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• juan gonzalez

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AUTOINDUCTANCIA E INDUCTANCIA. Cálculo aplicado a la física 2 Semana 11 – Sesión 02

LOGROS ✓ Al finalizar la sesión comprende y calcula corrientes inducidas utilizando las ecuaciones de autoinductancia e inductancia mutua.

AGENDA ✓ Inductancia mutua. ✓ Autoinductancia. ✓ Energía de un campo magnético. ✓ Oscilaciones de un circuito LC ✓ Ejercicios ✓ Cierre.

Inductancia y auto-inductancia Se pude inducir un voltaje en una espira si existe un flujo magnético a través del área encerrada por la espira cambia con el tiempo. Esto es la inducción electromagnética. Tenemos una bobina la cual transporta una corriente eléctrica que varía con el tiempo. Esta corriente producirá una campo magnético que cambiará temporalmente. Si a esta bobina acercamos otra entonces sobre esta segunda bobina se inducirá un voltaje. Este fenómenos de trata de la inductancia mutua. Ahora, una corriente eléctrica variable que fluye por una bobina también induce un voltaje sobre la propia bobina. A este fenómeno se conoce como auto-inductancia. En esta sesión analicemos veremos con mas detalle estos dos tipos de inductancia.

Inductancia Mutua Por la bobina 1 pasa una corriente eléctrica 𝑰𝟏 que varía con el tiempo. Esto produce un campo magnético que cambia con el tiempo. El flujo de este campo magnético a través de la bobina 2 será 𝚽𝟐 . Como el campo magnético varía con el tiempo entonces este flujo cambiará con el tiempo. Entonces sobre la bobina 2 se producirá un voltaje inducido

d 2 2 = − dt

Inductancia Mutua d 2 2 = − dt Como el campo magnético que produce el flujo 𝜱𝟐 es proporcional a corriente eléctrica 𝐈𝟏 , entonces este flujo magnético también será proporcional a esta corriente eléctrica. La constante de proporcionalidad M es el coeficiente de inductancia mutua.

Φ2 = 𝑀𝐼1 𝑑Φ2 𝜀2 = −𝑁2 𝑑𝑡

𝑑𝐼1 𝜀2 = −𝑀 𝑑𝑡

𝑁2 es el número de espiras de la bobina 2

Inductancia Mutua La corriente que se inducirá en la bobina 2, 𝑰𝟐 , producirá un campo magnético variable, el flujo de este campo magnético por la bobina 1, 𝜱𝟏 , producirá un voltaje inducido sobre la bobina 1

𝑑𝐼2 𝜀1 = −𝑀 𝑑𝑡

Φ1 = 𝑀𝐼2 𝑑Φ1 𝜀1 = −𝑁2 𝑑𝑡

𝑁1 es el número de espiras de la bobina 1

Inductancia Mutua: RESUMEN Voltaje inducido en la espira 1 Voltaje inducido en la espira 2

𝑑𝐼2 𝜀1 = −𝑀 𝑑𝑡 𝑑𝐼1 𝜀2 = −𝑀 𝑑𝑡

𝑑Φ1 𝜀1 = −𝑁2 𝑑𝑡 𝑑Φ2 𝜀2 = −𝑁2 𝑑𝑡

Φ2 Φ1 𝑀= = 𝐼1 𝐼2 En el SI la inductancia mutua, M, se mide en Henry (H)

Wb Vs J 1H =1 =1 =1Ωs =1 2 A A A

Ejemplo 1 Dos bobinas, que están cercanas, tienen una inductancia mutua de 330 mH. a) Si la fem en la bobina 1 es 120 V, ¿cuál es la razón de cambio de la corriente en la bobina 2? b) Si la razón de cambio de la corriente en la bobina 1 es 36 A/s, ¿cuál es la fem en la bobina 2?

Autoinductancia

Si la corriente 𝐼 en la bobina está cambiando, el flujo cambiante a través de ésta induce una fem en la bobina.

Si la bobina tiene N espiras

Cuando se tiene un circuito por el cual pasa una corriente eléctrica que cambia con el tiempo. Esta corriente producirá un flujo magnético que variará temporalmente. Esto ocasionará un voltaje autoinducido en el circuito, Es por esto que a este proceso se le conoce como autoinducción. La auto-inductancia se define como:

Φ 𝐿= 𝐼 𝑁Φ 𝐿= 𝐼

Autoinductancia A la auto-inductancia muchas simplemente inductancia.

veces

se

le

𝑁𝑑Φ 𝑑𝐼 =𝐿 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑Φ 𝑑𝐼 𝜀=− = −𝐿 𝑑𝑡 𝑑𝑡 El signo negativo es un reflejo de la ley de Lenz; nos dice que la fem autoinducida en un circuito se opone a cualquier cambio en la corriente en ese circuito.

denomina

Ejemplo 2

Calcule la inductancia del solenoide si contiene 400 vueltas, su longitud es de 25,0 cm y su área de sección transversal es de 4,00 cm2.

