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I.E.P. “Leonardo de Vinci” Mes: Abril

LÍNEA RECTA Concepto matemático no definible. Se considera como un conjunto de puntos ubicados en una misma dirección; ilimitada en ambos sentidos.

: se lee, recta AB : se lee, recta L

¿QUÉ SON LAS LÍNEAS DE NASCA? Pues son eso, rayas y figuras dibujadas sobre una llanura seca (pampa). Las rayas tienen dimensiones que van desde los pocos metros hasta los cientos, partiendo, aparentemente, de ningún lado, llevando a ningún otro. Para trazar estas líneas los diseñadores Nasca aprovecharon las especiales condiciones meteorológicas y geológicas de este lugar. La casi total ausencia de lluvias (media hora cada 2 años) combinado con el viento y el suelo rico en minerales, formaron una delgadísima costra oscura, la que al ser removida se contrasta con el color claro del subsuelo. De ese modo las amplias líneas y figuras aparecen como trazos claros sobre un fondo oscuro que sólo pueden ser observadas desde gran altura. Esto ha motivado las más variadas conjetura, llegando incluso a la ridícula propuesta que fueron trazadas por extraterrestres, negando al antiguo poblador nasquence toda capacidad simbólica y habilidad matemática.

SEGMENTO Porción de línea recta limitada por dos puntos llamados extremos del segmento.

: se lee, segmento AB

Sub – Área: Geometría

1

1 5º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” Mes: Abril MEDIDA DEL SEGMENTO Número de veces de una unidad de longitud.

m

ó AB: se leen, medida del segmento AB

Ejemplo:

AB = 8

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Punto del segmento que equidista de los extremos.

Si “M” es punto medio del

, entonces AM = MB = a.

OPERACIONES DE LONGITUDES DE SEGMENTOS Para el gráfico: Suma:

AB +BC + CD = AD

Resta:

AB = AD – BD

Multiplicación: AC = 5CD División:

AB 

BD 2

¿EL VISUALIZADOR DE 7 SEGMENTOS? Los visualizadores de 7 segmentos son componentes muy sencillos que constan únicamente de LEDs conectados directamente a las patillas de conexión.

El tipo de visualizador de que se dispone en el laboratorio es de cátodo común, lo que significa que los cátodos de todos los LEDs están unidos y conectados a una misma patilla.

2 Sub – Área: Geometría

2

5º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” Mes: Abril

ACTIVIDAD EN AULA

1. En una recta se ubican los puntos A, B y C en ese orden. Si (AC) + (AB) = 18. Hallar AM, siendo M punto medio del BC . a) 6 d) 7

b) 8 e) 18

b) 5 e) 20

c) 8

3. Sean los puntos consecutivos A, B, C y D en una recta tal que AB = BD = 3 (CD) y AD=12. Hallar CD. a) 2 d) 18

b) 4 e) 5

7. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, si C es punto medio del BD y

c) 16

4. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Si: (AC) + (BD) = 24. Hallar PQ siendo P y Q puntos medios de AB y CD respectivamente.

b) 6 e) 24

c) 30

6. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y D. Si se cumple que: 2(AB) = 3(BC) = 5(CD), AD =31. Hallar BD. a) 12 b) 16 c) 10 d) 13 e) 15

c) 12

3 BC = ; AD = 12. AC 2

Hallar CD a) 2,4 d) 4,2

a) 4 d) 18

b) 20 e) 60

c) 9

2. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D tal que (CD)=7 (AC), BD –7(AB) = 40. Hallar BC. a) 3 d) 9

Hallar BD: a) 10 d) 40

b) 3,5 e) 4,8

c) 4

8. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C; tal que: (AB)=2 (BC), luego los puntos medios M, N y Q de AB, BC y MN. Hallar QB, si AC = 24. a) 8 d) 3

b) 2 e) 6

c) 4

5. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E. Si se cumple que:

AB 

BC CD DE   , AE  80 3 5 7

Sub – Área: Geometría

3

3 5º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” Mes: Abril

ACTIVIDAD DOMICILIARIA

1. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que: AC = BD = 8. Calcular CD si además: AD – BC = 10 a) 10 d) 3

b) 4 e) 6

c) 5

7. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, P, B, T y C, tal que: AC = 120, AB = 3(AP) y BC=(CT). Hallar la longitud del segmentos que une los puntos medios de AT y CP a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

2. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que: AB = 17; CD = 23 y AD = 6BC. Calcular BC. a) 8 d) 5

b) 7 e) 9

c) 6

3. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que: BC = 6, BD = 2AB y AC = 5CD. Calcular AB. a) 3 d) 6

b) 4 e) 5

8. En una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que CD=4(BC) y AD + 4 (AB)= 20 Calcular AC a) 2 d) 5

c) 2

b) 4 e) 8

c) 6

4. En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que: AC = 5; BD = 4 y a) 1,5 d) 3

1 1 1   ; calcular BC. CD AB 2

b) 1 e) 4

No dejes tu tarea para mañana si lo puedes hacer hoy

c) 2

5. En una recta se tiene los puntos consecutivos A, B, C, D, de modo que: 2AB = 3BC = 4CD y AD = 52; Calcular BD. a) 36 d) 42

b) 24 e) 39

c) 28

6. Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F. Sabiendo que: AB = EF =

BE y 3

(AC) + (BD)+(CE)+(DF) =24 Hallar BE a) b) c) d) e)

6 9 12 18 20

4 Sub – Área: Geometría

4

5º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” Mes: Abril

DEFINICIÓN Reunión de dos rayos con un mismo origen. Dicho origen se llama vértice y los rayos denominados lados.

. m ∢ A0B =  .

El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión

CLASES DE ÁNGULOS Según su Medida 1. Ángulos Convexos ∢ Agudo

∢ Recto

∢ Obtuso

. 0 <  < 90º .

.  = 90º .

. 90º <  < 180º .

Sub – Área: Geometría

5

5 5º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” Mes: Abril 2. Ángulos No Convexos

. 180º <  < 360º .

SEGÚN SU CARACTERÍSTICA 1. Ángulos Adyacentes

2. Ángulos Consecutivos

3. Ángulos Complementarios Dos ángulos son complementarios, si sus medidas suman 90º.

.  +  = 90º . También: C : Complemento de  . C = 90° –  .

6 Sub – Área: Geometría

6

5º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” Mes: Abril 4. Ángulos Suplementarios Dos ángulos son suplementarios, si su medidas suman 180º.

.  +  = 180º . También: S : Suplemento de 

. S = 180° –  .

5. Ángulos Opuestos por el vértice

Bisectriz Es el rayo que parte del vértice y biseca al ángulo

.

: Bisectriz del ∢A0B .

PROPIEDAD:

 +  = 90°

Sub – Área: Geometría

7

7 5º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” Mes: Abril

ACTIVIDAD EN AULA

1. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que: m AOD = 6m BOC y m AOB + m COD = 75°. Calcular m BOC.

5. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD se trazan las bisectrices ÓP y de los ángulos AOB respectivamente. Si m POQ=80° y m BOD=130°. Hallar m AOC. OQ

a) 8° d) 13°

b) 10° e) 15°

c) 12°

2. Se tienen los ángulos consecutivos AOB; BOC y COD tal que: m AOC=80°, m AOD=5m BOC y m AOB-m AOD=30°. Calcular la m COD. a) 8° d) 14°

b) 10° e) 9°

c) 12°

a) 10° d) 40°

b) 20° e) 50°

y

COD

c) 30°

ˆ B y BO ˆ C que se 6. Dado el par lineal A O diferencian en 60°, luego se trazan las

bisectrices OP y OY de dichos ángulos respectivamente. Además: OZ es bisectriz ˆ Y. Hallar m BOZ. del ángulo P O

3. En la figura m DOC=2m AOB y m AOD=2m BOC. Si la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD es 14°. Calcular la m AOD.

a) 20° d) 25°

b) 30° e) 45°

c) 15°

7. Se dan los ángulos consecutivos AOB y BOC tal que m AOC =160 y m AOB > m BOC. Luego se trazan los bisectrices OM del

a) 160° d) 60°

b) 90° e) 50°

AOB, ON del

AON y OQ del

c) 80°

a) 10° d) 20°

BOC, OP del

MOC. Hallar m POQ.

b) 15° e) 40°

c) 16°

4. En el gráfico m AOC=80° y m AOBm DOE=10°. Calcular la m DOC. 8. Dados dos ángulos Complementarios calcular la medida del menor si se sabe que el Suplemento de la diferencia de los mismos es igual a 114. a) 26° d) 16° a) 40° d) 75°

b) 60° e) 70°

8 Sub – Área: Geometría

b) 24° e) 12°

c) 18°

c) 65°

8

5º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” Mes: Abril

ACTIVIDAD DOMICILIARIA

1. Si los ángulos AOB y BOC forman un par lineal, calcular la medida del ángulo que forman sus bisectrices. a) 60° d) 90°

b) 30° e) 105°

a) 36° d) 18°

7. Si a uno de dos ángulos Suplementarios se le quita 43° para agregarle al otro ambos se igualan. Calcular el Suplemento del mayor. a) 44° d) 53°

