• Author / Uploaded
• oitc85

Citation preview

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas

VIBRACIONES MECÁNICAS Detalles

Pág.

INTRODUCCIÓN.....................................................................................

1

Vibración libre..........................................................................................................................

1

Vibración forzada.....................................................................................................................

1

Ecuación del movimiento.........................................................................................................

2

Periodo y frecuencia.................................................................................................................

2

Frecuencia natural....................................................................................................................

2

Frecuencia natural amortiguada...............................................................................................

2

I. VIBRACIÓN LIBRE..............................................................................

3

Sistema de un solo grado de libertad........................................................................................

3

Movimiento armónico..............................................................................................................

4

Ecuación del movimiento - frecuencia natural.........................................................................

5

Péndulo simple.........................................................................................................................

11

Péndulo compuesto o péndulo físico........................................................................................

13

Combinación de resortes..........................................................................................................

16

En paralelo................................................................................................................................

16

En serie.....................................................................................................................................

18

Método de la energía................................................................................................................

24

Método Newton........................................................................................................................

27

Método de Rayleigh.................................................................................................................

28

Vibración forzada sin amortiguamiento...................................................................................

41

Tipos de amortiguamiento........................................................................................................

46

Vibración libre amortiguada.....................................................................................................

47

Sistema con amortiguamiento crítico.......................................................................................

48

Movimiento sub-amortiguado..................................................................................................

50

“Índice” Página: I

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas Movimiento sobre-amortiguado...............................................................................................

52

II. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO................

60

Excitación indirecta..................................................................................................................

66

Desbalanceamiento rotacional..................................................................................................

69

Decremento logarítmico...........................................................................................................

71

Aislamiento de las vibraciones.................................................................................................

79

Transmisibilidad.......................................................................................................................

80

Energía disipada por amortiguamiento.....................................................................................

83

III. SISTEMAS CON DOS GRADOS DE LIBERTAD.............................

85

Coordenadas principales...........................................................................................................

87

Modo normal de vibración.......................................................................................................

87

Acoplamiento de coordenadas..................................................................................................

98

Acoplamiento estático..............................................................................................................

99

Acoplamiento dinámico...........................................................................................................

100

Acoplamiento estático – dinámico...........................................................................................

101

Ecuación de Lagrange..............................................................................................................

102

Ecuación de Lagrange para una partícula................................................................................. 103 Cálculo de las fuerzas generalizadas........................................................................................

106

Ecuación de Lagrange para un sistema de partículas...............................................................

107

Ecuación de Lagrange para cuerpos rígidos.............................................................................

109

Vibración armónica forzada.....................................................................................................

113

Absorbedor de vibraciones dinámicas...................................................................................... 115 Vibración libre amortiguada..................................................................................................... 118 Vibración forzada con amortiguamiento..................................................................................

120

IV. SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD.......................... 122 Introducción.............................................................................................................................. 122

“Índice” Página: II

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas Ecuación del movimiento.........................................................................................................

122

Ecuación de Lagrange..............................................................................................................

124

Matrices de flexibilidad y rigidez............................................................................................. 125 Coeficientes de influencia........................................................................................................

136

V. VIBRACIÓN TORSIONAL.................................................................. 143 Péndulo de torsión....................................................................................................................

143

Vibración torsional...................................................................................................................

147

Método Holzer.......................................................................................................................... 149 Método Holzer para vibración torsional...................................................................................

152

Sistemas con rotores acoplados por engranajes......................................................................... 157

VI. VELOCIDADES CRÍTICAS EN ROTORES...................................... 161 Introducción.............................................................................................................................. 161 Método Prohl-Myklestad para vibración flexotorsional..........................................................

161

Balanceo de rotores..................................................................................................................

164

Desbalance rotatorio.................................................................................................................

164

Equilibrado...............................................................................................................................

164

Causas de desequilibrio............................................................................................................

164

Balanceo en un plano...............................................................................................................

165

Método vectorial de balanceo en un plano...............................................................................

166

Tipos de desequilibrio..............................................................................................................

167

Estático.....................................................................................................................................

167

Por par de fuerzas.....................................................................................................................

167

Dinámico..................................................................................................................................

168

Cuasi estático............................................................................................................................ 168 Balanceo en dos planos............................................................................................................

168

“Índice” Página: III

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas VII. VIBRACIONES EN MEDIOS CONTINUOS..................................... 170 Vibración longitudinal de barras..............................................................................................

170

Problema de la cuerda vibrante................................................................................................

174

Vibración transversal de vigas.................................................................................................

178

“Índice” Página: IV

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas INTRODUCCIÓN. Detalles

Pág.

Vibración libre..........................................................................................................................

1

Vibración forzada.....................................................................................................................

1

Ecuación del movimiento.........................................................................................................

2

Periodo y frecuencia.................................................................................................................

2

Frecuencia natural....................................................................................................................

2

Frecuencia natural amortiguada...............................................................................................

2

Todo sistema que posee masa y tiene elasticidad, está capacitados para tener movimiento vibratorio.

El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos oscilatorios de los cuerpos y a las fuerzas asociadas con ellos.

La vibración, en general es una forma de energía disipada y en muchos casos es inconveniente, especialmente en maquinarias; ya que debido a las vibraciones se producen ruidos, se transmiten fuerzas y movimientos no deseados.

Vibración libre. Es la que ocurre cuando un sistema oscila bajo la acción de fuerzas inherentes al sistema mismo, es decir, cuando no actúa ninguna fuerza externa. El sistema bajo vibración libre vibrará a una o más de sus frecuencias naturales que son propiedades del sistema dinámico que dependen de su distribución de masa y de rigidez.

Vibración forzada. Es la que ocurre cuando la vibración tiene lugar bajo la excitación de fuerzas externas. Cuando la excitación es oscilatoria, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia de excitación. Si esta coincide con una de las frecuencias naturales del sistema, se produce una situación de resonancia y ocurren oscilaciones peligrosamente grandes.

“Introducción” Página: 1

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas Ecuación del movimiento. Para poder eliminar todos los efectos perjudiciales, es necesario hacer un estudio completo de la ecuación del movimiento del sistema en cuestión.

Este sistema es idealizado y simplificado en términos de masa, resorte y amortiguador, los cuales representan a la masa, elasticidad y la fricción respectivamente.

Entonces la ecuación del movimiento expresa el desplazamiento como una función del tiempo.

Periodo y frecuencia. En los casos de las vibraciones “Rectilíneo” y “Torsional”, El PERIODO es el tiempo necesario para que un movimiento periódico se repita.

La FRECUENCIA es el número de ciclos por unidad de tiempo. Además se puede decir que es el inverso del periodo.

