• Author / Uploaded
• Alejandra Lorenzo

• Categories
• Orbita
• Gravedad
• Elipse
• Fuerza
• Asistencia por gravedad

Citation preview

Dinámica orbital Trayectorias espaciales y su determinación

Las leyes de Kepler Primera ley: los planetas se mueven a lo largo de órbitas elípticas con el Sol en uno de sus focos Segunda ley: las áreas barridas por el radiovector en tiempos iguales son iguales Tercera ley: el cubo de los periodos orbitales es proporcional al cuadrado de los semiejes mayores

1

Las primeras ideas de Kepler giraban en torno a una filosofía de perfección celeste, representada por los sólidos regulares

2

Retrato de Johannes Kepler "By the study of the orbit of Mars, we must either arrive at the secrets of Astronomy or forever remain in ignorance of them."

3

4

Tycho Brahe

5

6

Las observaciones de Tycho Brahe se centraban En la determinación de las Posiciones de los planetas

7

Ilustración de la segunda ley de Kepler 8

Newton y la gravitación Isaac Newton encontró que la fuerza gravitatoria ejercida entre dos cuerpos de masas M1 y M2 se puede expresar como

 M 1M 2  F  G r 3 r 9

Newton y la dinámica Primer principio: todo cuerpo sobre el que actúa una fuerza neta nula, permanece en reposo o se mueve con velocidad constante Segundo principio: la aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta ejercida sobre él, e inversamente proporcional a su masa Tercer principio: Si un cuerpo A efectúa una fuerza F sobre un cuerpo B, éste ejerce una fuerza sobre el cuerpo A de igual módulo y dirección, pero de sentido opuesto (ley de acción-reacción) 10

11

Combinando los tres principios de Newton con la ley de la gravitación universal se pueden deducir las tres leyes de Kepler La ecuación del movimiento de un satélite será entonces

       Fext  Fg  Froz  Fimp  F3C  Fotros

donde Fg es la fuerza de la gravedad, Froz el rozamiento con la atmósfera, Fimp la fuerza de impulsión generada por motores u otros métodos, F3C la atracción gravitatoria creada por otros cuerpos y Fotros el resto de fuerzas que pueden afectar al movimiento de un satélite 12

13

Ejemplo de fuerza debida a un tercer cuerpo Comparación entre la atracción ejercida sobre la Luna por la Tierra y por el Sol. MSol = 1.99 ×1030 kg MTierra = 5.98 ×1024 kg MLuna = 7.33 ×1022 kg dSol-Luna = 1.49 ×1011 m dTierra-Luna = 3.84 ×108 m

FSol  Luna  2  FTierra  Luna

! 14

15

16

El problema de los dos cuerpos restringido Si bien a priori parece simple, no se ha conseguido encontrar una solución matemática analítica a las órbitas descritas por un sistema formado por tres cuerpos sometidos a los influjos de sus respectivas atracciones Para los casos que nos interesan, podemos efectuar muchas simplificaciones de la ecuación anterior: – Suponemos que sólo actúa la fuerza de la gravedad – Se supone que la masa del satélite es despreciable frente a la masa del cuerpo primario – Se asume que la Tierra posee simetría esférica 17

Así, la ecuación del movimiento se reduce a

 Mm d 2r Fg  G 2  m 2 r dt cuya solución es la ecuación de las cónicas

a (1  e 2 ) r 1  e cos En la ecuación anterior están implicitas las tres leyes de Kepler

18

Constantes del movimiento orbital Como el campo gravitatorio es conservativo, tanto la energía mecánica como el momento angular se conservan 1. Energía mecánica específica

v2 G M   2 R de donde se deduce que la velocidad orbital es  GM  v  2    R  19

Se puede demostrar de forma sencilla que

GM   2a lo que nos da los siguientes casos:  < 0 órbita ligada (elipse)  = 0 órbita abierta (parábola)  > 0 órbita abierta (hipérbola) El periodo orbital es

1/ 2

 a   T  2   GM  3

y cumple la tercera ley de Kepler 20

2. Momento angular orbital Recordemos que el momento angular se conserva cuando el momento neto de las fuerzas externas es nulo.

h  Rv La conservación del momento angular orbital asegura que el plano de la órbita no cambia con el tiempo.

21

22

23

Órbitas elípticas Radio del periastro a (1  e 2 ) Rp   a (1  e) 1  e cos(0)

Radio del apoastro a (1  e 2 ) Ra   a (1  e) 1  e cos(180 )

e=c/a es la excentricidad 24

Caracterización orbital Para fijar la posición en el espacio y su evolución futura necesitamos 6 cantidades (obtenidas de las condiciones iniciales).

Existen tres maneras de proporcionar la posición: 1. Matemática: posición y velocidad inicial. 2. Física: energía, momento angular orbital específico y posición del periastro. 3. Geométrica: elementos orbitales clásicos (EOC). Los EOC dan la forma, tamaño y orientación de la órbita, así como la posición del satélite en ella. 25

Elementos Orbitales Clásicos (EOC) Para determinar la posición y la velocidad de un objeto en el espacio necesitamos seis cantidades (posición y velocidad vectoriales) Los EOC dan la forma, tamaño y orientación de la órbita, así como la posición del satélite 26

Los EOC son los que siguen 1. Semieje mayor (a) 2. Excentricidad (e) 3. Inclinación (i) 4. Longitud del periastro (W) 5. Argumento del perigeo (w) 6. Anomalía verdadera ()

27

1. Semieje mayor (a): Determina el tamaño de la órbita; en el caso de las órbitas elípticas corresponde al diámetro mayor de la elipse 2. Excentricidad (e): Mide la desviación de la órbita con respecto a la circunferencia. Puede adoptar los valores entre 0 e infinito: e=0 e1

círculo elipse parábola hipérbola

28

Geometría de una elipse 2a

2b F’

F q

p

p  a (1  e 2 )  h 2 / GM

Semilatus rectum

2c

29

Geometría de una elipse (2)

30

31

3. Inclinación (i): angulo formado por el plano orbital con un plano de referencia; en el caso de la Tierra, este plano es el ecuatorial. Se define como el ángulo entre el momento angular y el eje de rotación terrestre Adopta valores entre 0º y 180º – i = 0º ó 180º – i  90º

órbita ecuatorial órbita polar

– 0º i i para órbitas directas o l>180º-i si es retrógrada 89

2. Hay una sola ventana de lanzamiento si l=i para órbitas directas o l=180º-i si es retrógrada 3. Hay dos ventanas de lanzamiento si l