¡ … La ventaja de ser diferente es que somos la número …! COLEGIO CARRION Docente: fabrizzio ponce tapia Sep. Nro
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¡ … La ventaja de ser diferente es que somos la número
…!
COLEGIO CARRION
Docente: fabrizzio
ponce tapia
Sep. Nro:
Tema: VECTORES
Academia Pre-Universitaria
Vacílate… 1.
5.
Hallar el módulo del V. Resultante. a) 5 b) 7
a) 3 y 11 10 y 4 d) 12 y 2
3
c) 1 d) 13
Si: Rmáx = 14 y el Rmín = 2 para 2 vectores. Halle el módulo de cada vector.
e) 8
6.
4
b) 8 y 6
c)
e) 5 y 9
Del problema anterior halle el módulo del vector resultante cuando sean perpendiculares.
2. a) 31 b) 17
a) 6 9 d) 10
24
c) 26 d) 25 e) 30
7
3.
7.
a) 4
3
b) 8
c)
e) 11
Hallar el módulo de la resultante en los siguientes casos: cos37 º
4 5
a) 3 2
b) 10 c) 5
2
b) 3 5
7
c) 7
d) 6
37º
d) 3
e) 8
e) 4 5
4.
8.
1 a) 2 b) 3
2
4 6
a) 2 b) 5
5 16
2
c) 6
c) 4 d) 5
cos
5
2
d) 7 e) 8
4
e) 7
2
Academia Pre-Universitaria
13. 9. a) 2 3
b) 4 3
b) 3 3
3 3
c) 3 3
c) 6 3 d) 9
2
d) 6 e) 4
60º
e) 12
60º 4
3 3
14.
10.
a) 15 b) 5
a) 4 b) 4 3 c) 2 3 d) 8
4
c) 5 3
60º
d) 4 3
5 3 2
5 3
e) 2 3
4
e) 8 3
60º 2
15.
11.
a) 2
a) 5 3
e) 5 3
5
11 24
3 2
En los siguientes casos hallar el vector resultante.
1. a) 2d
a) 2 b) 7
e) 8
135º
e) 6
d) 4 3
c) 6 d) 5
8
c) 4 d) 5
c) 6 2
cos
3 2
b) 3
5
b) 5 2
12.
2
a) 2 3
d
b) a 4
c) 2a
3
d) 2b
c
a
b
e) c
3
Academia Pre-Universitaria a) 2c
2. a) b
b
b) 2c
d
d) 2(b c)
c
d) 2a
a
c) c
a
c) 3c
c
b) 2b
e) b c
e) 3a
b
7. 3. b) 3c c) 3d
a) c
b
a) 2a
b) d c
a
e
d
d) 3f
a
c) c d d) 2c d
f
b
c
d
e) 2(c d)
e) 2b 8.
4.
En los siguientes casos hallar el módulo del V. Resultante:
a) 2c b) 2b c) Cero
a) a = 6 cm
b
a
d) b
b) b = 3 cm c) c = 5 cm
c
e) 2d
a
c
b
e) 6 cm
d
5. a) 2b
c
c) 3e d) Cero e) 2a 6.
b
a
b) 3c
9. a) 3 b) 2 c) 4
d
d) d = 2 cm
d
e
2
d) 5 e) 6 2 4
Academia Pre-Universitaria
10.
14.
a) 2 cm
a) 9 cm
b) 3 cm
b) 16 cm
c) 5 cm
5 cm
6 cm
3 cm
c) 10 cm
3 cm
d) 4 cm
d) 7 cm
e) 8 cm
e) 14 cm
7 cm
DESCOMPOSICION RECTANGULAR 11.
1.
a) 2 cm b) 3 cm c) 6 cm
4 cm
d) 4 cm e) 10 cm
6 cm
Hállese el módulo del vector resultante para los vectores que se muestran:
a) 1 5 b) 2 37º c) 3 d) 4 7 e) 5 2. Calcule el ángulo “” si se conoce que el vector resultante es horizontal. 7 a) 30º
12.
b) 60º
a) 2 cm
c) 90º
d) 15º
b) 5 cm c) 7 cm
6
5 cm
d) 8 cm
5
e) 45º 3.
