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GUÍA 4 - CIENCIAS

19

Propiedades:

ÁNGULO COMPUESTO

1.Si x + y + z = 180º,entonces se cumple : Tgx.Tgy.Tgz = Tgx + Tgy + Tgz Ctgx.Cty + Ctgy.Ctgz + CtgxCtgz = 1

Las razones trigonométricas no gozan de la propiedad aditiva, es decir, no se cumple: Sen(A  B)  SenA  CosB

2.Si x + y + z = 90º,entonces se cumple :

Cos(A  B)  CosA  CosB

Tgx.Tgy + Tgy.Tgz - TgxTgz = 1

Tg(A  B)  TgA  TgB

Ctgx.Ctgy.Ctgz = Ctgx + Ctgy + Ctgz

Empero, usando correctamente las identidades de las razones trigonométricas de ángulos compuestos (A+B) o (A-B), podremos calcular las razones trigonométricas de ángulos desconocidos a partir de ángulos cuyas razones trigonométricas sean conocidas. Sabemos que se conocen las razones trigonométricas de ángulos como 53º y 45º y con estos ángulos se pueden generar nuevos ángulos 98º, 8º y -8 mediante operaciones de adición y sustracción:

3. ASenx + Bcosx = A2 + B2 .Sen(x + θ) B B Talque : Tgθ = ; Senθ = A A2 + B2 A y Cosθ = 2 A + B2

98º se genera como 53º 45º 8º se genera como 53º 45º 8 se genera como 45º 53º

4. - A2 + B2  ASenx ± Bcosx  A2 + B2 Mínimo Máximo

Formulas fundamentales:

Sen(A  B)  SenA.CosB  CosA.SenB Sen(A  B)  SenA.CosB  CosA.SenB PROBLEMAS PROPUESTOS 1

Cos(A  B)  CosA.CosB  SenA.SenB Cos(A  B)  CosA.CosB  SenA.SenB

1. Calcular: "sen15º"

TgA  TgB 1  TgA.TgB TgA  TgB Tg(A  B)  1  TgA.TgB

Tg(A  B) 

6 2 2

a)

6 2 2

b)

d)

6 2 4

e) N.A.

2. Calcular: "sen16º" a) 0,22 b) 0,32

OBSERVACIÓN: No hay necesidad de deducir las formular de

Ctg(A  B); Sec(A  B); Csc(A  B)

3. Reducir: E 

Porque para ello nos podemos servir de sus identidades inversas:

1 Ctg(A  B)  Tg(A  B) 1 Sec(A  B)  Cos(A  B) 1 Csc(A  B)  Sen(A  B)

a) 1 4. Reducir: E  a) 2

c) 0,45

b) senx

c) cosx

Tg(x  y)  Tgx  Tgy  T(x  y) .Tgx.Tgy

d) 0,28

e) 0,36

d) tgx

e) ctgx

sen( x  y)  sen( x  y) cos x cos y b) tgx

c) tgy

d) 2tgx

5. Demostrar que: tg   tg  

sen(   ) cos  cos 

6. Demostrar que: tg   tg  

sen(   ) cos  cos 

Cos(x  y).Cos(x  y)  Cos2x  Sen 2 y Tg(x  y)  Tgx  Tgy  T(x  y) .Tgx.Tgy

6 2 4

sen( x  y)  sen y cos x cos y

Formulas auxiliares:

Sen(x  y).Sen(x  y)  Sen 2x  Sen 2y

c)

e) 2tgy

7. Calcular: "cos8º" a) 0,7Ö 2

b) 0,5Ö 2

d) 0,9Ö 2

e) N.A.

c) 0,3Ö 2

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20

hallar: "tgy"

8. Calcular: E  cos( 60ºx)  cos( 60ºx) cos x a) 2

b) 1

9. Reducir: E 

3

c)

3 2

d)

e)

2 3

19. Hallar "x" si: a) 10º

cos( x  y)  cos( x  y) sen x sen y

a) 1 d) 2ctgx ctgy

b) 2 e) -2ctgx ctgy

20. Hallar "x" si:

c) -2

a) 5º

10. Calcular: "tg8º" a)

1 2

b)

11. Si:

sena =

1 3

c)

1 5

d)

1 ;  Є IIC 2

e)

1 7

a) tgx 22. Si:

6 2 4

b)

d)  ( 6  2 ) 4

c)

2 6 4

b)

d)  ( 6  2 ) 4

e)

a)

13. Si:

c)

