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Tema V. Cap´ıtulo 1. C´ onicas.

´ Algebra. Departamento de M´etodos Matem´aticos y de Representaci´on. UDC.

Tema V

Definici´ on 1.2 Diremos que una c´ onica es degenerada cuando est´ a formada por dos rectas (iguales o distintas, reales o imaginarias).

C´ onicas y Cu´ adricas

Veremos m´ as adelante que una c´ onica es degenerada cuando su matriz asociada A tiene determinante nulo.

1. C´ onicas. En todo este cap´ıtulo trabajaremos en el plano af´ın eucl´ıdeo E2 con respecto a una referencia rectangular {O; e¯1 , e¯2 }. Denotaremos por (x, y) las coordenadas cartesianas respecto a esta referencia y por (x, y, t) las coordenadas homog´eneas.

1

2

Intersecci´ on de una recta y una c´ onica.

Consideramos una c´ onica dada por una matriz sim´etrica A. Sean P = (p) y Q = (q) dos puntos cualesquiera. Calculemos en coordenadas homog´eneas la intersecci´ on de la recta que los une y la c´ onica:

Definici´ on y ecuaciones.

recta P Q c´ onica

Definici´ on 1.1 Una c´ onica es una curva plana determinada, en coordenadas cartesianas, por una ecuaci´ on de segundo grado.

≡ ≡

(x) = α(p) + β(q). (x)A(x)t = 0.

1.c

om

Sustituyendo la primera ecuaci´ on en la segunda queda: De esta forma la ecuaci´ on general de una c´ onica ser´ a:

ic a

(α(p) + β(q))A(α(p) + β(q))t = 0 ⇐⇒ α2 (p)A(p)t + 2αβ(p)A(q)t + β 2 (q)A(q)t = 0.

em

con (a11 , a22 , a12 ) 6= (0, 0, 0) (para garantizar que la ecuaci´ on es de segundo grado).

at

a11 x2 + a22 y 2 + 2a12 xy + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0

- En otro caso, obtenemos una ecuaci´ on de segundo grado de discriminante:

M

at

Otras expresiones equivalentes de la ecuaci´ on de una c´ onica son:

1 ∆ = [(p)A(q)t ]2 − [(p)A(p)t ][(q)A(q)t ]. 4

ww

w.

1. En funci´ on de la matriz A asociada a la c´ onica (toda matriz sim´etrica determina una c´ onica): (x

y

1)A

x y 1

! = 0,

con A =

a11 a12 a13

a12 a22 a32

a13 a23 a33

Hay tres posibilidades:

! .

1. ∆ > 0: Recta secante. Hay dos soluciones reales distintas, luego la recta corta a la c´ onica en dos puntos distintos.

2. En funci´ on de la matriz T de t´ erminos cuadr´ aticos:

  (x

y)T

x y

  + 2 ( a13

a23 )

x y

 + a33 = 0,

con T =

a11 a12

a12 a22

2. ∆ = 0: Recta tangente. Hay una soluci´ on doble, luego la recta corta a la c´ onica en un punto doble.

 6= Ω.

3. ∆ < 0: Recta exterior. No hay soluciones reales. La recta no corta a la c´ onica.

3. En coordenadas homog´eneas: (x

y

t)A

x y t

! = 0,

con A =

a11 a12 a13

a12 a22 a32

a13 a23 a33

- Si (p)A(p)t = (p)A(q)t = (q)A(q)t = 0 la ecuaci´ on se cumple para cualquier par (α, β) luego la recta est´ a contenida en la c´ onica.

Podemos aplicar esto a dos situaciones:

! .

1. Recta tangente a la c´ onica en un punto P de la misma. Si P est´ a en la c´ onica entonces (p)A(p)t = 0. Por tanto la recta tangente tendr´ a por ecuaci´ on:

De la u ´ltima ecuaci´ on deducimos que, en coordenadas homog´enas, los puntos de la c´ onica son los vectores autoconjugados de la forma cuadr´ atica que determina la matriz asociada A.

(p)A(x)t = 0

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2. Rectas tangentes a la c´ onica desde un punto P exterior. Si P es un punto exterior a la c´ onica, las rectas tangentes a la misma se obtendr´ an mediante la ecuaci´ on: [(p)A(x)t ]2 − [(p)A(p)t ][(x)A(x)t ] = 0

1. Si P no est´ a en la c´ onica y la recta polar interseca a la c´ onica, entonces los puntos de intersecci´ on de la recta polar y la c´ onica son los puntos de tangencia de las rectas tangentes a la c´ onica pasando por P . Prueba: Sea X ∈ C ∩ rp . Entonces se verifican las ecuaciones: X∈C X ∈ rp recta uniendo X y P

teniendo en cuenta que dicha ecuaci´ on se descompondr´ a como producto de dos ecuaciones lineales. En la siguiente secci´ on veremos como la polaridad nos proporcionar´ a otro m´etodo para calcular estas rectas.

