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• Mauricio Casanova

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APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

TRIGONOMETRÍA Breve reseña histórica:

Hiparco, hace dos mil doscientos años, y considerado una autoridad entre los astrónomos griegos, creó esta ciencia en vista de la necesidad que de ella t e n í a e n l a A s t r o n o m í a . E s t e s a b i o c o n o c i ó l a f ó r m u l a q ue e n l a a c t u a l i d a d denominamos Pitagórica en la cual la unidad es igual a la suma de los cuadrados del seno y el coseno del ángulo. Ptolomeo, otro astrónomo griego, fue quien realizó trabajos, alrededor del siglo II, de trigonometría incorporando nuevas y variadas fórmulas no conocidas por los antiguos Griegos. L o s t r a b a j o s d e P t o l o m e o s e e n c u e n t r a n e n l a o b r a l l a m a d a C o m p o s i c i ó n en la que hace referencia a las fórmulas de la función de la suma y diferencia de ángulos Abu’l Wefa a finales del primer mil enio es otro matemático, árabe, que introdujo nuevas relaciones trigonométricas, como los conceptos del ángulo mitad y de la relación de la tangente en función del seno y coseno Johan Müller (1436 –1476), matemático y astrónomo alemán, conocido como Reg i o m o n t a n o , e s c r i b i ó l a o b r a : D e t r i a n g u l i s o m n i m o d i s l i b r i q u i n q u e q u e f u e el primer tratado de Trigonometría rectilínea y esférica escrito por un europeo. En esta obra consta una tabla de senos y de tangentes . R e c o m i e n d a c o n i n s i s t e n c i a , y c r e e m o s c o n mu c h a r a z ó n , e l e m p l e o d e l a función tangente, como la función que proporciona resultados más exactos. Este autor es considerado como el creador de la Trigonometría moderna. Pero el que más sobresale es Francisco Viéte, contemporáneo de Müller, quién compl etó el sistema trigonométrico de los árabes. Es el primer autor de fórmulas analíticas que sirven para la resolución de triángulos oblicuángulos; recomienda reglas para la construcción de senos, de las tangentes y de las secantes. Es el autor de la ley de las tangentes que muy pocos conocen. El origen de la palabra Trigonometría apareció impreso, por primera vez, como título de la obra del alemán Martolomé Pitiscus en 1.600: Trigonometría, sive de solutiones tractatus braveéis et perspicuus , y fue luego universalmente adoptada. La expresión líneas trigonométricas es del padre Jesuita Vicente Riccati. La denominación funciones trigonométricas fue introducida por el alemán George Klúgel, y en el siglo XIX se comenzó a usar la expresión funciones circulares L a p a l a b r a R a d i a n o r a d i a n t e apareció impresa por primera vez en 1873.

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La definición de funciones circulares, basadas en las coordenadas de un punto y la distancia de éste al origen, se remonta, en su primera idea, a la obra T r i g o n o m e t r í a p i a n a y s f e r ic a ( 1 8 0 0 ). E s t a s d e f i n i c i o n e s , c o m o e s conocido, tienen actualmente preferencia sobre aquellas en que se recurre al círculo trigonométrico, aunque se intenta regresar a las definiciones por coordenadas ya que son las que el estudiante las conoce y observa mejor . DEFINICIÓN: Trigonometría, etimológicamente hablando, significa medida de los triángulos, es decir el cálculo del valor de uno de sus elementos. Puede definirse como la ciencia que estudia las relaciones que ligan los lados y los ángulos de un t ri á n g u l o , y a p l i c a d i c h a s r e l a c i o n e s a l c á l c u l o d e l o s e l e m e n t o s d e s c o n o c i d o s 1 de aquel.

ALGUNOS DATOS UTILES PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS :

Radio de la tierra (ecuatorial) Radio de la tierra (polar) Radio medi o adoptado Diámetro ecuatorial Superficie terrestre Volumen de la tierra Tiempo de rotación sobre el eje Velocidad de rotación Distancia Tierra - Luna Distancia Tierra - Sol

6 378,19 km 6 366,78 km 6 371 km 12 756,78 km 6 2 510 101 x 10 k m 6 3 1 083 x 10 km h m s 23 56 4.09 29,79 km/s 384 000 km 6 150 x 10 km

El nudo ("knot") La velocidad expresada en nudos, o milla náutica (MN / hora) es una herencia de la marina inglesa que calculaba la velocidad de sus buques mediante la llamada cor redera de barquilla, inventada por William Bourne en 1579 y que se utilizó desde finales del siglo XVI hasta el XIX. La velocidad expresada en nudos se determinaba por el número de "nudos" que practicados a 15,43 m de distancia, en una cuerda arrollada en un cilindro, salían de la cuerda, i arrastrada por un flotador lanzado al agua por la popa.

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Trigonometría rectilínea . agustín anfossi ING HERNAN ABARCA V.

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El nudo es una unidad, universalmente adoptada, es sinónimo de millas por hora

de velocidad en el mar y

L A M I L L A T E R R E S T R E ( m ) Y L A M I L L A N Á UT I C A ( M N )

1 yarda = 3 pies 2 yardas = 1 braza 11 brazas = 1 cadena

1 pulgada = 2.54 cm 1 pie = 12 pulgadas

1 milla = 5.280 pies 1 pie = 0,3048 m 1 m illa = 1.609 m 1 MN

= 1.852 m

1 milla náutica (MN) = 1.15 millas terrestres (m)

1 milla terrestre = 1.609

m

1 Milla Náutica =

m

1.852

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CAPITULO 1

LONGITUD DE ARCO

E s u n m i s m o c í r c u l o , o e n c í r c u l o s ig u a l e s , s e c u m p l e q u e l o s a r c o s s o n proporcionales a los respectivos ángulos centrales subtendidos medidos en radianes.

?1 ? = R1 R

Debemos tener claro que a mayor ángulo central, mayor arco subtendido por l o s l a d os , e s d e c i r l a r e l a c i ó n e s d i r e c t a m e n t e p r o p o r c i o n a l . Esta es la primera aplicación en donde los radianes (medida angular) se relacionan con las medidas lineales (radio) Partiendo del enunciado del teorema: Si θ 1 = 1 r a d i á n

entonces

L1 = r a d i o = R

E n l a f ó r m u l a:

?1 ? = R1 R R e e m p l a z a m o s l o s v a l o r e s d e L1 y θ 1.

R L = 1 θ 8

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∴

R *θ = L

⇒

L = R *

θ

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Siempre que θ sea medido en radianes, caso contrario es necesario la trans f o r m a c i ó n r e s p e c t i v a . Si tenemos en grados sexagesimales. L = R * θ * π / 180º

Si tenemos en milis. L = R * θ / 1000 En definitiva la fórmula calcula la longitud de un arco cualquiera en función del radio y del ángulo central engendrado, medido en radianes. Este ángulo central puede ser por ejemplo: - π / 2 radianes ,entonces

L = R*π / 2

- π radianes, entonces

L = r * π

(semicircunferencia)

S i e l á n g u l o e s g e n e r a d o e n u n a v u e l t a c o m p l e t a . ( θ = 2π )

L = 2π *

R

FORMULA PARA LA LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA

NOTA : P a r a a l g u n a s a p l i c a c i o n e s d e e s t a f ó r m u l a c o n m i l i s e s n e c e s a r i o hacer cierta consideración: cuando el radio (distancia) es grande, y el ángulo α relativamente pequeño.

Como se puede apreciar en el dibujo el arco AB es similar el segmento AB y p o r e n de s u c á l c u l o p u e d e h a c e r s e c o n e s t a s i m p l e f ó r m u l a .

AB como arco es similar AB como cuerda

Es verdad que matemáticamente el arco es diferente de la cuerda que une los extremos del arco pero para efectos de aplicabilidad de este sistema. (Aplicaciones específicas en el campo militar) es suficiente el grado de aproximación que hemos asumido. Este concepto será aplicado más adelante para varias demostraciones, por lo que el estudiante debe manejar este criterio. Varias deducciones de fórmulas, en espec ial de cálculo integral se basan en esta apreciación. 9 ING HERNAN ABARCA V.

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EJEMPLO: 1) Indicar la medida en radianes y grados sexagesimales del ángulo central subtendido por un arco de 30 cm en un círculo de radio 20 cm. l = 30 cm l = θ * r ∴

r = 20 cm θ = l / r en radianes

⇒

θ = 30 / 20 = 1.5 rad.

1.5 * 180 / π = 85.9436692º = 85° 56’ 37” Se nota que θ n o t i e n e u n i d a d . S e e s t a b l e c e q u e s e t r a t a d e r a d i a n e s

2) Si una rueda de 20 cm de radio, gira 90 vueltas en un minuto, qué distancia recorre la rueda en un segundo

La rueda en un segundo gira 1.5 vueltas (90 vueltas en un minuto / 60 segundos) En 1. 5 vuelta se general

1.5 * 2 π r a d i a n e s

La distancia recorrida será segundo

l = R * θ

=

= 9,425 radianes / segundo

20 cm * 9,425 rad. = 188.5 cm /

3 ) Que distanci a recorre en un minuto una bicicleta que tiene una llanta de 40 cm. de radio y una catalina de 14 cm. de radio. El ciclista pedalea 1 vuelta /segundo. El piñón está soldado a la llanta y tiene 6 cm de radio.

En una vuelta la catalina desarrolla:

2 π * 14 = 28 π c m .

El piñón en una vuelta desarrolla:

2 π * 6 = 12 π c m .

