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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO

ANÁLISIS MATEMÁTICO II

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO FACULTAD DE MECÁNICA ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

PROYECTO DE ANÁLISIS MATEMÁTICO II TEMA: VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN INTEGRANTES: CAZCO MIRIAM LONDO GEOVANNA MORALES JOHANNA ORDÓÑEZ FERNANDO SAILEMA EDWIN SALAZAR WILLIAM TITO DENNIS RIOBAMBA-ECUADOR

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INTRODUCCION El presente trabajo está destinado para recordar los conocimientos adquiridos de análisis matemático 2. En este presente semestre hemos visto muchas aplicaciones de las derivadas e integrales definidas de todas estas aplicaciones que hemos visto, nos enfocaremos básicamente en los que es volúmenes de solidos de revolución esperando que con este trabajo quede mejor entendido de forma práctica que lo dicho de forma teórica. OBJETIVO GENERAL: 

Ampliar los conocimientos adquiridos en clase para una mejor comprensión del tema.

OBJETIVOS ESPECIFICOS  Calcular el volumen de un cilindro y un cono con la ayuda de una maqueta.  Observar cómo se forma el sólido al hacerle rotar alrededor de cualquier eje.  Poner en práctica los conocimientos adquiridos en clase mediante una maqueta demostrativa de solido de revolución. FUNDAMENTO TEORICO:

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Como se ha dicho un sólido de revolución está generado por la rotación de un área plana alrededor de una recta del plano o eje de revolución. El volumen de un sólido de revolución se puede hallar por uno de los procedimientos siguientes:

 MÉTODO DEL DISCO El eje de rotación forma parte del contorno del área plana.

1. Se traza un diafragma indicando el área generatriz, una franja representativa perpendicular al eje de rotación, y su rectángulo genérico. 2. Se halla el volumen del disco producido en la rotación del rectángulo genérico alrededor del eje de rotación y la suma correspondiente a los n rectángulos. 3. Se aplica el teorema fundamental del cálculo suponiendo que el número de rectángulos crece indefinidamente. El eje de rotación no forma parte del contorno del área plana.

1. El mismo paso anterior. 2. Se prolongan los lados del rectángulo genérico, hasta que corten al eje de rotación. Cuando este rectángulo gire alrededor del eje de rotación se produce un cilindro cuyo volumen es igual a la diferencia entre los volúmenes generados por los rectángulos al girar con respecto al mismo eje. 3. Se procede como lo anterior mencionado.  MÉTODO DE LA CORTEZA CILÍNDRICA (MÉTODO DEL ANILLO)

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Se llama corteza cilíndrica al sólido contenido entre dos cilindros caracterizados por tener el mismo centro y el mismo eje. El problema consiste en hallar el volumen generado en la rotación del área del primer cuadrante limitada por la curva y=f(x) y las ordenadas x=a, x=b alrededor del eje y. Dividiendo esta área en n franjas y trazando los rectángulos correspondientes, cuando uno de ellos gire alrededor del eje en forma paralela, se produce un anillo cilíndrico de altura h, radio interno r1, radio externo r2 y volumen:

Si se considera mi del punto medio del i-ésimo intervalo [xi-1, xi], entonces:

Además h = f(mi) altura, Δxi anchura. Si este rectángulo gira alrededor del eje y, se obtiene una capa cilíndrica. Si Δvi de la medida del volumen de esta corteza cilíndrica, entonces : r1 = xi-1 r2 = xi y h = f(mi)

Si se hace girar n elementos rectangulares del área, alrededor del eje y, se obtiene n capas cilíndricas. Las sumas de las medidas de todos estos volúmenes son:

|

|

∑

∫

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CONCLUSIÓN:  Esta maqueta fue diseñada para observar de mejor manera el sólido en revolución en este caso de un cilindro y un cono.  Mediante los procedimientos explicados anteriormente llegamos a encontrar su volumen.  En este proyecto se pudo calcular de forma práctica y se pudo tener una mejor comprensión y entendimiento de este tema.

RECOMENDACIONES:  Tener muy en cuenta el eje en el cual le hacemos girar al sólido.  Aplicar el método adecuado dependiendo del sólido que se vaya a formar.

BIBLIOGRAFÍA:  

http://leidyholguin.files.wordpress.com/2010/09/solidosderevolucion.pdf Análisis Matemático de Galesio Salinas.

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ANEXOS

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