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• Matías Tolkien

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Introducción. Una de las hipótesis en que se basa la fórmula de Navier



M y I

Es que la pieza o viga sobre la cual actúa el momento flector M, es inicialmente recta; en lo que sigue nos referiremos a dicha fórmula como la correspondiente a las vugas rectas, Sin embargo, muchas piezas solicitadas a flexión tienen forma curvilinea antes de que actúe sobre ellas dicha solicitación, como por ejemplo: los ganchos de grúas, eslabones de cadenas, etc. Interesa por ello estudiar el efecto de la curvatura inicial de una pieza sobre las tensiones y las deformaciones producidas por las cargas que le son aplicadas en su plano de curvatura. Diferencia entre vigas rectas y curvas. Sea una viga curva como la de la figura sobre la que actúan las cargas activas y reactivas. Se admite que hay en la pieza una superficie cuyas fibras no cambian de longitud durante la flexión a la que se denomina superficie nuetra y que las variaciones de longitud de las fibras comprendidas entre dos secciones rectas es proporcional a la distancia que separa dichas fibras de la superficie neutra. Alargándose las que están por debajo de la misma y acortándose las que están por encima. Es decir, que las secciones inicialmente planas se conservan planas durante la flexión. Esto concuerda con la realidad, salvo en aquellas vigas de secciones perfiladas tales como la T o doble T, las que forman un conjunto de casos particulares como consideraciones especiales.

Fig.1

Fig.2 Tensiones circunferenciales en flexión pura y flexión compuesta. Sean AB y A1B1 dos superficies rectas antes de cargar la viga. Al cargar la viga la variación de longitud de cualquier fibra limitada por ambas secciones rectas es igual a la distancia entre las rectas A1B1 y A’ B’ medida en la dirección de la fibra. La deformación lineal (variación de longitud Δl) de las fibras es proporcional a la distancia entre ellas y el eje neutro. Pero la deformación unitaria (ε) no lo es, ya que las fibras no tienen la misma longitud inicial a diferencia de las vigas rectas donde todas las fibras son de igual longitud (l) y por lo tanto sus deformaciones unitarias (ε=Δl/l); lo mismo que las deformaciones absolutas (Δl), varían linealmente con sus distancias al eje neutro entonces si las tensiones de flexión no exceden el límite elástico estas son proporcionales a su deformación unitaria (σ ∞ ε) Es decir, que en una viga curva las tensiones elásticas no son proporcionales a las distancias que separan las fibras del eje neutro. Entonces el modulo resistente de una viga curva no puede calcularse con la expresión de Navier, ya que esta fue obtenida en la hipótesis de que las tensiones varían linealmente. Por la misma razón el eje neutro de una viga curva no coincide con el eje baricéntrico. Las tensiones normales en una sección recta tal como A-B se denominan tensiones circunferenciales.

Se procede a buscar las tensiones circunferenciales o normales en un punto cualquiera de la sección recta de una viga curva en función del momento flector que actúa sobre ella y de las dimensiones de la misma. Poniendo en evidencia el equilibrio de la parte de la viga en estudio y aplicamos las ecuaciones de equivalencias a las fuerzas que actúan en la porción de la viga:

FZ  0     d a  0 M X  0  M   y    d a Para resolver la segunda ecuación hay que encontrar la relación entre la tensión σ y la ordenada y. Teniendo presente que el material está solicitado por debajo del límite elástico, de modo que se cumple:

  E  Siendo: E el módulo de elasticidad o de Young. ε la deformación especifica o unitaria de una fibra cualquiera situada a la distancia “y” del eje baricéntrico de la sección. Deberemos expresar ε en función de y. Conviene expresar la deformación unitaria de cada fibra (ε) en función: - de la deformación unitaria de la fibra baricéntrica (ε 0). - del ángulo de giro de la sección Δdθ; y - de la distancia “y” al eje baricéntrico. Se puede observar que dθ es el ángulo formado originalmente entre las secciones AB y A1B1. Cuando actúa el momento flector M hace girar a la sección A1B1 a la posición A’ B’ un ángulo Δdθ.

Con lo que dθ toma el valor dθ+Δdθ y el centro de curvatura se desplaza de R a ρ. Cabe aclarar que las magnitudes “y”, R y ρ en una sección cualquiera, se miden a partir del eje baricéntrico. Sea ds la longitud inicial de la fibra baricéntrica OO 1.