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Relación de distancias desarrolladas:

28 p = 2.33 12 p

E s t a r e l a c i ó n si g n i f i c a q u e m i e n t r a s l a c a t a l i n a g e n e r a 1 v u e l t a / s e g u n d o e l p i ñ ó n g e n e r a 2 . 3 3 v u e l t a s e n e s e m i s m o s egundo. Si el piñón gira 2.33 vueltas / segundo, y como está soldado a la llanta, ésta también girará 2.33 vueltas / segundo. L a l l a n t a r e c o r r e 2 π * R = 2 * 40* π c m e n u n a v u e l t a . P e r o c o m o s o n 2 . 3 3 vueltas ⇒ 2.33 * 80 * π c m . = 5 8 5 . 5 9 c m e n 2 . 3 3 v u e l t a s / s e g u n d o ∴

586.59 cm. * 60 segundos = 35.136 cm. = 351,36 m en 1

minuto

SECTOR CIRCULAR (FORMULA PARA EL AREA)

S i e l á n g u l o s e m i d e e n grados 360° g e n e r a n u n á r e a d e θº

π r

2

g e n e r a u n á r e a d e:

Area =

θπr 2 360 °

(1)

Si el ángulo se mide en radianes

2π

→

α

→

π r

2

A (sector)

Area =

αr 2 2

(2)

2

p r = area del círculo

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Tomando en cuenta la longitud de arco podemos deducir otra fórmula para el area del sector Circular:

∆L * r 2 B ∆L * r S= A 2 S=

∫

S=

Ejemplo: Si θ = 40º por las tres fórmulas.

y

2

2

A r e a = ½ ( 4 0 º * π / 180 * 10 ) = 3 4 . 9 1 c m

Con (2)

Area = 40º * π * 10 / 360º = 34.91 cm

Con (3)

Area = ½ (40º * π / 180º *10) * 10 = 34.91 cm

2

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(3)

r = 10 cm. Comprobar el área del sector circular

Con (1)

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L* r 2

2

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PROBLEMAS 1. E l p é n d u l o d e u n r e l o j m i d e 8 4 c m y o s c i l a a l o l a r g o d e u n a r c o d e 2 1 cm. Encontrar el ángulo que genera el péndulo y el área del sector 2 c i r c u l a r q u e s e f o r m a . Rp = 14º 19’ 26” y 882 cm .

2. U n a m i l l a n á u t i c a es la longitud del arco que subtiende un ángulo central de 1 minuto. Si el diámetro de la tierra es 7.927 millas encuentre cuántas millas terrestres existe en una milla náutica. Rp = 1.15 millas terrestres.

3.

Un tramo de carretera esta formado por dos arcos unidos por una tangente de 50 m. Al primer arco le corresponde un ángulo central de 20º y un radio de 2.500 m y a la segunda curva le corresponde un ángulo central de 25º con un radio de 3.000 m. Encontrar la longitud de es t e t r a m o d e c a r r e t e r a Rp: 2232 m.

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4. L a r u e d a d e u n a u t o m ó v i l t i e n e 3 0 p u l g a d a s d e d i á m e t r o . C u á n t a s revoluciones por minuto (r.p.m.) gira la rueda cuando el automóvil m a n t i e n e u n a v e l o c i d a d d e 4 5 m i l l a s p o r h o r a ( m p h ) R p = 5 0 4 r p m.

5. C u a l e s l a v e l o c i d a d e n K m . / s e g d e l a t i e r r a e n s u m o v i m i e n t o d e traslación y en su movimiento de rotación. Radio de la tierra = 6.371 6 Km. Distancia al sol = 150 * 10 k m . R p = 2 9 . 8 k m / s e g . y 0 , 4 6 k m / s e g

6. E l m i n u t e r o d e u n r e l o j m i d e 6 c m . Q u e d i s t a n c i a r e c o r r e e n 3 3 m i n u t o s el extremo del minutero y cuál es el área que se genera? Rp = 20.74 2 cm y 62,2 cm

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7. Una rueda de un molino tiene 2 m. de radio y gira a razón de 80 r.p.m. Encontrar la distancia que recorre en un seg undo, un punto del borde de la rueda. Rp. 16,8 m/s

8. U n a c o l i n a , c u y a a l t u r a e s d e 1 0 2 p i e s , s u b t i e n d e u n á n g u l o d e 2 7 m i l i s al ser observada desde un punto situado en terreno llano. Desde el m i s m o p u n t o d e o b s e r v a c i ó n , s e d i v i s a , e n l a f al d a d e l a c o l i n a , u n a trinchera de artillería con un ángulo de elevación de 12 milis. ¿A qué a l t u r a , s o b r e l a b a s e d e l a c o l i n a , s e e n c u e n t r a l a t r i n c h e r a ? Rp = 45,33 pies

9.

U n a p o l e a d e 1 0 c m d e d i á m e t r o e s t a s u j e t a e n u n a v i g a . A l g i r a r 5π / 2 radianes, que altura levanta un peso que está en el extremo de la c u e r d a. R p . = 3 9 , 3 c m.

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10. S i l a p o l e a a n t e r i o r g i r a 6 0 º e n u n s e g u n d o , a q u é v e l o c i d a d s e m u e v e el peso. R p : 5 . 2 4 c m / s e g

11. Q u e d i s t a n c i a m e d i d a s o b r e l a c o r t e z a t e r r e s t r e e x i s t e e n t r e Q u i t o , Bogotá y Nueva York si se conoce que las tres ciudades se encuentran en el mismo meridiano y con latitudes aproximadas de: 0°, 10º y 40º r e s p e c t i v a m e n t e d e L a t i t u d N o r t e . Rt i e r r a = 6 . 3 7 1 K m . Rp. Q -B = 1 . 1 1 2 Km, Q-NY = 4.448 Km.

12. U n a r u e d a d e b i c i c l e t a t i e n e u n d i á m e t r o d e 6 6 c m , q u é d i s t a n c i a recorre luego de 12 revoluciones. Si la bicicleta recorre 160 m, ¿cuántas revoluciones ha dado la rueda? Rp. 24,88 m, y 77,17 vueltas.

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13. E l á n g u l o b a j o e l c u a l se m i r a e l d i á m e t r o d e l s o l e s a p r o x i m a d a m e n t e medio grado. Hallar el valor aproximado del radio del sol. Rp. 654.500 km.

14. E n u n a p i s t a c i r c u l a r c u y o r a d i o e s 1 . 0 0 0 m s e e n c u e n t r a n l o s p u n t o s A y B , los cuales subtienden un ángulo central de 135º. Una bicicleta cuyas ruedas tienen 60 y 80 cm de diámetro respectivamente circula sobre la pista. Cuantas vueltas debe dar cada una de las ruedas para ir desde A hasta B. Cuál es la relación del número de vueltas entre las d o s r u e d a s . R p . 1 . 2 5 0 y 937 vueltas. La relación es 1.33.

15. L a p l u m a d e l p a r a b r i s a s d e u n a u t o m ó v i l t i e n e 3 0 c m d e l a r g o y e s t á unida en su mitad con el brazo de la pluma cuya longitud es 40 cm. Si el conjunto de brazo y pluma barren un ángulo de 100º. Qué superficie es limpiada por la pluma. Rp: 2.094.4 cm

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16. U n s a t é l i t e d e s c r i b e u n a ó r b i t a c i r c u l a r a l r e d e d o r d e l a t i e r r a a u n a altura de 533 K. En cierto intervalo de tiempo su radio vector (origen en el centro de la tierra) genera un ángulo de 15º. Qué dist ancia se d e s p l a z a e n e s e i n t e r v a l o ? Rt i e r r a = 6 3 7 1 K m . R p : 1 8 0 7 , 4 6

17. E n u n s e c t o r c i r c u l a r c u y o á n g u l o c e n t r a l e s 2 π / 7 y d e 1 2 m . , d e r a d i o se inscribe un círculo. Hallar la medida del radio del círculo inscrito, si s e c o n o c e q u e l a l o n gi t u d d e s u c i r c u n f e r e n c i a e s i g u a l a l a l o n g i t u d d e l a r c o c o r r e s p o n d i e n t e a l s e c t o r c i r c u l a r . Rp: 1.71 m.

18. Dos puntos A y B parten al mismoo tiempo en las direcciones indicadas. S i l a r e l a c i ó n d e l a s v e l o c i d a d e s e n t r e A y B e s < c o m o 2 0 / 1 9 , ca l c u l a r e l < A cuando se encuentran en P. Rp: 0.85 rad.

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CAPITULO 2

EL ANGULO EN TRIGONOMETRÍA

Según el punto de vista de la Trigonometría los ángulos pueden ser: a) Angulo en posición estándar, normal o canónica Se dice que un ángulo está en posición estándar, normal o canónica cuando cumple las siguientes condiciones: 1. S e e n c u e n t r a r e f e r e n c i a d o e n e l s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s . 2. E l v é r t i c e d e l á n g u l o c o i n c i d e c o n e l o r i g e n d e l s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s rectangulares. 3.El lado inicial del ángulo cae sobre el semi eje positivo de las abscisas.

α

El lado terminal del ángulo, por lo tanto, puede caer en cualquiera de los cuatro cuadrantes del sistema de coordenadas, llamándose, entonces, “ángulo del I , II, III ó IV cuadrante”, ( no importa si el ángulo es positivo o negativo).