3 Suplemento de su medida es igual a de su 2

misma medida. b) 105° e) 120°

c) 72°

c) 45°

2. Calcular la medida de un ángulo sabiendo que el Suplemento del Complemento del

a) 144° d) 90°

b) 54° e) 60°

c) 108°

b) 47° e) 37°

c) 51°

8. El Suplemento del Complemento de un ángulo excede en 80° al complemento del mismo ángulo. Calcular el complemento del ángulo cuya medida es el doble de la medida del primer ángulo. a) 10° d) 13°

3. Calcular “x” en la expresión mostrada: SCSx   CSx 

b) 11° e) 14°

c) 12°

Sx

a) 2x d) 180°-x

b) 0 e) 2

c) 1

4. En la igualdad mostrada. Calcular “” S(C) + C(S2) = S(C(S3)) a) 54° d) 60°

b) 45° e) 40°

c) 30°

“Él éxito ó el fracaso son el resultado de tus decisiones”.

5. Calcular la medida de un ángulo si el Suplemento de dicho ángulo es igual al cuadruple del Complemento del mismo. a) 45° d) 60°

b) 30° e) 36°

c) 75°

6. Las medidas de dos ángulos Suplementarios son entre sí como 3 es a 7. Calcular el Complemento de la diferencia de los mismos.

Sub – Área: Geometría

9

9 5º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” Mes: Abril

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS Ángulos Correspondientes Un interno y el otro externo, a un mismo lado.

.=.

Ángulos Alternos Internos Ambos internos uno en cada lado.

.=.

Ángulos Conjugados Internos Ambos internos y en un mismo lado

.  +  = 180° .

PROPIEDADES: 1.

.x=+.

10 Sub – Área: Geometría

10

5º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” Mes: Abril 2.

x = 90° .

3.

.+=a+b+c.

4.

.  +  + +  +  = 180º .

5. .  +  +  +  +  = 180º . n . n = Nº de Segmentos

6. Ángulos Paralelos

.=.

.  +  = 180° .

Sub – Área: Geometría

11

11 5º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” Mes: Abril ACTIVIDAD EN AULA

1. Si:

AB // DC ,

m  BAQ 3  m  DCQ 2

y

m

4. Calcular “x”, si: L1 // L 2

AQC=100°, calcular el complemento del DCQ.

a) 30° d) 45°

a) 20° d) 70°

b) 60° e) 80°

c) 50°

b) 15° e) 10°

c) 20°

5. Si: L1 // L 2 , calcular: a° + b° + c° + d° + e°

2. Calcular: “x”, si L1 // L2

a) 180° d) 360° a) 80° d) 20°

b) 18° e) 75°

b) 520° e) 720°

c) 480°

c) 70° 6. Calcular “x”, si L1 // L 2 y  +  = 200°

3. Si: L1 // L 2 , calcular “x”

a) 100° d) 40° a) 90° d) 40°

b) 70° e) 30°

12 Sub – Área: Geometría

b) 80° e) 120°

c) 60°

c) 60°

12

5º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” Mes: Abril 7. En el gráfico que se muestra las rectas L 1 y L2 son paralelas. Calcular el valor de “”

a) 12° d) 23°

b) 60° e) 20°

c) 30°

ˆC 8. Si: L1 // L 2 y la medida del ángulo A B es agudo, calcular el menor valor entero impar de “x”.

a) 49° d) 43°

b) 47° e) 41°

c) 45°

ACTIVIDAD DOMICILIARIA 1. Si L1 // L2. Calcular “x”

a) 90° d) 40°

b) 70° e) 30°

3. En el esquema mostrado el ángulo “” excede al ángulo “” en 34°. Además L3 es bisectriz del ángulo en “E” y L 1 // L2. Calcular el valor de “ ”

c) 60°

a) 93° d) 107°

b) 126° e) 124°

c) 34°

4. Siendo L1 // L 2 , calcular “x”

2. En la figura: L1 // L2. Hallar : °

a) 20° d) 45°

b) 15° e) 60°

Sub – Área: Geometría

c) 30°

a) 15° d) 22°

13

b) 10° e) 22°30’

c) 12,5°

13 5º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” Mes: Abril 5. En la figura: 7. Del gráfico, calcular el mayor valor entero de “x”, si el triángulo ABC es acutángulo.

