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• JoSe Eduardo Muñoz

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CUESTIONARIO - ESTADÍSTICA APLICADA A LA INGENIERÍA Problema 1 En una oficina de defensa del consumidor se han recibido quejas de los consumidores con respecto a que una determinada marca de aceite vende botellas que indican 850 c.c. pero que en realidad es menos de esa cantidad. Un funcionario de esta oficina con la finalidad de determinar si los clientes tienen fundamento en sus quejas decide tomar una m.a. de 49 botellas de aceite y encontró que el promedio de esta muestra fue 848.3c.c. y una desviación estándar de 10c.c. Plantee la hipótesis adecuada Usando un nivel de significancia del 5% ¿A qué conclusión llegará el funcionario de la oficina de defensa del consumidor? Datos:

µ=850 n =49 ơ=10 α =0,0

Paso1 Ho= µ=850

Pasó 2 α =0,05

H1= µ≠850

Paso3 T=

̅̅̅̅̅− 𝜇 ) (𝑋 ɞ √n

=T=

(848.3−850) 10 ÷√49

= - 1,19

Paso 4

| Z1- α

Paso 5: Interpretación: Como t = -1.19 E.R.A No se rechaza el H0

-1,19

Z1- α

0,975

0,975

-2,262

2,262

Concluimos.-Que la defensa del consumidor que una determinada marca de aceite vende botellas que indican 850 c.c

Problema 2 Se sabe que en una compañía de taxis el gasto diario promedio en combustible, por unidad, es una variable con distribución normal, cuyo promedio es de 187.6 galones, y una desviación estándar de 32.5 galones. El gerente de operaciones decide incluir un aditivo especial al combustible que le permitirá un ahorro en ese rubro. Después de incluir el aditivo toma una muestra de 6 unidades y encontró los siguientes gastos en combustible expresado en galones por día: 180.3 179.6 185.7 170.5 158.3 180.6 El gerente operativo afirma que el gasto promedio diario en combustible disminuyó en más de 12% ¿En base a la información muestral presentada se puede aceptar lo afirmado por el gerente operativo? Datos µ=187,6 ơ=32,5 n=6 n 𝜇a

α =0.05

𝜇n = 𝜇a

Paso2:

Paso3:

𝑓=

𝑠𝑁 2 𝑠𝐴2

𝑓 = 0.694 Paso4:

f α, r1, r2 0.694 0.05, 9,9 0.315

SEGUNDO Paso1:

Paso2:

𝜇a = 𝜇n

α =0.05

𝜇 a< 𝜇 n Paso3: 𝑠𝐴2 𝑓= 𝑠𝑁 2

𝑡 = 1.44

Paso4:

fα, r1, r2 1.44 0.05, 9,9 0.315

Paso 5 INTERPRETACIÓN: Como f= 1.44 E.R.A Conclusión: son iguales no hay evidencia que hay variación, no es mayor.

PRUEBA T PARA DOS MUESTRAS RELACIONADAS QUE PRESENTA UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL Problema 8 En un estudio acerca del estado general de la salud mental de personas retiradas, un equipo de psicólogos seleccionó una muestra de aquellas que deberían retirarse dentro de los próximos dos años. Los investigadores desean saber si se podía sacar como conclusión que el nivel de salud mental de la población de la cual se había sacado la muestra tendía a tener diferencias antes y después del retiro. Use un nivel de significancia del 5%. Estado de salud mental de 15 sujetos antes y después del retiro

Antes Después

1 76 70

2 80 75

3 86 84

4 87 90

5 85 81

6 95 95

7 97 87

8 75 72

Datos: Antes

Después

n1= 15

n2= 15

x1=86.3

x2=83

s1= 7.7

s2=7.25

Paso1:

Paso2: α =0.05

H°=𝜇 n = 𝜇 a H°=𝜇 n ≠ 𝜇a

Paso3:

9 87 92

10 96 85

11 98 88

12 77 76

13 80 85

14 87 81

15 89 84

𝑓=

T=

𝑠12 𝑠22

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ (𝑋 1 −𝑋 2 )− (𝜇1 − 𝜇2 ) 𝑠 2 𝑠 2 √ 1 + 2 𝑛1 𝑛2