O = vértice. OB ≡ O X l a d o i n i c i a l . α = ángulo del primer cuadrante. (positivo) b = ángulo del tercer cuadrante (negativo)

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A n g u l o s c o t e r m i n a l e s. Dos ángulos en posición normal (lados iniciales coincidentes) son coterminales cuando tiene un mismo lado terminal (coinciden) pero su valor e s d i s t i n t o , por el sentido del giro o por el número de vueltas del lado terminal.

- 690º 30º

30º

- 330º

360º+ 30º =390º

- 330º

Entonces, se cumple con: D o n d e θc = á n g u l o c o t e r m i n a l . θ = ángulo original. n = número entero (± )

θ c = θ ± n * 360°

EJEMPLO: Encontrar un ángulo coterminal positivo y dos ángulos coterminales negativos d e u n á n g u l o d e 7 0 1º . θ c 1 = 7 0 1 º - 3 *360º

θ c 2 = 7 0 1 º - 4 * 360º

θc 1 = - 379º

θc 2 = - 739º

θc 3 = 701º + 1 * 360º θc3 = 1.061º

Como podemos observar el número n es arbitrario y tratamos de obtener un resultado según los requerimientos de la pregunta formulada. Sin embargo, en la práctica nos vamos a limitar a encontrar sólo el ángulo coterminal positivo de la primera vuelta. Definiendo como ángulo coterminal d e l a p r i m e r a v u e l t a a q u e l á n g ul o p o s i t i v o m a y o r q u e c e r o g r a d o s p e r o m e n o r que 360 grados

0 0 ≤ X ≤ 360 0 Así, en los ejemplos anteriores tenemos:

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APUNTES DE CLASE

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θ = 701º θc = 7 0 1 º

_

1 * 360º

θc = 3 4 1 º

Se cumple, que

0º < 341º < 360º

Si calculamos para el ángulo θ = - 701º entonces θc = - 7 0 1 º + 2 * 360º θc = 1 9 º

Se cumple, que

0º < 19º < 360º

- Para un ángulo de 1.111º, calcular el ángulo coterminal de la primera vuelta: θ c = 1 . 1 1 1 º - 3 * 360 = 1.111 – 1.080 = 31º - Para un ángulo de (– 535º) θ c = - 5 3 5 º + 2 * 3 6 0 º = - 5 3 5 º + 7 2 0 º = 185º Por lo tanto n es un número entero positivo o negativo que operado en la fórmula con 360° y el ángulo dado nos proporciona como resultado un ángulo comprendido entre 0° y 360° Angulos de referencia: S e l l a m a á n g u l o d e r e f e r e n c i a d e u n á n g u l o en p o s i c i ó n n o r m a l d e l a primera vuelta, al menor ángulo positivo formado por el lado terminal del ángulo y el eje de las abscisas.

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APUNTES DE CLASE

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En los ejemplos analizados podemos calcular, aplicando los conceptos ya e x p u e s t o s , l o s á n g u l o s d e r e f e r e n c i a d e 7 0 1 º y d e – 701º : Para el caso del ángulo de 701º, su coterminal de la primera vuelta es 341º, el ángulo de referencia será: 360º - α ( IV cuadrante) 3 6 0 º - 341º P a r a e l c aso del ángulo de (I cuadrante) Por lo tanto El θc = θ r

= θr = 19º

– 701º, su coterminal de la primera vuelta es 19º ∴

θr = 19º

Posteriormente se establecerá que los signos de las funciones trigonométricas del ángulo de refer encia son siempre positivos; pero los signos de las funciones del ángulo pedido estarán de acuerdo al signo que les corresponde según el cuadrante en que cae el lado terminal de este ángulo. PROBLEMAS:

1. - E n c o n t r a r u n á n g u l o c o t e r m i n a l p o s i t i v o m a y o r que 360°, un ángulo c o t e r m i n a l n e g a t i v o , el á n g u l o c o t e r m i n a l p o s i t i v o d e l a p r i m e r a v u e l t a y e l ángulo referencial de los siguientes ángulos: (graficar el ángulo coterminal p o s i t i v o d e l a p r i m e r a v u e l t a y e l á n g u l o d e r e f e re ncia )

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•

7 32º

•

3 05º

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APUNTES DE CLASE

•

- 73 2 °

•

- 31 5 °

•

3. 3 3 3 °

•

- 7. 0 0 8 °

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APUNTES DE CLASE

•

19 π / 4

•

- 19 π / 5

•

180°

- 1.111°

24

ING HERNAN ABARCA V.

LONG.ARCO, FUNCIONES

APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

CAPITULO 3

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Consideramos un ángulo (α ) en posición normal.

y u n p u n t o c u a l q u i e r a P , e n e l l a d o t e r m i n a l d e l á n g ul o ( P n o d e b e e s t a r e n e l origen, pero si en cualquier otro punto de la recta). Este punto P posee 3 parámetros a saber: a. l a a b s c i s a “ x ” b. l a o r d e n a d a “ y ” c. la distancia OP = d

(punto – origen)

Las 6 posibles relaciones , entre estos tres parámetros originan 6 razones y no importa donde está ubicado el punto P permanecen constantes (Teorema de semejanza de triángulos).Estas 6 relaciones, llamadas razones o funciones trigonométricas son:

ING HERNAN ABARCA V.

25

APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

1.

AP y y y = = 1 = n = OP d d 1 d n

ordenada dis tan cia

=

sin α

2.

OA x x x = = 1 = n = OP d d 1 yn

abscisa dis tan cia

=

cos α

3.

AP OA

=

y x

=

y1 x1

=

yn xn

=

ordenada abscisa

= tan α

4.

OA x x x abscisa = = 1 = n = = cot α AP y y1 yn ordenada

5.

OP d d1 dn dis tan cia = = = = = sec α OA x x1 xn abscisa

6.

OP AP

=

d y

=

d1 y1

dn

=

yn

=

dis tan cia ordenada

= csc α

Como se puede observar las razones o relaciones 4, 5 y 6 son las r e c íp r o c a s d e l a s t r e s p r i m e r a s y p o d e m o s d e c i r q u e :

sin α =

1 cscα

cos α =

1 sec α

tan α =

1 cot α

∴

∴ ∴

csc α =

1 sin α

sec α = cot α =

1 cos α

1 tan α

Nótese que en las denominaciones de algunas funciones se antepone el p r e f i j o –c o - l o c u a l s i g n i f i c a c o f u n c i ó n . D e e s t e c o n c e p t o n o s o c u p a r e m o s c u a n d o s e t r a t e d e f u n c i o n e s d e án g u l o s a g u d o s e n e l t r i á n g u l o r e c t á n g u l o .

S I G N O S DE LAS F U N C I O N E S

Al haber definido las funciones trigonométricas como las razones entre los 3 parámetros deberíamos considerar que no siempre las coordenadas del punto son positivas, por lo tanto debemos analizar los signos resultante de acuerdo a la ubicación del punto perteneciente al lado terminal.

Estos puntos pueden ubicarse en los cuatro cuadrantes: La distancia en nuestro estudio la consideraremos siempre positiva.

26

ING HERNAN ABARCA V.

APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

ANÁLISIS PARA EL PRIMERO Y SEGUNDO CUADRANTE

y + = =+ d + x + cos = = = + d + y + tan = = = + x + x + cot = = = + y + d + sec = = = + x + d + csc = = = + y + sin =

TODOS SON POSITIVOS

ING HERNAN ABARCA V.

y + = =+ d + x − cos = = =− d + y + tan = = = − x − x − cot = = =− y + d + sec = = =− x − d + csc = = = + y + sin =

SON POSITIVOS: EL SENO Y LA COSECANTE

27

APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

ANÁLISIS PARA EL TERCERO Y CUARTO CUADRANTE:

y − = =− d + x − cos = = = − d + y − tan = = = + x − x − cot = = = + y − d + sec = = = − x − d + csc = = = − y − sin =

SON POSITIVOS: TANGENTE Y LA COTANGENTE

28

ING HERNAN ABARCA V.

y − = =− d + x + cos = = = + d + y − tan = = = − x + x + cot = = = − y − d + sec = = = + x + d + csc = = = − y − sin =

SON POSITIVOS: EL COSENO Y LA SECANTE

APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

FUNCIONES DE ANGULOS CUADRANTALES O CUADRANGULARES Son ángulos cuadrantales o cuadrangulares aquellos que colocados en posición normal su lado terminal coincide o cae sobre uno de los cuatro semi ejes del sistema de coordenadas rectangulares. o

º

º

Consecuentemente los ángulos positivos o negativos de 0 , 90 , 180 , 270 y todos sus coterminales respectivos se ajustan a la definición establecida.

o

º

º

º

- F u n c i o ne s d e u n á n g u l o d e 0 , 360 , 720 , . . . . . . . e t c .

