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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Facultad de Ingeniería Química

PROBLEMAS DESARROLLADOS DEL LIBRO MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS A LA INGENIERÍA QUÍMICA AUTORDEL LIBRO: CARRASCO VENEGAS

l I.

EJERCICIO PROPUESTO N° 1.4

De Santis (1976) dedujo una relación para el factor de compresibilidad de gases reales de la forma:

1  y  y2  y3 z (1  y) 3 Con

y  b / 4V , donde b es la corrección de Van Der Walls y V es el volumen molar. Si

z  0.892 , ¿Cuál es el valor de y ? Solución:



En la ecuación planteada, reemplazamos el valor del factor z.

z

1  y  y2  y3 (1  y ) 3

0.892 

1  y  y2  y3 (1  y ) 3

(1  3 y 2  3 y  y 3 )0.892  1  y  y 2  y 3 F ( y )  0.108 y 3  1.676 y 2  3.676 y  0.108  0 Tabulamos valores de F ( y ) :

1

Y

F(y)

-20

-

-18

-

-16

+

-14

+

-12

+

-10

+

EJERCICIOS DESARROLLADOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Facultad de Ingeniería Química -8

+

-6

+

-4

+

-2

+

0

-

2

+

4

+

Método a emplear MÉTODO DE NEWTON RAPHSON DE PRIMER ORDEN

 n 1   n 

f ( n )

f  ( n )

F ( y )  0.108 y 3  1.676 y 2  3.676 y  0.108  0 F ( y )  0.324 y 3  3.352 y 2  3.676  0



Hallando La Primera Raíz

asumiendo x 0  1.7 Haciendo nuestra tabla interactiva:

n

xn

F ( x n )

F ( x n )

x n 1

0

-17

16.44

32.976

-17.4895

1

-17.4895

-0.93111

36.8057

-17.46427

2

-17.46427

-2.55x10^-3

36.604

-17.4642

3

-17.4642

-1.9371x10^-8

36.60344

-17.4642

( Error   17.4642  17.4642  0)  (  10^ 4)  x  17.4642 (1ra raiz )

2

EJERCICIOS DESARROLLADOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS

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

Hallando La Segunda Raíz

asumiendo x0  1 Haciendo nuestra tabla interactiva:

n

xn

F ( x n )

F ( x n )

x n 1

0

-1

5.136

-6.704

-0.23389

1

-0.23389

0.842

-4.4423

-0.0443289

2

-0.0443289

0.05824

-3.824

-0.029099

3

-0.029099

3.8578x10^-4

-3.7732

-0.028997

4

-0.028997

1.742 x10^-8

-3.773

-0.028997

( Error   0.028997  0.028997  0)  (  10^ 4)  x  0.0028997 (2 da raiz )



Hallando La Tercera Raíz

asumiendo x 0  1.9 Haciendo nuestra tabla interactiva:

n

xn

F ( x n )

F ( x n )

x n 1

0

1.9

-0.301268

3.86244

1.9779

1

1.979

0.01399

4.221898

1.974685

2

1.974685

2.544x10^-5

4.2065

1.974678

( Error  1.974678 1.974685  7 x10^ 6)  (  10^ 4)  x  1.974678 (3 ra raiz )

3

EJERCICIOS DESARROLLADOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS

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II. EJERCICIO PROPUESTO N° 1.14 Una mezcla equimolar de monóxido de carbono y oxígeno, debe alcanzar el equilibrio a 3000 K y una presión de 5 bar, la reacción teórica es:

La reacción química real se escribe así: (

)

(

)

La ecuación de equilibrio químico para determinar la fracción de CO restante, o sea x, está dada por: (

)√ √

√

Donde Kp=3.06 es la constante de equilibrio para

a 3000 K, P=5 bar y P0=1.

Determine el valor de x. SOLUCIÓN Método aplicado MÉTODO DE LA BISECCIÓN Tomaremos 2 puntos de la siguiente manera:

( )

(

(

)√ √

4

√

EJERCICIOS DESARROLLADOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Facultad de Ingeniería Química Procedimiento Determinamos el intervalo donde se encuentra la raíz de esta ecuación de la



siguiente manera: x 10

-10

-

0.1

-

0.2

-

0.3

-

0.4

+

0.5

+

0.6

+

0.7

+

0.8

+

0.1

+

1

+

Notamos que el intervalo



F(x)

existe una raíz y en los demás intervalos no,

por lo que este intervalo tomaremos los valores para el método a usar. Procedemos con el método conociendo el intervalo a trabajar:



A

b

C

F(a)

F(c)

F(a)*F(c)

