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República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Liceo “J. A. A.”

Vectores en el Plano, Componentes o sus elementos y su representación gráfica

Nombre: Daniela García V. Profesor: Y. Godoy Área de Formación: Matemática

Abril de 2020

INTRODUCCIÓN

Desde tiempos remotos, y como parte esencial de su propio desarrollo evolutivo, el hombre ha procurado entender los diferentes aspectos que forman parte de su vida cotidiana. Para ello ha procurado disponer de herramientas que le permitan no sólo poder cazar y recolectar con mayor eficiencia, sino también poder medir longitudes, ordenar y contar objetos, o reconocer fenómenos periódicos de la naturaleza. Como parte de este proceso de elaboración, el hombre ha construido modelos que le han facilitado la tarea de resolver problemas concretos o que le han ayudado a encontrar una solución al problema específico que lo afecta. Todo esto con el propósito de favorecer tanto su forma de vida como la de los miembros de su comunidad. Muchos de estos problemas tienen un espacio, fuerza y dirección donde la matemática como ciencia ofrece esas herramientas. Los vectores tema central de la presente investigación forma parte de las herramientas que la

matemática proporciona para solucionar la necesidad de representar

magnitudes en las que no sólo importa la intensidad (o módulo), sino también la dirección y el sentido en la que están aplicadas. El presente trabajo es una investigación documental sobre la composición y aplicabilidad de los vectores, para el cual siguiendo la metodología científica de investigación

y

redacción

se

desarrollo

varios

aspectos

básicos

para

conceptualizar lo que un vector, su ubicación en el plano, los componentes, sus características, los tipos de vectores y la forma de representarlos gráficamente. Como parte final del trabajo se plantea la conclusión y la referencia bibliográfica respectiva.

INDICE

Portada Introducción Índice Desarrollo. Vectores en el Plano, Componentes o sus elementos y su representación gráfica. ¿Qué se denomina Vector? Vectores en el Plano. Componentes de un vector. Características de un Vector: Módulo, Dirección, Sentido grafica. Tipos de vectores y su representación grafica. Conclusiones. Referencias Bibliográficas.

y Representación

Vectores en el Plano, Componentes o sus elementos y su representación gráfica ¿A QUÉ SE DENOMINA VECTOR? Es un término que deriva de un vocablo latino y que significa “que conduce”. Un vector es un agente que transporte algo de un lugar a otro. Su significado, de todas formas, varía de acuerdo al contexto. En otra definición: Un vector es un segmento orientado. En sentido puramente matemático. La definición de vector es infinitamente más primaria. Vectores en el Plano, un vector no es más que un trozo de recta, o segmento orientado donde se identifica claramente su origen y su extremo, que va del punto A (origen) al punto B (extremo). Representación gráfica de un vector como un segmento orientado sobre una recta.

Un vector en el plano  al punto B (extremo)

 es un segmento orientado que va del punto A (origen)

Vectores en las Matemáticas: Espacios Vectoriales Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: la multiplicación por escalares y la adición (una asociación entre un par de objetos). Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Se pueden representar geométricamente

como segmentos de recta, en el plano (tridimensional).

(bidimensional), o en el espacio

COMPONENTES DE UN VECTOR. Los vectores constituyen una de las herramientas fundamentales de la geometría analítica, centrada en la descripción de los problemas de la geometría con ayuda del lenguaje algebraico de ecuaciones y sistemas de coordenadas. El uso inteligente de los vectores encuentra infinidad de aplicaciones en las exposiciones matemáticas, por ejemplo, para determinar condiciones como colinealidad, perpendicularidad o paralelismo entre planos y rectas. En otro sentido, el empleo de vectores se encamina asimismo a la determinación de ángulos y distancias, áreas y volúmenes de figuras planas y en el espacio. Igualmente, lleva intrínsecas nociones como métrica y dirección que han hecho su uso casi indispensable en la descripción de los modelos teóricos de la física, la ingeniería y otros múltiples campos de la ciencia y la técnica. Son dos valores que vienen dados en forma de par de números, los cuáles indican las unidades que tenemos que desplazarnos horizontalmente y verticalmente respectivamente, para llegar desde el origen del vector al extremo de éste. Es decir si el vector v = (3,2), esto nos indica que debemos desplazarnos tres unidades a la derecha y dos unidades hacia arriba para llegar del origen al extremo del vector.