-

o

Sea el ángulo AOB un ángulo de 0 U n p u n t o P p e r t e n e c i e n t e al lado terminal de ángulo cuyas coordenadas sean:

P

Entonces : y 0 sin 0 ° = = =0 d d x x cos 0° = = =1 d x y 0 tan 0 ° = = =0 x x

ING HERNAN ABARCA V.

x = x y = 0 d = x siempre positiva .

d d = = ind ( ± ∞ ) y 0 d x sec 0° = = =1 x x x x cot 0 ° = = = ind ( ± ∞ ) y 0 csc 0° =

29

APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

- Funciones para un ángulo de 90°

x = 0 y = y d = y

P

y y = =1 d y

sin 90 ° =

-

cos 90 ° =

x 0 = =0 d y

tan 90 ° =

y y = = ind ( ± ∞ ) x 0

º

y 0 = =0 d x x x cos 180 ° = = = 1 d x y 0 tan 180 ° = = =0 x x

ING HERNAN ABARCA V.

d y = = ind ( ± ∞ ) x o

cot 90 ° =

º

d x = = ind ( ± 8 ) y 0 d x sec 180 ° = = = 1 x x x x cot 180 ° = = =ind ( ± 8 ) y 0

csc 180 ° =

d y = =1 y y

sec 90 ° =

x = -x y = 0 d =  -x = x

sin 180 ° =

30

º

Funciones de un ángulo de 180 , -180 , 540

P

csc 90 ° =

x 0 = =0 y y

APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

º

º

- Funciones de 270 , - 9 0 ,...etc

P

x = 0 y = -y d =  -y = y

sin 270 ° =

y −y = = −1 d y

csc 270 ° =

d y = = −1 y −y

cos 270 ° =

x 0 = =0 d y

sec 270 ° =

d y = = ind ( ± ∞ ) x 0

cot 270 ° =

x 0 = =0 y −y

tan 270 ° =

y −y = = ind ( ± ∞ ) x 0

En resumen tenemos:

Angulo α Sin α Cos α Tan α Cot α Sec α Csc α 0° 0 1 0 Ind. 1 Ind. 90° 1 0 Ind. 0 Ind. 1 180° 0 - 1 0 Ind. - 1 Ind. 270° - 1 0 Ind. 0 Ind. - 1 EJERCICIO: 1. Si el lado t e r m i n a l d e l á n g u l o β p a s a p o r e l p u n t o P (- 2 ; 9 ) e n c o n t r a r t o d a s las funciones del ángulo: a. d i b u j a m o s e l p u n t o y e l á n g u l o c o r r e s p o n d i e n t e :

b. I d e n t i f i c a m o s l o s t r e s p a r á m e t r o s d e l p u n t o P

P

x = - 2 y = 9 δ = ?

ING HERNAN ABARCA V.

31

APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

c. Calculamos el parámetro faltante: δ

d.

=

( −2 )2 + ( 9 )2 = + 85

(δ siempre +)

Definimos las funciones trigonométricas del ángulo β

sin ß =

y 9 9 85 = = d 85 85

x 2 2 85 = = d 85 85 y 9 tan ß = = x 2

cos ß =

csc ß =

d 85 = y 9

sec ß =

d = x

cot ß =

x = y

85 2 2 9

2. S i e l c o s e n o d e u n á n g u l o e s ( – 3 / 8 ) . H a l l a r l a s d e m á s f u n c i o n e s a. E l c o s e n o e s n e g a t i v o e n d o s c u a d r a n t e s : I I y I I I , p o r l o t a n t o d e b e m o s analizar las dos posibilidades. b. Tenemos definidos dos parámetros, debemos calcular el tercero. S i c o s α = - 3 / 8 y a d e m á s t e n e m o s q u e c o s α = x / δ, e n t o n c e s p o d e m o s afirmar que x = - 3 y δ = + 8 (siempre la distancia es positiva)

P

Aplicando Pitágoras tenemos Al tener doble signo para soluciones.

x = - 3 y = ? δ = + 8

y = δ 2 − x 2 = 64 − 9 = 55 (± ) la

ordenada

e. D i b u j a m o s l a s d o s s o l u c i o n e s :

32

ING HERNAN ABARCA V.

comprobamos

que

existen

dos

APUNTES DE CLASE

f.

LONG.ARCO, FUNCIONES

D e f i n i m o s l a s fu n c i o n e s p a r a l a s d o s s o l u c i o n e s Solución 1 S i n α1 =

Tan α 1 =

Solución 2

55 8 + 55 = 3

55 8

s i n α2 =

55 3

55 55 = 3 3

Tan α 2 =

PROBLEMAS 3. E n c o n t r a r l a s s e i s f u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s d e u n á n g u l o e n p o s i c i ó n normal, si el lado terminal pasa por el punto: a.

(- 4; 2 )

c . ( 2; 2 )

e . (- 1 1; 5 )

ING HERNAN ABARCA V.

b.

(2;

− 3)

d. (4; - 5 )

f . (-5 ; - 8 )

33

APUNTES DE CLASE

g.

LONG.ARCO, FUNCIONES

(2; 7 )

i . ( 0 . 3 3 ; - 0. 8 )

k. (3; 7 )

h.

j . (-2; 0 0)

l . (- 3/ 10; - 4 / 1 0 )

4. C a l c u l a r l a s f u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s r e s t a n t e s s i : E l l a d o t e r m i n a l c a e e n e l I I c u a d r a n t e y e l s i n α = 3/ 5

34

ING HERNAN ABARCA V.

(- ½ ; ¼ )

APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

5. E l l a d o t e r m i n a l c a e e n e l I I I c u a d r a n t e y e l c o s α = - 1/ 7

6. E l l a d o t e r m i n a l c a e e n e l I V c u a d r a n t e y l a s e c α = 3

7. E l l a d o t e r m i n a l c a e e n e l I c u a d r a n t e y l a c s c α = 1 3 / 1 2

8. S e n α = - 5 / 1 3

y

ING HERNAN ABARCA V.

π < α < 3π / 2

35

APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

9. - E n q u e c u a d r a n t e t e r m i n a α s i : - c o s α y cot α s o n n e g a t i v o s ? R p . = I I c u a d r a n t e

- sec α es positiva y csc α es negativa?

Rp. = IV cuadrante

- t a n α e s p o s i t i v a y s e c α e s n e g a t i v a ? Rp = I I I

- tan α es negativa y sec α es positiva? Rp = IV

36

ING HERNAN ABARCA V.

APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

F U N C I O N E S DE A N G U L O S N E G A T I V O S :

Se hace más cómodo que todo análisis para ángulos negativos se los realice encontrando el ángulo coterminal de la primera vuelt a, y aplicando los conceptos ya conocidos. Sin embargo es común interpretar de la siguiente manera. (Fig.)

sin α =

y d sinα = − sin( −α )

sin( −α ) =

cos α =

−y d

x d ∴ cos α = cos(−α )

cos(−α ) =

tan α =

x d

y x ∴

tan (− α ) =

tan α = − tan (− α )

−y x

Para las funciones recíprocas se conserva el mismo análisis: Cot α = - c o t (-α ) S e c α = s e c (- α ) Csc α = - s e c (- α) Si se cumple que: f (-x ) = f ( x )

se llama función par

f (x)

se llama función impar

ING HERNAN ABARCA V.

= - f ( -x )

37

APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

R E D U C C I O N DE F U N C I O N E S DE U N A N G U L O DE C U A L Q U I E R VALOR, P O S I T I V O O N E G A T I V O , A F U N C I O N E S DE U N A N G U L O A G U D O P O S I T I V O

Existe un método expedito para realizar el cálculo de funciones de un ángulo d e c u a l qu i e r v a l o r ( p o s i t i v o o n e g a t i v o ) r e l a c i o n á n d o l a s c o n f u n c i o n e s d e ángulos agudos positivos. Todo ángulo puede expresarse de la siguiente forma: φ = 90º * n ± α φ = ángulo cualquiera n = número entero positivo o negativo α = ángulo agudo positivo

donde:

Ejemplos:

a)

b)

c)

d)

230º puede expresarse de dos formas:

1) 2)

90º * 2 + 5 0 º 90º * 3 - 40º

1) 2)

90º *( - 2) – 50º 90º *(- 3) + 40º

- 230º se expresa:

- 705º 1) 2)

- 7 * 90º - 75º - 8 * 90º + 15º

1) 2)

35 * 90º - 48º 34 * 90º + 42º

3.102º

2 . E n t o n c e s s e d i c e: ” L a f u n c i ó n t r i g o n o m é t r i c a d e u n á n g u l o c u a l q u i e r a escrita de la manera mencionada, es numéricamente igual a la misma f u n c i ó n d e α si n es par, y a l a r e s p e c t i v a c o f u n c i ó n, si n es impar” Ejemplo: (sin considerar signos todavía)

Sin 230º = sin 50º = Cos 40º T a n ( - 230) = Tan 50º = cot 40º 38

ING HERNAN ABARCA V.

( 2 es par ) ó (3 es impar ) ( -2 es par) ó ( -3 es impar)

APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

3. Los signos serán aquellos que correspondan a la función de acuerdo al cuadrante en que cae el ángulo en estudio. Con los ejemplos anteriores:

sin 230º es negativo por que el lado terminal cae en el tercer cuadrante, entonces: sin 230º

= - sin 50º

= - cos 40º

Tan - 2 3 0 º = - t a n 5 0 º

= - cot 40º

Cos 705º

=

=

cos 15º

sin 75º

PROBLEMAS:

H a l l a r l a s e q u i v a l e n c i a s d e l a s s i g u i e n t es f u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s c o n respecto a funciones de ángulos agudos. (aconsejamos dibujar los ángulos) s i n 1 35 º =

s i n (– 2 2 0º) =

ING HERNAN ABARCA V.

39

APUNTES DE CLASE

s i n (–1 1 0º)

c o s (- 7 1 5º )

=

=

c o s (- 6 5 0º)

tan (-3121)

40

=

=

ING HERNAN ABARCA V.

LONG.ARCO, FUNCIONES

APUNTES DE CLASE

t a n ( - 2 30º)

=

s e c 43 5º

cot 83 0 º

c o t 14 5º

LONG.ARCO, FUNCIONES

=

=

=

ING HERNAN ABARCA V.