0.3

0.4

0.35

-0.2192

0.5141

-0.1127

0.3

0.35

0.325

-0.2192

0.1779

-0.0390

0.3

0.325

0.3125

-0.2192

-0.0121

+0.0026

0.3125

0.325

0.3188

-0.0121

+0.0857

-0.0010

0.3125

0.3188

0.3157

-0.0121

+0.0381

-0.0005

0.3125

0.3157

0.3141

-0.0121

+0.0131

-0.0004 -4

-6.8534*10

-3

+1.2075*10

0.3125

0.3141

0.3133

-0.0121

+5.664*10

0.3125

0.3133

0.3129

-0.0021

-5.750*10

0.3129

0.3133

0.3131

-5.7504*10

0.3131

0.3133

0.3132

-2.7899*10

0.3132

0.3133

0.31325

-1.0112*10

0.31325

0.3133

0.313275

-2.22*10

0.31325

0.313275

0.3132625

-2.22*10

0.3132625

0.313275

0.31326875

-2.5119*10

Aquí detenemos el cuadro iterativo ya que el valor de (

-5

-3

-2.5899*10

-3

+4.568*10

-6

-3

-1.0112*10

-3

+3.468*10

-7

-4

-2.22*10

+3.575*10

-8

-4

+2.786*10

-9

-5

+4.918*10

-5

-2.125*10

-4

-4

1.7205*10

-4

-2.5119*10

-5

+7.349*10

)

tolerancia de 10-4 con lo que llegamos a que el valor de X= 0.31326875. 5

-4

EJERCICIOS DESARROLLADOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS

-10

es menos que la

-11

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III. EJERCICIO PROPUESTO N° 1.24 Una bolsa esférica de gas a alta presión, inicialmente de radio ro y presión Po se expande radialmente hacia el exterior en una explosión submarina adiabática. Para el caso especial de un gas con γ=4/3, el radio r para tiempos sucesivos t viene definido por:

t ro En el que



1   2 1/ 2  1     2 2    3 5 

Po

r  1, ρ es la densidad del agua. Previamente debe verificarse la ro

consistencia de las unidades. Durante la expansión adiabática la presión del gas viene

P  ro  definida por   Po  r 

3/

.

Desarrollar un procedimiento para calcular la presión del gas y su radio en cualquier momento. Datos:

Po  10 4 lbf / pu lg 2 ,   64lb / pie3 , ro  1 pie , t  0.5;1;2;3;4;5;10 milisegundos. Solución Haciendo las conversiones respectivas para la presión para homogenizar las unidades:

Po  10 4 lbf / pu lg 2  46330560lb / pie.s 2

  64lb / pie3

ro  1 pie

Reemplazando los datos en:



t ro

1   2 1/ 2  1     2 2    3 5 

Po

46330560lb / pie.s 2  2 t 1   1     2 2 1 / 2 3 1 pie 5 64lb / pie  3 

6

EJERCICIOS DESARROLLADOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Facultad de Ingeniería Química t 1  2  723915pie 2 / seg 2  1     2 2 1 / 2 1 pie 3 5   t 1  2  850,8319458 pie / seg  1     2 2 1 / 2 1 pie 5  3 

Multiplicando la ecuación por 15 a toda la ecuación e igualando a cero:





f ( )  15  10  3 2 2 1 / 2

 12762,48 t

Procedimiento 3 Para t  0.5 x10 seg

Método a emplear MÉTODO DE LA SECANTE

 n 1   n 



Tabulamos valores para

f ( n ).( n   n 1 ) f ( n )  f ( n 1 )

para ver como varía el signo de la función:





f ( )  15  10  3 2 2 



1/ 2

 12762 ,48 t

Reemplazamos el tiempo de0,0005 segundos en la función anterior:





f ( )  15  10  3 2 2 1 / 2  6,381239

( )



0.05

0,06

0,07

0,08

0,09

1

-

-

-

-

+

+

Luego notamos que la raíz de la ecuación anterior está dentro del intervalo señalado en 0,08 y 0.09

7

N

 n 1

n

 n 1

 n1   n

1

0.08

0.09

0.081250

8,5x

2

0.09

0.081250

0.081227

2,3x

3

0.081250

0.081227

0.081227

0

EJERCICIOS DESARROLLADOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Facultad de Ingeniería Química 

Por lo tanto:   0.081227



Reemplazando en:



r 1 ro

0.081227 



r 1 1

r  1.081227pie 

Y en:

P  ro    Po  r 

3/



P  1    4 10  1.081227 

3 /( 4 / 3)

P  8388.5522 lb f / pu lg 2

3 Para t  1x10 seg

Método a emplear MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

 n 1   n 



f ( n )

f  ( n )

Tenemos la ecuación:

F ( )  (15  10  3 2 )(2 ) 0.5  12762,48t  0 Con t  1x10^ 3seg F ( )  (15  10  3 2 )(2 ) 0.5  12,76218  0 F ( )  (10  6 )(2 ) 0.5  (15  10  3 2 )(2 ) 0.5  0



Aplicamos el método de Newton Raphson de primer orden:

asumiendo

0 1

Haciendo nuestra tabla interactiva:

8

EJERCICIOS DESARROLLADOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Facultad de Ingeniería Química

F ( n )

n

n

 n 1

0

1

42.4264

0.367451

0,632549

1

0.367451

32.71900

0.257575

0,109876

2

0.257575

33.05157

0.257682

1,07x

3

0.257682

33.05033

0.257682

0

( Error  0.257682  0.257682  0)  (  10^ 4)   0.257682 Re emplazamosel valor de  en la ecuacion dada : r   1 r0 r  (  1)r0 r  (0.257682  1)(1 pie) r  1.257682pie Tambien hallamos el valor de P mediante la ecuacion : r P  P0 ( ) 3 /  r0 lbF

P  10 4

pu lg 2

P  5969.8799

3

x(

( ) 1 pie ) 4/3 1.257682pie

lbF pu lg 2

3 Para t  2 x10 seg

Método a emplear MÉTODO DE NEWTON RAPHSON DE PRIMER ORDEN

 n 1   n 



f ( n )

f  ( n )

Tenemos la ecuación:

F ( )  (15  10  3 2 )(2 ) 0.5  12762,48t  0

9

 n 1 |

|n

EJERCICIOS DESARROLLADOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Facultad de Ingeniería Química

Con t  2 x10^ 3seg F ( )  (15  10  3 2 )(2 ) 0.5  25,52496  0 F ( )  (10  6 )(2 ) 0.5  (15  10  3 2 )(2 ) 0.5  0 

Aplicamos las iteraciones en el intervalo según la fórmula de recurrencia y la tabla siguiente

F ( n )

n

n

 n 1

1

42.4264

0.668295

0,331705

1

0.668295

36,110873

0,638056

0,030239

2

0,638056

35,629069

0.637850

2,6x

3

0.637850

35,625861

0,637850

  0.637850 Re emplazamosel valor de  en la ecuacion dada : r   1 r0 r  (  1)r0 r  (0.637850  1)(1 pie) r  1.637850pie Tambien hallamos el valor de P mediante la ecuacion : r P  P0 ( ) 3 /  r0 3

( ) 1 pie 4/3 P  10 x ( ) pu lg 2 1.637850pie lbF P  3295.2109 pu lg 2

10

lbF

 n 1 |

0

( Error  0.637850  0.637850  0)  (  10^ 4)

4

|n

EJERCICIOS DESARROLLADOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS

0

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Para t  3x103 seg

Método a emplear MÉTODO DE NEWTON RAPHSON DE PRIMER ORDEN

 n 1   n 



f ( n )

f  ( n )

Tenemos la ecuación:

F ( )  (15  10  3 2 )(2 ) 0.5  12762,48t  0 Con t  3x10 3 seg F ( )  (15  10  3 2 )(2 ) 0.5  38,28744  0 F ( )  (10  6 )(2 ) 0.5  (15  10  3 2 )(2 ) 0.5  0 

Aplicamos las iteraciones en el intervalo según la fórmula de recurrencia y la tabla siguiente

F ( n )

n

n

 n 1

 n 1 |

0

1

42.426406

0.969110

1

0.969110

41,776271

0,968869

2,41x

2

0,968869

41,771240

0.968869

0

( Error  0.968869  0.968869  0)  (  10 ^ 4)   0.968869 Re emplazamos el valor de  en la ecuacion dada : r   1 r0 r  (  1)r0 r  (0.968869  1)(1 pie ) r  1.968869 pie

11

|n

EJERCICIOS DESARROLLADOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS

0,o3089

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Tambien hallamos el valor de P mediante la ecuacion : P  P0 (

r 3/ ) r0 3

( ) 1 pie 4/3 P  10 x ( ) pu lg 2 1.968869pie lbF P  2177.7707 pu lg 2

lbF

4

Para t  5 x10 3 seg Método a emplear MÉTODO DE LA SECANTE

 n 1   n 



Tabulamos valores para

f ( n ).( n   n 1 ) f ( n )  f ( n 1 )

para ver como varía el signo de la función:





f ( )  15  10  3 2 2 1 / 2



 12762.48 t

Reemplazamos el tiempo de0,005 segundos en la función anterior:





f ( )  15  10  3 2 2 1 / 2  63.8124

( )



1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-

-

-

+

+

+

Luego notamos que la raíz de la ecuación anterior está dentro del intervalo señalado: entre 1.4 y 1.6