Frecuencia natural. Es la frecuencia de un sistema que tiene vibración libre sin fricción o amortiguación.

Frecuencia natural amortiguada. Es la frecuencia de un sistema que tiene vibración libre con fricción.

En una vibración forzada, cuando la excitación es oscilatoria, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia de excitación. Si esta coincide con una de las frecuencias naturales del sistema, se produce una situación de RESONANCIA que es peligrosa.

La falla de estructuras como puentes, edificios o alas de aviones es una horrible posibilidad bajo resonancia. Es por eso, que el cálculo de las frecuencias naturales es de importancia capital en el estudio de las vibraciones.

“Introducción” Página: 2

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas VIBRACIÓN LIBRE Detalles

Pág.

Sistema de un solo grado de libertad........................................................................................

3

Movimiento armónico..............................................................................................................

4

Ecuación del movimiento - frecuencia natural.........................................................................

5

Péndulo simple.........................................................................................................................

11

Péndulo compuesto o péndulo físico........................................................................................

13

Combinación de resortes..........................................................................................................

16

En paralelo................................................................................................................................

16

En serie.....................................................................................................................................

18

Método de la energía................................................................................................................

24

Método Newton........................................................................................................................

27

Método de Rayleigh.................................................................................................................

28

Vibración forzada sin amortiguamiento...................................................................................

41

Tipos de amortiguamiento........................................................................................................

46

Vibración libre amortiguada.....................................................................................................

47

Sistema con amortiguamiento crítico.......................................................................................

48

Movimiento sub-amortiguado..................................................................................................

50

Movimiento sobre-amortiguado...............................................................................................

52

Sistema de un solo grado de libertad. Muchos sistemas pueden vibrar en más de una manera y dirección. Si un sistema está restringido a vibrar de una manera o necesita solo una coordenada independiente para determinar por completo la localización geométrica de las masas del sistema en el espacio, este es un sistema de un solo grado de libertad. Por Ej.:

“Vibración Libre” Página: 3

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas

K

c

K

m x

F 0 senwt

m

K

x

J

Movimiento armónico. El movimiento oscilatorio puede repetirse a si mismo regularmente, como es el caso de un balancín de reloj o desplegar considerable irregularidad, como es el casos de los movimientos sísmicos.

Cuando el movimiento se repite a intervalos de tiempo “t”, se le llama PERIÓDICO donde “” es el periodo de oscilación. Si se designa el movimiento por x(t), todo movimiento periódico debe satisfacer la relación: x(t) = x(t + ) El movimiento periódico más simple es el MOVIMIENTO ARMÓNICO. Este movimiento puede ilustrarse por medio de una masa suspendida de un resorte liviano (Ver Fig.) Si la masa se desplaza de su posición de reposo y se la libera, oscilará hacia arriba y abajo; si se coloca una fuente de luz en la masa, su movimiento puede ser registrado en una tira de película sensible a la luz que es movida a velocidad constante. Este movimiento registrado en la película puede representarse por medio de la ecuación: K

x  Asen2 x

A

m

t

t



Donde : A = Amplitud de oscilación, medida desde su posición de equilibrio.

 = Periodo y se repite cuando t  

“Vibración Libre” Página: 4

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas Ecuación del movimiento – frecuencia natural. El sistema oscilatorio más simple consta de una masa y un resorte (Fig.). Se supone despreciable la masa del resorte cuya rigidez es K (N/m). Note que el sistema tiene un grado de libertad, ya que su movimiento está descrito por una coordenada “x”.

K K 0,71

Posición no

m

Posición de

m

K(G + x)

x

esforzada

m

x

Equilibrio estático x

mg mg

Cuando se pone en movimiento, la oscilación tendrá lugar a la frecuencia natural que es una propiedad del sistema. La segunda ley de Newton es la primera base para examinar el movimiento del sistema.

La posición del equilibrio estático:

K  mg

(1)

Si se desplaza un “x” a partir del equilibrio estático, las fuerzas que actúan son: En el resorte

K   x 

Debido al peso

W  mg

Si se toma a “x” como positivo hacia abajo, entonces todas las cantidades, fuerza, velocidad y aceleración son también positivas por estar dirigidas hacia abajo. mg  K   x   mx

mg  K  Kx  mx Según (1)

K  mg

m    Kx  mx  g  K Por tanto:

mx  Kx  0

(2)

“Vibración Libre” Página: 5

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas Note que el hecho de haber elegido como referencia la posición de equilibrio estático a la medida “x”, ha eliminado a la fuerza debida a la gravedad W  mg  y a la fuerza estática del resorte

F  K  de la ecuación del movimiento (Ver ecuación (2)) y la fuerza resultante es solamente debida al desplazamiento “x”. mx  Kx  0

 m

K x0 m

(3)

x  La frecuencia natural circular  n2 será:

 n2 

K m

La ecuación (3) queda por tanto: x   n2 x  0

(4)

El movimiento definido por la ecuación (4) se llama “Movimiento Armónico Simple” y se caracteriza porque la aceleración es proporcional al desplazamiento y de sentido opuesto. Note que sen t , cos t satisfacen la ecuación; por tanto constituyen soluciones particulares. La solución a esta ecuación es de la forma: x  e st

(5)

x  se st

(6)

x  s 2 e st

(7)

Derivando dos veces:

Reemplazando (5) y (7) en (4)

s 2 e st   2 e st  0





e st s 2   2  0

s 2   2  0  s   i Como:

s 1  e i t  s 2  e  i t

Entonces

s 1  C 1 e i t  s 2  C 2 e  i t

Y también será:

x  C 1 e i t  C 2 e  i t

son soluciones linealmente independientes también son soluciones (8)

“Vibración Libre” Página: 6

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas e it  cos t  i sen t

Pero:

(9)

e  it  cos t  i sen t

(10)

(9) y (10) en (8) x  C 1 cos t  i sen t   C 2 cos t  i sen t  x  C 1 cos t  C 1 i sen t  C 2 cos t  C 2 sen t

x  iC 1  iC 2 sen t  C1  C 2 cos t    A

B

x  A sen t  B cos t

(11)

Donde: A, B son constantes a determinarse por condiciones de contorno. Suponiendo que: p t

p t

0

0

x  x0

Condiciones de contorno

x  x0

o Condiciones iniciales

Derivando (11) x  A cos t  Bsent

(12)

Reemplazando las condiciones de contorno en (11) y (12) se obtiene las cts.. A y B En (11)

x0  Asen0  B cos 0  B  x0

En (12)

x 0  A cos 0  Bsen0  A 

x 0



Reemplazando las cts. A y B en (11) x

Donde

x 0





sent  x 0 cos t

K m

frecuencia natural circular

  El periodo natural de oscilación es:    t  Por tanto:

La frecuencia natural:

  2   

pero:   2  t   2



o también:   2

m K

fn  f

“Vibración Libre” Página: 7

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas f 

1





f 

1 2

K m

Estas cantidades pueden expresarse en función a la deflexión o deformación estática  ya que: K  mg  K 

mg



Reemplazando en estas últimas ecuaciones: mg

* Frecuencia natural circular:



* Periodo natural:



* Frecuencia natural:

f 

  

g



m 2

   2

 1



 f 

1 2

 g g



La solución general también puede obtenerse multiplicando las dos soluciones particulares

sent  cos t por cts.. arbitrarias y sumándolas, es decir: x  Asent  B cos t

(a)

x  A cos t  Bsent

(b)

2 2 x  A sent  B cos t

(c)

(a) y (c) en (4) 2 2 2 2   sen t B cos t   Asen  t  B cos t  0 A        

 2x

x

Cumple la igualdad, por tanto es solución de (4) la ecuación (a) Como esta expresión contiene 2 cts. arbitrarias A y B, la solución obtenida (a) es la solución general y A y B dependen de las condiciones iniciales.

t

Xm

O wt

wt

A Xm

B

x

t

P

“Vibración Libre” Página: 8

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas Las expresiones del desplazamiento velocidad y aceleración obtenidas para una partícula, pueden escribirse en forma más compacta si nota que (a) expresa el desplazamiento x = OP como la suma de las componentes en “x” de los vectores A y B respectivamente. Note que la magnitud de OQ es igual a la amplitud x m

El M.A.S. de “P” a lo largo del eje “x” puede obtenerse proyectando sobre este eje el movimiento de un punto “Q” que describe un círculo de radio x m con una velocidad angular constante “  ”. Representando por “  ” el ángulo formado por los vectores OQ y A, se escribe: OP  OQsent    Que conduce a otras formas de expresión del desplazamiento, velocidad y aceleración. x  x m sent    x  x m cost    2 x  x m sent   

Ejm. Una masa de ¼ Kg. está suspendida de un resorte, cuya rigidez es 0.1533 N/mm. Determine su frecuencia natural en ciclos por segundo. Calcule la deflexión estática y verifique la frecuencia natural.

K

0.1533N  1000mm  N    153.3  mm  1m  m 

a) Frecuencia natural

f

N 1 K 1 153.3 m  2 m 2 0.25Kg

b) La deflexión estática

K  mg



mg 0.25  9.81  K 153.3

f  3.94

ciclos Hz  seg

  0.016m 

  0.015981m   15.981mm 

Ejm. Determinar la frecuencia natural de la masa “M” en el extremo de un voladizo de masa despreciable. Primero se encuentra la deformación de la viga en el extremo (Donde está la carga).

“Vibración Libre” Página: 9

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas

m y

L

M x

P

M = PL d2y  Px  PL  Px  L  dx 2

EI

EI

dy P 2  x  L   C1 dx 2

EIy 

P x  L 3  C1 x  C 2 6

Por condiciones de contorno:

P 0 x

y=0

0

P L   C2 6

C2 

1 3 PL 6

P 0 x

dy 0 dx

0

1 2 P L   C1 2

C1 

1 2 PL 2

3

Por tanto la deformación es: EIy 

1 1 1 3 Px  L   PL2 x  PL3 6 2 6

La deformación máxima ocurre en x = L

1 1 EI  0  PL3  PL3 2 6



PL3 3EI

Como P  K siendo  la deformación, entonces la ecuación (*) se adecua a:

K

P 3EI  3  L

Se sabe que la frecuencia natural circular es: f 

Entonces.

1 f 2

3EI L3 m

f

1 K 2 m

1 3EI 2 mL3

“Vibración Libre” Página: 10

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas 1. Si la masa de la viga es despreciable comparada con la masa m, derive una expresión para la frecuencia de la masa.

m y

Según tablas: La deformación en el centro de la viga doblemente empotrada (Donde está m) viene dada por:

PL3 192EI

y Adecuando a nuestro caso:

K

P y

K



192EI L3

Se sabe que la frecuencia natural está dada por:



Entonces:



192E

I L3

m



K m



192EI  Rad    mL3  seg 

Péndulo simple.

T m

L

Ft FN

T mg mg

“Vibración Libre” Página: 11

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas El péndulo simple se compone de una masa puntual “m” que cuelga en el extremo inferior de un hilo resistente de longitud “L” de peso despreciable. Desplazada la partícula de la posición de equilibrio en un ángulo “  m ”y luego liberada, el péndulo oscila en un plano vertical a lo largo del arco de circunferencia de centro “O” y radio “L”, bajo la influencia de la fuerza restauradora “ Ft ”que es la componente del peso “W” en la dirección tangencial. Para un tiempo cualquiera “t”, la cuerda forma un ángulo “  ” con la vertical y el sistema de fuerzas que actúa sobre la partícula lo constituyen el peso “W” y la tensión “T” en la cuerda.

Por la segunda ley de Newton para el movimiento circular se tiene:

 mg sen   ma t Donde Radio de la curva Entonces:

a t  R

d 2     aceleraciónangular  2   dt

R L  mg sen   mL  g sen   L

L  g sen   0

  g sen   0 L K   Comparando con la ecuación del M.A.S. x  x  0 se ve que el movimiento del péndulo no m   es M.A.S.; sin embargo, Si la amplitud de oscilación es pequeña: sen   

(En radianes)

Luego puede escribirse:

  g   0 L

(Solución aproximada)

Por comparación se tiene que la frecuencia natural circular está dada por:

“Vibración Libre” Página: 12

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas 2 

g  L

g L

Llegando a la conclusión que el péndulo simple es un M.A.S. para pequeñas oscilaciones. Su periodo está dado (Fórmula de HUYHENS):



 2   t

  2

L g

Ejm. Suponiendo que el péndulo de un reloj sigue la teoría del péndulo simple. ¿Cuál será la longitud si tiene el periodo de un segundo? Se sabe que el periodo está dado por:

  2  2  4 2

Despejando:

L g

L 2g L 2 g 4

Trabajando en [pies]

L  9.78P lg .

Péndulo compuesto o péndulo físico. Un cuerpo rígido que puede oscilar libremente alrededor de un punto en suspensión que es su

O

x

centroide, constituye un péndulo compuesto.

Los distintos puntos materiales del rígido,

L

constituyen otros tantos péndulos simples que si están a diferentes distancias del eje de giro

T

tendrían que oscilar con periodos distintos.

b Pero como se trata de un péndulo físico, este se

mg

mueve con un periodo propio de oscilación

“Vibración Libre” Página: 13

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas

Si el péndulo compuesto es desplazado de su posición de equilibrio, esta vuelve por efecto del momento de su peso “W” respecto al eje.