3
Usando el esquema determine el vector m
e) 10 cm
3
13. a) 2 cm
d) 10 cm e) 12 cm
m
-3
b) 4 cm c) 8 cm
a) (4;3) b) (-3;-3) c) (4;-3) d) (-4;-3) e) (-4; 3)
4 cm
4.
0
-3
Si se realiza un desplazamiento de 4i – 3j a partir del punto (-2;1), halle la posición de llegada. a) (2;0) b) (-2;2) c) (-2;1) d) (2;-2) e) Faltan datos
5
Academia Pre-Universitaria 5.
Un cuadrado de 3 unidades de lado se ha dividido uniformemente en nueve secciones, encuentre el vector unitario de la diferencia de
8.Halle el módulo y la dirección de la resultante de los vectores siguientes ssi cada cuadradito mide 2 cm.
vectores A B. a) 1; 3 / 10 b) 1; 3 / 10
c) 1;3 / 5
A
d) 1;3 / 5
Sean
B los
B 3iˆ ˆj 4kˆ . diferencia de
10; 0º 6; 37º 10; 53º 10; 37º 30; 53º
e) 0;1 6.
a) b) c) d) e)
vectores:
A (1,2,2)
y
8.Determinar el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrado, sí A = 4, B=8, C = 5.
Hallar el ángulo que forma la
A y B ( A y B)
4 a) arc cos 9 2 c) arc cos 3 8 e) arc cos 9
con el vector
A.
4 b) arc cos 9 2 d) arc cos 3
7. se tiene el vector a = mn = (3, –1) y el punto m (1, 2). hallar el punto n. a) (3, 2) b) (4,1) c) (5, 2) d) (1, –1) e) (1, –2)
A
1 2 3 4
B
53º
37º
5 C 9.Hallar el módulo de la resultante de los siguientes vectores: A = 20i + 7j; y B = 5i + 13j. a) 15
b) 20
d) 30
e) 35
c) 25
10.Cuales deberán ser las componentes de un vector para que, al sumarse a los siguientes dos vectores 10i – 7j y 4i + 2j de lugar al vector 6j. a) (14; 11) b) (-14; 11) c) (10; 11) d) (-14; 6) e) (6; -6) 11.Calcular el ángulo que forman los vectores A y B, sí; A = 8i – 6j, y B=24i + 7j. a) 53º b) 37º c) 45º d) 60º e) 30º
12.determinar la magnitud del vector resultante en el rectángulo mostrado. 6
Academia Pre-Universitaria
a)
A
D
C 7
12
a) 13 b) 39 c) 17 e) 12 13.Se tiene los vectores
c) 26 Si
A . B 6 . Hallar el módulo del producto
vectorial A B .
6 3u 14. Dados los vectores: A 2i 3 j , B i 2j y C 4i j . Hallar el valor de m n , de tal forma que sea posible expresar la combinación lineal: mA nB C a) 8
b) 7 c) 6
d) 5 15.Dados
e) 4 los
vectores:
d)
17. Si S A B C , obtener el vector P cuya
A y B.
B 2i 2 j k , el módulo de A es 4u y
b)
3 (4i 5 j 3k) 5 5 c) (4i 5 j 3k) 3 3 (4i 5 j 3k) 4 1 e) (4i 5 j 3k) 5
5
B
2 (4i 5 j 3k) 5
A 2i aj 3bk
magnitud es 8 y es paralelo al vector S . 8 a) 3i 4 j Y 5 35 24 i j b) 5 5 C 24 32 A i j c) 5 5 32 24 i j d) B 5 5 e)
X
32 24 i j 5 5
.18. Si
p 3;
q 7
y p q 19 . Hallar
pq . a) 4 5
b) 6 7
d) 3 17
e) 4 6
c) 8 5
19. Hallar el valor “a” de forma que A 2i aj k y
16.Hallar el vector paralelo a A 4i 5 j 3k ;
y B 4i 2 j 2k , sean perpendiculares. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 20.La figura que se muestra es un rectángulo. Determine el módulo de la resultante del sistema de vectores mostrados. a) 8 u
cuyo módulo es 3 2 .
