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PROBLEMAS DE FGV (CURVAS DE REMANSO ING: ANGEL ROSALES RIVERA

MÉTODO DE INTEGRACIÓN DIRECTA. El procedimiento del cálculo es como sigue:

•Calcule el tirante normal del canal (dn) y el tirante crítico (dc) a partir de los datos proporcionados Q, S0, n y talud (si el canal es trapecial). •Determine los exponentes hidráulicos N y M para una profundidad del flujo promedio estimado en cada tramo auxiliándose de la figura (Curvas de valores de N) que varia dentro de un rango de 2.0 a 5.3, entrando con el valor obtenido de la relación dn/d y el valor del talud del canal se determina el valor de N. Para encontrar el valor de M, se utilizara la figura (Curvas de valores de M) entrando con el valor de N y el talud del canal. •Calcule J a partir de •Calcule los valores de

en las dos secciones extremas de cada tramo.

•A partir de la función de flujo variado dada en la tabla del apéndice D, encuentre los valores a F (u,N) y F(v,J). •Calcule la longitud del tramo a partir de la ecuación (4.24).

Tabla de cálculo del perfil del flujo mediante el método de integración directa. 1

2

d(m)

3 v

Curvas de valores de M.

4

5

6

7

X(m)

L(m)

Curvas de valores de N.

Ejemplo 4.1 Un canal trapecial con b=20 pies, talud 2:1, S0=0.0016, n=0.025, conduce un gasto de Q=400 ft3/seg. Calcule el perfil del remanso creado por una presa que embalsa el agua hasta una profundidad de 5 pies inmediatamente detrás de la presa. Se supone que el extremo de aguas arriba del perfil es igual a una profundidad 1% mayor que el tirante normal, mediante el método de integración directa. Paso 1. Cálculo del tirante hidráulico (dn) y el tirante crítico (dc) aplicando la ecuación general para el sistema ingles y el tirante critico para canal trapecial.

Cálculo del área hidráulica, perímetro mojado y del radio hidráulico:

Sustituyendo en la ecuación general:

.

Por tanteo, suponiendo un dn = 3.36 pies:

El tirante supuesto es correcto dn=3.36 pies

Cálculo del tirante crítico (dc): También se puede calcular aplicando la ecuación: En el extremo aguas arriaba la profundidad es: por lo tanto la profundidad total promedio puede tomarse de:

pies.

la relación:

Paso 2. Con el valor del talud y el valor de la relación dn/b = 0.21 entramos a la figura (Curva de valores de N) y encontramos que el valor de N=3.65, para encontrar el valor de M, entramos con estos mismos valores del talud y dn/b en la figura (Curva de valores de M) y obtenemos que M=3.43 Paso 3. Cálculo del valor de J.

Paso 4. Cálculo de

u2 = d/dn=5/3.36=1.488 y v=μN/J = (1.488)3.65/2.94=(1.488)1.22=1.624 u1=d/dn=3.40/3.35=1.012;

Diferencia de u= 1.488 - 1.012 = 0.476

v = μN/J = (1.012)3.65/2.94=1.015

Paso 5. A partir del apéndice D, encontramos los valores de F (u, N) y F (v, J), entrando con el valor de u=1.488 y N=3.65 se obtiene el valor de F (u2,N)=0.156 - 1.089=-0.933 para obtener el valor de F (v, J) se entra en el apéndice D, para un valor de μ=1.015 y J=2.99 ≈ 3, F(v, J)=-1.286, 0.218, μ=1.624 y J=2.99 ≈ 3, diferencia = -1.068

Cálculo de A y B:

b) Cálculo de la longitud del perfil de remanso.

Como el dn > dc , es decir 3.36 > 2.24 el perfil del flujo es tipo M. Tabla del ejemplo 1 donde para cada sección se calculan los valores de u y v en las columnas 2 y 3. 1

d 5.00 3.40 Dif.

2

3

4

5

1.488 1.012 0.476

v 1.625 1.015 ………

0.148 1.025 -0.877

0.213 1.293 -1.080

Método de integración gráfica. .