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

(x)A(x)t = 0 (p)A(x)t = 0 α(p) + β(x) = 0

Veamos que la recta que une P y X es tangente a C. Intersecamos dicha recta con la c´ onica y obtenemos: α2 (p)A(p)t + 2αβ(p)A(x)t + β 2 (x)A(xt ) = 0

3

Polaridad.

1.c ic a at

p3 ) A

! = 0.

em

p2

om

Definici´ on 3.1 Dado un punto P de coordenadas homog´eneas (p1 , p2 , p3 ) y una c´ onica determinada por una matriz A, se llama recta polar de P respecto a la c´ onica y se denota por rP , a la recta de ecuaci´ on: ( p1

2. Si P est´ a en la c´ onica, entonces la recta polar es la recta tangente a la c´ onica en el punto P . Prueba: Es un caso particular de la situaci´ on anterior. 3. Si P no est´ a en la c´ onica y la recta polar no interseca a la c´ onica, entonces la recta polar rP se obtiene de la siguiente forma: se toma una recta pasando por P y se interseca con la c´ onica. Las correspondientes tangentes a la c´ onica por esos puntos se intersecan en un punto de la recta polar rp . Prueba: Es consecuencia de las observaciones anteriores.

w.

M

at

P se dice el polo de la recta.

α2 (p)A(p)t = 0

es decir hay una u ´nica soluci´ on y por tanto la recta P X es tangente a la c´ onica en X. Observaci´ on: Como consecuencia de esto, para calcular las tangentes a una c´ onica desde un punto exterior P , basta calcular la recta polar de P e intersecarla con la c´ onica. Las rectas pedidas son las que unen estos puntos con P.

Trabajamos con una c´ onica de matriz asociada A.

x y t

⇒

ww

Observaci´ on 3.2 Los conceptos de polo y recta polar son duales. Supongamos que la c´ onica definida por A es no degenerada. Dados un polo P y su recta polar rp la famila de rectas pasando por P se corresponde con las rectas polares de los puntos de rP . Para comprobar esto simplemente tenemos en cuenta lo siguiente. Sean (p) las coordenadas de P . Si B y C son dos puntos de rP , con coordenadas (b) y (c) respectivamente, se tiene que: (p)A(b)t = 0 (p)A(c)t = 0

⇒ ⇒

4

En lo que sigue trabajaremos sobre una c´ onica cuya matriz asociada respecto a un determinado sistema de referencia es A.

P ∈ recta polar de B P ∈ recta polar de C

Por tanto el haz de rectas que pasa por P ser´ a: rectas pasando por P

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

t

Puntos y rectas notables asociados a una c´ onica.

4.1

Puntos singulares.

t

α(b)A(x) + β(c)A(x) = 0 ⇐⇒ (α(b) + β(c))A(x)t = 0 ⇐⇒ rectas polares de los puntos α(b) + β(c) ⇐⇒ rectas polares de los puntos de rP

Definici´ on 4.1 Un punto singular de una curva es un punto de no diferenciabilidad de la misma. Equivalentemente, un punto singular de una curva es un punto con m´ as de una direcci´ on de tangencia.

Veamos la interpretaci´ on geom´etrica de la recta polar. Sea C la c´ onica (no degenerada) definida por A, P el polo y rP la correspondiente recta polar:

Equivalentemente, si toda recta pasando por un punto P de una curva corta a la curva con multiplicidad > 1 en P , entonces P es un punto singular.

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Veamos cuando aparecen puntos singulares en una c´ onica. Sea P = (p) un punto de la c´ onica. Tomamos una recta cualquiera pasando por P . Para ello elegimos un punto cualquiera Q = (q) que no est´e en la c´ onica y lo unimos con P . Su ecuaci´ on en coordenadas homog´eneas es:

- Para que (a, b, 1) sea centro las soluciones de λ han de ser valores opuestos para cualquier direcci´ on (p, q) 6= (0, 0). Esto significa que:

(a

b

1)A

(x) = α(p) + β(q) Si intersecamos con la c´ onica, nos queda la ecuaci´ on:

p q 0

! = 0 para cualquier (p, q) 6= (0, 0).

- Deducimos que la ecuaci´ on del centro es:

2αβ(p)A(q) + β 2 (q)A(q) = 0

(a

El punto P es singular si la u ´nica soluci´ on de esta ecuaci´ on es β = 0 con multiplicidad 2, para cualquier punto (q), es decir si:

4.3

b

1 ) A = (0, 0, h)

Direcciones asint´ oticas y as´ıntotas.

(p)A(q) = 0 para cualquier (q). Definici´ on 4.4 Las direcciones asint´ oticas son los puntos del infinito que pertenecen a la c´ onica.

Esto se cumple cuando: (p)A = ¯ 0

om

Las as´ıntotas son las rectas que pasan por el centro y tienen una direcci´ on asint´ otica.

