sobre una carga unitaria positiva durante su desplazamiento radial desde

hasta

. Este trabajo

es igual al área sombreada en la fig. 424 (véase el problema 428). Calculando, obtenemos que

Solución al ejercicio 455:

Supongamos que la batería de los condensadores esté cargada .Entonces, los puntos 1,2 y 3 tendrán el mismo potencial y podemos unirlos entre si .Del mismo modo, podemos unir los puntos 4,5 y 6 (fig.162). Como resultado, recibimos un circuito equivalente al que se muestra en la (fig. 429) .La capacidad de los sectores del circuito es 3C, 6C, 3C.La capacidad total se halla de la formula: =2/3C +1/6C, de donde

=1.2C.

1 Enunciado

Una superficie esférica conductora de radio R, puesta a tierra, contiene en su interior una distribución de carga no uniforme, cuya densidad de carga es de la forma

1. Calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio. 2. Calcule el valor de la carga almacenada en la esfera conductora. 3. Halle el potencial eléctrico en el centro de la esfera. 1. A partir del campo eléctrico. 2. Por integración directa a partir de las densidades de carga. 4. Halle la energía electrostática almacenada en el sistema.

2 Campo eléctrico Al haber una superficie conductora a tierra, que funciona como Jaula de Faraday, el problema se desacopla en dos independientes: el exterior de la esfera y el interior de ella.

2.1 En el exterior de la esfera En el exterior del conductor se verifica la ecuación de Laplace, puesto que no hay carga exterior (r > R)

con las condiciones

La solución de la ecuación de Laplace en una región cuando el potencial se anula en todos los puntos de la frontera es simplemente

Dicho en términos físicos, la esfera conductora apantalla la densidad de carga interior, con el resultado de que en el exterior no se percibe campo alguno.

2.2 En el interior de la esfera En el interior, dada la simetría rotacional de la distribución de carga, la herramienta natural para calcular el campo es la ley de Gauss en forma integral. Por la simetría del sistema, el campo va a ser radial y con módulo dependiente sólo de la distancia al origen

Por ello, si consideramos el flujo del campo a través de una superficie esférica de radio r concéntrica con la esfera conductora

De acuerdo con la ley de Gauss, este flujo será igual a la carga encerrada en esta superficie esférica, dividida por

La carga encerrada por una esfera de radio r es

Sustituyendo la expresión de ρ(r)

Por tanto el campo eléctrico en el interior de la esfera vale

Reuniendo los dos resultados

3 Carga en la esfera conductora Podemos calcular la carga en la superficie esférica conductora de dos formas: por aplicación del teorema de Faraday o integrando la densidad de carga superficial

3.1 Por el teorema de Faraday Es una consecuencia inmediata de la ley de Gauss. Si calculamos el flujo del campo eléctrico a través de una superficie exterior al conductor, tenemos que

Por tanto la carga contenida dentro de esta superficie es nula. Esto quiere decir que la carga almacenada en la superficie conductora es exactamente igual y de signo contrario a la carga total almacenada en el volumen. Esta carga ya la hemos calculado en el apartado anterior. Basta sustituir r por R para obtener la carga total de volumen

3.2 A partir de la densidad de carga superficial El campo eléctrico es discontinuo en la superficie conductora, ya que en el exterior es nulo, mientras que en el interior no lo es. Esto quiere decir que en la esfera existe una densidad de carga superficial, proporcional al salto en el campo eléctrico

Esta densidad de carga es uniforme, por lo que la carga total es simplemente el producto de esta densidad por el área de la esfera

4 Potencial en el centro de la esfera 4.1 A partir del campo eléctrico Una forma de hallar el potencial eléctrico en el centro de la esfera es integrando a lo largo de un camino que va desde el infinito hasta el centro

Considerando un camino radial, tal que , esta integral se compone de dos tramos: uno por el exterior de la esfera y otro por su interior

4.2 Por integración directa Otra posibilidad es emplear la expresión integral para el potencial eléctrico creado por una distribución de carga

donde hay que recordar que en este caso, además de la distribución de carga de volumen tenemos una carga en la superficie de la esfera conductora. Como sólo deseamos el potencial en el centro de la esfera, volumen es el producto de una integral sobre θ' y radial:

. La integral en el

(que dan un factor 4π) y una integral

La integral sobre la superficie simplemente produce un factor 4πR2, ya que el integrando no depende ni de θ' ni de

Sumando las dos contribuciones

5 Energía electrostática almacenada La forma más sencilla de calcular la energía electrostática almacenada en el sistema es a partir de la densidad de energía

La integral se extiende a todo el espacio. Sin embargo, dado que el campo exterior es nulo, el cálculo se reduce a una integral en el volumen de la esfera. De nuevo, el integrando depende solo de r, por lo que la integral en las variables angulares da un factor 4π. La integral radial queda

Desarrollando el cuadrado

Capacidad de un condensador esférico Un condensador esférico está formado por dos superficies conductoras esféricas, concéntricas de radios a y b, cargadas con cargas iguales y opuestas +Q y –Q, respectivamente.

Situamos imaginariamente, una superficie esférica concéntrica de radio r, para determinar el campo eléctrico en las distintas regiones aplicando la ley de Gauss.

Como ya se ha explicado en la página titulada “Modelo atómico de Kelvin_Thomson”, en este problema de simetría esférica, el campo eléctrico tiene dirección radial y su módulo es constante en todos los puntos de una superficie esférica de radio r. El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie cerrada vale

Determinamos la carga q encerrada en dicha superficie esférica, para distintos valores del radio r, aplicamos la ley de Gauss

 

Para r