Este método tiene una aplicación muy amplia. Se aplica al flujo de canales prismáticos y no prismáticos de cualquier forma y pendiente. El procedimiento es sencillo y fácil de seguir. Sin embargo puede volverse muy complejo cuando se aplica a problemas reales, para facilitar el cálculo de la longitud del perfil se recomienda llenar la tabla adjunta de cálculo de la longitud del perfil y para dibujar dicho perfil. Tabla : cálculo del perfil mediante el método de integración gráfica. 1

2

3

4

5

6

7

8

d (m)

T (m)

A (m2)

R (m)

R2/3 (m)

K

Z

dx/dd

9

10

(m)

Metodología de cálculo: explicación del cálculo de cada columna. Columna 1. d= tirante del agua propuesto; el primer dato corresponde a la sección de control. Columna 2. T = ancho del espejo del agua; para canales trapeciales: T = b + 2md , para canales rectangulares T=B. Columna 3. A= área hidráulica del canal, si la sección del canal es trapecial , y si es rectangular

Columna 4. R= radio hidráulico, R=A/P, siendo el

sección trapecial

Columna 5. Columna 6. Cálculo de la conductividad del canal K

Columna 7. Determinación del factor de sección del flujo:

Columna 8. Determinación de la diferencial dx/dy, es decir f(x) aplicando la ecuación:

Columna 9.

Obtención del incremento del área aplicando la ecuación:

Columna 10. Distancia total L (Se determina sumando los incrementos de las áreas de cada tirante, Columna 9). •Cálculo de la conductividad ( constante). •Determinación del factor de sección para flujo crítico (constante).

El valor de α para casos prácticos se desprecia y vale la unidad, para casos teóricos el valor de α puede valer 1.10 o mas.

Ejemplo: Un canal trapecial de b=20 ft, talud m=2:1, S0=0.0016, Q=400 ft3/seg, n=0.025. Calcular el perfil del remanso creado por una presa que mantiene en agua una profundidad de 5 ft, inmediatamente atrás del dique, el extremo aguas arriba del perfil es igual a una profundidad de 1% más grande que el tirante normal. Mediante el método del integración grafica, determine el tipo de perfil, el tirante normal del canal, el tirante crítico y dibuje el perfil de la superficie libre del agua. Datos: b=20 ft ; m=2:1 ; S0=0.0016 ; Q=400 ft3/seg ; n=0.025 ; d=5ft ; α = 1:1 Solución: Cálculo de tirante normal dn:

Por medio de tanteos se obtendrá dn, por ello se propone dn=3.36 ft:

Por lo tanto el tirante propuesto es el correcto, pero el problema indica que la profundidad del agua debe ser 1% mayor que el tirante normal por lo que dn=1.01 x (3.36)=3.4 pies Cálculo del tirante critico dc , el canal es de sección trapecial:

Se procede por medio de tanteos a encontrar el valor de dc, por ello se propone un dc =2.148 ft:

Por lo tanto se dice que el tirante propuesto es correcto.

Como d > dn > dc, el flujo es subcrítico y el tipo de perfil es M1.

Determinación de las constantes Kn y Zc :

Tabla de cálculo del perfil de la superficie libre del agua, mediante el método de integración gráfica. 1 d

2 T

3 A

4 P

5 R

6 R2/3

7 K

8 Z

9 dx/dy

10 ΔA

11 ∑L

5

40

150

42.36

3.54

2.32

20713.82

290.47

763

0

0

4.8

39.2

142.08

41.4656

3.43

2.27

19194.42

270.49

794

156

156

4.6

38.4

134.32

40.5712

3.31

2.22

17735.14

251.21

837

163

319

4.4

37.6

126.72

39.6768

3.19

2.17

16335.40

232.63

898

174

492

4.2

36.8

119.28

38.7824

3.08

2.11

14994.61

214.75

996

189

682

4

36

112

37.888

2.96

2.06

13712.22

197.55

1148

214

896

3.8

35.2

104.88

36.9936

2.84

2.00

12487.69

181.04

1460

261

1157

3.6

34.4

97.92

36.0992

2.71

1.94

11320.51

165.21

2318

378

1535

3.4

33.6

91.12

35.2048

2.59

1.89

10210.19

150.06 10360

1268

2802

3.36

33.44

89.7792

35.02592

2.56

1.87

9994.90

147.11

Figura del perfil de la superficie libre del agua trazada a partir de las distancias acumuladas y valores de tirantes (columna 1, tabla).