1)A = ¯ 0

at

(p

at

y

q

0)A

p q 0

! = 0,

(p, q) 6= (0, 0)

4.2

ww

w.

M

(x

De la definici´ on es claro que las direcciones asint´ oticas (p, q, 0) se obtienen resolviendo la ecuaci´ on:

em

Teorema 4.2 Una c´ onica dada por una matriz A tiene puntos singulares si y s´ olo si det(A) = 0. En ese caso la c´ onica se dice degenerada y los puntos singulares (afines) son los que verifican la ecuaci´ on:

ic a

1.c

Concluimos lo siguiente:

Centro.

Si desarrollamos esa ecuaci´ on, obtenemos: a11 p2 + 2a12 pq + a22 q 2 = 0

Definici´ on 4.3 El centro de una c´ onica es un punto af´ın centro de simetr´ıa de la misma.

Vemos que es una ecuaci´ on de segundo grado cuyo discriminante es −|T |. Por tanto: - Si |T | > 0, entonces no hay direcciones asint´ oticas (c´ onica de tipo el´ıptico).

Llamemos (a, b, 1) a las coordenadas homog´eneas del centro. Veamos como calcularlo:

- Si |T | = 0, hay una direcci´ on asint´ otica (c´ onica de tipo parab´ olico).

- Consideramos la ecuaci´ on de una recta que pasa por el centro y tiene un determinado vector director (p, q):

- Si |T | < 0, hay dos direcciones asint´ oticas (c´ onica de tipo hiperb´ olico).

(x, y, t) = (a, b, 1) + λ(p, q, 0).

4.4

Definici´ on 4.5 Un di´ ametro de una c´ onica es la recta polar (af´ın) de un punto del infinito. Al punto del infinito se le llama direcci´ on conjugada con el di´ ametro.

- Sustituimos en la ecuaci´ on de la c´ onica y obtenemos:

(p

q

0)A

p q 0

! 2

λ + 2(a

b

1)A

p q 0

! λ + (a

Di´ ametros.

b

1)A

a b 1

! = 0. Observaci´ on 4.6 Cualquier di´ ametro pasa por el centro (o centros) de la c´ onica.

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Prueba: Supongamos que A es la matriz de la c´ onica y (a, b, 1) es un centro. Un diam´etro tiene por ecuaci´ on:

4.6

( u1

u2

0)A

x y 1

Definici´ on 4.9 Se llaman v´ ertices a los puntos intersecci´ on de los ejes con la c´ onica.

! =0

4.7

donde (u1 , u2 ) es la direcci´ on conjugada. Por otra parte vimos que si (a, b, 1) es el centro verifica: (a

b

1)A = (0

0

h ) ⇐⇒ A

a b 1

! =

0 0 h

(u

u

2

0)A

a b 1

Focos, directrices y excentricidad.

Definiremos estos tres conceptos para c´ onicas no degeneradas, es decir, cuya matriz asociada A es no singular.

!

Definici´ on 4.10 Un foco de una c´ onica es un punto F que verifica la siguiente condici´ on: el cociente entre las distancias de cualquier punto de la c´ onica a F y a su recta polar d es constante:

Deducimos que: 1

V´ ertices.

!

d(X, F ) = e, d(X, d)

=0

om

y por tanto el di´ ametro contiene al centro.

para cualquier punto X en la c´ onica.

1.c

A la recta polar de un foco se le denomina directriz. A la constante e se le denomina excentricidad.

ic a

Ejes.

at

em

Definici´ on 4.7 Se llaman ejes a los di´ ametros perpendiculares a su direcci´ on conjugada.

at

4.5

5 5.1

w.

M

Observaci´ on 4.8 Las direcciones conjugadas de los ejes son los autovectores de T asociados a autovalores no nulos.

Descripci´ on de las c´ onicas no degeneradas. La elipse real.

ww

La ecuaci´ on reducida de una elipse es: x2 y2 + 2 = 1, 2 a b

Prueba: Sea (u1 , u2 , 0) un punto del infinito y ( u1

u2

0)A

x y 1

a, b 6= 0

! (supondremos a ≥ b, de manera que el radio mayor de la elipse este colocado sobre el eje OX).

=0

Cuando a = b se trata de una circunferencia de radio a. Sus puntos y rectas notable son:

la ecuaci´ on del correspondiente diametro. ´ Operando, obtenemos que el vector normal de la recta es: ( u1 u2 ) T

1. Centro: (0, 0).

Como esta recta debe de ser perpendicular a la direcci´ on conjugada, este vector normal ha de ser paralelo a (u1 , u2 ) y por tanto:

2. Direcciones asint´ oticas: No tiene. 3. As´ıntotas: No tiene.

( u1 1

u2 ) T = λ ( u1

u2 )

4. Di´ ametros: Cualquier recta pasando por el centro. 5. Ejes: Si a 6= b los ejes son x = 0 e y = 0. Si a = b cualquier di´ ametro es un eje.