AC

CD y

DE // AB Hallar el valor de x

a) 152° d) 142°

b) 118° e) 162°

c) 128°

6. En el gráfico: L1 // L 2 y AB // CD . Calcular “x”.

a) 50° d) 57°

b) 44° e) 58°

c) 56°

8. En la figura: L1 // L2 Hallar:

a) 120° d) 125°

b) 122° e) 130°

c) 124°

a) 1 d)

14 Sub – Área: Geometría

x y

14

2 3

b) 2 e)

c)

1 2

3 4

5º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” Mes: Abril

DEFINICIÓN Es aquella figura geométrica formada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos de línea recta. P = punto interior Q = punto exterior

NOTACIÓN ABC  se lee: triángulo ABC Elementos Vértices: Lados:

A, B, y C. , y

.

Longitud de sus lados:

a, b, y c

m∢ internos: ,  y  m∢ externos: 1 . 2 y 3 Perímetro:

2p = a + b + c

Semiperímetro: p 

a b c 2

CLASIFICACIÓN I. Por la Medida de sus Lados Equilátero

Isósceles

Escaleno

3 lados 

2 lados 

3 lados 

Sub – Área: Geometría

15

15 5º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” Mes: Abril II. Por la Medida de sus Ángulos

Acutángulo Obtusángulo Es aquel que tiene Es aquel que tiene sus 3 ángulos un ángulo interno internos agudos. obtuso. (0 < , ,  < 90°) (90° <  < 180°) Rectángulo: Es aquel que tiene ángulo interno recto a y b : catetos c: hipotenusa

un

PROPIEDADES BÁSICAS Existencia del Triángulo 1.

Si a > b > c entonces . b-c   a > b > c .

Propiedades Particulares 6.

. aº + bº = xº + yº .

7.

. aº + bº = xº + yº .

8.

. xº = aº + bº + cº .

9.

. aº + bº = xº + yº .

10.

Si: AB = BC  El triángulo ABC es equilátero

Sub – Área: Geometría

17

17 5º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” Mes: Abril 11. . x = 180º – (º + º) .

12. . x = 90º - º .

13.

Si:

TEOREMA DE ARQUÍMEDES

. AD + CD < AB + BC .

18 Sub – Área: Geometría

18

5º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” Mes: Abril

ACTIVIDAD EN AULA

1. En la figura, calcular la diferencia entre el máximo y el mínimo valor entero que puede tomar “x”.

6. En el triángulo escaleno mostrado, calcular los valores enteros que puede tomar “x”.

a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5 2. En la figura, calcular “x”, si AB = AD y BC=EC a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 20

a) 2; 3; 4 c) 2; 3 e) 4

b) 3; 4 d) 1; 2; 3; 4; 5

7. En la figura, calcular (x + y + z)

3. En la figura, calcular “x”

a) 180 d) 720 a) 150 d) 132

b) 118 e) 126

c) 144

b) 360 e) 270

c) 540

8. En la figura, calcular (a + b + c + d + e + f)

4. En la figura, calcular “x” a) 120 b) 150 c) 144 d) 135 e) 105

5. En la figura, calcular los valores enteros que puede tomar “x”

a) 180 d) 720

b) 360 e) 900

c) 540

a) 2; 3; 4; 5; 6 b) 2; 3; 4 c) 3; 4; 5 d) 4; 5; 6 e) 3; 4

Sub – Área: Geometría

19

19 5º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” Mes: Abril ACTIVIDAD DOMICILIARIA

1. En la figura, calcular “x”

a) 70 d) 90

b) 80 e) 120

5. En la figura, calcular “x”, si AC = BD

c) 75

2. En la figura, calcular “x”

a) 50 d) 80

b) 60 e) 40

b) 7 e) 9

c) 70

c) 8

4. En la figura, calcular (x + y)

a) 120 d) 90

b) 180 e) 45

20 Sub – Área: Geometría

b) 45 e) 40

6. En la figura, calcular la m

3. En la figura, calcular el máximo valor entero que puede tomar “x”

a) 6 d) 5

a) 35 d) 60

c) 60

a) 40 d) 90

b) 45 e) 75

c) 50

ABC

c) 60

7. En la figura, calcular “x”

a) 10 d) 12

b) 15 e) 18

c) 20

“Nada aumenta las probabilidades de triunfar como el ponerse a trabajar arduamente día a día para disminuir nuestra ignorancia”.

20

5º Secundaria

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

Sub – Área: Geometría

21

5° Secundaria