Ejemplo: A través de un canal que termina en caída brusca, en la que circulan 4.5 m3/s de agua. Sabiendo que b = 1.85 m; S0 = 0.002 m/m y n = 0.012 (Manning). Se pide determinar mediante el método de integración gráfica, el perfil de la línea de superficie libre a partir de la arista de la caída brusca. Datos: Q=4.5 m3/s, b=1.85 m , S0=0.002 , n=0.012 Solución: Determinación del tirante normal, aplicando la ecuación general.

Para la determinación del valor de dn se hará mediante iteraciones. Se propone un dn=1.05:

Se acepta el valor del tirante dn=1.05 m

Determinación del valor del gasto unitario:

Determinación del valor de dc:

Como hay caída brusca, la profundidad del escurrimiento debe estar entre dn y dc. Por lo consiguiente dn>d>dc. Determinación de la velocidad crítica y área crítica

Determinación del perímetro mojado y radio hidráulico en la sección crítica:

Determinación de la pendiente crítica:

Como Sc>S. la pendiente es suave y la línea de la superficie libre es de la clase M tipo 2 (M2). Para el cálculo mediante el método de integración grafica calculamos Kn y Zn. Cálculo del factor de transporte o de conductividad Kn.

Cálculo del factor de sección Zn:

Determinación de los valores de las columnas. Columna 2: cálculo de T=b=1.85 Columna 3: cálculo del área A1=bd=(0.85)(1.85)=1.57 m2 A2=bd=(0.9)(1.85)=1.67 m2

Columna 4: cálculo del perímetro P=b+2d=1.85 + 2(0.85)=3.55 m Columna 5: cálculo del radio hidráulico: R=A/P=1.57/3.55=0.44 m Columna 6: cálculo del radio elevado a la 2/3: R2/3=(0.44)2/3 =0.58 Columna 7=cálculo del valor de K=(AR2/3)/n=[(1.57)(0.58)]/(0.012)=76.15 Columna 8=cálculo del valor de Z=√[(A3)/T]=√[(1.57)3/1.85]=1.45 Columna 9=cálculo de dd/dx = dy/dx:

Columna 10=cálculo del incremento de área:

Columna 11= cálculo de Datos para el perfil mediante el método de integración gráfica.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

d

T

A

P

R

R^(2/3)

K

Z

dX/dY

∆A

0.85

1.85

1.57

3.55

0.44

0.58

76.15

1.45

-12.67

0.9

1.85

1.67

3.65

0.46

0.59

82.22

1.58

-174.30

4.67

5

0.95

1.85

1.76

3.75

0.47

0.60

88.37

1.71

-501.07

16.88

22

1

1.85

1.85

3.85

0.48

0.61

94.58

1.85

1507.05

50.20

72

1.05

1.85

1.94

3.97

0.49

0.62

102.11

2.02

8519.18

210.36

282

0.00

Como dn>d>dc el tipo de perfil es M2,

Método del paso directo. Este método se caracteriza por dividir el canal en tramos cortos y llevar a cabo los cálculos pasos a paso desde un extremo del tramo hasta el otro. Se basa en la aplicación de la ecuación de la energía (Teorema de Bernoulli) y es aplicable a todo tipo de canales prismáticos. Las figuras se ilustra un tramo de canal corto de longitud ΔL.

V1²

Linea

2g

d e en er

Linea de d1

Fond Z1

gía S f

energía S

w

o de l cana l S0

hf 1-2

V2²

2g

d2

L Plano horizontal de referencia

Esquematización del cálculo del método del paso directo.

Aplicando Bernoulli entre las secciones 1 y 2, se tiene:

Siendo: Z1= Carga de posición en la sección 1 con respecto al plano horizontal de referencia. hf1-2 = pérdida de carga por fricción entre la sección 1 y 2 cuyo valor es: además: ΔL = incremento de la longitud o longitud del tramo.

