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• Arnold Oliver

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE FÍSICA Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA Y CIENCIAS SOCIALES CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Lectura 5: Análisis por mallas

INTRODUCCIÓN: Para resolver circuitos eléctricos con 2 o más fuentes de energía y 2 o más elementos pasivos (resistores, bobinas o capacitores) interconectados entre sí, se pueden utilizar varias técnicas según sean las características del circuito y la o las variables que se deseen conocer. Entre los métodos que se utilizan se pueden mencionar: - Análisis de mallas - Análisis de nodos - Transformación de Fuentes - Divisores de Voltaje y Corriente - Superposición - Teorema de Thevenin - Teorema de Norton En el curso se revisarán cada uno de las técnicas anteriores. En ésta ocasión analizaremos circuitos eléctricos usando el método por mallas.

CONCEPTOS: Red eléctrica o circuito eléctrico: Es un conjunto de conductores, resistencias, fuerzas electromotrices y contraelectromotrices, unidos entre si de forma arbitraria, de manera que por ellos circulan corrientes de distintas o iguales intensidades. Nodo: Es la unión de dos o más terminales de diferentes elementos de un circuito, representa la conexión eléctrica de ellos. Rama: Es la parte de una red comprendida entre dos nodos consecutivos y recorrida por la misma intensidad de corriente. Lazo: Es una trayectoria cerrada a través de las ramas de una red, que pasa a lo más una vez por cada nodo. Malla: Es un lazo que no puede subdividirse en lazos o más simples; también se puede decir que una malla es toda trayectoria cerrada (circuito conductor) que se obtiene partiendo de un nodo y volviendo a él, sin pasar dos veces por una misma rama. La siguiente figura representa una red: Fig. 1 Circuito Eléctrico

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Lectura 5: Análisis por mallas FUENTES DE ENERGÍA: Una fuente de energía es un elemento que tiene la capacidad de introducir energía a un sistema, tomándola del exterior, por esta razón se dice que las fuentes ya sea de tensión o de corriente son elementos activos de un circuito. Se tienen dos tipos de fuentes:

Fuentes de voltaje independiente: Esta fuente entrega una tensión cuyo valor es independiente de la corriente que entrega; es decir, entrega un voltaje constante para cualesquier valor de carga. . Fig 2. Fuente de Voltaje

Fuente de corriente independiente: Esta fuente entrega una corriente constante cuyo valor es independiente de la tensión.

Fig. 3 Fuente de Corriente

CONSIDERACIONES: 

Dos fuentes de tensión conectadas en serie son equivalentes a una fuente de tensión, cuyo voltaje es la suma algebraica de los dos voltajes componentes.

Fig. 4 Fuentes de voltaje en serie

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Lectura 5: Análisis por mallas 

Dos fuentes de corriente conectadas en paralelo son equivalentes a una fuente de corriente, cuyo valor es la suma de las dos corrientes componentes.

Fig. 5 Fuentes de Corriente en Paralelo 

Una fuente de tensión en paralelo con una fuente de corriente son equivalentes a la fuente de tensión únicamente.

Fig. 6 Fuentes de Corriente y Voltaje en Paralelo 

Una fuente de tensión en serie con una fuente de corriente son equivalentes a la fuente de corriente únicamente.

Fig. 7 Fuentes de Corriente y Voltaje en Serie 

Dos fuentes de tensiones idénticas, conectadas en paralelo, son equivalentes a la fuente de mayor tensión entre ellas.

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Lectura 5: Análisis por mallas

Fig. 8 Fuentes de Voltaje en Paralelo  Dos fuentes de corriente idénticas, conectadas en serie, son equivalentes la fuente de mayor corriente entre ellas.

 Fig. 9 Fuentes de Corriente en Serie 

Una fuente de tensión con un elemento pasivo conectado en paralelo, es equivalente a la fuente de tensión actuando sola.

Fig 10 Fuente de voltaje en paralelo con elemento pasivo (resistencia). 

Una fuente de corriente en serie con un elemento pasivo, es equivalente a la fuente de corriente actuando sola.

Fig 11 Fuente de corriente en serie con elemento pasivo (resistencia). 

Una fuente de tensión en serie con un elemento pasivo es equivalente a una fuente de corriente con el mismo elemento pasivo conectado en paralelo.

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Lectura 5: Análisis por mallas

Fig. 12 Fuente de voltaje con elemento pasivo en serie y fuente de corriente con elemento pasivo en paralelo.

Análisis de mallas El análisis de mallas se puede aplicar solo a redes planas. Una red plana es aquella donde ninguna rama se cruza con otra rama. Cuando dos ramas se cruzan, el circuito se tiene que construir en dos planos para evitar el cruce de las conexiones. En la figura 13 se muestra un ejemplo de red no plana. En cambio, la red mostrada en la figura 14 es plana. La técnica de mallas está basada en el concepto de malla, concepto que se definió en el capitulo anterior. De hecho el concepto de malla es una propiedad de los circuitos planos y no existe en un circuito no plano.