3 1 4

1 11

β Î IIIC

3 c) 11 5 e) 11

1 13

b) 10º

c) 15º

d) 20º

e) 25º

b) ctgx

c) secx

d) cscx

e) N.A.

calcular: E = tgx + tgy + tgx tgy

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

C

2

E 1

D

24. Del gráfico; calcular "tgθ"

cos = ;  4 17

c)

cosx cos(x + 10º) - senx sen(x + 10º) = cos40º

A

a)

1 7

e) 50º

x

 Î IIC

b) 

d) 40º

B

sen = ; 1 10

1 7

c) 30º

2 6 4

calcular: "tg( +β)" a)

b) 20º

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

12. Con los datos anteriores; calcular: "cos( + β)"

6 2 4

e) 7

23. Si: ABCD es un cuadrado; calcular: "tgx"

e) N.A.

6 2 4

d) 1 8

senx cos10º + sen10º cosx = sen50º

x + y = 45º

a) 1

6 2 4

a)

1 6

c) 1 7

21. Reducir: E  sen( x  y)  tg y cos x cos y

cosb = 1 ; β Є IVC 2

calcular: "sen(a + b)"

b) 1 5

a) 1

d) 

1 13

e)  3 13

b)

C

2 11

45º D

4 d) 11

E A

B

25. Del gráfico, calcular "tgx" si: AB =BC

14. Con los datos anteriores; calcular: "tg(β -)" a) 5 11 15. Reducir: E  a) 1 16. Reducir: E  a) 1

1 4

d)  7 11

e) N.A.

tg x  tg y  tg x tg y tg( x  y) b) tgx

c) tgy

b) tgx

b) 

c) tgy y

d) ctgx

18. Si: tg(x + y) = 3 y tgx = 2

c) 3

d)

1 3

1 2

REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE

d) ctgx

c)

b) 2

e) ctgy

e) ctgy

tgx = 2

1 4

a) 1

e)

tg x  tg y  tg x tg y tg( x  y)

17. Si: x + y = 45º; calcular: "tgy" a)

c) 7 11

b)  5 11

1 3

d) 

1 3

e)

2 3

Los valores que toman las funciones trigonométricas son periódicas, es decir, se repiten constantemente. Por esta razón vemos que sólo son importantes los valores tomados en el primer cuadrante, lo que varía es el signo que toma la razón y no el valor numérico que se repite en cada cuadrante. Por ello presentaremos tres métodos de reducción al primer cuadrante: Primer Caso: (Ángulos menores de una Rev.)

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y Cofunción

ÁNGULO DOBLE

90º 90º-α

90º +α

II Cuadrante

21

RAZONES TRIGONOMETRICAS DEL ANGULO DOBLE

I Cuadrante

Formulas fundamentales:

180º -α

180º

0º 180º +α

x

función

360º -α

III Cuadrante

Tg2A 

IV Cuadrante

270º +α

270º -α

Sen2A  2SenA.CosA Cos2A  Cos2A  Sen2A 2TgA 1  Tg2A

Triangulo del ángulo doble:

270º

1 Tg2A 2TgA Ft(90ºk ± α) = ........... k = 1,2,3, 4 Ft (90º ±α) =

2A

Co.Ft(α)

1 Tg2A

signo Ft(180º ±α) =

Ft(α)

Formulas adicionales:

signo Ft(270º ±α) =

Co.Ft(α)

Cos2A =1 - 2Sen2A

signo Ft(360º ±α) =

Cos2A = 2Cos2A -1 CtgA + TgA = 2Csc2A

Ft(α) signo

Segundo caso: (Áng. mayores de una Rev.) Las Razones trigonométricas de un ángulo no se alteran porque se le sume o reste al ángulo cualquier múltiplo de 360º ó 2.

Ft(2πk  α)  Ft(α) ;  k 

Sen A  

1 - CosA 2

Cos A  

1 + CosA 2

2

Tercer caso: (Ángulos negativos) En este caso se “pasan” los ángulos negativos a ángulos positivos mediante las siguientes funciones:

Ft(-α) = Ft(α)

RAZONES TRIGONOMETRICAS DEL ANGULO MITAD Formulas fundamentales:

Ft(360º k  α)  Ft(α) ; k 

Función par :

CtgA - TgA = 2Ctg2A

2

Tg A   2

Cos(-α) = Cos(α) Sec(-α) = Sec(α) Función impar : Ft(-α) = -Ft(α) Sen(-α) = -Sen(α) Csc(-α) = -Csc(α) Tg(-α) = -Tg(α) Ctg(-α) = -Ctg(α)