Sustituyendo estos valores en la ecuación

Despejando a la longitud o incrmento de longitud (L) se tiene:

Despejando a ΔL:

Pero sabemos que:

Ecuación del paso directo. Siendo: ΔL=Longitud del tramo , en m Es2=Energia específica en la sección 2 del canal, en m Es1=Energia específica en la sección 1 del canal, en m S0 = pendiente longitudinal del canal Sf = Pendiente Hidráulica Cálculo del perfil de flujo gradualmente variado mediante el método del paso directo. 1

2

3

4

5

6

7

d (m)

A (m2)

P (m)

R (m)

R4/3 (m4/3)

V (m/s)

(m)

8

9

10

11

12

13

14

15

(m)

Vm (m/s)

Rm (m)

Sf

Sf-S0

(m)

(m)

(m)

Descripcion de a tabla de cálculo mediante el método del paso directo.

Columna 1: ingresar el dato correspondiente al tirante inicial y variarlo de 10 en 10 ó de 20 en 20 centecimas el tirante hasta llegar al valor del tirante crítico determinado. Columna 2: determinación del área hidráulica correspondiente al tirante de la columna 1. Sí el canal es trapecial , ó si es triangular A=md2/2

, si es rectangular Columna 3: cálculo del perimetro mojado si es trapecial

,

rectangular P=b+2d

Columna 4: determinar el radio hidráulico a partir de las valores del A/ P:

Columna 5: Elevación del radio hidráulico a la potencia 4/3. Columna 6: Determinación de la velocidad asociada a cada tirante inicial aplicando la ecuación de V=Q/A) continuidad (Q=AV Columna 7: Obtención de la carga de velocidad la de la columna (6).

elevando el valor de la velocidad al cuadrado

Columna 8: Energía específica, en m o pies, obtenida al sumar el tirante de la columna (1) más el valor de la carga de velocidad columna (7). Columna 9: Variación de la energía específica, en m o pies, igual a la diferencia entre el valor de la energía específica de la columna (8) y el correspondiente al paso anterior aparece a partir de la segunda fila. Columna 10: Determinación de la velocidad media:

Suma de las velocidades de la columna 6.

Columna 11: Determinación del radio hidráulico medio:

Suma de los radios de la columna 4. Columna 12: Sf = Pendiente hidráulica se calculará aplicando la ecuación de Manning.

Columna 13: Diferencia entre la pendiente del canal y la pendiente hidráulica o de fricción. Columna 14: ΔL, Cálculo de la distancia parcial entre las secciones analizadas aplicando la expresión:

Columna 15: L, determinaciòn de la longitud, esta es igual a la suma acumulada de los valores de la columna (14). Una vez calculado la columna (15), se procede a dibujar el perfil del flujo, indicando en el eje de las ordenadas “y” los valors de los tirantes y en el eje de la abcisas “x” los valores de las longitudes acumuladas para cada tirante, de peferencia dibujarse en papel milimétrico y a escala, una vez dibujado el perfil de la superficie libre del agua se procedera a determinar el tipo de perfil que se presenta auxiliandose de la tabla (4.1).

Ejemplo 4.6 Un canal rectangular de anchura de plantilla de 10 ft termina en caída libre. Si el gasto es de 300 pies3/seg., la pendiente es de 0.0025 y n=0.016, calcular dn, dc, y el perfil de superficie del agua para una distancia a 500 pies aguas arriba de la caída, aplicando el método del paso directo. Datos: b=10 pies; Q=300 pies3/seg. ; S0=0.0025 ; n=0.016 Solución: Cálculo del tirante normal por tanteo. Aplicando la ecuación general:

Si se considera que:

Simplificando:

Se propone un tirante dn=3.842 pies

Cálculo del tirante crítico:

Tabla de datos para el dibujo del perfil de la superficie libre del agua mediante el método del paso directo.