2

Deducimos que (u , u ) es un autovector de T , asociado al autovalor λ. Finalmente tenemos en cuenta que si λ = 0, entonces la recta anterior ser´ıa la recta del infinito, y por tanto no es un eje.

6. V´ ertices: Si a 6= b los v´ertices son (−a, 0), (a, 0), (0, −b) y (0, b). Si a = b cualquier punto de la c´ onica es un v´ertice.

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5.2

7. Focos: (−c, 0) y (c, 0) con a2 = b2 + c2 . 2

8. Directrices: x = ac y x = − ac . 9. Excentricidad: e = ac < 1 (vale 0 si se trata de una circunferencia.)

La ecuaci´ on reducida de una hip´erbola es: y2 x2 − 2 = 1, 2 a b

Todos estos valores se obtienen directamente utilizando que, en este caso, la matriz asociada a la c´ onica es: ! 1 0 0 a2 1 A= 0 . 0 b2 0 0 −1 y aplicando las definiciones vistas para cada uno de los conceptos anteriores. Nos fijamos en particular en los focos, directrices y excentricidad.

1. Centro: (0, 0). 2. Direcciones asint´ oticas: (a, b, 0) y (a, −b, 0). 3. As´ıntotas: y =

2

c a . x − 1 = 0 ⇐⇒ x = a2 c Ahora dado un punto X = (x, y) cualquiera de la c´ onica veamos cual es el cociente entre las distancias de dicho punto al foco y la directriz. En primer lugar teniendo en cuenta que (x, y) verifica la ecuaci´ on de la c´ onica y que a2 = b2 + c2 , tenemos:

r

2 2

=

om

ic a M w.

c a

ww

a2 −cx a a2 −cx c

Deducimos que efectivamente (c, 0) es un foco y la excentricidad es se puede ver que (−c, 0) es el otro foco de la c´ onica.

c . a

8. Directrices: x =

a2 c

9. Excentricidad: e =

2

y x = − ac . c a

> 1.

Todos estos valores se obtienen directamente utilizando que, ahora, la matriz asociada a la c´ onica es: ! 1 0 0 a2 1 A= 0 . 0 − b2 0 0 −1

at

a2 a2 − cx d(directriz, X) = −x= . c c d(F, X) = d(d, X)

7. Focos: (−c, 0) y (c, 0) con c2 = a2 + b2 .

x2 + c2 − 2cx +

Por otra parte:

Por tanto:

6. V´ ertices: (−a, 0) y (a, 0).

at

(x − c)2 + y 2 =

5. Ejes: x = 0 e y = 0.

em

p

e y = − ab x.

4. Di´ ametros: Cualquier recta pasando por el centro.

2 2

a b −b x = a2 r 2 2 2 c x a − cx cx = . = − 2xc + a2 = a − a2 a a

=

b x a

1.c

(c, 0, 1)A(x, y, 1)t = 0 ⇐⇒

Comprobamos los focos, directrices y excentricidad. Si consideramos el punto (c, 0) con c2 = a2 + b2 , su recta polar ser´ a:

An´ alogamente

(c, 0, 1)A(x, y, 1)t = 0 ⇐⇒

5.1.1

La elipse como lugar geom´ etrico.

r

Veamos que esta definici´ on es coherente con la ecuaci´ on y focos dados previamente. Dado un punto (x, y) de la c´ onica vimos que: a2 − cx ; a

Por tanto: d(F1 , X) + d(F2 , X) =

d(F2 , X) =

a2 c x − 1 = 0 ⇐⇒ x = a2 c

Ahora dado un punto X = (x, y) cualquiera de la c´ onica veamos cual es el cociente entre las distancias del punto al foco y la directriz. En primer lugar teniendo en cuenta que (x, y) verifica la ecuaci´ on de la c´ onica y que c2 = a2 + b2 , tenemos:

Definici´ on 5.1 La elipse tambi´en puede definirse como el lugar geom´etrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a los focos es constante.

d(F1 , X) =

a, b 6= 0 .

Sus puntos y rectas notable son:

Si consideramos el punto (c, 0) con a2 = b2 + c2 , su recta polar ser´ a:

d(F, X)

La hip´ erbola.

2

d(F, X)

a2 + cx . a

b2 x2 − a2 b2 = a2 r c2 x2 cx |cx − a2 | − 2xc + a2 = − a = . = 2 a a a

=

p

(x − c)2 + y 2 =

x2 + c2 − 2cx +

Por otra parte:

a2 − cx a2 + cx + = 2a. a a

d(d, X) = x −

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|cx − a2 | a2 = . c c

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Tema V. Cap´ıtulo 1. C´ onicas.