b) 10 u
B 2ai j bk ; hallar el valor de “ ab ”. Si A B . Además: a b 6 . a) 7 b) 16 c) 27 d) 40 e) 36
c) 12 u d) 15 u e) 18 u
7
Academia Pre-Universitaria 21. En la figura dos vectores dados están relacionados entre sí por C m A nB , donde m y n son números reales. Determine m y n. 3 2 a) ; 11 11 4 2 A b) ; 5 15 C 5 3 c) ; 11 11 8 2 d) ; B 5 15 8 5 e) ; 15 8 22. Se tienen dos vectores a
y
b donde:
a 2i 3 j k y b i 3k . Hallar el valor de:
a b a b a) 2 d) 5
23.El módulo del vector V es 100N. Hallar el módulo de su componente en el eje de las ordenadas. y a) 50N
d) 80
d) 60 28 cm
e) 75
37º x
27. Halla el módulo de la resultante de los vectores mostrados: a) 10 6
y
20 2 m
50 m
b) 10 19
30º
O
x
V
25.Del problema anterior. Hallar el módulo de la componente en el eje de las abcisas. b) 60N c) 50 3 e) 90
45º
37º x
e) 50 28. Calcular la magnitud de la resultante. y 10 a) 1 b) 2 53º
5
c) 2
e) 90
a) 50N d) 80
80 cm
c) 55
d) 10 29
e) 6
c) 60
b) 5
c) 10 13 b) 3 c) 4
b) 50 3
y
a) 40 cm
x
7
d) 2 2 e) 3
29. Hallar el módulo de la resultante. y 5 2 a) 1 45º b) 2 13 c) 3 d) 4 e) 5
x
53º 10
26. Hallar la magnitud de la resultante. 8
Academia Pre-Universitaria 34. Sea el punto P=(4,6,-2) y Q=(5,-2,3). Hallar
30. Calcular el módulo de la resultante.
y
el
a) 4 cm
b) 5 c) 4 2
7 cm c) 7 i 18 j 13 k
b) 7 i 18 j 13 k
a) 7 i 18 j 13 k
1 cm
3 cm
C 2 P 3Q
d) 7 i 18 j 13 k
e)x 7 i 18 j 13 k
d) 8 5 cm
e) 3 2
35. Hallar
a) 35
3N
37º
c) 12
x
d) 13
b) -35
c) -40
d) +30 e)45
35. Construir un vector de modulo 3 3 y sea perpendicular a los vectores (1 , -1 , 0) y (0 , 1 , -1)
10N
b) 11
P 5 i 13 j 50 k y Q 12 i 15 j 2 k
31. Hallar el módulo de la resultante: y a) 10 N
el producto escalar entre P y Q . Si
6N
e) 14
a) (3 , 3 , 3)
b) (3 ,-3 , 3)
d) (2 , 2 , 2)
e) (-2 , 3 , 3)
c) (5 , 3 , 3)
36. Para que valores de “a” los vectores: A = (a ,
-2 . 1) y B = ( 2a , a , -4) son perpendiculares .
32. Hallar el módulo de la resultante:
30
A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50
Y 51º 39º
10 3
a) a = -1 y a = -2 b) a = 2 y a = -1 c) a = 1 y a = 2 d) a = 1 y a = -2 e) a = -2 y a = -2
X
9º 10 3
33. Sea el vector
38. En el sistema mostrado, hallar el módulo el vector resultante.
A 2 i 3 j 5 k hallar el
c) 6 i 9 j 15 k
e) 6 i 15 j 9 k
26
50
50
b) 10 13
vector n A , siendo n=-3 a) 6 i 9 j 15 k
a)
b) 6 i 9 j 15 k
d) 6 i 9 j 15 k
c) 6 2
68º
d) 10 26 e) 2 26
22º
X
15º
20
9
Academia Pre-Universitaria
39.