= 1,2085

Pasó 4

f α/2, m1+m2 -2 1,2085 f α, r1, r2 0.694 0.0975, 14,140.0975, 14,14 -2,056

5. conclusión. Como T=1.2085 E.R.A No se rechasa Ho Entonces se concluye que no hay diferencias, hay Que son homogéneos.

b) Paso 1 HO : μ1 = μ2 HA : μ1≠ μ2

Paso 2 α=0.05 T=

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (𝑋 1 − 𝑋2 ) − (𝜇1 − 𝜇2 ) 𝑠 2

𝑠2 2

1

𝑛2

√ 𝑛1 +

T = 1.2185 𝑠𝑐

2

=

(𝑛1 − 1)𝑠1 2 + (𝑛2 − 1)𝑠2 (𝑛1 + 𝑛2 − 2) 𝑠𝑐

2

= 55.93

1,2085 -t 1- α/2,𝑛1 +𝑛2 − 2t 1- α/2,𝑛1 +𝑛2 − 2 0.975,28 0.975,28 -2.048 2.048 INTERPRETACIÓN Como T= 1.2185 E.R.A No se rechaza Ho Concluimos: que son diferentes, si hay diferencias

2

Problema 9

Veinte estudiantes del quinto año de Educ. Secundaria participaron en un experimento preparado para evaluar la efectividad de un programa para aumentar la comprensión de Cada sujeto hizo una prueba de comprensión de lectura antes y después de participar en el programa. ¿Proporcionan estos datos suficiente evidencia como para indicar que el programa es efectivo a un nivel de significancia del 0.05? Puntaje en comprensión de lectura de 20 estudiantes de quinto año de Educación Secundaria antes y después de participar en un programa preparado para mejorar la comprensión de lectura, fueron

Sujeto Antes Después

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 80 65 73 60 60 73 76 53 57 65 61 54 77 66 59 74 52 56 63 67 85 75 84 55 72 81 84 50 65 75 79 62 85 78 69 88 60 52 75 80

Datos: 𝑛1 = 20

paso :1

𝑛2 = 20

HO : μ1 = μ2 HA : μ1< μ2

α =0.05

Paso:2 α =0.05

Paso: 3 T=

D − (𝜇1 − 𝜇2 )

T=

Pasó 4

𝑆𝐷 √𝑛

−8,15 5,94 √20

= 6,13

-6.13

1,729

t 1- α/2,𝑛 − 1 0.975,28 -2.048 D=-8,15 SD= 5,94

Pasó 5 Como T=-6.13 E.R.A Concluimos: que son iguales, y el programa si es efectivo. Problema 10 Una muestra de 87 mujeres trabajadoras profesionales mostró que la cantidad promedio que pagan a un fondo de pensión privado el 5% de su sueldo. Una muestra de 76 hombres trabajadores profesionales muestra que la cantidad que paga a un fondo de pensión privado es el 6.1% de su sueldo. Un grupo activista de mujeres desea demostrar que las mujeres no pagan tanto como los hombres en fondos de pensión privados. Si se usa alfa = 0.01 ¿Se confirma lo que el grupo activista de mujeres desea demostrar o no? 1. - Pm < PH Pm > PH 2.-‫ﻼ‬ α= 0,01

𝑍=

𝑃̅1 − 𝑃̅2 − (𝑝1 − 𝑝2 ) √

𝑝(1−𝑝) 𝑛1

+

𝑝(1−𝑝) 𝑛2

Z=

0,05−0,061 0,055( 1−0,055) 0,055( 1−0,55) √ + 87 76

p=

𝑋1 +𝑋2 𝑛1 +𝑛2

𝑃1 .𝑛1 +𝑃2 .𝑛2

=

𝑛1 +𝑛2

= -0.307

= 0.055

1-a 0.99 2.33 5. como Z= -0.307 E.R.A Ho= No se rechaza Ho concluimos que las mujeres no pagan tanto como los hombres en fondos de pensión privados.