M  mgb b  L sen 

pero

M  mgL sen  d 2 I 2  mgl sen  dt donde: Momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación

I= mr 2

Radio de giro

r

Aceleración angular

d 2  dt 2

Para oscilaciones pequeñas

sen    [Rad]

Ordenando (1) y teniendo en cuenta lo dicho:

I  mgl  0

I

  mgl   0 I

como I  mr 2

  mgl   0    gL   0 mr 2 r2

(2)

Analizando esta fórmula (2), se nota que para oscilaciones pequeñas, el movimiento oscilatorio del péndulo físico es M.A.S. siendo:

2 

gL r2

Frecuencia natural circular

y su periodo de oscilación es:

  2

r2 gL

Ejm. Una chapa cuadrada homogénea de lado “L” (Pies) y masa “m” está suspendida del punto medio de uno de sus lados. Encuentre su frecuencia de oscilación.

“Vibración Libre” Página: 14

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas

L/2

L

x'

G

G

mg L

 M  I L   mg sen    I 2 

y c

Para oscilaciones pequeñas: x'

sen   

b

G

1 I  mgL  0 2

x

(1)

Donde I = Momento de inercia respecto al eje de giro





1   De tablas se tiene que: I x  m b 2  c 2  12   El momento respecto al eje X es:

Ix 





Ix 

1 mL2 6

 

1 1 m L2  L2  m 2L2 12 12

En este caso la rotación es respecto al eje X por tanto según STEINER

I

x

 I x  md 2



2

Ix 

1 1 1 L mL2  m   I x  mL2  mL2 6 6 4 2 Ix 

5 mL2 12

(2)

Reemplazando (2) en (1)

“Vibración Libre” Página: 15

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas

5 1 mL2   mgL  0 12 2 5  L  g  0 6

  6g   0 5L



6g 5L

Combinación de resortes. Cuando la deformación de la masa vibratoria implica a más de un resorte. Para facilitar el cálculo de la frecuencia natural, es necesario determinar la constante del resorte equivalente.

En paralelo.

K1

K2

K3

m P1

P2

P3

P Las características son:

-

Todos los resortes tienen la misma deformación

“Vibración Libre” Página: 16

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas 1   2   3   -

(1)

La fuerza total es la suma de todas las fuerzas en los resortes

 F

v

 0 ; es decir:

P  P1  P2  P3  .....

-

(2)

Se sabe que: P  K adecuando a (2) según (1) se tiene:

  

K eq   K 1   K 2   K 3   ..... n

K eq  K 1  K 2  K 3  .....   K i i 1

Ahora bien: El sistema mostrado en la sgt. Figura también representa un sistema en paralelo. -

Considerando la masa “m” descompuesta en dos partes “ m 1 ” y

“ m 2 ” tales que

m  m1  m 2

K1

m

-

m1 m2

(1)

Sean las frecuencias naturales de cada una: 12 

K1 K  22  2 m1 m2

(2)

Estas frecuencias deben ser iguales, ya que se trata de una sola masa. Por tanto:

K2

12   22   2

K eq

(2) en (3)

(4) y (5) en (1)

m



(3)

K1 K 2  m1 m 2

m1 

K1 m K eq

(4)

m2 

K2 m K eq

(5)

m

K1 K m 2 m K eq K eq

K

eq

 K1 K

 K eq    m

   

2

“Vibración Libre” Página: 17

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas En serie. K1

K2 K3

m El sistema mostrado representa un sistema vibratorio en serie y tiene las sgts. Características: -

La fuerza o peso es la misma en todos los resortes, ya que se supone despreciable la masa de los resortes; es decir: P  P1  P2  P3  .....

-

(1)

El desplazamiento total es la suma de los desplazamientos.    1   2   3  ..... P  K   

Pero:

(2)

P K

Teniendo en cuenta (1) reemplazamos en (2) P P P P     ..... K eq K 1 K 2 K 3

P

n 1 1 1 1 1     ......   K eq K 1 K 2 K 3 i 1 K i

Ejm. Determine la frecuencia natural del vibración del bloque, si sabe que los resortes están inicialmente comprimidos. K K

K m

K

“Vibración Libre” Página: 18

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas Por la figura, se puede decir que el sistema está en paralelo, por tanto:

K eq  K  K  K  K K eq  4K Luego la figura se reduce a :  4Kx  mx mx  4Kx  0  x 

m x Kx

donde:  2 

m

4K x0 m

4K m

pero   2f

4K  f  m 2 2

x

f

1 K  m

Ejercicios: 1. Un disco homogéneo semi-circular de radio “r” y masa “m” está pivotado en su centro y gira libremente alrededor de este. Determine su frecuencia natural de oscilación para desplazamientos pequeños.

R

R

r C

mg

 M  I  mgR sen   I Para oscilaciones pequeñas:

sen   

“Vibración Libre” Página: 19

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas I  mgR  0

I

mgR I = Momento de inercia del cuerpo respecto al eje de giro.   0 I R

Extrayendo de tablas:

4r 3

 

Reemplazando:

I

mg

1 mr 2 2

4r 3   0

1 mr 2 2

  8g   0 3r



 Rad   seg   

8g 3 r

2. Un cilindro homogéneo de masa “m” está suspendido por un resorte de constante “K” [lb/Plg] y una cuerda inextensible. Encuentre la frecuencia natural de vibración del cilindro.

K

r

x m

D.C.L. para la posición de equilibrio estático: +

To

G r

r

A

 F  0  M  0 v

A

mg

K  T0  mg  0

2rK  mgr  0

(1)

“Vibración Libre” Página: 20

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas D.C.L. para un desplazamiento x:

 2rK   x   mgr  I A 

K +

G r

r

x mg





A

 2rK  2rKx  mgr  I G  mr 2 

FR

Donde:

IG 

1 mr 2 2

Para un cilindro

Según (1)

1   2rK  2rKx  mgr   mr 2  mr 2  2   2rKx 

3 mr 2  2

3 mr 2   2rK 2r   0 2

Ordenando

(2)

3mr 2   8r 2 K  0 8K 3m  8K  0    0 3m 

8K 3m

3. Una varilla rígida de peso despreciable está restringida a oscilar en un plano vertical. Determine la frecuencia natural de la masa “m”. 3/4L

1/4L

m O

K

En la posición que se ve en la fig. note que el resorte ya tiene deformación x 0 , por tanto en su equilibrio estático:

“Vibración Libre” Página: 21

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas

 M

0

0



3 1 mgL  Kx 0 L 4 4

(1)

Cuando se desplaza un “x”, la sumatoria de momentos será: 3/4L

1/4L

O K (xo + x) mg

 M

0

 I



1  3  mg L   K x 0  x  L   I 4  4 

Pero I  mr 2 Donde r 

3 L 4

2

3 1 1 3  mgL  KLx 0  KLx  m L   4 4 4 4 

(2)

Según (1) queda:

1 9  KLx  mL2  4 16 Pero x  r donde en este caso

r

(3)

1 1 L  x  L 4 4

(4) en (3)

1 1  9  KL L   mL2  4  4  16

1 9 mL2   KL2   0 16 16

 16   2  L 

9m  K  0   K   0 9m

“Vibración Libre” Página: 22

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas



K 9m

 rad   seg   

4. Una varilla delgada tiene una masa despreciable y soporta una masa de 5 Kg. En su extremo. Determine el periodo natural de vibración. 200 mm.