1 - CosA 1 + CosA

NOTA: La elección del signo (+) ó (-) depende del cuadrante donde esté ubicado el ángulo mitad. Formulas Adicionales:

CscA - CtgA = Tg A

2 CscA + CtgA = Ctg A 2

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22

PROBLEMAS PROPUESTOS 2

1. Si: sen   1 ;  IC a)

2 9

b)

2 3

d)

4 2 9

e)

2 6

a)

3. Si: tg = 2; a)

4 3

b)

4. Si: tg = 3; y a) 0,2

1 9

4 3

e) 

3 4

c) 4

d) 3

e) 5

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

15. Calcular: " tg22º30' " calcular: "cos2" c)

1 7

d)

5 9

e)

a) Ö_2-1 d) Ö_3+1

7 9

4 3

c)

a) Ö_2+1 d) Ö_3+1

3 4

d) 

3 4

Î IC

calcular: "sen2"

b) 0,4

c) 0,6

2 9

c) 

b) Ö_2+1 e) 2-Ö_3

4 9

b) Ö_2-1 e) 2-Ö_3

c) Ö_3-1

e) N.A. TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS DE SUMA O DIFERENCIA A PRODUCTO

d) 0,8

e) 1

6 7

e) 

d) 

c) Ö_3-1

16. Calcular: " ctg22º30' "

calcular "tg2"

b) 

d)

14. Calcular: ctg26º30'

2 2 SenA - SenB = 2 Cos  A+B  Sen  A-B  2 2 CosA + CosB = 2 Cos  A+B  Cos  A-B  2 2 CosA - CosB = -2 Sen  A+B  Sen  A-B  2 2

SenA + SenB = 2 Sen A+B Cos A-B

5. Si: cosa = 1 ; calcular: "cos4a" 3 a) 

3 4

b) 2

a) 1

1 3

b) 

c)

a) 1

c) 2 2 9

1 sen   ;  IC 3 1 9

1 b) 1 2

13. Calcular: " tg18º30' "

calcular: "sen2"

3

2. Si:

a)

7 9

6. Reducir: E = 4senx cosx cos2x a) sen2x d) cos2x

b) sen4x e) cos4x

c) sen8x

PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1

7. Reducir: E = 4senx cos3x - 4sen3x cosx a) senx d) 4senx

b) sen2x e) sen4x

1. Reducir: E = Sen70° + Sen20°

c) 2sen2x

8. Reducir: E = tgx cos2x + ctgx sen2x a) sen2x

b) 2sen2x

d) 1 Cos2x 2

e) cos2x

c) 1 Sen2x 2

a)

2

b)

d)

2 2

e)

d) 1 cos 2x 2

c) 1 sen 2x 2

d)

e) cos2x

10. Reducir: E = (senx + cosx + 1) (senx + cosx - 1) a) 1

b) -1

c) sen2x

d) 2sen2x

e) N.A.

11. Con la ayuda de los dos últimos problemas, reducir: E = ctgx - tgx - 2tg2x a) tg4x b) ctg4x c) 2ctg4x d) 4ctg4x e) 4tgx 12. Si: ctgx - tgx = 4 y

2 Cos25°

– 2

3. Reducir: E = (Sen70° + Cos70°) Sec25° a) 1

b) 2sen2x

c)

2. Reducir: E = (Cos70° + Cos50°) Sec10° a) 1 b) 1/2 c) 2 d) 3/2 e) 1/3

9. Reducir: E = (senx + cosx)2 - 1 a) sen2x

2 Sen25°

calcular: "tg4x"

b)

1 2

2

Sen40 – Sen20 Cos80

a) 1

c)

b) 2

5. Simplificar: E 

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2 2

e)

2 2

e) 2

4. Simplificar: E 

a) Tgx d) Tg4x

c)

3

d)

3 2

Sen 7 x  Sen 3x Cos 7 x  Cos3x b) Tg2x e) Tg5x

c) Tg3x

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6. Simplificar: E  a) Tgx d) Ctg2x 7. Simplificar: E  a) Senx d) –2Senx 8. Reducir: E  a) d) –

Sen 3x – Senx Cos3x  Cosx b) Ctgx e) 2

a) 1 c) Tg2x

19. Reducir: E 

Cosx – Cos3x Sen 2x b) -Senx e) Cos2x

a) 1 c) 2Senx

a) 1

Cos10  – Cos 70

b) – 3

3 3

e)

c)