Por tanto:

8. Directrices: y = − p2 .

cx−a2 d(F, X) a c = cx−a2 = d(d, X) c a

9. Excentricidad: e = 1. De nuevo, todos estos valores se obtienen directamente utilizando que en este caso la matriz asociada a la c´ onica es:

Deducimos que efectivamente (c, 0) es un foco y la excentricidad es ac . An´ alogamente se puede ver que (−c, 0) es el otro foco de la c´ onica.

5.2.1

A=

La hip´ erbola como lugar geom´ etrico.

Definici´ on 5.2 La hip´ erbola tambi´en puede definirse como el lugar geom´etrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los focos en valor absoluto es constante.

a: Si consideramos el punto F = (0, p2 ) su recta polar ser´ p2 p p = 0 ⇐⇒ y + = 0 (0, , 1)A(x, y, 1)t = 0 ⇐⇒ −py − 2 2 2 Ahora dado un punto X = (x, y) cualquiera de la c´ onica veamos cual es el cociente entre las distancias del punto al foco y la directriz. En primer lugar teniendo en cuenta que (x, y) verifica la ecuaci´ on de la c´ onica:

|cx + a2 | . a

ic a

Por tanto, si x ≥ a 2

2

em

y si x ≤ −a: 2

r 2py +

y2

p2 + − py = 4

r y 2 + py +

p2 p =y+ 4 2

p 2 Deducimos que efectivamente (0, p2 ) es un foco y la excentricidad es 1.

w.

La par´ abola.

ww

5.3

p + (y − )2 = 2

d(d, X) = y +

at

−cx − a a − cx − = 2a. a a

x2

Por otra parte:

M

d(F1 , X) − d(F2 , X) =

d(F, X) =

q

at

cx − a cx + a d(F1 , X) − d(F2 , X) = − = −2a. a a 2

!

om

d(F2 , X) =

0 −p 0

1.c

|cx − a2 | ; a

0 0 −p

Comprobamos una vez m´ as los focos, directrices y excentricidad.

Veamos que esta definici´ on es coherente con la ecuaci´ on y focos dados previamente. Dado un punto (x, y) de la c´ onica vimos que: d(F1 , X) =

1 0 0

5.3.1

La par´ abola como lugar geom´ etrico.

La ecuaci´ on reducida de una par´ abola es: x2 = 2py,

Definici´ on 5.3 La par´ abola tambi´en puede definirse como el lugar geom´etrico de los puntos del plano cuya distancia al foco es la misma que la distancia a la directriz.

p 6= 0 .

(supondremos p > 0 para que la par´ abola est´e situada en el semiplano positivo.)

Esto es consecuencia inmediata de que la excentricidad es 1.

Sus puntos y rectas notable son: 1. Centro: No tiene (tiene un centro ”impropio” (0, 1, 0)).

6

2. Direcciones asint´ oticas: (0, 1). 3. As´ıntotas: No tiene.

Cambio de sistema de referencia.

Sean dos sistemas de referencia R1 = {O; e¯1 , e¯2 } y R2 = {Q; e¯01 , e¯02 }. Denotamos por (x, y) e (x0 , y 0 ) respectivamente a las coordenadas cartesianas en cada una de las referencias. Supongamos que

4. Di´ ametros: Rectas paralelas al eje OY . 5. Ejes: x = 0. 6. V´ ertices: (0, 0).

- el punto Q con respecto a la primera referencia tiene por coordenadas (q 1 , q 2 ).

7. Foco: (0, p2 ).

- {e0 } = C{e}, donde C = MB 0 B .

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Tema V. Cap´ıtulo 1. C´ onicas.

7

Entonces sabemos que la f´ ormula de cambio de referencia es: (x, y) = (q 1 , q 2 ) + (x0 , y 0 )C

0 0 1

C

(x, y, t) = (x0 , y 0 , t0 )

o ´

q

1

q

2

!

Dada una c´ onica definida por una matriz sim´etrica A, encontrar su ecuaci´ on reducida consiste en hacer una cambio de referencia de manera que la ecuaci´ on de la c´ onica con respecto a esa nueva referencia sea lo m´ as sencilla posible. En concreto realizamos:

.

Supongamos que tenemos la ecuaci´ on de la c´ onica dada por una matriz A (y la correspondiente T de t´erminos cuadr´ aticos) con respecto a la referencia R1 :

(x

y

x y t

t)A

!

  = 0 ⇐⇒ ( x

y)T

x y

Clasificaci´ on de c´ onicas y ecuaci´ on reducida.

1. Un giro. Nos permite colocar el eje o ejes de la c´ onica paralelos a los ejes de coordenadas de la nueva referencia. La matriz de t´erminos cuadr´ aticos en la nueva referencia ser´ a diagonal.

  + 2 ( a13

a23 )

x y

+ a33 = 0.