41

APUNTES DE CLASE

csc 865º

LONG.ARCO, FUNCIONES

=

csc 190º

=

S impli f i c a r l a e x p r e s i ó n

 10π   11π   − 13π   − 29 π  cot   * sin   + csc   * cos   3 3 2        6  = ?  − 15π   − 25π   23π   14π  tan   * sin   + sin   * cot    4   4   4   4 

Rp: 1. 93 Ó =

1+ 3 2

Simplificar.

sin 150 º sec 210 º tan 330 º cot 315 º =? cos 120 º csc 240 º tan 135 º cot 300 º Rp: - 1

42

ING HERNAN ABARCA V.

APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

CAPITULO 4

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGUL OS AGUDOS

Si tomamos en cuenta la definición de ángulos agudos, podemos observar que se trata en trigonometría de ángulos del primer cuadrante. En la figura se dice que las coordenadas del punto P(x; y) forman un triángulo rectángulo OPA cuyos catetos son OA y AP y su hipotenusa OP, identificada como la distancia PO.

Empleando la nomenclatura acostumbrada decimos que, teniendo un triángulo rectángulo cualqui era, lo colocamos de tal manera que el ángulo agudo α se ubique en posición normal, como se indica en la figura.

Las coordenadas del punto B será n: x = b = cateto adyacente a α y = a = cateto opuesto a α d = c = hipotenusa

ING HERNAN ABARCA V.

43

APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

De acuerdo a lo expresado en el capítulo de funciones trigonométricas de ángulos de cualquier valor podemos definir, en términos de los lados del t r i á n g u l o r e c t á n g u l o , l a s s e i s f u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s d e “α”

ordenada Y a c.opuesto a " α " = = = distancia d c hipotenusa

sen

=

cos

=

abscisa X b c.adyacent e a " α" = = = distancia d c hipotenusa

tan

=

ordenada Y a c.opuesto a " α " = = = abscisa X b c.adyacent e a " α "

Los recíprocos serán : sec

=

c hipotenusa = b c.adyacent e

csc

=

c hipotenusa = a c.opuesto

ctg

=

b c.adyacent e = a c.opuesto

En los mismos términos analicemos las funciones del otro ángulo agudo β y c o m p a r e m o s c o n l a s f u n c i o n e s d e l á n g u l o α.

b c a cos β = c b tan β = a a ctgβ = b c sec β = a c cscβ = b

a c b cos α = c a tan α = b b ctgα = a c sec α = b c cscα = a

sen β =

sen α =

∴

sen α = cosβ cos α = senβ tan α = ctgβ ctgα = tanβ sec α = cscβ cscα = sec β

A e s t o s p a r e s d e f u n c i o n e s s e l e s d e n o m i na c o- f u n c i ó n entonces se dice: L a c o f u n c i ó n d e l s i n α = c os e n o β de la tan α = cotangente β Pero, los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios: α + β = 90ο 44

ING HERNAN ABARCA V.

(s o n c o m p l e m e n t a r i o s )

APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

generalizando esta característica, enunciamos que:

“ L a f u n c i ó n t r i go n o m é t r i c a d e u n á n g u l o a g u d o e s i g u a l a l a r e s p e c t i v a co - f u n c i ó n d e l á n g u l o c o m p l e m e n t a r i o ”

E j e m p l o s : s i n 3 0 ° = c o s 6 0 ° ; c o s 8 0 ° = s i n 1 0 ° ; t a n 1 5 ° = c o t ( 9 0 ° - 15°); s e c 2 0 ° = c s c (π/ 2 – 2 0 ° ) - Cual es el valor de α agudo que sat i s f a c e e s t a i g u a l d a d : Sin α = cos (2α + 30°) Sin α = c o s ( 9 0 ° - α)

⇒

cos (90° - α) = cos (2α + 30°) 9 0 ° - α = 2α + 30° 6 0 ° = 3α 20° = α

-P R O B L E M A : Encontrar el valor de “ x “ para que se cumpla que: Cos (x + π/ 4 ) = s i n ( 2 x + 3 0 ° )

(x pertenece al 1er. Cuadrante)

Rp: π / 3 6

ING HERNAN ABARCA V.

45

APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

R E D U C C I Ó N DE F U N C I O N E S

Estudiaremos las más usadas : 1. - P a r a l a f o r m a ( 9 0 ° - A ) ó ( π / 2 – A )

sin ( 90° - A ) = c o s A cos ( 90° - A ) = s i n A tan ( 90° - A ) = c o t A cofunción cot ( 90° - A ) = t a n A sec ( 90° - A ) = c s c A c s c ( 90° - A )

= sec A

2. - P a r a l a f o r m a ( 9 0 ° + A ) ó ( π / 2 + A )

El ángulo (90° + A) pertenece al segundo cuadrante, por tanto los signos de las funciones dependen de los signos de las coordenadas del punto P. El ángulo POM es un ángulo positivo que pertenece al triángulo POM y por tanto todas sus funciones son positivas. Este ángulo no está referenciado al sistema de coordenadas rectangulares.

En el ángulo

COP (II cuadrante)

Sin (90° + A) = y / d

En el p POM Sin (90° - A ) = y / d = C o s A ( c o f u n c i ó n )

∴ Sen (90° + A) = Cos A Cos (90° + A) = - x / d (II cuadrante) ∴

Cos (90° + A) = - sen A

t a n ( 9 0 ° + A ) = y / -x ( I I c u a d r a n t e ) ∴

46

C o s ( 9 0 ° -A ) = x / d = s i n A ( c o f u n c i ó n )

Tan (90° - A) = y / x = cot A (cofunción)

Tan (90° + A) = - c o t A

ING HERNAN ABARCA V.

APUNTES DE CLASE

3.

LONG.ARCO, FUNCIONES

P a r a l a f o r m a ( 1 8 0 ° - A ) ó (π - A )

Consideremos el ángulo COP, perteneciente al II cuadrante Y el ángulo A perteneciente al triángulo rectángulo OMP.

∠ COP:

p

OMP

sin (180° – A ) = y / d

Sin A = y / d

c o s ( 1 8 0 ° - A) = -x / d

Cos A = x / d

t a n ( 1 8 0 ° -A ) = y / -x

tan A = y / x

∴

si n ( 1 8 0 ° - A) = sin A

∴ cos (180° - A) = - c o s A ∴ tan (180° - A) = - T a n A

4. P a r a l a f o r m a ( 1 8 0 ° + A ) ó ( π + A )

Consideremos de igual forma el ángulo COP, perteneciente al tercer cuadrante, y el ángulo MOP (A) perteneciente al triángulo MOP

∠ COP

p

MOP

s i n ( 1 8 0 ° + A ) = -y / d

sin A = y / d

c o s ( 1 8 0 ° + A ) = -x / d

cos A = x / d

t a n ( 1 8 0 ° + A ) = -y / -x

tan A = y / x

ING HERNAN ABARCA V.

∴ ∴ ∴

sin (180 + A) = - sin A cos ( 180° + A) = - c o s A tan (180° + A) = tan A

47

APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

5. P a r a l a f o r m a ( 2 7 0 ° - A ) ó ( 3π / 2 – A )

El ángulo COP, pertenece al III cuadrante y el ángulo POM pertenece al triángulo MOP

∠ COP

p

MOP

sin(270° - A) = - y / d A

s i n ( 9 0 ° - A ) = y / d = c o s A ∴ sin ( 270° - A) = - c o s

c os ( 2 7 0 ° - A ) = -x / d A

c o s ( 9 0 ° - A ) = x / d = s i n A ∴ c o s ( 2 7 0 ° - A) = - sin

t a n ( 2 7 0 ° - A ) = -y / -x t a n ( 9 0 ° - A ) = y / x = c o t A ∴

tan (270° - A) = cot A

6. P a r a l a f o r m a ( 270° + A) ó (3 π / 2 + A )

El ángulo COP pertenece al IV cuadrante y el ángulo MOP pertenece al triángulo MOP.

∠ COP

p

MOP

sin (270° + A) = - y/d sin (90° - A) = y/d = cos A ∴

sin (270° + A) = - c o s A

c o s ( 2 7 0 ° + A ) = x / d c o s ( 9 0 ° - A) = x/d = si n A ∴

cos (270° + A) = sin A

48

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APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

t a n ( 2 7 0 ° + A ) = -y / x t a n ( 9 0 ° - A ) = y / x = c o t A

7. - P a r a l a f o r m a ( 3 6 0 ° - A )

ó

∴

tan (270° +A) = - cot A

( 2π - A )

El ángulo COP pertenece al cuarto cuadrante, pero el ángulo MOP pertenece al triángulo rectángulo MOP

El

∠ COP

p

MOP

Sin (360° - A ) = -y / d

sin A = y/d

∴

sin (360° – A) = - s i n A

Cos (360° - A) = x/d

cos A = x/d

∴

cos (360° - A ) = c o s A

Tan (360° - A ) = -y / x

tan A = y/x

∴

t a n ( 3 6 0 ° - A) = - t a n A

P a r a l a f o r m a (3 6 0 ° + A )

todas las funciones son iguales a las del ángulo A

Para las funciones cot, sec y csc con los mismos gráficos y el mismo análisis s e pu e d e n c o m p r o b a r l o s r e s u l t a d o s q u e c o n s t a n e n l o s s i g u i e n t e s c u a d r o s .

Se hace notar que las demostraciones anteriores son gráficas y objetivas, sin embargo estas relaciones también pueden calcularse aplicando otras fórmulas o procedimientos.