3 3

a) 1

a) Sen10° d) Sec10°

b) Cos10° e) Ctg10°

a) 1

c) Csc10°

a) 0 d) Cos10°

b) 1 e) -1

11. Simplificar: E  a) Tgx d) Tg4x

Senx  Sen 3x  Sen 5x

12. Reducir: E 

Cos 4x – Cos2x Sen 3xSenx c) 2

d) –2

e) Senx

Cos10  – Cos 6 – 2Sen 8Cos2 c) Tg2°

d) Ctg2°

e) Sen2°

Cosx – Cos3x Sen 2x b) –Senx e) Cos2x

c) 2Senx

Sen 5x  Sen 3x  Senx Cos 5x  Cos3x  Cosx b) Tg2x e) Tg5x

c) Tg3x

25. Transformar a producto: E = Sen8x + Sen6x + Sen4x + Sen2x

Cos2x  Cos 4x  Cos 6x b) Tg3x e) Tg6x

c) Sen3x d) Sen2x e) Cosx

b) 2

a) Tgx d) Tg4x

c) Tg3x

Sen 2x  Sen 4x  Sen 6x

a) Tg2x d) Tg5x

Cos2x Cosx

24. Simplificar: E 

Cosx  Cos3x  Cos 5x

e) Tg3°

Cos3x  Cosx

a) Senx d) –2Senx

c) Sen10°

b) Tg2x e) Tg5x

c) Tg10° d) Ctg10°

23. Simplificar: E 

10. Calcular: E = Cos20° + Cos100° + Cos140°

e) Ctgx

2Sen 7Sen10

b) –1

22. Reducir: E 

9. Simplificar: E  Cos100  Cos20  Cos 40 Cos50  Cos30

d) Tgx

Sen17 – Sen 3

b) 2

21. Reducir: E 

3 2

c) Senx

b) 2

20. Reducir: E 

Sen 70  Sen10 

3

b) 2

23

a) Sen5x Cos2x Cosx c) 4 Cos5x Cos2x Cosx e) 4 Sen2x Cos3x Cosx

c) Tg4x

b) 4Sen5x Cos2x Cosx d) Cos5x Cos2x Cosx

13. Pase a producto de cosenos: E  5 2  8 a) 4Cos41° Cos4° c) 20Cos41° Cos4° e) 80Cos41° Cos4°

DE PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA

b) 10Cos41° Cos4° d) 40Cos41° Cos4°

2.SenA.CosB = Sen(A +B) + Sen(A-B)

14. Pase a producto de cosenos: E  1  2 a) 4Cos52°30’ Cos7°30’ c) 2Cos52°30’ Cos7°30’ e) 5Cos52°30’ Cos7°30’

2.CosA.SenB = Sen(A +B) -Sen(A-B)

b) Cos52°30’ Cos7°30’ d) 3Cos52°30’ Cos7°30’

2.CosA.CosB = Cos(A +B) + Cos(A-B) 2.SenA.SenB = Cos(A-B) - Cos(A +B)

15. Si: a + b = 37°  a – b = 45° Calcular: M = Sen2a – Sen2b a) 0,1 2

b) 0,2 2

d) 0, 4 2

e) 0,5 2

16. Reducir: E  a) 1

b) 2

17. Reducir: a) 1

c) 0,3 2

PROBLEMAS PROPUESTOS 3

1. Reducir: E = 2Sen7 Cos - Sen6 a) Sen4 b) Sen6 c) Sen8 d) Sen10 e) 0

Sen 4x  Sen 2x Sen 3xCosx

c) 3

d) 4

2. Reducir: E = Cos40°Cos20° - Cos20°

e) 5

a)

Sen 40  Sen 20

b) 1/2

Cos10 c) 1

d) 2Sen10°

18. Reducir: E  Sen 5x – Sen 3x 2Cos 4x Cosx

e) Cos10°

3 2

b)

1 2

c)

3. Simplificar: E  a) Tgx d) Tg4x

2 2

d)