2. Una traslaci´ on. Que nos permite colocar el/los centro/s (si existe/n) de la c´ onica en el origen de coordenadas (en otro caso llevaremos un v´ertice al eje de coordenadas).

Si hacemos el cambio de referencia en coordenadas homog´eneas obtenemos: 0

t ) BAB

t

x0 y0 t0

!

C

= 0 con B = q1

q2

0 0 1

Antes de comenzar el desarrollo, hacemos la siguiente observaci´ on importante:

! .

om

y

0

1.c

(x

0

ic a

Deducimos que la matriz de la c´ onica en la nueva referencia es:

Supondremos que al menos un t´ ermino de la diagonal de la matriz T de t´ erminos cuadr´ aticos es no negativo.

Si esta propiedad no se cumple, basta trabajar con la matriz −A en lugar de con A. De esta forma aseguramos que T siempre tiene al menos un autovalor positivo.

at

A0 = BAB t

em

y por tanto:

at

7.1

M

Teorema 6.1 Las matrices A, A0 de una c´ onica con respecto a dos refencias R1 , R2 distintas, son matrices congruentes

w.

Dado que la matriz T de t´erminos cuadr´ aticos es sim´etrica tiene dos autovalores reales λ1 y λ2 , con λ1 6= 0. Supondremos λ1 > 0. Adem´ as sabemos que existe una base ortonormal de autovectores {¯ u1 , u ¯2 } de manera que:

ww

A0 = BAB t

Paso I: Reducci´ on de t´ erminos cuadr´ aticos (el giro).

siendo B la matriz de cambio de referencia de R2 a R1 , en coordenadas homog´eneas.

0

( x0

y 0 ) CT C t

x0 y0



T = CT C con {¯ u} = C{¯ e} y T =

Si hacemos el cambio de referencia en coordenadas cartesianas obtenemos:



0

t

λ1 0

0 λ2



La ecuaci´ on de cambio de coordenadas es:

 + {t´erminos de grado ≤ 1} = 0

(x, y) = (x0 , y 0 )C de forma que en la nueva base la ecuaci´ on de la c´ onica es:

Por tanto deducimos que:

( x0

0

Teorema 6.2 Las matrices de t´erminos cuadr´ aticos T, T de una c´ onica con respecto a dos refencias R1 , R2 distintas son matrices congruentes

y 0 ) CT C t



x0 y0

 + 2 ( a13

a23 ) C t



x0 y0

 + a33 = 0

Operando queda:

T 0 = CT C t

λ1 x02 + λ2 y 02 + 2b13 x0 + 2b23 y 0 + b33 = 0

siendo C la matriz de cambio de la base de R2 a la de R1 .

95

´ Algebra. Departamento de M´etodos Matem´aticos y de Representaci´on. UDC.

Tema V. Cap´ıtulo 1. C´ onicas.

7.2

Paso II: Reducci´ on traslaci´ on).

de

t´ erminos

lineales

(la

(b) c33 = 0, entonces la ecuaci´ on reducida es: λ1 x002 + λ2 y 002 = 0

0

Rectas imaginarias cort´ andose en un punto.

0

Ahora a partir de la ecuaci´ on anterior completamos las expresiones de x e y al cuadrado de un binomio, sumando y restando los t´erminos adecuados. En concreto: (c) c33 < 0, entonces la ecuaci´ on reducida es:

- Para x0 : λ1 x02 + 2b13 x0 = λ1 (x02 + 2

b13 0 b213 b13 2 b213 b2 x + 2 ) − 13 = λ1 (x0 + ) − λ1 λ1 λ1 λ1 λ1

λ1 x002 + λ2 y 002 + c33 = 0

- Para y 0 :

2. Si λ2 = 0 y (a) c23 6= 0, entonces c33 = 0 y la ecuaci´ on reducida es:

• Si λ2 6= 0:

λ1 x002 + 2c23 y 00 = 0

b23 0 b223 b2 b23 2 b223 y + 2 ) − 23 = λ2 (y 0 + ) − λ2 λ2 λ2 λ2 λ2

em

Hacemos en cada caso la traslaci´ on correspondiente y obtenemos las siguientes formas reducidas: Si λ2 = 0 y b23 6= 0 Cambio de Coordenadas: b13 x00 = x0 + λ1 b33 00 0 y =y + 2b23

Si λ2 = b23 = 0 Cambio de Coordenadas: b13 x00 = x0 + λ1

Ecuaci´ on reducida:

Ecuaci´ on reducida:

Ecuaci´ on reducida:

λ1 x

+ λ2 y

+ c33 = 0

λ1 x

00

+ 2c23 y = 0

λ1 x

+ λ2 y

002

λ1 x002 + c33 = 0

Rectas paralelas imaginarias.

Recta doble real.

ww

w.