12

n

 n 1

n

 n 1

 n1   n

1

1.6

1.8

1.509286

0.290714

2

1.8

1.509286

1.503365

5.92x

3

1.509286

1.503365

1.502945

4.2x

4

1.503365

1.502945

1.502945

0

EJERCICIOS DESARROLLADOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Facultad de Ingeniería Química

( Error  1.502945  1.502945  0)  (  10 ^ 4)    1.502945 Reemplazando en:





r 1 ro

0.081227 



r 1 1

r  2.502945pie Y en:



P  ro    Po  r 

3/



1     4 2 . 502945 10   P

3 /( 4 / 3)

P  1269.0670 lb f / pu lg 2

Para t  10x10 3 seg Método a emplear MÉTODO DE LA SECANTE

 n 1   n 



f ( n ).( n   n 1 ) f ( n )  f ( n 1 )

Tenemos la función:





f ( )  15  10  3 2 2 1 / 2



 12762.48 t

Reemplazamos el tiempo de0,005 segundos en la función anterior:





f ( )  15  10  3 2 2 1 / 2  127.6248

 Usando el Método de la Secante:

 n1   n 

13

f ( n ).( n   n1 ) f ( n )  f ( n 1 )

EJERCICIOS DESARROLLADOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS

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n

 n 1

n

 n 1

 n1   n

1 2 3 4 5 6

1 2 2.618079 2.439510 2.453007 2.454048

2 2.618079 2.439510 2.453007 2.454048 2.454045

2.618079 2.439510 2.453007 2.454048 2.454045 2.454045

0.618079 0.178569 0.013497

( Error  2.454045  2.454045  0)  (  10 ^ 4)    2.454045 Reemplazando en:



r 1 ro

2.454045 

r 1 1

r  3.454045 pie Y en:

P  ro    Po  r 

3/

P  1    4 10  3.454045 

3 /( 4 / 3)

P  614 .8398 lb / pie3

14

EJERCICIOS DESARROLLADOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS

3x 0

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IV. EJERCICIO PROPUESTO N° 1.34 En un reactor continuo tipo tanque agitado (CSTR), se lleva a cabo la reacción: K1

K2

El esquema se muestra a continuación:

Datos

̇

.

/

.

/

Encuentre la composición molar a la salida del reactor en base a los componentes A y B. SUGERENCIA EL Balance de materia, está dado por: ̇

̇

̇

………. (1)

̇ ̇ ̇ ̇

̇

Esta ecuación tiene 2 variables

(

) , por lo que con

………. (2) los datos anteriores y con el

criterio de conversión podemos reducir a una sola variable. (

)

Éstas 2 ecuaciones las reemplazamos en (2): 15

EJERCICIOS DESARROLLADOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Facultad de Ingeniería Química (

)

*

, (

De la ecuación (3), se obtiene el valor de

….. (3)

) +

(

)-

, luego se calcula las concentraciones y

finalmente la fracción molar. SOLUCIÓN De la ecuación (3), se reduce a la siguiente ecuación, comprobando previamente las unidades. (

, (

)

(

)-

…. (4)

)

Método a emplear MÉTODO DE LA SECANTE )(

( (

)

)

.

/

Procedimiento



Tabulamos para

valores de 0 a 1, puesto que se trata de fracción de

Conversión, para ver como varía el signo de la función:

(

O

O,2

0,4

0,6

0,8

1

-

-

-

-

+

+

)



Luego haremos el valor de

igual 0,6, y el valor de

que es evidente que nuestra solución para 

está en este intervalo.

Ejemplo de cálculo

Para n=1

(

)

(

)

Aplicando el método de la secante, descrito anteriormente. 16

igual a 0,8 ya

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)

(



)



Así sucesivamente hacemos para n=2, para n=3, para n=4, etc.



Los datos obtenidos se muestran en la tabla, a continuación: .

0,6 0,8 0,726998 0,704693 0,708638 0,708500 

0,8 0,726998 0,704693 0,708638 0,708500 0,708499

0,726998 0,704693 0,708638 0,708500 0,708499 0,708499

(

/

-74,641215 42,905707 10,041242 -2,157223 0,078012 5,708529x

|

)

42,905707 10,041242 -2,157223 0,078012 5,708529x -1,601358x

| 0,073002 0,022305 3.945x 1.38x 1x 0

Luego notamos que la raíz para la ecuación…(4)

 Éste valor se reemplaza en las ecuaciones que involucran a las concentraciones finales ,descritas por el mismo problema: (

)

(

) (

⁄ )

⁄

 Llevando éstas concentraciones a moles; teniendo en cuenta que el volumen del tanque es de 250L. ⁄ ⁄  En base a éstas moles, calculamos las fracciones molares(composición molar):

RESPUESTA

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