1 4

e) 0

2Cos3xSenx  Sen 2x 2Cos 7 xCos3x – Cos10 x

b) Tg2x e) Tg5x

c) Tg3x

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24

Sen 8xCos 3x  Cos 7 xSen 2x

4. Simplificar: E  a) Senx d) Cos2x

b) Cosx e) SenxCosx

5. Simplificar: E  a) Sen2 d) Cos2

Sen 2

2

21. Reducir: E 

Cos 80  2Sen 70Sen10

c) 1

3 d) 2

e) 0

7. Determine “x” en: (x agudo) 2Sen3xCosx – Sen4x = 1 a) 15°

b) 30°

c) 45°

d) 60°

e) 90°

8. Determine A + B. Si: Sen3x Senx + Cos5x Cosx = CosAx CosBx a) 2

b) 4

c) 6

9. Simplificar: E  a) Tgx d) Tg4x

b) 1/2

e) 10

2Sen 3xCosx  2Cos5xSenx Cos 6x  Cos2x

b) Tg2x e) Tg5x

10. Simplificar: E  a) 1

d) 8

c) Tg3x

1 – 4Sen10Sen 70 2Sen10 c) -1 d) –1/2

e) 2

11. Reducir: E = Sen3x Senx + Sen6x Sen2x – Sen5x Sen3x a) Sen4x b) 2Sen4x c) 1 d) 0 e) -1 12. Simplificar: E  a) 0,5Csc5 d) Csc5

2Sen 9Cos3 – Sen12 c) Sec5

b) Sen14 e) 0

c) Sen8

14. Reducir: E = Cos10° - 2Sen20° Sen10° b)

1 2

c)

3 2

d) 1

e)

b) -1

c) Sen5x

e) Cosx

2Sen 4xCosx – Sen 5x 2Cos 5xCos 2x – Cos 7 x b) Tg2x e) Tg5x

c) Tg3x

Sen 5xSenx  Cos 7 xCosx Cos 6x b) 2Cosx e) Cos4x

c) Cos2x

22. Reducir: E = (Sen2xSenx + Cos4xCosx)Sec2x a) Senx b) Cos2x c) 2Cosx d) Cosx e) Cos3x 23. Simplificar: E = Sen3x Cos2x + Sen3x Cos4x + Senx Cos6x a) 0 b) Senx c) Sen5x d) Sen3x e) Sen7x 24. Reducir: E = Cos5x Cos2x + Sen6x Senx – Cos4x Cosx a) Cosx b) Cos2x c) -Cosx d) –Cos2x e) 0 25. Transforma a suma o diferencia de senos: E = 4Senx Cos2x Cos4x a) Sen7x – Sen5x + Sen3x - Senx b) Sen7x + Sen5x - Sen3x - Senx c) Sen7x – Sen5x - Sen3x + Senx d) Sen7x + Sen5x + Sen3x + Senx e) Sen7x + Sen5x + Sen3x – Senx 26. Calcular el máximo valor de: a) d)

3 1 2 32 4

b)

32 2

e)

3 1 4

R  Cos(x  30º ).Cosx

3

D

a) 2 b) 3 c) 5 d) 1 e) 4

C

15. Reducir: E = Sen50° + Sen10° + 2Sen15° Sen5° a) Cos10° b) Cos20° c) Sen10° d) Sen20° e) Sen10° Cos20° 16. Reducir: E = 2Sen3xCosx – Sen2x a) Sen4x b) Sen3x c) Cos2x d) Cos4x e) Senx 17. Reducir: E = 2Cos3x Cosx – Cos4x a) Cosx b) Cos2x c) Sen2x d) Senx e) 1 18. Reducir: E = 2Sen3xCosx – Sen4x a) Cos2x b) Ctg2x c) Tg2x d) Sen2x e) Csc2x 19. Reducir: E 

3 1 2

c)

27. Calcular el máximo valor de AC, si BD = 4 BAC = BCD = 90º

13. Reducir: E = 2Cos11 Sen3 + Sen8

a) 0

a) Cosx d) 2Cos2x

Sen11  Sen  b) 0,5Sec5 e) 0,5

a) Sen7 d) 1

Senx

a) Tgx d) Tg4x

c) Cos

2 b) 2

Sen 5x

20. Reducir: E 

Sen110  – 2Cos 70Sen 40

6. Simplificar: E  a)

d)

c) Sen2x

Cos 4Cos3 – Cos5Cos2

b) Sen e) Sen4

1

a) 1

Sen10 x

A 28. Hallar “Tan” en el gráfico. a) 31/12 b) 41/12 c) 3/7 d) 21/43 e) 7/3

2Sen2x Cos3x  Senx 2Sen 4x Cosx – Sen3x

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 +30º

B

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29. Del gráfico, Hallar:

25

ECUACIONES TRIGONOMETRICAS ELEMENTALES

x+y x-y

Son de la forma:

a) 2 b) 2 c) 3 d) 3 e) 4

FT (ax + b) = N

Ejemplo: sen3x =

3 ; cos(x - π ) = 2 2 2 4

x   Tg     1 , etc. 2 3  ¿Cómo resolver? 30. si el área del triángulo sombreado es de 66m2 y además: Tan = 3/5, determine “d” a) 15 m b) 19 m c) 23 m d) 27 m e) 31 m

Senx =

2 2

Para este tipo de ecuaciones solo es necesario encontrar las dos primeras soluciones: Senx =

2 2

Observamos que el senx es positivo.

mayor que cero 45º, 135º

Por lo tanto las soluciones deben estar en el IC y IIC

sen(135º) sen(180-45) = sen45º =

2 2

por reducción al IC Por lo tanto las dos primeras soluciones son 45º y 135. Para obtener más soluciones se les va agregando o restando 360º a cada valor obtenido.

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

I. ECUACIONES NO ELEMENTALES

En los capítulos anteriores nos hemos dedicado al estudio de las identidades trigonométricas, es decir ecuaciones que contienen funciones trigonométricas que verifican para todo valor de la variable angular. Para lo cual estén definidas dichas funciones. (Valor Admisible). sen2x = 2senxcosx tg 3x =

sen3x cos 3x

Identidad Trigonométrica  Tgx + ctgx = secx cscx

Ecuación Trigonométrica

1 2

* Cos2x =

2sen23x = sen3x No extraiga raíz cuadrada o al hacerlo considere las dos raíces positivas o negativa una posibilidad sería utilizar las identidades de degradación. Ejemplo: Sen26x =

Sec2x + csc2x = sec2x csc2x

* Senx =

 Cuando la ecuación tenga factores comunes en ambos miembros no simplifique por que al hacerlo se eliminan valores del conjunto solución, el paso correcto es la factorización. Ejemplo:

Ahora veremos aquellas ecuaciones que contienen funciones trigonométricas que verifican sólo para ciertos valores (o que posiblemente, no verifican para ningún valor) a dichas ecuaciones las llamaremos ECUACIONES TRIGONOMETRICAS.



Son aquellas ecuaciones que requieren del uso de transformaciones e identidades trigonométricas para ser reducidas a ecuaciones trigonométricas elementales debido a la gran variedad de ecuaciones trigonométricas no elementales no existe un método general de solución solo daremos algunas recomendaciones.

3 2

En una ecuación trigonométrica la incógnita siempre está afectada por un operador trigonométrico. (seno, coseno, .... cosecante).  senx + cosx = 1 si es E.C. Trigonométrica  tgx + sec2x = 3 si es E.C. Trigonométrica  3x + tgx = 2 No es E.C. Trigonométrica

1 4

 No eleve al cuadrado la ecuación porque al hacerlo aumenta valores en el conjunto solución introduciéndose raíces extrañas. Una solución sería utilizar las identidades de ángulos compuestos. Ejemplo: senx + cosx = 1  Cuando los ángulos sean diferentes transforme a producto. Ejemplo: Cos5x + cos3x = 0

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GUÍA 4 - CIENCIAS

26

PROBLEMAS DE APLICACIÓN 2 1. Sume las tres primeras soluciones positivas de: cos = a) 580º d) 720º

b) 680º e) 400º

1

1. Sume las dos primeras soluciones positivas de: Senx =

2

c) 780º

a) 570º

2. Sume las tres primeras soluciones positivas de: Sen3x = a) 30º d) 120º

TAREA DOMICILIARIA 1

b) 60º e) 150º

1 2

c) 90º

2

x  [180º , 360> c) 180º

4. Indicar el número de soluciones si : tg2x – 1 = 0 0 < x < 360º b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

5. Indicar el número de soluciones si: 2sen3x + a) 1

3 =0 b) 2

0 < x < 180º c) 3

d) 4

e) 5

6. Sume las tres primeras soluciones positivas de: 2cos2x – 1 = senx a) 300º b) 350º d) 450º e) 500º 7. Resolver: a) /12

c) 400º

tg2x  3 Indicar la primera solución positiva tgx b) /4

c) 360º

d) 540º

e) 450º

2. Sume las tres primeras soluciones positivas de: tg2x = a) 180º b) 135º c) 150º d) 160º e) 210º

c) /6

d) /3

e) /15

8. Indicar el menor valor positivo si: Senx - 3 Cosx = 1 a) 30º b) 60º c) 90º d) 135º e) 180º 9. Resolver: cosx - 3 senx = 0 a) 30º b) 45º c) 60º 10. Resolver: ctgx – tgx = 2 3 a) 10º b) 20º c) 15º