M

λ1 x002 = 0

(d) c23 = 0 y c33 < 0 λ1 x002 + c33 = 0

λ1 x002 + c33 = 0

Es decir nos queda una ecuaci´ on reducida de la forma: 002

(b) c23 = 0 y c33 > 0

(c) c23 = 0 y c33 = 0

at

Si λ2 6= 0 Cambio de Coordenadas: b13 x00 = x0 + λ1 b23 00 0 y =y + λ2

002

ic a

b33 ) 2b23

at

2b23 y 0 + b33 = 2b23 (y 0 +

1.c

• Si λ2 = 0 y b23 6= 0:

002

Par´ abola.

om

λ2 y 02 + 2b23 y 0 = λ2 (y 02 + 2

002

Elipse real.

Rectas paralelas reales.

3. Si λ2 < 0, entonces c23 = 0 y si:

00

+ 2c23 y + c33 = 0

(a) c33 6= 0, entonces la ecuaci´ on reducida es:

con las siguientes posibilidades para los valores de λ2 , c23 y c33 :

λ1 x002 + λ2 y 002 + c33 = 0

Hip´erbola.

1. Si λ2 > 0, entonces c23 = 0 y si: (a) c33 > 0, entonces la ecuaci´ on reducida es: λ1 x002 + λ2 y 002 + c33 = 0

(b) c33 = 0, entonces la ecuaci´ on reducida es: λ1 x002 + λ2 y 002 = 0

Elipse imaginaria.

96

Rectas reales cort´ andose en un punto.

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Tema V. Cap´ıtulo 1. C´ onicas.

7.3

Clasificaci´ on y ecuaci´ on reducida en funci´ on de |T | y |A|.

Una operaci´ on ”prohibida” con esta fila significar´ıa que la transformaci´ on que hacemos lleva puntos propios en puntos del infinito y viceversa. Con est´e m´etodo llegaremos a una forma diagonal (excepto si se trata de un par´ abola) que nos permitir´ a clasificar f´ acilmente la c´ onica.

Teniendo en cuenta que los determinantes de T y A se conservan por giros y traslaciones, podemos reescribir la clasificaci´ on anterior en funci´ on de |T | y |A|. De nuevo suponemos alg´ un t´ ermino de T positivo: |T | > 0

|A| > 0 Elipse imaginaria

|T | = 0

Par´ abola

|T | < 0

Hip´erbola

|A| = 0 Rectas  imaginarias cort´ andose Rectas paralelas imag. rg(A) = 2 Rectas paralelas reales rg(A) = 1 Recta doble Rectas reales cort´ andose

Observaci´ on 7.1 Hay que tener en cuenta que la forma diagonal que obtenemos de esta forma, NO se corresponde necesariamente con la ecuaci´ on reducida de la c´ onica. Es decir, este m´etodo nos permite clasificar la c´ onica, pero NO dar su ecuaci´ on reducida.

|A| < 0 Elipse real Par´ abola

7.5

Hip´erbola

Adem´ as cuando la c´ onica es no degenerada podemos calcular la ecuaci´ on reducida, a partir de los autovalores λ1 > 0, λ2 de T y de |A|:

Una vez clasificada la c´ onica y comprobado que es degenerada, la forma m´ as c´ omoda de calcular las rectas que la forman es la siguiente:

om

1. Si |T | 6= 0, entonces queda: c=

|A| |T |

con

c=

−

|A| λ1

2. Si se trata de rectas que se cortan (reales o imaginarias), se calcula el centro. Luego intersecamos la c´ onica con una recta cualquiera (lo m´ as sencilla posible) que no pase por el centro y obtenemos dos puntos (reales o imaginarios). Las rectas buscadas son las que unen el centro con dichos puntos.

at

− 2c = 0,

M

λ1 x

em

at

2. Si |T | = 0, entonces queda:

r

1. Si se trata de rectas paralelas (reales o imaginarias) o de una recta doble, se calcula la recta de centros. Si es una recta doble hemos terminado. En otro caso intersecamos la c´ onica con una recta cualquiera (lo m´ as sencilla posible) y obtenemos dos puntos (reales o imaginarios). Las rectas buscadas son las paralelas a la recta de centros pasando por dichos puntos.

1.c

con

ic a

λ1 x002 + λ2 y 002 + c = 0,

002

Obtenci´ on de las rectas que forman las c´ onicas degeneradas.

ww

w.

Podemos incluso dar la referencia en que se obtienen estas formas reducidas:

1. En el caso de |T | 6= 0 (elipse o hip´erbola), la base de la nueva referencia est´ a formada por los autovectores de T normalizados y el nuevo origen situado en el centro de la c´ onica. Simplemente hay que tener cuidado de ordenar los autovectores de manera coherente a como se ordenan los autovalores.

8

Definici´ on 8.1 Dadas dos c´ onicas C1 y C2 de ecuaciones:

2. En el caso de |T | = 0 (par´ abola), la base de la nueva referencia est´ a formada por los autovectores de T normalizados y el nuevo origen en el v´ertice. Ahora adem´ as de ordenar correctamente los autovectores, hay que comprobar si se ha escogido correctamente el signo del autovector asociado al autovalor nulo.