Inductores como elementos de un circuito En un circuito eléctrico, un elemento que este diseñado para tener una inductancia particular se llama inductor. La diferencia de potencial en un inductor se puede obtener como

di V =L dt El voltaje autoinducido en un inductor se opone a variaciones temporales de la corriente eléctrica. La energía necesaria para establecer una corriente eléctrica I en un inductor se puede calcular usando la expresión

U=

1 LI 2 2

Inductores como elementos de un circuito I.

III.

Resistor con corriente i que fluye de a a b: el potencial disminuye de a a b.

Inductor con corriente i creciente que fluye de a a b: el potencial disminuye de a a b.

II. IV.

Inductor con corriente constante i que fluye de a a b: no hay diferencia de potencial.

Inductor con corriente i decreciente que fluye de a a b: el potencial se incrementa de a a b.

Energía de un campo magnético Una batería en un circuito contiene un inductor que proporciona más energía que un circuito sin inductor. Parte de la energía suministrada por la batería aparece como energía interna en la reistencia del circuito en tanto que la energía restante es almacenada en el campo magnético del inductor.

𝑑𝐼 𝐼𝜀 = 𝐼 𝑅 + 𝐿𝐼 𝑑𝑡 2

𝑑𝑈 𝑑𝐼 = 𝐿𝐼 𝑑𝑡 𝑑𝑡

1 2 𝑈 = 𝐿𝐼 2

Una vez que la corriente ha alcanzado 𝑑𝐼 su valor final estable I, 𝑑𝑡 = 0, y no se alimenta más energía al inductor.

La energía requerida para encender la bujía de un automóvil proviene de la energía del campo magnético almacenada en la bobina de encendido.

Oscilaciones de un circuito LC Las oscilaciones del circuito LC son electromagnéticamente similares a las oscilaciones mecánicas de un sistema bloque-resorte. En un circuito oscilante L-C, la carga en el capacitor y la corriente a través del inductor varían en forma sinusoidal con el tiempo. Se transfiere energía entre la energía magnética en el inductor (UB) y la energía eléctrica en el capacitor (UE). Como en el movimiento armónico simple, la energía total E permanece constante.

Oscilaciones de un circuito LC

𝑡=0

𝑇 𝑡= 4

3𝑇 𝑡= 4

𝑇 𝑡= 2

Oscilaciones de un circuito LC

Oscilaciones de un circuito LC Carga como función del tiempo para un circuito LC ideal

𝑄 = 𝑄𝑚á𝑥 cos(𝜔𝑡 + 𝜙) Frecuencia angular de oscilación en un circuito LC

𝜔=

1 𝐿𝐶

Corriente como función del tiempo para un circuito LC ideal

𝑑𝑄 𝐼= = −𝜔𝑄𝑚á𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜙) 𝑑𝑡

Ejemplo 3. Un capacitor de 1 200 pF se carga por completo mediante una fuente de poder de cd de 500 V. Se desconecta de la fuente de poder y se conecta, en t = 0, a un inductor de 75 mH. Determine: a) la carga inicial en el capacitor; b) la corriente máxima; c) la frecuencia f y el periodo T de oscilación;

NO OLVIDAR! ✓ Cuando interactúan dos circuitos se induce una fem y a este proceso se conoce como inductancia mutua. ✓ La autoinducción, en el cual una corriente variable con el tiempo en un circuito produce una fem inducida que se opone a la fem establecida inicialmente por dicha corriente. ✓ Un inductor almacena energía en lo que se podría llamar energía potencial magnética, cuando transporta corriente. ✓ En un circuito oscilante L-C, la carga en el capacitor y la corriente a través del inductor varían en forma sinusoidal con el tiempo.

Recuerda

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

✓ Serway, R. y Jewett, J.W.(2015) Física para ciencias e ingeniería. Volumen II. México. Ed. Thomson. ✓ Halliday, D., Resnick, R. y Krane, K.S.(2008) Física. Volumen II. México. Ed. Continental. ✓ Sears F., Zemansky M.W., Young H. D., Freedman R.A. (2016) Física Universitaria Volumen II Undécima Edición. México. Pearson Educación. COMPLEMENTARIA

✓ Tipler, P., Mosca, G. (2010) Física para la ciencia y la tecnología. Volumen II. México Ed. Reverté . ✓ Feynman, R.P. y otros. (2005) Física. Vol. II. Panamá. Fondo Educativo interamericano.