(x : agudo) d) 75º e) 210º

d) 75º

e) 30º

2 2

Sen(3x + 15º) = a) 360º

c) 500º

d) 720º

e) 180º

4. tgx – 1 = 0  x  < 0,2 > Dar la suma de soluciones. a)  b) 3/2 c) 2

d) 5/2

e) 3

b) 270º

5. Resolver: (x : agudo) Senx - 3 cosx = 0 a) 30º b) 45º c) 60º d) 75º

e) 120º

6. Resolver: 1 + cos = 2sen2x Indicando la suma de sus dos primeras soluciones positivas. a) 180º b) 120º c) 200º d) 240º e) 360º 7. Resolver: sec2x = 3 tgx + 1. Indicando el número de soluciones positivas menores de 1 vuelta. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 8. Señale el número de soluciones positivas y menores de una vuelta. Si: tg2x = secx + 1 a) 1 b) 2 c) 3

d) 4

e) 6

9. Encuentra la menor solución positiva de la ecuación. cscx – senx = cosx a) /3 b) /6 c) /4 d) /2 e) /5 10. Halle el menor valor positivo que toma x en la ecuación.

1

3

1  cos x a) 30º



1

1  cos x b) 20º

8 c) 40º

d) 10º

e) 50º

11. Resolver: 4sen x = 3senx Indicando la mayor solución en 0 < x < 360º a) 180º b) 240º c) 300º d) 330º e) 210º

11. Resolver: tg3x = 3tgx Indicando la mayor solución en a) 180º b) 210º c) 240º d) 300º

e) 330º

12. Si se cumple: (tgx)tgx  2cos60º

12. Si se cumple que: cos2 + 3 sen2 = 0 Halle la menor solución positiva. a) 10º b) 75º c) 80º d) 20º

e) 40º

Halle los valores que toma x Si: x  < 0,2 > a) /8, /4 b) /3 , 5/4 d) /3 , /4 e) /8 , /6

c) /4, 5/4

13. Señale el menor valor positivo que verifica la ecuación. 3senx + 4cosx = 5 a) 30º b) 37º c) 53º d) 60º e) 45º 14. Resolver: a) /2rad d) /6

sen 7 x  senx sen3x b) /4 e) /10

1 c) /3

15. Calcule la menor solución positiva de la ecuación: Senx + sen3x + sen5x + sen7x = 0 a) /3 d) /6

b) /4 e) 2/3

3

3. Calcular: Las tres primeras soluciones positivas de:

3. Resolver : Sec(2x – 45º) = a) 45º b) 30º d) 225º e) 315º

a) 1

b) 180º

2 2

13. Resolver: Sec2x + tg2x = 3 a) 135º b) 225º d) a y b e) a y c

(cosx < 0) c) 240º

14. Resolver : nsen2x + (n + 2)cos2x = n + 1; (senx > 0) a) 45º , 135º b) 30º , 150º c) 60º , 120º d) 30º , 120º e) 60º , 150º 15. Resolver: a) 5º

c) /5

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sen5x  senx 3  cos5x  cos x 3 b) 10º

c) 15º

d) 10º

e) 30º

GUÍA 4 - CIENCIAS nπ

SOLUCION PRINCIPAL Y SOLUCION GENERAL

PROBLEMAS DE APLICACIÓN 3

1. Resolver: sen2x = 1 d) n + (-1)n π

b) n + (-1)n π

e) nπ +(-1)n 

8

2

4

c) nπ +(-1)n π

2

4

2. Resolver: sen3x = 0 b) nπ

a) n

c) 3n

3

d) n + (-1)n

3. Resolver:

π 2

3

b) nπ + π

3

c) nπ + π

3

9

d) nπ +(-1)n π

 b) nπ + (-1)n

e) nπ

10

c) nπ

tg2x = 1 b) n + π

d) nπ + π 8 2

e) nπ 2

4

8

c) nπ + π

2

4

6. Resolver: tg  3x   1 2 a) 2nπ

3 n d) π + π 6 6

12 n π n π d) + (-1) 2 6

 c) nπ +

16

4

4 e) nπ 3

16

11. Resolver: sen5x + senx = sen3x a) nπ

b) n  π

d) a  b

e) b  c

c) nπ

6

b) nπ

2

3

c) nπ

4

d) nπ

8

e) nπ

16

sen7x  sen3x  3 cos 7x  cos 3x

13. Resolver:

a) n + π

π 12

π 18



b) nπ

a) n

3

6



12. Resolver: 2cos7xcos3x – cos10x = 1

6

2

nπ 4

b) n + (-1)n π

6 π c) n + (-1)n 3 n π e) + (-1)n π 2 12

6

2

36

a) n + (-1)n π

2

a) nπ + (-1)n π

c)