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49

APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

RESUMEN: FORMULAS PARA REDUCCION: (1)

FUNCION → Expresión ↓ -A

sin

Cos

tan

cot

sec

Csc

- sin A

+ cos A

- tan A

- cot A

+ sec A

- csc A

(90º + A)

+ cos A

- sin A

- cot A

- tan A

- csc A

+ sec A

(90º - A)

+ cos A

+ sin A

+ cot A

+ tan A

+ csc A

+ sec A

( 18 0 º + A )

- sin A

- cos A

+ tan A

+ cot A

- sec A

- csc A

(180º - A )

+ sin A

- cos A

- tan A

- cot A

- sec A

+ csc A

(270º + A)

- cos A

+ sin A

- cot A

- tan A

+ csc A

- sec A

(270º - A )

- cos A

- sin A

+ cot A

+ tan A

- csc A

- sec A

(360º + A)

+ sin A

+ cos A

+ tan A

+ cot A

+ sec A

+ csc A

(360º - A )

- sin A

+ cos A

- tan A

- cot A

+ sec A

- csc A

OTRAS FORMULAS PARA REDUCCIÓN: (2)

Sin A = + cos (A - 9 0 º ) = - sin (A - 1 8 0 º ) = - c o s ( A - 2 7 0 º ) C o s A = - sin (A - 9 0 º ) = - cos (A - 180º) = + sin (A - 2 7 0 º ) Tan A = - cot (A - 90º) = + tan (A - 180º) = - cot (A - 2 7 0 º ) C o t A = - t a n ( A - 9 0 º ) = + c o t ( A - 180º) = - t a n ( A - 2 7 0 º ) Sec A

= - csc (A - 90º) = - sec ( A - 180º) = + csc (A - 270º)

C s c A = + s e c ( A - 9 0 º ) = - csc ( A - 180º) = - s e c ( A - 2 7 0 º )

50

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APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

F U N C I O N E S T R I G O N O M É T R I C A S DE Á N G U L O S DE 30º, 45º Y 60º

Se puede realizar el cálculo de las funciones de estos ángulos en forma sencilla sin el empleo de la calculadora. º

Para un ángulo de 45 c o n s i d e r a m o s u n t r i á n g u l o r e c t á n g u l o – i s ó s c e l e s d e lado “a” Las funciones del ángulo C son iguales a las cofunciones del ∠ B por complementarios

En el triángulo ABC, aplicamos el teorema de Pitágoras 2

2

BC = a + a

2

∴ BC= 2a 2 =a 2

∴

º

º

sin 45 = cos 45 (cofunción) = º

º

tan 45 = cot 45 (cofunción) = º

º

sec 45 = c s c 4 5 ( c o f u n c i ó n ) =

a a 2

=

1 2

=

2 2

a =1 a a 2 = 2 a

Es costumbre racionalizar los denominadores. A estos valores expresados en es t a f o r m a s e l e s d e n o m i n a “ v a l o r e s e x a c t o s ” º

º

Para calcular las funciones trigonométricas de ángulos de 30 y 60 debemos considerar y analizarlas en un triángulo equilátero, donde los ángulos internos son iguales a 60° y la altura es también bisectriz, mediana y perpendicular bisectriz. En efecto en la figura consideremos el triángulo equilátero ABC y la altura BH, que como dijimos anteriormente es también es la mediana del lado AC y la bisectriz del ángulo ABC. Al trazar la altura BH el triángulo ABC ha quedado dividido en dos triángulos rectángulos congruentes cuyos ángulos agudos tiene 30° y 60° respectivamente. Entonces podemos analizar las respectivas funciones en cualquiera de los dos triángulos así formados. No debe olvidarse que las funciones de u n á n g u l o d e 6 0 ° s o n i g u a l e s a l a s r e s p e c t i v a s c o f u n c i o n e s d e su ángulo complementario, en este caso el ángulo de 30°. Sea el triángulo A B C y BD la altura (bisectriz, mediana y mediatriz); se forman dos triángulos

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51

APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

Vamos a considerar el triángulo ABH rectángulo y cuyos ángulos agudos, como queda establecido son iguales a 60° y 30° respectivamente.

2

2

(a) – (a/2) = B H

∴ BH =

a2 −

a2 2

2

=

3a 2 4

=

2

a 3 2

C o n l o s d a t o s o b t e n i d o s p o d e m o s c a l c u l a r t o d a s l a s f u nc i o n e s d e e s t o s ángulos en el triángulo rectángulo ABH.

a 3 3 Sin 60° = cos 30° = 2 = a 2

a 1 cos 60° = sin 30° = 2 = a 2

a 3 2 = Tan 60° = cot 30° = a 2

cot 60° = tan 30° =

Sec 60° = csc 30° =

3

a =2 a 2

F unción

1

Csc 60° = sec 30° =

3

=

3 3

a 2 3 = 3 a 3 2

sin

cos

Tan

30°

1 2

3 2

3 3

45°

2 2

60°

3 2

2 2 1 2

Angulo

PROBLEMA: Si a = π/ 3 , e n c o n t r a r e l v a l o r d e l a s i g u i e n t e e x p r e s i ó n : R p : 9

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1

3

APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

sin ( π + a ) cos ( 2π + a ) sec (a − 3 π ) tan a cos ( − a ) =?  π  2 π cot (3 π − a) csc ( a − 3 π) sin  + a  sin  − a  2  2  USO DE LAS FUNCIONE S T R I G O N O M É T R I C A S

Las funciones trigonométricas son de gran utilidad en la vida práctica, pues sirven para calcular los elementos de un triángulo, conociendo (en el caso de triángulos rectángulos) un lado y un ángulo, pues el otro ángulo es conocido e º ig u a l a 9 0 . P a r a e l c a s o d e c o n o c e r d o s l a d o s , s e r á d e g r a n a y u d a e l t e o r e m a de Pitágoras. No es posible calcular los elementos (lados) de un triángulo conociendo solamente el valor de sus ángulos. Es necesario siempre conocer el valor de un lado. P a r a re s o l v e r p r o b l e m a s d e a p l i c a c i ó n e s n e c e s a r i o d a r a l g u n a s d e f i n i c i o n e s fundamentales que ayudan a la comprensión de las interrogantes.

Angulos de elevación: son ángulos que determinan la posición de un objeto que se encuentra sobre el observador. Se mid e n t o m a n d o c o m o o r i g e n e l plano horizontal que pasa por el ojo del mismo observador:

Angulos de depresión: son ángulos que determinan la posición de un objeto que se encuentra bajo el plano que pasa por el ojo del observador

A N G U L O S D E ORIENTACIÓN:

Azimuth.- S e d e f i n e n c o m o l o s á n g u l o s h o r i z o n t a l e s q u e s e m i d e n t o m a n d o c o m o l a d o i n i c i a l l a a l i n e a c i ó n O b s e r v a d o r- N o r t e . S u v a l o r v a r í a d e 0 º a 3 6 0 º y se miden de izquierda a derecha. Son muy empleados en el manejo de la brújula. Existen los azimuth magnéticos (caso que estudiaremos) y azimuth geográficos referidos al Norte geográfico.

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53

APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

Se lee: la alineación OP 1 tiene un azimuth de 40º y la alineación OP2 tiene un azimut de 150º

S e d i c e q u e l a a l i n e a c i ó n O P3

e s 2 3 0 º y l a a l i n e a c i ó n O P4 e s 3 1 0 º

Rumbos: S e d e f i n e n c o m o l o s m e n o r e s á n g u l o s h o r i z o n t a l e s q u e t i e n e u n a a l i n e a c i ó n c o n r e s p e c t o a l e j e N o r t e- S u r ; c o n s e c u e n t e m e n t e s u v a l o r n o puede ser mayor de 90º y tiene signo positivo si se miden de izquierda a der e c h a y v i c e v e r s a . En el ejemplo de las mismas alineaciones anteriores tenemos los siguientes gráficos:

54

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APUNTES DE CLASE

OP 1

=

N 40° E

O P 3 = S 50° W

LONG.ARCO, FUNCIONES

OP 2 = S 30° E

OP 4 = n 5 0 ° W

A continuación realizaremos un ejercicio de práctica de cálculo de coordenadas, utilizando conceptos de triángulos rectángulos. Este tipo de ejercicio es muy útil en ciertos trabajos profesionales de ingeniería

Problema de coordenadas Una patrulla sale de la ESPE con una orientación de N 33º W y recorre 3 horas, cambia de rumbo a N 12º E y camina dos horas para luego dirigirse con un azimuth de 120º y camina 7 horas, luego se dirige directamente al Este y recorre 4 horas. Con qué dirección debe salir un helicóptero y que tiempo debe volar a 60 kph para alcanzar a la patrulla que camina a una velocidad de 5 kph. D i b u j o a p r o x i m a d o:

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55

APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

El cálculo se reduce a encontrar el valor de los catetos de los triángulos sombreados a color que se forman en los vértices de la poligonal dada, cuyos datos constan en el problema y hoja de ruta. El triángulo a calcular debe ser aquél que contiene al Rumbo como ángulo agudo

Para el cálculo de las coordenadas del último punto es necesario sumar algebraicamente las abscisas y las ordenadas de acuerdo al siguiente cuadro.

