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Prof. Javier González Cázares

Telesecundaria

Secretaría de Educación, México

VECTORES El estudio de la mecánica y óptica hizo que el gran matemático Sir William Rowan Hamilton 1 buscara una manera de representar objetos en el plano y el espacio lo llevó al descubrimiento de los “cuaterniones”2 (hoy llamados vectores). Aunque Lord Kelvin (físico inglés 1824-1907) menospreció sus aplicaciones, hoy en día no hay campo de la ingeniería, ciencias biológicas y sociales en que se aplique este concepto. Hamilton3 introdujo el análisis tridimensional para representar a vectores en el espacio, para él los números tridimensionales o tres componentes deben poseer una propiedad conmutativa, así como las demás propiedades que poseen reales y números complejos 4. En retrospectiva uno puede ver por motivos geométricos que el nuevo número considerado como un operador se esperaba que para girar un vector determinado sobre un eje determinado en el espacio y expandir o contraer el vector. A estos efectos, se necesitan dos parámetros (ángulos) para fijar el eje de rotación, un parámetro debe especificar el ángulo de rotación y el cuarto el tramo o contracción del vector determinado. La noción de un vector (un segmento de línea dirigida que podría representar la magnitud y la dirección de una fuerza, una velocidad o una aceleración), entró de manera natural en matemáticas. Desde Aristóteles se sabía que las fuerzas se pueden representar como vectores y que la acción combinada de dos fuerzas puede obtenerse por lo que se conocen comúnmente como la Ley de paralelogramo; es decir, la diagonal del paralelogramo formada por los dos vectores a y b da la magnitud y la dirección de la fuerza resultante. Simon Stevin empleó la ley paralelogramo en problemas de estática, y Galileo declaró la ley explícitamente 5. James Clerk Maxwell6 relacionó al vector en las coordenadas cartesianas.

1

(Irlanda, 1805 – 1865) fue un matemático, físico, y astrónomo, que hizo importantes contribuciones al desarrollo de la óptica, la dinámica, y el álgebra. http://es.wikipedia.org/wiki/William_Rowan_Hamilton 2

Una anécdota curiosa de este físico relata cómo inició sus descubrimientos: “Having searched for his triplets for thirteen years, Hamilton discovers quaternions. In a letter he later wrote to one of his children about the discovery, he recounts that his children used to ask him each morning at breakfast: “Well, Papa, can you multiply triplets?” To this he would reply, “No, I can only add and subtract them.” Véa CROWE, Michael J., A History of Vector Analysis, University of Notre Dame, 1967. 3

KLINE, Morris; Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Volume 2, Oxford University Press Inc., New York Oxford, 1972. 4 El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i, su equivalencia es ). Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica 5 KLINE, Morris; Op. Cit. Pág. 776. 6 (Escocia, 1831-1879) fundador de la teoría electromagnética, uno de los mayores de los físicos matemáticos y profesor de física en la Universidad de Cambridge

Prof. Javier González Cázares

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COMPONENTES DE UN VECTOR Un vector tiene componentes (proyecciones) en los ejes x e y, por lo que se usan frecuentemente vectores unitarios. Un vector unitario es un vector sin dimensiones que tiene magnitud igual a uno. Sirven para especificar una dirección determinada. Se usan los símbolos i, j y k para representar vectores unitarios que apuntan en las direcciones x, y y z positivas, respectivamente.

En sí el vector se representa como la suma de vectores unitarios en el espacio: V = Ax i + Ay j En una nueva hoja Excel, escriba los valores de a y de b, como sigue: componente x en la celda C3 escriba 94, componente y en la celda C4 escriba 71. Simplemente grafíquelos de esta manera (donde vea 94 su fórmula es =C3, si ve 71 su fórmula es =C4).

Para representar las flechas asigne una distancia de ésta, por ejemplo 3 en la celda H18. Luego escriba las fórmulas:

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Por último calcule la Resultante, en H25 escriba =RCUAD(C3^2+C4^2), el ángulo del vector, en E26 escriba =GRADOS(ATAN(C4/C3)), sin embargo este ángulo se modifica cuando alcanza ángulos mayores a 90°, por lo que en la celda E25 escriba =SI(Y(C3>1,C4>1),E26,SI(Y(C30),E26+180,SI(Y(C30),H25,SI(Y(G210),H25+180,SI(Y(G211),H25,SI(Y(G220),H25+180,SI(Y(G22