π - x) – sen2 ( π - x) = 1 4 4 2

d) nπ + π

4. Resolver: sen6x = 1

5. Resolver:

6

2

3 6 e) nπ  π 6

3

3

e) nπ

π 18

a) nπ d) nπ + π

6



b) n  12

cos x  cos 7x

6

3

a) n + π

3

nπ d) 4

π

π 2

10. Resolver: sen7x  senx  1

e) nπ +(-1)n π

tg3x =



9. Resolver: Cos2 (

π 2

a) n + (-1)n

a) 2

27

a) n + π

3 d) nπ  π 6 15

b) nπ  π

5

15 e) n + π 6

c) n+ π

15

14. Resolver: Cos3x + cosx = 0 b) 2nπ + π

6 3 n π π e) 6 6

c) 2nπ - π

3

6

a) 2n  π

b) n  π

d) a y b

e) a y c

2

4

c) 2n  π

4

15. Resolver: Cos3x – cos5x = 0

  7. Resolver: tg  2x    1 5  

π 2 40 c) nπ + (-1)n π 2 20 a) nπ +

a) nπ

4

b) nπ + π

2 20 n π d) +(-1)n π 2 40

d)

4nπ 3

b) nπ

3

c) nπ

2

e) nπ

6

e) nπ - π

2

20 TAREA DOMICILIARIA 2

8. Hallar la solución general de: Sen4x + cos4x = 7 8

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GUÍA 4 - CIENCIAS

28

a) n + (-1)n π

12 e) n + (-1)n π 12

12

2

d) π n + (-1)n π

15

2

c) πn

b) π n + (-1)n π

6

2. Resolver: cos2x =

c) n  π

a) nπ  π

3 n e) π 3

b) nπ

2

3

e) nπ + (-1)n π

2

4

12. Resolver: sec2x + csc2x = 4 c) nπ  π

18

2

36

4. Resolver: cos3x = 1 a) nπ

n π + (-1)n 2 2

d)

4

b) nπ + π

36 3 n π d) + π 5 3

4

c) n + (-1)n π

3 /2

3. Resolver : cos6x =

π 2

b) n + (-1)n 

8

4 e) 2n  π 2

c) (4n + 1) π

4 e) (2n – 1) π 3

senx  cos x  1 sec x csc x

a) n + (-1)n

b) n  π

2 d) n  π 16

3 d) (4n – 1) π 4 11. Resolver:

2 /2

a) n  π

b) (2n +1) π

a) (4n + 1) π

1. Resolver: Sen2x = 1/2

π 2 d) n  π 8

c) n  π

b) 2n  π

a) n 

4

4 e) n  π 16

13. Resolver: sen5x – senx = 0 c) 2nπ

3

d) nπ

4

e) nπ

5

a) nπ

b) 2nπ + π

d) a y b

e) a y c

2

6

3

c) 2nπ  π

3

3

5. Resolver: cos2x = 1 a) n

b) 2n

c) 3n

d) 3nπ

2

14. Resolver: sen3x  senx  3 cos3x  cos x

e) nπ

2

6. Resolver: tg5x = 1

b) nπ + π

d) nπ  π 6 2

 e) n  12

3

a) nπ + π

c) nπ + π

b) nπ + π

12 5 n π π e) 5 12

10

5 n d) π 5

a) n + π

5

20

a) nπ

b) nπ  π

d) a  b

e) a  c

3

b) nπ + π

c) nπ + π

b) nπ  π

c) nπ  π

16 4 n π e) + π 8 8

4

d) nπ + π 2 16

2

4

8. Resolver: sen26x = 1/4 a) nπ  π

6 10 n π d)  π 36 6

6

6 12 n e) π - π 5 6

30

9. Resolver: sen6x + cos6x = 1 a) nπ

2

b) nπ

3

c) nπ

4

c) n  π

3

15. Resuelve: sen7x – senx = sen3x

7. Resolver: tg4x = 1 a) n + π

6

2

d) nπ

6

e) nπ

8

10. Resolver: tg4x + ctg4x = 2

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2

12

c) nπ - π

2

2