Fig 13. Red no plana

Procedimiento para utilizar el análisis de mallas 1. Dibujar claramente el circuito y asegurarse que es plano. 2. Asociar a cada malla una corriente, todas apuntando en la misma dirección y etiquetarlas como

i1, i2, i3, ... 3. En cada malla aplicar la LKV y obtener una ecuación de malla para cada malla. Recorrer la malla en el sentido asignado a las corrientes i1, i2, i3, ... y aplicar la siguiente regla: A todos los voltajes en cada elemento de la malla, asignarle el signo de la terminal que aparece primer o, considerando que en un elemento pasivo la terminal por donde entra la corriente siempre es positiva respecto a la terminal por donde sale la corriente. Las fuentes de voltaje tienen asignado el signo en forma explícita. De aquí resultan tantas ecuaciones de malla como mallas tenga el circuito. En aquellos

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Lectura 5: Análisis por mallas elementos que forman parte de dos mallas, la corriente que circula por ellos es igual a la diferencia de las corrientes asignadas a las mallas. 4. Si el circuito tiene fuentes de corriente, existen dos opciones: (a) Si la fuente de corriente forma parte de una sola malla, entonces el valor de la corriente de malla asignada a dicha malla se obtiene directamente del valor que tenga la fuente de corriente (b) Si la fuente de corriente forma parte de dos mallas, formar una supermalla, que consiste de las dos mallas de las que la fuente de corriente forma parte y de dicha supermalla obtener dos ecuaciones. Una ecuación relaciona directamente las dos corrientes de malla con la fuente de corriente y la otra ecuación se obtiene de aplicar la ley de Kirchoff a la supermalla. Aplicar (a) o (b) tantas veces como fuentes de corriente formen parte del circuito. De las mallas que no contienen fuente de corriente se obtiene una ecuación aplicando la ley de Kirchoff de voltajes. 5.Las ecuaciones de malla son independientes, ya que ninguna se puede obtener en función de la otra, de modo que si el circuito tiene “n” mallas, se tiene un sistema de “n” ecuaciones con n incógnitas. En general la solución se puede obtener utilizando alguna de las técnicas para resolver sistemas de ecuaciones tal como el método de los determinantes, el método de Gauss Jordan, etc. 6. Una vez que se tienen las corrientes de malla, para cada elemento del circuito se puede obtener la corriente que pasa por ellos, se pueden calcular la diferencia de potencial en sus extremos, y también se puede calcular la potencia que consume o absorbe. Es decir, se puede calcular cualquier parámetro eléctrico. Ejemplo 1 Considérese el circuito de la figura y calcular, utilizando la técnica de mallas, las corrientes que circulan por las tres resistencias

Fig 14. Ejemplo 1

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Lectura 5: Análisis por mallas Solución: Paso 1: Se dibuja el circuito y se asegura que es plano. Paso 2. Se asigna una corriente de malla a cada malla. En este caso se tienen dos mallas y se supondrá que i1 pasa por la malla de la izquierda e i2 pasa por la malla de la derecha. Supondremos además que ambas corrientes circulan en el sentido de las manecillas del reloj. Véase la figura 15. Recuerda que la corriente siempre va de un potencial positivo a uno negativo. Fig. 15 Designación de mallas. Paso 3. Se aplica la ley de Kirchhoff de voltajes (LKV) a cada malla. La malla asociada a i1 se recorre en el mismo sentido que tiene la corriente y se obtiene -42 + 6i1+ 3(i1– i2) = 0 Esta ecuación tiene tres términos, tantos como elementos forman parte de la malla. La malla se recorre siguiendo la trayectoria cerrada ABCFA. En la rama AB, se tiene una fuente de voltaje (42 V) y en la ecuación se le asigna el signo negativo porque es el signo que tiene la terminal conectada al punto A, que es el inicio del recorrido de la malla. El siguiente termino (6i1) es el asociado a la rama BC, donde se tiene una resistencia de 6Ω y por donde solo circula la corriente i1. Se le asigna el signo positivo porque de acuerdo con el sentido de la corriente, la parte de la resistencia conectada al nodo B es positiva respecto al nodo C. El siguiente término es 3(i1– i2) y se le asigna el signo positivo por la misma razón anterior. Agrupando términos, la ecuación anterior queda como: 9i1 -3i2 = 42 Aplicando la LKV a la malla asociada a la corriente i2, y recorriendo la malla siguiendo la ruta cerrada FCDEF, se obtiene: 3(i2 – i1)+4i2 -10=0 o bien

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Lectura 5: Análisis por mallas -3i1 + 7i2 = 10 Paso 4. Resolviendo las ecuaciones anteriores se obtiene i1= 6 A e i2= 4 A. Paso 5. La corriente que pasa por la resistencia de 3 Ω es i1– i2= 2 A. La corriente que pasa por la resistencia de 6 Ω es 6 A; y la corriente que pasa por la resistencia de 4 Ω es i2 = 4 A.

Ejemplo 2 Utilice la técnica de mallas para calcular las corrientes de malla en el circuito de la figura 16.

Fig. 16 Ejemplo 2 Solución: Los pasos 1 y 2 dejan al circuito como se muestra en la figura 17.

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Lectura 5: Análisis por mallas

Supermalla

Fig. 17 Circuito señalando supermalla. Paso 3. Se aplica la ley de Kirchoff a la malla 3 debido a que la malla 1 y la malla 2 comparten una fuente de corriente y su estudio se pospone al paso 4. Recorriendo la malla 3 siguiendo la trayectoria cerrada GCDEG, se obtiene la ecuación

1(i2-i1)+2i2+3(i2-i3)=0 es decir

-i1+6i2-3i3=0 Paso 4. Las mallas 1 y 3 comparten una fuente de corriente. Esto define la supermalla cuyo trayectoria cerrada se puede tomar como ABCGEFA. Las ecuaciones que se obtiene de esta supermalla son las siguientes

I1-i3=7 -7+(i1-i2)+3(i3-i2)+1i3=0 es decir

i1-4i2+4i3=7 Paso 5. Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene que:

i1= 9A

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Lectura 5: Análisis por mallas

i2=2.5A i3= 2A