7.4

Haces de c´ onicas (x)A1 (x)t = 0

y

(x)A2 (x)t = 0

el haz de c´ onicas generado por ellas corresponde a la familia de c´ onicas de ecuaciones: {α[(x)A1 (x)t ] + β[(x)A2 (x)t ] = 0;

Clasificaci´ on mediante diagonalizaci´ on por congruencia.

α, β ∈ IR,

(α, β) 6= (0, 0)}

o equivalentemente: {[(x)A1 (x)t ] + µ[(x)A2 (x)t ] = 0;

Otra forma de clasificar una c´ onica dada por una matriz A es diagonalizar esta matriz por congruencia, pero con la siguiente restricci´ on: La u ´ ltima fila no puede ser ni sumada a las dem´ as ni multiplicada por un escalar ni cambiada de posici´ on.

µ ∈ IR)} ∪ {(x)A2 (x)t = 0}

Las c´ onicas de un haz heredan propiedades comunes de las c´ onicas que lo generan. Por ejemplo:

97

´ Algebra. Departamento de M´etodos Matem´aticos y de Representaci´on. UDC.

Tema V. Cap´ıtulo 1. C´ onicas.

- Si P es un punto com´ un de C1 y C2 , entonces P pertenece a todas las c´ onicas del haz.

3. Haz de c´ onicas por dos puntos y la tangente en ellos. Supongamos que A, B son dos puntos y tgA , tgB las correspondientes tangentes. Consideramos la recta r ≡ AB.

- Si r es una tangente a C1 y C2 en un punto P , entonces r tambi´en es tangente en P a todas las c´ onicas del haz.

El correspondiente haz es:

- Si r es una as´ıntota com´ un a C1 y C2 , entonces r tambi´en es as´ıntota de todas las c´ onicas del haz.

α(r)2 + β(tgA · tgB ) = 0

- Si P es un punto singular de C1 y C2 , entonces P es un punto singular de todas las c´ onicas del haz.

3’. Haz de c´ onicas por un punto, conocida la tangente en ´el y una as´ıntota. De nuevo es un caso particular del anterior. Supongamos que A es el punto y tgA la correspondiente tangente. Sea asint la as´ıntota. Consideramos la recta

- Si P es el centro de C1 y C2 , entonces P es el centro de todas las c´ onicas del haz. Teniendo en cuenta este hecho, veamos como construir las familias de c´ onicas que cumplen algunas de estas condiciones.

r ≡ {recta pasando por A y paralela a asint} El correspondiente haz es:

1. Haz de c´ onicas por cuatro puntos no alineados. Supongamos que A, B, C, D son cuatro puntos no alineados. Consideramos las rectas r1 ≡ AB, r2 ≡ CD; s1 ≡ AC; s2 ≡ BD.

ic a

1.c

om

α(r)2 + β(tgA · asint) = 0

at

El correspondiente haz es:

em

α(r1 · r2 ) + β(s1 · s2 ) = 0

at

M w.

s ≡ BC.

ww

r2 ≡ AC;

El correspondiente haz es: α(r1 · r2 ) + β(s · tgA ) = 0 2’. Haz de c´ onicas por dos puntos y una as´ıntota. Es un caso particular del anterior, si pensamos que la as´ıntota es una recta tangente en el punto del infinito. Supongamos que B, C son los puntos y asint es la as´ıntota. Consideramos las rectas r1 ≡ {recta pasando por B y paralela a asint} r2 ≡ {recta pasando por C y paralela a asint}

r ≡ {recta del infinito} cuya ecuaci´ on homog´enea es t = 0 y af´ın es 1 = 0 (!?). El correspondiente haz es: α(1)2 + β(asint1 · asint2 ) = 0

2. Haz de c´ onicas por tres puntos no alineados y la tangente en uno de ellos. Supongamos que A, B, C son tres puntos no alineados y tgA es la tangente en A. Consideramos las rectas r1 ≡ AB,

3”. Haz de c´ onicas conocidas dos as´ıntotas. De nuevo es un caso particular del anterior. Supongamos que asint1 y asint2 son las dos as´ıntotas. Consideramos la recta:

s ≡ BC.

El correspondiente haz es: α(r1 · r2 ) + β(s · asint) = 0

98

´ Algebra. Departamento de M´etodos Matem´aticos y de Representaci´on. UDC.

Tema V. Cap´ıtulo 1. C´ onicas.

9

Ap´ endice: secciones planas de un cono.

C´ onicas no degeneradas.

Hip´erbola.

Par´ abola.

Recta doble.

Un punto.

om

Elipse.

ww

w.

M

at

em

at

ic a

1.c

C´ onicas degeneradas.

Dos rectas.

99