5 Kg.

100 mm.

B

C

K = 400 N/m.

A

Inicialmente para estar en esa posición, el resorte debe estar comprimido. 0.2 m. 0.2 m.

mg

0.1 m.

0.1 m.

K( + x)

K mg

Equilibrio estático:

 M  0

0.1K  mg 0.2

(1)

Si se desplaza un cierto ángulo  o distancia x

 M  I

mg 0.2  K   x 0.1  I

mg 0.2   K0.1  Kx0.1  mL2  Según (1) 2 m0.2   4000.1Kx  0

Pero x  0.1

0.22 5  0.14000.1  0 0.2  4  0

 0. 2

“Vibración Libre” Página: 23

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas   20  0   2  20 rad  seg 2 



  

2 2    

2 20

  1.4seg 

Método de la energía. El movimiento armónico simple de un cuerpo es generado solo por las fuerzas gravitacionales y elásticas de restauración que actúan sobre el cuerpo. Estas fuerzas son del tipo conservativos.

Entonces la conservación de la energía puede usarse para determinar la ecuación diferencial de movimiento y a partir de esta hallar la frecuencia natural o el periodo de vibración del cuerpo.

Para vibraciones libres sin amortiguamiento, la energía total es parte cinética y parte potencial.

La energía cinética “T” es almacenada en la masa en virtud de la velocidad, mientras que la energía potencial “V” es almacenada en forma de energía elástica de deformación o de trabajo realizado en un campo de fuerza gravitacional.

Coma la energía total se mantiene constante, su rata de cambio es cero, es decir: T  V  ctte.

d T  V   0 dt Como el interés se limita a la frecuencia natural del sistema, se puede plantear:

T1  V1  T2  V2 Donde (1) es el instante en que la masa está pasando por su posición de equilibrio estático(por

“Vibración Libre” Página: 24

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas tanto V1  0 ) (Ya que el N. R. Está ahí). Sea (2) el instante en que ocurre el máximo desplazamiento de la masa T2  0 T1  0  0  V2

Sin embargo, si el sistema está experimentando un movimiento armónico, T1 y V2 son valores máximos y por tanto:

Tmax  Vmax que conduce de inmediato a la frecuencia natural.

Ejm. Considerando el bloque y el resorte (fig.). Hallar la frecuencia natural, cuando el bloque se desplaza una cantidad arbitraria “x” desde su posición de equilibrio.

K

m

La energía cinética es:

T

1 mx 2 2

La energía potencial es:

V

1 Kx 2 2

Según la conservación de la energía

T  V  ctte.

1 1 mx 2  Kx 2  ctte. 2 2 El movimiento del bloque puede obtenerse diferenciando esta ecuación respecto a “t”:

mxx  Kxx  0

Factorizando x

x mx  Kx   0 mx  Kx  0

x 

K x0 m

2 

K m

“Vibración Libre” Página: 25

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas Si se escribe la ecuación de energía para “Un sistema de cuerpos conectados”, también puede determinarse la frecuencia natural o ecuación del movimiento por medio de la derivación. (Este método permite determinar “Directamente” la frecuencia circular “  ”)

Procedimiento para el análisis. 1. Trazar un dibujo del cuerpo cuando se desplaza una pequeña distancia “x” desde la posición de equilibrio estático. (L. R.) 2. Formule la ecuación de energía para el cuerpo T  V  ctte. , recordando que la energía cinética es para traslación y rotación, es decir: T 

1 1 mx G2  I G  2 y la energía potencial es: 2 2

V  Vg  Ve (Gravitacional y elástica). 3. Se procede a la derivación y se factoriza los términos comunes. 4. La ecuación resultante representa la ecuación del movimiento para el sistema.

Ejm. Un cilindro sólido homogéneo de masa “m” se sujeta por medio de un resorte de constante “K” lb/plg y reposa sobre un plano inclinado. Si el cilindro rueda sin deslizar; demostrar que la frecuencia es:

2K  rad  . 3m  seg 

K

x

r m

Por el método energético

T Pero

1 1 mVG2  I G  2 2 2

VG  r ; I G 

1 mr 2 ;    2

“Vibración Libre” Página: 26

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas T

Por tanto:

 

2 1 11  m r   mr 2  2 2 22 

T

1 1 mr 2  2  mr 2  2 2 4

(1)

La energía potencial

Ve 

1 Kx 2 2

Ve 

1 Kr 2  2 2

Pero: x  r (2)

d T  V   0 dt 1 mr 2    mr 2    Kr 2   0 2 1    m  m   K  0 2   3    m 2 

3  m   K  0 2   2K   0 3m

2K 3m



Método Newton:

K

+

K ( + x)

A

A

mg

mg

ESTÁTICA

+

DINÁMICA

“Vibración Libre” Página: 27

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas Estática:

 M

A

0



mg sen  r  Kr  0

(1)

Dinámica:

 M

A

 I A 



1  mg sen  r  K   x r   mr 2  mr 2  2 

mg sen  r  Kr  Kxr 

3 mr 2  2

(2)

Reemplazando (1) en (2) y ordenando

3 mr 2   Kxr  0 2 Como no existe deslizamiento

x  r

 2     3m 

3 mr 2   Kr 2   0 2   2K   0 3m



2K 3m

Método de Rayleigh: El método de energía, puede ser usado para sistemas con masas concentradas o distribuidas, siempre que el movimiento de cada punto del sistema sea conocido.

En sistemas donde las masas están unidas por conectores rígidos, palancas o engranajes, el movimiento de las diferentes masas puede expresarse en términos del movimiento “x” de algún punto específico y el sistema es simplemente de un solo grado de libertad.