Componentes de un vector. Respecto del sistema de coordenadas con origen O y ejes X, Y son las proyecciones del vector sobre los ejes. Sea el punto A(x1, y1) y el punto B(x2, y2), los componentes del vector son dos números reales que se obtienen restando a las coordenadas del extremo las

del origen; se escribe y2 – y1

= (x2 – x1, y2 – y1) = (a, b)

donde a =x2 – x1 y b =

Características de un Vector: Módulo, Dirección y Sentido

Módulo: Es el tamaño que tiene el segmento orientado.

Es la longitud del segmento AB, se representa por 

El módulo o amplitud con una longitud proporcional al valor del vector.

Dirección: Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.

Dirección de un vector: En otro ejemplo, representamos el vector gráficamente podemos diferenciar los siguientes elementos: La recta soporte o dirección, sobre la que se traza el vector.

Sentido: Es la orientación que adopta el vector. Podemos diferenciar entre Norte, Sur, Este, Oeste, Noreste, Noroeste, Sureste, Suroeste. Sentido del vector: 

El que va del origen A al extremo B.

El punto de aplicación que corresponde al lugar geométrico al cual corresponde la característica vectorial representado por el vector.

El nombre o denominación es la letra, signo o secuencia de signos que define al vector.

Por lo tanto en un vector podemos diferenciar:

Nombre Dirección Sentido Módulo Punto de aplicación

Pues bien, ¿cómo podremos conocer o determinar un vector? Un vector vendrá caracterizado siempre que nos encontremos en una de las siguientes situaciones: a) Conocemos su origen y su extremo. b) Conocemos sus componentes y su origen o extremo. c) Conocemos sus características: Módulo, Dirección y Sentido

TIPOS DE VECTORES

Vectores Equipolentes. Dos Vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido

Vectores Libres. El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llaman vector libre. Es decir los vectores libres tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

Vectores Fijos. Un vector fijo es un representante del vector libre. Es decir los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y origen.

Vectores ligados. Los vectores ligados son vectores equipolentes que actúan en la misma recta. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo modulo, dirección, sentido y se encuentran en la misma recta.

Vectores Opuestos. Los vectores opuestos tienen el mismo módulo, dirección y distinto sentido

Dos puntos A y B determinan dos vectores fijos  que se llaman vectores opuestos.

 y 

, con sentido distinto,

Vectores Unitarios. Los vectores unitarios tienen de módulo la unidad. Para obtener un vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vectordado, se divide este por su módulo.

Vectores Concurrentes. Los vectores concurrentes tienen el mismo origen.

Vectores de Posición. El Vector OP que une el origen de coordenadas O con el punto P, se llama vector de posición del Punto P

Vectores Linealmente Independientes. Varios vectores libres del plano son linealmente independientes si existe una combinación lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la conbinación lineal.

Vectores Ortogonales: Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto escalar es cero

Vectores Ortonormales: Dos vectores son ortornormales si:

1.- Su producto escalar es cero 2.- Los dos vectores son unitarios.

Conclusiones

Los vectores constituyen una de las herramientas fundamentales de la geometría analítica, centrada en la descripción de los problemas de la geometría con ayuda del lenguaje algebraico de ecuaciones y sistemas de coordenadas. Un vector, es un elemento del espacio vectorial cuyos componentes son dos puntos de números reales, que se obtienen restando a las coordenadas del extremo las del origen. En física, un vector es considerado un ente matemático como la recta o el plano, el cual se representa mediante un segmento de recta, orientado dentro del espacio euclidiano tridimensional. En un vector, podemos reconocer tres elementos fundamentales denominados; módulo, dirección y sentido. Entre las utilidades prácticas que brindan los vectores, se encuentra la representación de magnitudes físicas vectoriales, como la velocidad de un móvil, la fuerza y el desplazamiento. La importancia de los vectores se centra en facilitar el estudio de los fenómenos que suceden a nuestro alrededor. En el campo de la ingeniería civil los vectores son de gran utilidad para la construcción de edificaciones tales como viviendas, edificios, puentes, elevados, entre otros, utilizando

para ello

varios

tipos de vectores como vectores fijos o ligados, libres, deslizantes, axiales, polares, entre otros. en conclusión los vectores representan una herramienta matemática de utilidad comprobada para el desarrollo del ser humano dada su variada aplicabilidad por las diversas aéreas científicas.

Referencias Bibliográficas

Colección Bicentenario. Matemática 2do año. Primera edición. (2012).

Enciclopedia AULA. “Matemáticas”. Madrid-España. Editorial Cultural, S.A. (1996).

https://www.geogebra.org/m/pMwQRwUA#material/sbXr5uuy

https://www.geogebra.org/m/ywXcp9ZH

https://www.geogebra.org/m/d5pjbmkE

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/vectores/definicion -de-vectores.html.