NE SE NW SW

X + + -

Y + + -

Para la transformación de azimut a rumbos es necesario tomar en cuenta las siguientes consideraciones. Si:

1

er

0° < Azimuth < 90°

el Rumbo es igual Azimuth

90° < Azimuth < 180° el Rumbo es igual a (180° - azimuth)

(S E)

180° < Azimuth < 270° el Rumbo es igual a (Azimuth - 180°)

(S W)

270° < Azimuth < 360°

(N W)

el Rumbo es igual a (360° - Azimuth)

TRIANGULO

x1 = d sin 33 0 = 15 * 0.5446 = 8.17 ← (-) y1 = d cos 33 0 = 15 * 0.8367 = 12.58 ↑ ( + )

56

(N E)

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APUNTES DE CLASE

2

do

LONG.ARCO, FUNCIONES

TRIANGULO

x2 = 10 sin 12 0 = → ( + ) 2.08 y2 = 10 cos 12 0 = ↑ ( +) 9.78

3

er

TRIANGULO

x3 = 35 sin 60 0 = → ( + ) 30.31 y3 = 35 cos 60 0 = ↓ (-) 17.50

4

to

TRIA N G U L O . - E n r e a l i d a d n o e x i s t e t r i à n g u l o y a q u e d i b u j a n d o t e n e m o s :

x4 = d sin 90 0 = 20 * 1 = 20 → ( +) y4 = d cos 90 0 = 20 * 0 = 0

Las coordenadas totales son la sumatoria de las abscisas y de las ordenadas. ∑ x = 44.22

∑ y = 4.86

P o r e l s i g n o d e l a s c o o r d e n a d as s a b e m o s q u e e l p u n t o 4 s e e n c u e n t r a e n e l primer cuadrante con respecto al origen (ESPE).

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57

APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

La distancia ESPE – punto 4 se calcula con la fórmula:

d = x 2 + y 2 ⇒ 44,222 + 4,86 2 = 44.5 Km. E l r u m b o d e l h e l i c ó p t e r o ( E S P E - 4).

tan Rh =

42.22 = 9.099 4.86

arctan 9.1 = 83 0 44´ Rumbo helicóptero

0

N 83 44´ E.

tiempo de vuel o

t=

44.49 K = 0.74 horas = 44,5 minutos. 60 Kph 0

Respuesta: El helicóptero volando a 60 Kph debe tomar un rumbo N83 44´ E y volar 44,5 minutos para encontrar a la patrulla.

PUNTOS D I S T A N C I A

ANGULOS

COORDENADAS PARCIALES

AZIMUTH

RUMBOS

ESPE 15 10 120º

X

Y

0

0

0

0

- 8.17

12.58

- 8.17

12.58

2.08

9.78

- 6.09

22.36

30.31

- 17.5

24.22

4.86

20

0

44.22

4.86

S 60º E

3

90º

4

58

Y

N 12º E

2

20

X

N 33º W

1

35

TOTALES

ING HERNAN ABARCA V.

N 90º E

APUNTES DE CLASE

PROBLEMAS:

LONG.ARCO, FUNCIONES

(Ref. c u a d e r n o d e t a r e a s E S P E )

1. Demostrar que en un triángulo rectángulo cuyo ángulo agudo es igual a 15° la altura que corresponde a la hipotenusa es igual a ¼ de ella.

2. U n a s t r o n a u t a g i r a n d o a l r e d e d o r d e l a t i e r r a a 9 9 k m d e a l t u r a , o b s e r v a un barco con un ángulo de depresión de 55°. A la siguiente vuelta, seis horas más tarde, y sobre el mismo lugar observa al barco con un ángulo de depresión de 26°. Calcular la velocidad del barco. Rp: 22.28 k p h ó 12, 03 nudos ( n o c o n s i d e r a r l a c u r v a t u r a d e l a t i e r r a )

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APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

3. U n a p e r s o n a d e 1 . 8 0 m d e a l t u r a p r o y e c t a u n a s o m b r a e n e l s u e l o d e 6.8 m al ubicarse al SUR de un reflector. Si camina directamente al Oeste 88 m observa que su sombra tiene 8,75 m. Qué altura tiene el faro? R p: 31.59 m

4. Si la hipotenusa de un triángulo es 10 m. Hallar el valor de la tangente del mayor ángulo agudo si el semi producto de sus catetos es 24. Rp: 4/3

60

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APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

5. L a d i s t a n c i a e n t r e l o s f a r o s A y B e s d e 1 2 m i l l a s y l a r ec t a q u e l o s u n e tiene un rumbo N 75° E. Una embarcación navega con dirección S 15° E y está exactamente al N 45° E de A y al N 45° W de B. Calcular la distancia del barco al faro más cercano. Rp: 6 millas

6. Cuando un globo de aire c a l i e n t e s u b e , s u á n g u l o d e e l e v a c i ó n d e s d e un punto P, a nivel del suelo y a 15 Km. del punto Q, que está directamente abajo del globo, cambia de 17º30’ a 30º40’ en 50 minutos. Cuánto sube el globo durante este tiempo, y cuál es su velocidad? Rp: 4.17 Km., y 5 k p h .

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61

APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

7. U n a e r o p l a n o , q u e v i a j a a 5 0 0 k . p . h . v u e l a d e s d e u n p u n t o A e n dirección AZ 96º durante 30 minutos y luego en dirección AZ 186º durante 75 minutos. Calcular la distancia del avión hasta el punto A. Rp: 673

8. U n A v i ó n q u e v u e l a a u n a a l t i t u d d e 9 . 0 0 0 p i e s p a s a d i r e c t a m e n t e sobre un objeto fijo en el suelo. Dos minutos después, el ángulo de depresión del objeto es de 33º. Calcular la velocidad del avión en k . p . h . Rp: 126,76

62

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APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

9. D os t o r r e s A y B tiene la misma altura. Una persona (P) que se encuentra entre ellas, sobre la línea que une sus bases, mide el ángulo de elevación de la torre B es de 60°. Después de caminar 24 metros en dirección perpendicular a la recta base observa que los ángulos de elevación de A y B son respectivamente 25° y 30° . hallar la altura de l a s t o r r e s y l a d i s t a n c i a q u e l a s s e p a r a . Rp: 14,70 m y 28,90 m

10. D e s d e u n p u n t o P s i t u a d o a n i v e l d e l s u e l o , e l á n g u l o d e e l e v a c i ó n d e la parte más alta de una torre es 24º 25’. De un punto que está a 28 metros más cercano a la torre y en la misma línea con P y la base de la torre, el ángulo de elevación de la parte alta es 49º 53’. Calcular la altura de la torre. Rp:20.54

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63

APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

11. U n ba r c o s a l e d e A , c u y a s c o o r d e n a d a s s o n ( 0 ; 5 ) c o n r u m b o S 2 0 ° E a una velocidad de 30 nudos, al mismo tiempo sale otro barco desde el punto B (10 ; 0) con rumbo N 60° E y una velocidad de 40 nudos. Después de dos horas a que distancia se encuentran? Rp: 108,64 millas.

12. U n a r u e d a d e 3 5 c m . d e r a d i o , s u b e p o r u n p l a n o i n c l i n a d o c u y a pendiente es 1:3. ¿cuál es la altura desde el centro de la rueda hasta la base del plano cuando ésta ha rodado 1,50 m. Rp: 81 cm

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APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

13. U n l a b o r a t o r i o e s p a c i a l g i r a a l r e d e d o r d e l a t i e r r a a u n a a l t i t u d d e 4 0 5 km. Cuando un astronauta observa el horizonte terrestre, el ángulo θ formado entre el horizonte y la línea al centro de la tierra es de 60º. C a l c u l a r e l r a d i o d e l a t i e r r a . R p : 26 1 7 . 7 4

14. U n h o m b r e e s t á s o b r e l a c i m a d e u n a m o n t a ñ a q u e t i e n e 4 . 3 1 8 m . d e altura y observa otra montaña que tiene 6.310 m de alto, cuando él mira directamente la cima de la montaña, su línea de visión forma un á n g u l o d e 7 º 4 9 ’ c on l a h o r i z o n t a l . H a l l a r l a d i s t a n c i a h o r i z o n t a l e n t r e e l h o m b r e y l a m o n t a ñ a . R p : 1 4. 5 21

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65

APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

15. ¿ Q u é á n g u l o f o r m a l a d i a g o n a l d e u n c u b o c o n o t r a d i a g o n a l t r a z a d a d e l m i s m o v é r t i c e ? Rp: 35,25º

16. D e s d e e l p u n t o m e d i o de l a d i s t a n c i a e n t r e l o s p i e s d e d o s e d i f i c i o s , los ángulos de elevación de sus terrazas son 30º y 60º respectivamente. Demostrar que la altura de uno de los edificios es el triple de la otra.

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APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

17. U n c a ñ ó n d i s p a r a u n a b a l a c o n u n á n g u l o d e 6 8 º 1 5 ’ y p a s a s o b r e u n árbol a 45,9 m de su copa. Una piedra está formando con la copa del árbol un ángulo de 58º y se encuentra a 5 m del pie del árbol, y al mismo lado del cañón al mismo lado del cañón. Calcular a) cuántos metros del cañón esta la piedra b) cuál es la distancia del cañón a la bala cuando está sobre la copa del árbol c) cuál es el ángulo de depresión de la bala respecto a la piedra. Rp: 16,572 m 58,03 m 84,7º.