La energía cinética puede escribirse como:

T

1 m ef x 2 2

“Vibración Libre” Página: 28

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas Masa efectiva o equivalente, concentrada en un punto específico.= m ef Ahora bien, si la rigidez “K” de este punto es también conocida, la frecuencia natural puede calcularse por: K m ef



En sistemas con masas distribuidas, como resortes y vigas, es necesario primero conocer la distribución de la amplitud de vibración antes de calcular la energía cinética “RAYLEIGH”.

1. Determinar el efecto de la masa del resorte en la frecuencia natural del sistema.

y dy

K

L

m

x

Sea “ x ” la velocidad de la masa “M” Se supone que la velocidad de cualquier punto del resorte en “y” varía linealmente.

d  t  V   

L x y   y  x y y L

La energía cinética del sistema puede ser ahora:

T Masa por unidad de longitud=

1 m 2 y dy 2 L

m L 2

L L 1 m y  1 mx 2 T    x  dy  T  y 2 dy 2 0 LL  2 L3 0

“Vibración Libre” Página: 29

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas T

1 mx 2 2 L 3

1m 2 1 3  L   T   x 2 3  3 

Se concluye que el efecto de la masa del resorte sobre la masa “M” es 1/3m; es decir:

m ef 

1 m 3

Añadiendo esto a la masa concentrada “M”, la frecuencia natural será:



K 1 M m 3

2. Una viga simplemente apoyada de masa “m” tiene una masa concentrada “M” en el centro de la luz. Determine la masa efectiva del sistema en el centro de la luz y halle su frecuencia.

M m

y Primero se halla la variación de la amplitud (Deformación) con respecto a “x” según tablas: La ecuación de la elástica y la flecha máxima están dadas por:

EIy 

Px  3 2 2  L x  12  4 

y máx 

Para 0  x 

L 2

PL3  48EI

Operando en la ecuación de la elástica se tiene:

y

Px  3L2  4x 2  12EI  4

 Px   y  3L2  4x 2 48 EI 





“Vibración Libre” Página: 30

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas 3 P  2 L  3 L y 3xL    4x  3 48EI  L L

3  PL3  x x    y  3  4   48EI  L  L   

  x   x 3  y  y máx 3   4     L   L  

Por tanto: La energía cinética será:

   x 1  m  x3 T     y máx  3  4 3 2  L  L  L   2

2

L2  x  1 2m  x3   dx  T    y 3 4   máx  2 0 L  L3  L 

2

  dx 

L 2

1  2m  2  x 3 24 x 5 16 x 7  T    y máx  3 2   4 2 L  5 7 L6  0 L L  1  2m  2 T  y máx 2 L 

L 2

 0

 x x3  3  4 3 L  L

T T



2

L2   9x 2 1  2m  2 x4 x6  dx  T   y máx   2  24 4  16 6 2 L  L L  0  L

3 1 2 2m y máx  3 2  L

 L 3   8

 24   5  5L

 L 5  16    7  32  7L

 dx 

 L 7     128 

1 16  1  3 24 2 2 2m y máx    T  0.4857m y máx   2 2  8 160 896 

De donde la masa efectiva es:

m ef  0.4857m

 Por tanto la frecuencia es:   

 K  M  m ef 

Pero se sabe que: P  K  K 

P  K

P 48EI K 3 3 PL L 48EI



48EI L M  0.4857m  3

“Vibración Libre” Página: 31

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas 3. La masa de la varilla delgada de sección uniforme es pequeña comparada con la masa que tiene colocada en su extremo. Calcule la frecuencia natural de oscilación de la masa, suponiendo que la oscilación es pequeña.

O a

K L

x h La energía potencial es la gravitacional y la elástica:

Vg  mgh

Pero: h  L  L cos 

Vg  mgL1  cos  

(1)

Ve 

1 Kx 2 2

Ve 

1 1 2 K a   Ve  Ka 2  2 2 2

Pero: x  atag Para oscilaciones pequeñas tag   (2)

La energía cinética es de traslación:

T

Pero: V  L  L

 

2 1 1 m L  T  mL2  2 2 2

T



1 mV 2 2

La derivada temporal T  Vg  Ve  0

(3)



mgLsen    Ka 2   mL2    0





mL2   mgL  Ka 2   0   mgL  Ka   0 mL2 2



mgL  Ka 2 mL2

“Vibración Libre” Página: 32

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas 4. Una esfera homogénea de radio “r” y masa “m” puede rodar libremente sin deslizar sobre una superficie esférica de radio “R”. Si el movimiento de la esfera se restringe al plano vertical. Determine la frecuencia natural de oscilación de la esfera.

R

R-r r

h

VG

B

A

V  mgh 

La energía potencial es:

V  mgR  r   R  r cos   V  mg R  r 1  cos   1 1   La energía cinética es de traslación y rotación T  mVG2  I G  2  2 2  

T2 

donde: VG  R  r  (Respecto del punto “O”)

T1 

1 mVG2 2

T1 

2 1 1 2 m R  r   T1  mR  r   2 2 2





1 2 I G  2 Pero: I G  mr 2 2 5 

(Considerando A centro instantáneo)

VG R  r   r r

R  r   2 12 1  R  r   T2   mr 2     T2  mr 2 25 5 r 2  r  2

2

1 2 T2  mR  r   2 5

“Vibración Libre” Página: 33

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas d V  T1  T2   0 dt

Por tanto:

2 2 mg R  r sen    mR  r     mR  r    0 5 2  2 2   mR  r   5 mR  r     mg R  r sen   0  

Pero: sen   

7  mR  r  R  r   mg R  r   0 5   

g 7 R  r  5



0

5g 7R  r 

5. Un disco homogéneo circular tiene un momento de inercia alrededor de su centro igual a 10 lbplg-seg2. En la posición de equilibrio estático ambos resortes están estirados 1 plg.. Encuentre la frecuencia natural angular de oscilación del disco, cuando se le da un pequeño desplazamiento angular y se le deja en libertad. K=10 lb/plg.

10

K

K

“Vibración Libre” Página: 34

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas 1 2   T  2 I   

La energía cinética:

T

1 2 IG 2

(1)

1  2  V  2 K   

La energía potencia elástica:

V  V1  V2 V

V Como: Pero:









1 1 K x2  1  K x2  1 2 2

1 1 1 1 Kx 2  K  Kx 2  K  Kx 2 2 2 2 2

x  r  V  K r   V  Kr 2  2 2

(2)

d T  V   0 dt d 1 2 2 2  I  Kr    0 dt  2 

I   2Kr 2   0 I  2Kr 2   0

I

2   2Kr   0 I

Reemplazando valores:

  2  10  10   0 10 2

  200  0   2  200  rad     14.14  seg 

6. Un cilindro homogéneo de masa “m” está suspendido por un resorte “K” y una cuerda inextensible. Encuentre la frecuencia natural de vibración del cilindro.