Como los planos AB y AB 1 están separados por una distancia infitesimal, es válido realizar el siguiente análisis:

o 

O1O1' OO1

O1O1'   o  ds   o  R  d



[A] Y la deformación unitaria a la distancia “y” del eje baricéntrico es:



P1P1' P1H  HP1' O1O1'  HP1'   PP1 PP1 PP1

[B]

HP1'  y  d Donde: [C]

PP1  (R  y )  d [D]

Reemplazando [A], [C], [D] en [B]:

 

 o  R  d  y  d  (R  y )  d

 d    d  (R  y )

o  R  y  

[B’]

w  d Denominando

d

o y , y sumando y restando

   o  (w   o )

al numerador de la ecuación anterior

y (R  y )

Reemplazando en la ecuación

 E 

:

 y    E    E    o  (w   o ) (R  y )  

Introduciendo esta en las expresiones de partida:

-

FZ  0     d a  0   y E    o   da  (w   o )    da  0 (R  y )  

-



 o   da  (w   o )  

y  da (R  y )

M X  0  M   y    d a

  y2 M  E    o   y  da (w   o )    da  (R  y )  

Como, tiene:

 da  a

, además como la distancia “y” esta medida a partir del eje baricéntrico, se

 y  da  0

pues y = 0 (baricentro).

Luego, adoptamos por comodidad de expresión:

y

 (R  y )  da  Z  a



Z

1 y da  a (R  y )

Z: Magnitud que representa las características geométricas de la sección, que guarda cierta similitud con el momento de inercia en la fórmula de vigas rectas. La integral puede expresarse en función de Z, sumando y restando en el numerador “yR”:

 y2 y   (R  y )  da    y  R (R  y )   da

 y  da  0

Como

:

 y2 y    da   R   (R  y )   (R  y )   da  Z  a  R Introduciendo el valor de Z en las expresiones anteriores se tiene:

M  E  (w   o )  

y2 Z aR (R  y )

 o  (w   o )  Z

Por lo tanto:

(w   o ) 

M E Z aR

o  ;

M E aR

w ;

1  M M     Ea  R ZR 

Introduciendo estos valores en la expresión de σ,  y    E    E    o  (w   o ) (R  y )  

resulta finalmente la expresión de Winkler-Bach

 

M  1 y  1   aR  Z (R  y ) 

En esta expresión:

σ es la tensión normal o circunferencial en un punto cualquiera de una sección ubicado a la distancia y del baricentro, producida por el momento flector M, R

es la distancia entre el baricentro y el centro de curvatura de la pieza descargada.

a

es el área de la sección

Z

es una magnitud que depende de las características geométricas de la sección, que puede determinarse: integrando su ecuación, por un procedimiento gráfico, o por las expresiones consignadas en la Tabla 26 (Seely-Smith). Tiene un valor siempre pequeño varía desde 0,8 para radios de curvatura reducidos hasta valores de 0,005 para radios de curvatura muy grandes.

La Ecuación se conoce en la literatura como “fórmula de Winkler-Bach (o de Grashof)”, y según la misma, la distribución de tensiones circunferenciales en la sección de una viga curva responde a una ley hiperbólica, tal lo representado en la Fig.1 Convención de signos: Parámetro

Signo

Causa

M

positivo

y

positivo

cuando reduce el radio de curvatura R (aumenta curvatura de la pieza) cuando se mide hacia lado convexo de la pieza (cuando se aleja del centro de curvatura)

σ

positivo

si M e y cumplen las convenciones precedentes.

Puede que la pieza a diseñar o verificar se caracterice por su reducida curvatura y por su pequeña altura h. Para establecer si es posible aplicar en ellas la ecuación de Navier [1], o si debe utilizarse la de Winkler-Bach [14]. Timoshenko (Resistencia de Materiales, Tomo II, Tabla IV) proporciona valores obtenidos con dichas expresiones para distintos valores de la relación

R

h , y en la última columna establece la diferencia relativa entre ambas. De dicho cuadro, se

R  10 h concluye que para puede, asumirse a la distribución de tensiones como aproximadamente lineal y, aplicarse la ec. [1]. Caso límite: cuando el radio de curvatura crece infinitamente la expresión de Winkler-Bach se reduce a la expresión de Navier. Posición del eje neutro: como la tensión en el eje neutro es nula, entonces hallamos “y 0” la distancia entre el eje baricéntrico y el eje neutro, haciendo σ = 0.



y0  1  Z R  1  Z  (R  y )   0  y 0   Z  1   El signo negativo significa que esa distancia está dirigida hacia el centro de curvatura. (vale decir, que el eje neutro se encuentra entre el eje baricéntrico y el centro de curvatura)

Flexión compuesta Si actúa una carga axial P en el baricentro de la sección de una pieza curva, en forma simultánea con un momento flector M, se admite que la tensión resultante en un punto cualquiera de la sección será:

 

P M  1 y   1   a aR  Z (R  y ) 

Para la cual es válida la convención de signos adoptada.

 P a En la expresión, la correspondiente a la componente axial de la tensión pues la tensión en el lado cóncavo es mayor que dicha relación.

es aproximada,