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• Luis Eduardo Rangel Martinez

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Nombre de la materia: Rodrigo Aguilar Domínguez

Nombre del docente: Ing. Francisco González Vera

Carrera: Ingeniería mecatrónica

Semestre: Quinto semestre

Nombre del alumno: Rodrigo Aguilar Domínguez

Nombre de la tarea: Investigación: Series de Fourier

Fecha de entrega: 11 de septiembre del 2018

INTRODUCCIÓN A finales del siglo XVIII Jan Baptiste Joseph Fourier (168 – 1830) descubrió un método

que

permite

aproximas

funciones

periódicas

mediante

combinaciones lineales de funciones trigonométricas sencillas. Se dará una descripción de los diversos métodos que se han ido empleando y se emplean actualmente para encontrar condiciones necesarias para que las series de Fourier respecto de un sistema ortogonal converjan tanto en media de un trozo de función, como en casi todo un punto. Se hace hincapié en las series de Fourier de polinomios ortogonales en [-1,1], ya que las condiciones que aquí aparecen son particularmente atractivas y sencillas de aplicar. Se analizarán los métodos de convergencia entre la serie de Fourier y una función representada gráficamente. Se considerará la derivación e integración de las series de Fourier, las condiciones, qué se obtiene con cada una, y una fórmula que relaciona una igualdad de la convergencia y divergencia a una función. Se considerará la forma compleja de Fourier, y las características que se pueden apreciar al tratarse de una función par o impar.

CONVERGENCIA DE FOURIER Proposición. Los coeficientes de Fourier de una función la llamada “desigualdad de Bessel”:

verifica

Nota: 1. En particular, los coeficientes de Fourier convergen a cero cuando n tiende a infinito. Teorema. Sea ||∙||2convergente a la función

una función cuya serie de Fourier sea , es decir:

(Las sumas parciales de la serie de Fourier) entonces

En ese caso, se verifica la identidad de Parseval:

Definición. Un sistema ortonormal de funciones se dice que es completo cuando la serie de Fourier de cualquier función integrable es ||∙||2 convergente a la función.

Teorema. Los sistemas trigonométrico y exponencial son completos. Notas: 1. Por tanto, la serie de Fourier de una función

es ||∙||2

convergente a . 2. La completidud del sistema trigonométrico es consecuencia de un importante teorema de Weiertrass, que asegura que toda la función continua en un intervalo cerrado y acotado es el límite uniforme (es decir, en ||∙||∞) de una sucesión de polinomios.

DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE FOURIER La diferenciación término a término de una serie de Fourier no siempre es posible. Por ejemplo, la función en

definida en

periódica

tiene como serie de Fourier asociada

, Que tiene una derivada término a término

Serie divergente para todo 𝑥. No sólo eso, sino que esta serie no puede ser la serie de Fourier asociada a ninguna función en virtud de la igualdad

Teorema (Diferenciación). Sea una función continua 2𝜋 periódica con derivada suave en trozos en [−𝜋, 𝜋]. Entonces tiene una serie de Fourier que puede ser obtenida derivando término a término la serie de Fourier de . La serie así obtenida converge puntualmente a en los puntos donde discontinua.

sea continua, y a

donde

sea

Teorema (Integración). Sea una función 2𝜋 periódica continua a trozos en [−𝜋, 𝜋]. Entonces la serie de Fourier de se puede integrar término a término en cualquier intervalo finito, obteniéndose una serie que converge puntualmente a una primitiva .

FORMA COMPLEJA SERIE DE FOURIER Teniendo en cuenta las relaciones

El desarrollo en serie de Fourier para una función periódica de periodo P

Se expresa de la siguiente forma alternativa

SERIE DE FOURIER PARA FUNCIONES PARES E IMPARES Definición. Una función para todo

se llama una función par si

. La función se llama impar si cumple

.

Los gráficos de las funciones pares son simétricos con respecto al eje de las ordenadas, y el gráfico de funciones impares es simétrico con respecto al origen (simetría radial). Cos (x) es el ejemplo típico de una función par, mientras que sen(x) es impar. Se verifica sin dificultad que las funciones trigonométricas , son todas pares, y que , son todas funciones impares. La paridad de funciones se conserva en las operaciones de suma y multiplicación. De hecho, se tiene:

Multiplicados Par Par Par Impar Impar Par

Producen Par Impar Par

Otra propiedad importante es la siguiente

Teorema. Si series de Fourier de

es una función impar, entonces la representación en está dada por

Teorema. Si series de Fourier de

es una función impar, entonces la representación en está dada por

Ejemplo. Calcular la representación en series de Fourier de . Como entonces para todo

es una función impar y es continua en se tiene

Integrando por partes, tenemos:

Luego:

Nótese que la representación en series de Fourier de no coincide con cuando 𝑥 = 1. En efecto, al evaluar la serie de en 𝑥 = 1 se obtiene el valor cero (𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜋) = 0 para todo 𝑛). Más es claro que 𝑓(1) = 1.

CONCLUSIÓN La serie de Fourier es aquella serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica. Nos sirve igualmente para poder representar cualquier señal sumando únicamente senos y cosenos que deben de tener una frecuencia múltiplo de la primera. Al tratarse de un método numérico, no nos entrega una solución exacta como tal, sino una aproximación que, mientras más iteraciones se elaboren, más semejante será a la solución real. De estos se acompañan métodos de integración y derivación, con los cuales, puede separarse la función en trozos para así solucionar más fácilmente el problema. Dichas funciones tienen características al tratarse de pares o impares; Dichas características nos permiten conocer el comportamiento de la función sin necesidad de desarrollarla por completo, y así, ahorrando mucho tiempo y errores. Considero que es un método numérico un tanto complejo, ya que hay que tener conocimientos previos de cálculo, a diferencia de algunos otros métodos que consisten en fórmulas iterativas sencillas. Cabe recalcar que es mucho menos pesada que varios métodos de fórmulas sencillas.

Bibliografía 

Jornet, D., & Montesinos, V.. (Desconocido). Matemáticas. septiembre 10, 2018, de Universidad Politécnica de Valencia Sitio web: http://personales.upv.es/vmontesi/data/ficheros/Docencia/AMA/Todo.pdf

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Matrinez, M., Silva, C., & Villalobos, E.. (2010S). Series e integrales de Fourier. septiembre 10, 2018, de Universidad de Santiago Chile Sitio web: https://sergioyansen.files.wordpress.com/2012/01/serie_de_fourier_2010_1.pdf



Varona, J.. (2005). Condiciones necesarias para la convergencia de Fourier. septiembre 10, 2018, de Universidad de La Rioja Sitio web: http://www.unirioja.es/cu/jvarona/downloads/Varona-rmuv.pdf