“Vibración Libre” Página: 35

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas

K

A

VG

r

x m

Energía cinética:

T

1 1 mVG2  I G  2  T  T1  T2 2 2 VG  r T1 

T2  Por tanto:

T

 

1 m r 2

2



1 mr 2  2 2

11 1 2 2 2 2  mr   mr  22 4 

1 1 3 mr 2  2  mr 2  2  T  mr 2  2 2 4 4

Energía potencial:

V

V d T  V   0 dt

1 Kx 2 2

Pero: x  2r

1 2 K 2r   2Kr 2  2 2 d 3 2 2 2 2  mr   2Kr    0 dt  4 

3 mr 2    4Kr 2   0 2

3  m  4K  0 2



3m 2

  8K   0 3m

“Vibración Libre” Página: 36

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas 

8K 3m

7. El disco tiene una masa de 8 Kg. Determine su frecuencia natural de vibración “f” si los resortes están originalmente no estirados. K = 400 N/m x

m

100 mm.

x K = 400 N/m

Energía cinética:

T

1 1 I G  2  I G  2 2 2 IG 

Pero:

T

1 mr 2 2

11 1 2 2 2 2  mr   T  mr  22 4 

(1)

Energía potencial (Elástica solamente):

1  2 V  2 Kx    V

V  V1  V2 1 1 Kx 2  Kx 2 2 2

pero: x  r

V  Kx 2  V  Kr 2  2 d V  T  0 dt

(2)

d 2 2 1 2 2  Kr   mr    0 dt  4 

1 2Kr 2   mr 2    0 2

“Vibración Libre” Página: 37

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas 1  m  2K  0 2



m 2

  4K   0   2  4K    2 K m m m

  2 f  f 

Se sabe que:

f

  2

2

K m 2

1 K 1 400   m  8

f  2.25Hz 

8. Determine La ecuación diferencial de movimiento del carrete de 3 Kg., suponiendo que no se desliza en la superficie de contacto a medida que oscila. El radio de giro del carrete en torno de su centro de masa es K G  125mm .

K = 400 N/m

x

VG G

200 mm. 100 mm.

R = 100 mm. = 0.1 m. R = 200 mm. = 0.2 m.

K G = 125 mm. = 0.125 m. Energía cinética (Traslación y rotación):

1  2 Tt  2 mVG    1  2 Tr  2 I G    

1 Pero: VG  r  Tt  mr 2  2 2 1 pero:     I G  mK G2  Tr  mK G2  2 2

(1)

(2)

“Vibración Libre” Página: 38

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas Energía potencial (Elástica solamente):

1  2 V  2 Kx   

Pero: x  r  R   V 

1 2 K r  R   2 2

(3)

d 1 1 1 2 2 2 2 2 2  mr   mK G   K r  R     0 dt  2 2 2  mr 2    mK G2    K r  R    0

 

2

mr

2



2  mK G2   K r  R    0

Reemplazando valores:

3.01

2



2  3  0.125 2   4000.1  0.2   0

 0.077 

0.077  36  0

  468  0 9. Para ángulos pequeños de oscilación, encuentre la frecuencia de oscilación del sistema.

K1 r r

r K2

r

3r

Por el método de la Energía

T V Pero

1 1 1 mV G2  I G  2  T  I G  2 2 2 2

1 1 1 Kx 2  mgh  V  K 1 x 12  K 2 x 22 2 2 2 x 1  r x 2  r  3r  4r

“Vibración Libre” Página: 39

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas IG 

1 mr 2 2

Reemplazando

11 1 1 2 2 2 2  mr   K 1 r   K 2 4r   0 22 2 2 





1 1 1 mr 2  2  K 1 r 2  2  K 2 16r 2  2  0 4 2 2 Derivando

1 mr 2    K 1 r 2   16K 2 r 2   0 2

 r 2 

1  m  K 1   16K 2   0 2    2K 1  32K 2   0 m  



2K 1  32K 2 m

10. Hallar la ecuación del movimiento de un péndulo invertido que está restringido por un resorte, cuya constante es “K”. Se supone que la masa del péndulo está concentrada a una distancia “L” del punto de apoyo y que el resorte es lo suficientemente rígido para que el péndulo sea estable. 2 m

m

x 1

K L a

“Vibración Libre” Página: 40

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas 1  2 T  2 mV    T

Pero x  L = velocidad

1 1 2 mL   mL2 2 2 2 1  2 VE  2 K   

VE 

Pero   a

1 1 2 K a   a 2 2K 2 2

VG  mgh VG  mgL cos   mgL  mgl cos   1 d T  VE  VG   0  d  1 mL2 2  1 Ka 22  mgLcos   1 dt dt  2 2  mL2   Ka 2  mgl sen   0





mL2  Ka 2  mgL   0

Pero sen   



 mL2



2      Ka  g   0  mL2 L   

Vibración forzada sin amortiguamiento. Para este caso la ecuación diferencial tiene la forma siguiente:

mx  Kx  Po sen  t

(1)

Este tipo de ecuaciones tiene dos soluciones: x  x c  x p a) Solución a-transitoria complementaria: Cuando la ecuación es homogénea, es decir:

mx  Kx  0 La cual tiene como solución: x  A sen t  B cos t

“Vibración Libre” Página: 41

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas b) Solución estacionaria o particular: Cuando la ecuación es:

mx  Kx  Po sen  t Su solución es del tipo:

xt   G sen  t

(2)

Derivando dos veces:

x t   G  cos  t xt   G  2 sen  t

(3)

Reemplazando (2) y (3) en (1)





m  G  2 sen  t  K G sen  t   Po sen  t  mG  2 sen  t  KG sen  t  Po sen  t

 K 

 mG  2  KG  Po 

 sen  t 

P mG  2 G  o K K

Factorizando G y ordenando

P m 2   1   G  o K K  

Pero:  2 

 P 2   1  2 G  o K   

Sea:  

K m

2 2

1   G  PK 2

G

o

Po K 1  2





(4)

Reemplazando (4) en (2)

x p t  

Po sen  t K 1  2





(Solución particular)

Como la solución general es del tipo:

xt   x c  x p Entonces:

xt   A sen t  B cos t 

Po sen  t K 1  2





(5)

“Vibración Libre” Página: 42

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas Las constantes A y B se determinan por las condiciones de contorno Si

t  0  x0   0

(a)

Si

t  0  x 0   0

(b)

Reemplazando (a) en (5)

0  A sen 0 o  B cos 0 o 

Po sen 0 o 2 K 1





B0

Derivando (5)

x t   A cos t  B sen t 

Po  cos  t K 1  2





(6)

Reemplazando (b) en (6)

0  A cos 0 o  B sen 0 o 





Po Po   A 2 2 K 1  K 1

0  A 







Po  2 A 2  K 1  2



Pero

Po  cos 0 o 2 K 1







Reemplazando las constantes A y B en (5)

xt   

Po Po  sen  t sen t  2 K 1  2 K 1



xt  







Po sen  t   sen t  K 1  2





(7)

Donde:

Po  Amplitud de la fuerza externa K  Rigidez del resorte   Frecuencia circular del movimiento   Frecuencia circular de carga Si se analiza la ecuación (7), se nota que:

“Vibración Libre” Página: 43

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas





Si   1 , es decir;    entonces el factor 1   2  0 lo que implica que al estar en el denominador se hace infinita la expresión. Esta situación se llama RESONANCIA.

