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• Maximo Heliogabalo

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Estimación de modelos de volatilidad estocástica García Centeno, Mª Carmen; Ibar Alonso, Raquel Departamento Métodos Cuantitativos para la Economía Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales Universidad San Pablo-CEU Dirección postal: Julián Romea, 23 28003 Madrid Tf: 91 4566300 ext (456) E-mail: [email protected]; [email protected];

RESUMEN: La volatilidad es uno de los principales elementos que influyen en la evolución de los mercados financieros, puesto que a través de ella se puede estimar y medir la “cuantía” de los cambios que no se pueden predecir y que se producen en la rentabilidad de un activo financiero y también, se puede determinar cuál es el riesgo financiero del mercado o el valor de compra o venta de opciones. La volatilidad puede ser de dos tipos: determinista y estocástica. En este artículo se van a estimar distintos modelos de volatilidad estocástica, los cuales se van a diferenciar entre sí, según cual sea la forma de dependencia de la volatilidad de su propio pasado o según los factores que en ella pueden influir. Palabras claves: Volatilidad estocástica, Máxima verosimilitud, ARCH, GARCH, GARCHM, EGARCH, AGARCH. ABSTRACT: The volatility is one of the principal elements which has influenced in the evolution of financial market, since through them we can estimate and weigh up the “quantity” of the changes they cannot been forecasted and they exist in the financial assets yield and through them, also we can determine which is financial market risk and the put and call options. There are two types of volatility: deterministic and stochastic volatility. In this paper, we estimate different stochastic models, the differences between the models are relationship between volatility and the past volatility and the other factors which influence it. Keywords: Stochastic volatility, Maximum Likelihood, ARCH, GARCH, GARCH-M, EGARCH, AGARCH, TGARCH.

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1. INTRODUCCIÓN. Al analizar el comportamiento de los mercados (o en este caso concreto del tipo de cambio cruzado del euro frente al yen-JPY- y el tipo de cambio cruzado del euro frente a la libra esterlina-GBP-) se comprueba que han existido periodos en los que la dispersión es mayor y otros en los que la dispersión es menor. Por esta razón, es importante determinar cual es el comportamiento de la varianza a lo largo del tiempo. De forma genérica, se puede decir que la volatilidad es una estimación de los cambios que se producen en las rentabilidades de los diferentes activos, divisas, índices del mercado, etc. Así, los agentes financieros tratan de obtener la mejor estimación de ésta, para poder gestionar y cubrirse del riesgo del mercado o determinar cual es el valor de una opción. La volatilidad, básicamente puede ser de dos tipos: determinista o estocástica. La primera no cambia a lo largo del tiempo o si lo hace es de forma conocida y cierta; la segunda cambia a lo largo del tiempo de forma desconocida o incierta. Para estimar el comportamiento estadístico de estos tipos de volatilidad se procede de forma diferente, en el primer caso se utiliza como estimación de la volatilidad la desviación típica de la serie de rentabilidades y en el segundo caso entre otros, se utilizan los modelos de heterocedasticidad condicional autorregresiva (modelos ARCH1), la generalización de estos (modelos GARCH) o alguna de sus variantes. En este trabajo se han estimado modelos GARCH, EGARCH, AGARCH, M-GARCH para estimar la volatilidad del tipo de cambio cruzado diario del euro frente a la libra esterlina y frente al yen, durante el período comprendido entre enero de 2000 y abril de 2003. Los datos para realizar estas estimaciones se han obtenido de la página web de cinco días con datos históricos de los mercados financieros y de divisas. La finalidad que se persigue con la formulación y estimación de estos diferentes modelos es conseguir el más adecuado (dependiendo de la forma de dependencia de la varianza de su pasado o de otras variables que en ella puedan influir) para lograr la mayor capacidad predictiva o la valoración de opciones (el objeto de este trabajo no va a ser realizar predicciones futuras de la volatilidad, ni valorar opciones). 2. ANÁLISIS DE DATOS. Un análisis gráfico de la evolución diaria del tipo de euro frente a la libra esterlina (GBP) y el yen (JPY) a lo largo del periodo considerado indica que estos no son estacionarios, ya que en los primeros años las variaciones son mucho mayores que al final del periodo, así, para realizar un análisis de la volatilidad que se ha producido en estas variables se va a trabajar con la primera diferencia regular del logaritmo neperiano de los tipos de cambio.