18. A l a p r o x i m a r s e u n a p a t r u l l a d e r e c o n o c i m i e n t o a una torre de transmisión situada en el mismo plano, se encuentra que éste se ve bajo un ángulo de 12º y que desde otro lugar a 225 m más cerca de la torre, pero en la misma alineación, ésta se ve bajo un ángulo de 14º ¿ C u á l e s l a a l t u r a d e l a t o r r e y cu á l e s s u d i s t a n c i a a l s e g u n d o l u g a r d e observación? Rp: 324,27 y 1300

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APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

19. D o s b o y a s s o n o b s e r v a d a s e n l a d i r e c c i ó n A Z 1 8 0 º d e s d e l o a l t o d e u n faro en la costa, cuya parte superior está a 215 m sobre el nivel del mar. Hallar la distancia entre las boyas si sus ángulos de depresión medidos desde la parte superior del faro son de 53º 33’ y 31º 12’ respectivamente. Rp: 196,20

20. D e s d e l a c i m a d e l P a n e c i l l o s e o b s e r v a q u e l o s á n g u l o s d e d e p r e s i ó n de las partes superior e inferior de un edificio de 57,63 m de altura son 30º 55’ y 34º 11’ respectivamente. Hallar la altura que sobrepasa la montaña al edificio. Rp: 437.14

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APUNTES DE CLASE

LONG.ARCO, FUNCIONES

21. U n a e s c a l e r a d e 1 0 m d e l o n g i t u d p u e d e c o l o c a r s e d e t a l m a n e r a q u e alcance una ventana de 9 m de altura de un lado de la calle y, haciendo girar la escalera sin mover su base, puede alcanzar una ventana que está a 7,5 m de altura en el otro lado de la calle. Hallar el ancho de la calle. Rp: 10.97

22. A 1 0 0 0 m de l P a n e c i l l o s e o b s e r v a l a b a s e d e l a e s t a t u a d e l a v i r g e n con un ángulo de elevación 15,59º y la parte superior de la estatua con un ángulo de elevación de 17,67º.Determinar la altura de la estatua. Rp: 39,54

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23. T r e s b a r c o s e s t á n s i t u a d o s d e t a l m a n e r a q u e A s e e n c u e n t r a a 2 2 5 millas al oeste de C mientras que la orientación de B situado directamente al sur de C respecto de A es S 25º 10’ E. Hallar a) distancia entre B y A b) distancia entre B y C c) orientación de A r e s p e c t o d e B. R p : 5 8 4 , 1 8 m i l l a s 5 2 9 , 1 2 m i l l a s N 2 5 º 1 0 ’ O .

24. D o s b a r c o s s a l e n d e p u e r t o a l m i s m o t i e m p o , u n o d e e l l o s e n d i r e c c i ó n N 23º E a una velocidad de 11 millas por hora y el segundo en d i r e c c i ó n S 6 7 º E a 1 5 m i l l a s p o r h o r a . C a l c u la r e l r u m b o d e l s e g u n d o b a r c o c o n r e s p e c t o a l p r i m e r o , u n a h o r a d e s p u é s . Rp: N 30º 45’ W.

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25. D e s d e c a d a u n a d e 2 e s t a c i o n e s s i t u a d a s e n l a d i r e c c i ó n E s t e O e s t e y a 1 milla de distancia entre sí, se observa que el ángulo de elevación d e un g l o b o e s d e 4 5 º . S i e l g l o b o s e e n c u e n t r a h a c i a e l N 4 5 ° W y N 45° E de las estaciones, respectivamente, ¿ a qué altura está el globo Rp: 3733 pies.

26. U n a v i ó n s a l e d e A y s e d i r i g e a B q u e s e e n c u e n t r a a l s u r , n o p u e d e a t e r ri z a r p o r e l m a l t i e m p o p o r l o q u e s e d e c i d e r e g r e s a r y t o m a r u m b o N 28,85ºO y después de recorrer 200 Km vira 90º y vuelve a la ciudad A. Determine la distancia de A a B. Rp: 228,34 Km.

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27. Un automovilista sale de una ciudad C rumbo N 11, 4 4 º E h a c i a u n a ciudad A distante 100 Km., de ésta va directamente hacia el sur, después de un cierto tiempo vira al oeste y llega exactamente a la ciudad C. Determine el recorrido total del a u t o. R: 100+98,013+19,8344= 217,847 Km.

28. D e s d e e l a u l a d e c l a s e s e n e l q u i n t o p i s o , u n e s t u d i a n t e m i r a a d o s compañeras que vienen por el patio. A la una la observa en dirección N 60° E con un ángulo de depresión de 45° y a la otra la observa en dirección S 30° E con un ángulo de depresión de 30°. Si la altura del quinto piso es de 20 m calcular la distancia entre las dos compañeras. Rp: 40 m.

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29. U n a f u e n t e s e m i e s f é r i c a d e 1 c m d e e s p e s o r y d i á m e t r o e x t e r i o r 2 2 c m contiene 5 cm de agua. Que distancia puede rodar en una sola direc c i ó n a n t e s d e q u e s e d e r r a m e e l a g u a . Rp: 5.76 cm.

30. U n p i l o t o v u e l a a 6 0 0 m d e a l t u r a y q u i e r e a t e r r i z a r e n u n a p i s t a . S u avión necesita por lo menos 1.300 m para efectuar esta maniobra. Desea saber si puede hacerlo teniendo como datos los ángulos de depresión de la cabecera ( 22º 23’) y del final de la pista ( 12º 11’).

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31. D e s d e e l p a t i o d e c e r e m o n i a s d e l a E S P E s e m i r a e l e x t r e m o s u p e r i o r del asta de la bandera con un ángulo de elevación de 61º caminando 15 m en línea recta hacia ella el ángulo de elevación cambia a 73º 16’. Qué altura tiene el asta? Rp: 59

32. U n y a t e s a l e d e u n p u e r t o a u n c r u c e r o d e t u r i s m o a l a s 0 6 : 0 0 h o r a s con un rumbo N 27º W, a las 10:00 horas , cambia de rumbo d i ri g i é n d o s e d i r e c t a m e n t e a l s u r ; a l a s 1 5 : 0 0 h o r a s c a m b i a d e d i r e c c i ó n a un AZ 197º y continua su viaje hasta las 18:00 , a esta hora cambia nuevamente de dirección a un AZ de 310º hasta las 24:00. En esta m o m e n t o s e p a r a l i z a e l b a r c o . C o n q u e r u m b o d e b e c on t i n u a r s u travesía, y qué tiempo debe navegar para regresar directamente al muelle de partida. La velocidad de crucero es de 11 nudos y no existen vientos ni mareas que puedan influir en el movimiento rectilíneo del b a r c o . U n n u d o = 1 m . p . h . Rp: N 86° 31’ y 7 . 3 h o r a s

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33. U n a v i ó n s a l e d e l a e r o p u e r t o d e Q u i t o c o n u n a d i r e c c i ó n 1 4 8 º . L u e g o de volar media hora cambia de dirección a S 65º W y vuela dos horas, para luego desviarse a N 15º W y volar tres horas para por último d i r i g i r s e d i r e c t a m en t e a l N o r t e p o r u n t i e m p o d e u n a h o r a . C o n q u é rumbo debe volar y cuanto tiempo emplea en regresar al aeropuerto de Quito, si su velocidad de crucero es de 600 k.p.h. Rp: S 41°48’ E; 3h’30”

34. Q u é d i s t a n c i a e x i s t e e n t r e d o s c i u d a d e s A y B ubicadas ambas en Latitud Norte 23º si la ciudad A tiene una longitud Este 19º y la ciudad B 52º Longitud Oeste. Radio de la tierra = 6. 3 7 1 K m. R p : 7 . 2 6 7 , 2

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35. D e s d e l a E S P E s e m i r a u n a e x p l o s i ó n f r e á t i c a d e l v o l c á n P i c h i n c h a . S e q ui e r e c o n o c e r l a a l t u r a d e l a c o l u m n a d e v a p o r a s u m i e n d o q u e e s vertical. El ángulo de elevación del punto más alto de la columna es de 27º , la altura del cráter es de 5.100 m s.n.m. y la cota de la ESPE es de 2.500 m s.n.m. La distancia horizontal desde la ESPE al Volcán es de 20 Km. Rp. 7.590 m.

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37. U n a c a l l e c o n u n a p e n d i e n t e d e 3 0 ° c o n d u c e a u n a t o r r e d e transmisión. Desde un punto situado en la avenida a 15 metros de la b a s e d e l a t o r r e s e o b s e r v a l a pa r t e s u p e r i o r d e l a t o r r e c o n u n á n g u l o de elevación de 60°. Calcular la altura de la torre. Rp 15 m.

38. C a l c u l a r l a l o n g i t u d d e l a s o m b r a q u e p r o y e c t a u n e d i f i c i o e n l a c i u d a d de Quito, de 27 m de altura a las 09:37 horas. Rp: 19,40 m

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39. E n c o n t r a r e l r a d i o y e l á r e a d e l c í r c u l o i n s c r i t o e n e l t r i á n g u l o A B C , conociendo que el ángulo BAC = 30°, el ángulo externo en B = 100° y el lado AC = 10 cm. Rp: 1.95 y 11.95 cm2.

40. D e s d e l a p a r t e s u p e r i o r d e u n a t o r r e d e 6 0 m d e a l t u r a , s e m i r a u n avión que viene del SUR con un ángulo de elevación de 10°. Si en ese mismo instante el piloto del avión mira una señal que se encuentra a 150 m al ESTE de la base de la torre y en el mismo plano horizontal, con un ángulo de depresión de 20°. Calcular la altura del avión. Rp: 101,2 m

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