d

A

P

R

V

ES

ΔES

vm

Rm

SE

SE-S0

ΔL

L

3.035

30.35

16.07

1.889

9.885

1.517

4.552

-

-

-

-

-

-

-

3.1

31

16.2

1.914

9.677

1.454

4.554

-0.002

9.781

1.901

0.0047

0.00220

0.909

0.909

3.2

32

16.4

1.951

9.375

1.364

4.564

-0.010

9.526

1.932

0.0044

0.00190

5.263

6.172

3.3

33

16.6

1.988

9.091

1.283

4.583

-0.019

9.233

1.970

0.0040

0.00150

12.667

18.839

3.4

34

16.8

2.024

8.824

1.208

4.608

-0.025

8.957

2.006

0.0037

0.00120

20.833

39.672

3.5

35

17

2.059

8.571

1.140

4.640

-0.032

8.697

2.041

0.0034

0.00090

35.556

75.228

3.6

36

17.2

2.093

8.333

1.078

4.678

-0.038

8.452

2.076

0.0031

0.00060

63.333

138.561

3.7

37

17.4

2.126

8.108

1.020

4.720

-0.042

8.221

2.110

0.0029

0.00040

105.000

243.561

3.8

38

17.6

2.159

7.895

0.967

4.767

-0.047

8.001

2.143

0.0027

0.00020

235.000

478.561

3.84

38.4

17.68

2.172

7.813

0.947

4.787

-0.020

7.854

2.166

0.0026

0.00010

200.000

678.561

Perfil tipo M2 4

Linea del Plano Normal

3.9

3.8

3.7

d (PIES "FT)"

3.6

3.5 dn=3.842 ft

3.4

3.3

3.2

Linea del Plano Crítico 3.1

3

dc=3.035 ft

2.9 0

100

200

300

400

500

600

DISTANCIA HORIZONTAL (PIES "FT")

0

PERFIL DE LA S.L.A

Gráfica del tipo de perfil de la S.L.A. mediante el método del Paso Directo.

700 0

Ejemplo 4.7 Un canal de sección trapecial con un b=8 m, esta escavado en tierra (n=0.025) con pendiente de la plantilla S0=0.0009 y Q=15 m3/seg. Con la finalidad de cargar sobre una serie de orificios laterales que están colocados en un vertedor de Cresta redondeada de forma rectangular y L=12 m, tomar el valor de C=2 y el vertedor tiene una altura de 1.77 m. •Calcular el perfil del flujo e indicar que tipo de perfil, mediante el método del paso directo, y calcular la longitud (L) de remanso considerando que dicha longitud termina al alcanzar el tirante normal que sea el 3% mayor que el dn. Datos: Q=15m3/seg. b=8m n=0.0009 L=12m C=2 P=1.77m m=1.5:1 ⇒ Canal de tierra. Solución: Determinación de H:

Cálculo del tirante normal dn:

De donde:

Despejando en la ecuación:

Se procede a calcular el tirante dn por medio de tanteos, por ello se procede a proponer un dn=1.26 Despejando:

Por lo tanto el tirante propuesto es correcto, del mismo modo.

Por lo tanto se procede a determinar. Determinación del tirante crítico dc:

Por lo tanto:

Tabla de cálculo del perfil de la superficie libre del agua, mediante el método del paso directo. d

A

P

R

V2/2g

E

Vm

Rm

Rm2/3

SE

S0-SE

ΔL

∑L

1.298

12.91

12.68

1.01

0.06

1.358

1.3

12.94

12.69

1.01

0.06

1.36

0.002

1.15

1.155

1.01

1.006

0.0008

1E-04

20.00

20.00

1.45

14.75

13.23

1.11

0.05

1.5

0.14

1.01

1.08

1.06

1.03

0.0007

0.0002

700.00

720.00

1.6

16.64

13.77

1.2

0.04

1.64

0.14

0.9

0.955

1.155

1.1

0.0005

0.0004

350.00

1070.00

1.75

18.59

14.31

1.29

1.9

20.62

14.85

1.38

0.03

1.78

0.14

0.8

0.85

1.245

1.15

0.0003

0.0006

233.00

1303.00

0.02

1.92

0.14

0.72

0.76

1.335

1.21

0.0002

0.0007

200.00

1503.00

2.05

22.70

15.39

1.47

0.02

2.07

0.15

0.66

0.69

1.425

1.26

0.0002

0.0007

214.00

1718.00

882.2

24.86

15.93

1.56

0.01

2.21

0.14

0.6

0.63

1.515

1.31

0.0001

0.0008

175.00

1893.00

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ΔE

V 1.16

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