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0.02

1

D L G BP

0.00

1

A CF-D L G BP

0

0

200

400

600

0

800

0

1.0

d lg b p ^2

0.0004

20

40

0

200

400

600

800

0

60 1

A CF-d lg b p ^2

0.5

0.0002

P A CF-D L G BP

20

40

60

40

60

P A CF-d lg b p ^2

0

0

20

40

60

0

20

Gráfico 1: ∆ln GBP y su cuadrado junto con sus respectivas funciones de autocorrelación simple y parcial

0.050

1

1

DLJPY

PACF-DLJPY

ACF-DLJPY

0.025 0

0

0.000 -0.025 0

200

400

600

800

0 1

dljpy^2

0.0015

10

0.0010

20

30

0 1

ACF-dljpy^2

0

10

20

30

PACF-dljpy^2

0

0.0005 0

200

400

600

800

0

10

20

30

0

10

20

30

Gráfico 2: ∆ln JPY y su cuadrado junto con sus respectivas funciones de autocorrelación simple y parcial

En los gráficos 1 y 2, donde respectivamente está representada la primera diferencia del logaritmo del tipo de cambio de la libra esterlina y el yen, así como sus funciones de autocorrelación simple (acf) y parcial (pacf), se puede apreciar que:

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1. Se producen clustering o concentración de volatilidades, es decir, en ciertos momentos del tiempo se producen altas dispersiones y en otros la dispersión es menor. 2. No existe autocorrelación entre las observaciones del ruido en los diferentes desfases del tiempo, por lo tanto no se puede establecer ninguna relación lineal entre εt y εt-i (ya que todos los valores de sus funciones de autocorrelación simple y parcial no son estadísticamente significativos). Esto no implica que sean independientes, ya que puede existir dependencia exponencial, cuadrática o de cualquier otro tipo. 3. Si nos fijamos en las funciones de autocorrelación simple y parcial de sus cuadrados, si que existen valores significativos, lo que implica una dependencia en la varianza. 3.

ESTIMACIÓN DE AUTORREGRESIVA

MODELOS

DE

HETEROCEDASTICIDAD

Dado el comportamiento de las funciones de autocorrelación simple y parcial de los cuadrados de los tipos de cambio vamos a proponer para ambos tipos de cambios cruzados un modelo GARCH(1,1)2 de la forma:

∆lny t = µ + ε t ε t = σta t

a t → i.i.d(0,1)

σ 2t = α 0 + α1ε 2t −1 + β1σ 2t −1 donde α >0 y α1 , β1 ≥0 Los resultados de la estimación (utilizando máxima verosimilitud con el PcGive) para la el yen (JPY) son los siguientes: Modelling DLJPY by restricted GARCH(1,1) The estimation sample is: 2 to 808 Coefficient Constant X 0.000292548 alpha_0 H 3.27352e-07 alpha_1 H 0.0394229 beta_1 H 0.954075 log-likelihood 2830.78979 mean(h_t) 6.03305e-05 no. of observations 807 AIC -7.00567482 mean(DLJPY) 0.000260455 alpha(1)+beta(1) 0.993497

Std.Error robust-SE 0.0002341 0.0002345 2.218e-07 2.865e-007 0.01112 0.01539 0.01249 0.01609 HMSE 3.25658 var(h_t) 1.11209e-09 no. of parameters 4

t-value 1.25 1.14 2.56 59.3

var(DLJPY) 6.08983e-05 alpha_i+beta_i>=0, alpha(1)+beta(1)0 y α1 , β1 ≥0

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Si se estima el modelo GARCH-M (1,1) para el tipo de cambio de la libra esterlina, los resultados obtenidos son: Modelling DLGBP by restricted GARCH-M(1,1) The estimation sample is: 3 to 822 Constant alpha_0 alpha_1 beta_1 h_t

Coefficient Std.Error robust-SE t-value X 0.000160158 0.0005213 0.0007248 0.221 H 2.29385e-07 2.267e-07 3.925e-07 0.584 H 0.0341740 0.01577 0.02903 1.18 H 0.957451 0.02175 0.04159 23.0 X 0.0268784 19.34 27.30 0.000984

log-likelihood 3135.56811 mean(h_t) 2.98225e-05 no. of observations 820 AIC -7.63553199 mean(DLGBP) 0.000154527 alpha(1)+beta(1) 0.991625

t-prob 0.825 0.559 0.239 0.000 0.999

HMSE 2.6734 var(h_t) 1.49827e-10 no. of parameters 5 var(DLGBP) 3.02569e-05 alpha_i+beta_i>=0, alpha(1)+beta(1)0 y α1 , β1 ≥0 La variable dt es una variable ficticia a través de la cual se trata de captar este comportamiento asimétrico en las innovaciones positivas y negativas. Los resultados de la estimación de este modelo para el tipo de cambio cruzado del yen son los siguientes: Modelling DLJPY by restricted AGARCH(1,1) Coefficient Constant X 0.000422829 alpha_0 H 9.67975e-17 alpha_1 H 0.0296237 beta_1 H 0.967778 asymmetry H -0.00182009

The estimation sample is: 2 to 837

Std.Error 0.000227

robust-SE 0.000228

0.009660 0.009526 0.000838

0.01552 0.01519 0.001029

t-value 1.85

t-prob 0.064

1.91 63.7 -1.77

0.057 0.000 0.077

log-likelihood 2947.60461 HMSE 3.293 mean(h_t) 5.85817e-05 var(h_t) 1.0519e-09 no. of observations 836 no. of parameters 5 AIC.T -5885.20922 AIC -7.03972395 mean(DLJPY) 0.000282 var(DLJPY) 5.93343e-05 alpha(1)+beta(1) 0.997402 alpha_i+beta_i>=0, alpha(1)+beta(1)