Problema 11

El dueño de un café realizó un estudio estadístico por cuenta propia y otro usando los servicios de dos practicantes universitarios que cursan la materia de estadística inferencial. Según los datos de muestreo del dueño para 30 personas el 60% de los clientes son mujeres; en cambio en el muestreo realizado por los estudiantes para 40 personas encontraron que el 70% de los clientes son mujeres. La pregunta del dueño ahora es si se requiere invertir en un nuevo estudio dado que alguno de los dos realizados hasta ahora está mal hecho. Si ambos estudios analizaron una muestra representativa de la misma población las medias poblacionales son iguales y no se requiere un estudio adicional. Determine:

a) Hipótesis nula y alternativa b) Concluya si se requiere un estudio estadístico adicional basándose en la prueba de hipótesis para proporciones, use un nivel de significancia de alfa = 0.05.

Intervalo de confianza

Datos 𝑛1 = 30 𝑛2 = 40 α =0.05 𝑥1 = 18 𝑥2 = 28 p=

60% mujeres 𝑝1 = 0.6 60% mujeres 𝑝2 = 0.7

18 + 28 = 0.657 30 + 40

α =0.05

Paso 1 pd = pe pd ≠ pe

Paso2 α =0.05

Paso 3 Z=

𝑃1 − 𝑃2 − (𝑃𝑑 − 𝑃𝑒 ) 𝑃 (1−𝑃)

√

𝑛1

Z=-0.87 Pasó 4

+

𝑃 (1−𝑃 𝑛2

Z1-α/2

0,87

Z1-α/2

Z 1-α/2

0,975

-1,96

1,96

Paso 5

Como Zc = 0.87 € R.A. Se rechaza Ho Concluimos que si se requiere un estudio estadístico adicional basándose en la prueba de hipótesis para proporciones Problema 12 Los pesos en una determinada población siguen una distribución normal de media desconocida y desviación típica igual a 5 kg. Pesando a 10 individuos de dicha población, se obtuvieron los siguientes resultados medidos en kilogramos: 62

65

63

58

64

60

57

62

60

58

Halla un intervalo de confianza al 90% para el peso medio de la población. Datos:

̅𝑋̅̅̅=60.9

ɞ =5

Paso 1

n =10

ɞ =5 ɞ =5

s=2,726 Pasó 3

Paso 2 1-α =0,90 α =0,1

Z=

𝑥− 𝜇 ɞ √n

α 𝑡1 − , n − 1 = 1,83 2

= 𝜇 ≤ 0.95,9

̅𝑋̅̅̅ − 𝑡 α 1− 2

s √n

𝜇 ≤ ̅𝑋̅̅̅ − 𝑡1−α ,𝑛−1 2

s √n

59,3 ≤ 𝜇 ≤ 62,48

Pasó 5 Interpretación

con un nivel de significancia de 90% se concluye que se obtuvo un intervalo

59,3 ≤ 𝜇 ≤ 62,48

Problema 13 Actualmente el costo promedio, por unidad producida, de un artículo es de 120 soles con una desviación estándar de 10 soles. Se realizan ciertas medidas de reajuste en el proceso de producción de este artículo con la finalidad de disminuir los costos de producción. Luego de estas medidas se toma una muestra aleatoria de 6 objetos y se determinó los siguientes costos: 115.6, 118.5, 123.6, 119.5,

115.2, 116.3

Con esta información, utilizando un nivel de confianza del 90% , ¿es posible confirmar que se logró el objetivo? Datos ̅𝑋̅̅̅=120 n =6

ơ=10

1- α= 0,9 α =0.1 α/2= 0.025

T=

1- α/2 = 0.975

Z. =2.57

̅̅̅̅ − 𝜇 ) (𝑋 ɞ √n

T= ̅̅̅̅ − 𝑡 α 𝑋 1− 2

s √n

120 ± 𝑡1−α 2

137.7≤

̅̅̅̅ − 𝑡 α ≤ 𝜇 ≤ 𝑋 1− ,𝑛−1

10 √6

2

≤ 𝜇 ≤ ̅𝑋̅̅̅ − 𝑡1−α ,𝑛−1 2

s √n s √n

𝜇 ≤117.55

con un nivel de significancia de 90 % obtenemos un intervalo de 137.7≤ 𝜇 ≤117.55