P0  K

6 5 4 3 2

  P0  2  K 1    





1

2

3

2  2 2

La solución particular para el caso    tiene la forma:  t sen t x p t   G 1

Donde :

G1  x p t  

Po 2m

Po t sen t 2m

Esta expresión muestra que la amplitud crece ilimitadamente con el tiempo.

t

Ejm. Un bloque de masa “m” está soportado por un resorte de ctte. “K” el cual está montado sobre una base de peso despreciable que tiene un movimiento armónico A o sen  t hacia arriba y hacia abajo. Determine el movimiento del bloque.

“Vibración Libre” Página: 44

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas

x

m

A0 senwt

K (x - y) K

 K x  y   mx

 Kx  Ky  mx mx  Kx  KA o sen  t x c  A sen t  B cos t

Solución complementaria Solución particular:

Por uno de los métodos abreviados, se tiene que la solución es de la forma:

y

1 1 senax  b   senax  b  2 FD F  a2

 









: F  a2  0

Por tanto en este caso, la ecuación diferencial será: x  D 2 x

Sea

mD xp 

xp 

2



 K x  KA o sen  t 1

mD  K 2

KA o sen  t

1 KA o sen  t  m 2  K

xp 

1 m K  2  m

KA o sen  t

Pero  2 

K m

“Vibración Libre” Página: 45

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas xp  xp 

Ao K sen  t 2   m





2

Ao



2

   2  2 



xp 

2

  

 2 sen  t

Ao sen  t 2 1 2 

Por tanto la solución general es: x  A sen t  B cos t 

Ao sen  t 2 1 2 

Tipos de amortiguamiento. a) Amortiguamiento viscoso. Para cuerpos que se mueven con velocidad moderada a través de fluidos. F  cV

c  Ctte. De proporcionalidad V  Velocidad

b) Amortiguamiento turbulento. Ocurre cuando la rapidez con que se mueve un cuerpo dentro un fluido es alta.

F  bV 2

b  Ctte. De proporcionalidad

V  Velocidad

c) Amortiguamiento Coulombiano. Cuando una superficie seca se desliza sobre otra superficie.

F  N

  Coeficiente de roce cinético N  Fuerza normal

“Vibración Libre” Página: 46

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas Vibración libre amortiguada.

K c

FR

Fa K( + x)

m x

x

cx

mg

mg

En la situación de equilibrio estático (caso b) no actúa todavía la amortiguación

K  mg

(1)

En la situación (c) se tiene:

 F  mx  K   x   cx  mg  mx

 K  Kx  cx  mg  mx

Según (1)

 Kx  cx  mx mx  cx  Kx  0

Ordenando:

(2)

d2x dx  Dx y  D2x dt dt 2

Si

mD 2 x  cDx  Kx  0

(3)

Dividiendo entre “m” la ecuación (3)

D2 

c K D  0 m m

(4)

Resolviendo cual si fuese una ecuación de segundo grado.

 D Como

c c2 K  4 2 m m m 2 2 

K m

“Vibración Libre” Página: 47

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas

D

c 4c 2   4 2 m 4m 2 2

D

c  c  2     2m  2m 



2

Analizando el discriminante, se ve tres situaciones posibles: 2

Si

 c  2     0 2 m  

Si

 c  2     0 2 m  

Si

 c  2    0   2m 

El sistema tiene amortiguamiento CRITICO

2

El sistema es SUB-AMORTIGUADO

2

El sistema está SOBRE-AMORTIGUADO

Sistema con amortiguamiento crítico. 2

Como

2

c  c   c  2 2        0  2m  2m   2m  C c  2m

De ahí

C c  Amortiguamiento crítico

Por tanto la raíz de la ecuación (4) son iguales y serán: 0   2 c c    4 2 2 C  2 m  m m D c  D 2 2m 2 m 

D  

Por tanto la solución de la ecuación (4) tendrá la forma:

xt   G 1 e Dt  G 2 te Dt xt   G 1  G 2 t e Dt

Factorizando Como

Donde G 1 , G 2  Ctts. a determinar

D  

xt   G 1  G 2 t e  t

(5)

“Vibración Libre” Página: 48

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas xt   G 1  G 2 t e Conforme t   se tiene que e



c t 2m



c t 2m

(5´)

 0 más rápidamente que t se aproxima a  ; el movimiento

se disipa exponencialmente.

De hecho, el caso de amortiguamiento crítico es el caso límite de sobre-amortiguamiento.

“El amortiguamiento crítico, representa una condición en la que e tiene el valor mínimo necesario para hacer que el sistema sea NO VIBRATORIO” Para hallar las constantes G 1 , G 2 de la ecuación (5) se realiza según condiciones de contorno. Se sabe que: e  t  cosh t  senh t

(6)

(6) en (5)

xt   G 1  G 2 t cosh t  senh t  xt   G 1 cosh t  G 1 senh t  G 2 t cosh t  G 2 t senh t

P  0  xt   x0  t

(7)

Reemplazando en (7)

x0   G 1 cosh 0 o  G 1 senh 0 o  G 2 0 cosh 0 o  G 2 0 senh 0 o G 1  x0  Derivando (7)

x t   G 1  senh t  G 1  cosh t  G 2 t sen t  G 2 cosh t  G 2 t cosh t  G 2 senh t P  0  x t   x 0  t x 0  G1senh0o  G1cosh0o  G2 0sen0o  G2 cosh0o  G2 0cosh0o  G2 senh0o x 0   G 1   G 2 G 2  x 0   G 1   G 2  x 0   x0 

Reemplazando las constantes G 1 y G 2 en (5)

“Vibración Libre” Página: 49

Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas xt   x0   x 0   x0 t e  t Ordenando:

xt   x01  t   x 0t e  t

X(0)>0 X(0)

X(0)=0

t X(0)