Sean
los
A 5iˆ ˆj kˆ
vectores
Z
y
B 2iˆ 2ˆj kˆ ¨. Hallar el valor de 3A 7B a)
281
b)
321
d)
417
e)
621
c)
4
527
Y
40. Hallar un vector de 18 unidades y que sea paralelo al vector
4
4
A - B ; se sabe que:
A = 3ˆi + 5jˆ - 8kˆ y A)
B = ˆi + 7jˆ - 7kˆ
A) 12ˆi + 12jˆ + 6kˆ
M
X
C)
ˆ 3ˆi + 3ˆj - 4k 34 2ˆi - 3jˆ + 4kˆ
3ˆi - 3jˆ + 4kˆ 34 3ˆi - 3jˆ - 4kˆ D) E) 34
B)
29 ˆi + ˆj - 2kˆ 6
B) 12ˆi - 12jˆ - 6kˆ C) 6ˆi - 6jˆ - 3kˆ D) 6ˆi + 6jˆ - 3kˆ E) 12ˆi + 12jˆ - 6kˆ 41. En la figura,Z hallar: A B C
43. Dado los vectores A yB . Determine el vector unitario
de
la
operación:
A B 2 A B (Considere
6
B
C A
que el lado del
cubo es 1m)
4 Y
Z
B
2 X
A
a) 3i 4j 5k
Y
b) i 2j 3k c) 2i d) 4j e) 4k
X
ˆ ˆ ˆ a) 2i j 3k
14 ˆ ˆj kˆ 3i 42. Hallar el vector unitario de la resultante vectorial. b) 11 (M es punto medio)
10
Academia Pre-Universitaria ˆ ˆ ˆ c) i j k
Z
3
d)
3iˆ 3jˆ 3kˆ
e)
27 2iˆ 3jˆ kˆ
A
14
B
4
Y
44. Hallar las coordenadas de la resultante de sistema. Si el vector B tiene un modulo
2
igual a 3 29 u.
X
Z
D) 4ˆi - 2jˆ - kˆ
B) ˆi + 2jˆ - kˆ
A) 2ˆi + 4jˆ - kˆ
5 A
Y
En el cubo de arista 2 se muestran 3 vectores
2
X
1
C) -2ˆi - 4jˆ + kˆ E) 2ˆi + 4jˆ + 2kˆ
B
3
A,ByC .
A) (-6;-3; 20) B) (6;-3;-20) C) (-3; 6; 20) D) (3; 20; 6) E) (3; 20;-6)
Z
ˆ a) 1,75 k ˆ d) 1,92 k
AB
Y
A .B
ˆ b) 0,68 k ˆ e) -1,92 k
B C
47. Dado los vectores A 2iˆ 3jˆ y B ˆi 2ˆj determine
Determine el vector F A B C .
A
ˆ c) -1,75 k
X
1 A × B , es: 48.En el grafico, el valor de 2
a) 2iˆ 2ˆj 6kˆ
b) 2iˆ 3jˆ 3kˆ
c) 2iˆ 3jˆ 3kˆ
d) 3iˆ 2ˆj 6kˆ
e) 6iˆ 4ˆj 6kˆ
11
Academia Pre-Universitaria
1.
Dos vectores que forman un ángulo recto tienen una resultante de modulo 10u. si ambos fueran colineales, el modulo de su resultante sería 14u. Encontrar el modulo del menor de dichos vectores. a) 6 b) 8 c) 4 d) 5 e) 10 Si el módulo de la suma de dos vectores de igual magnitud, es dos veces el módulo de su diferencia. Hallar la medida del ángulo comprendido entre dichos vectores. (a) 53o (b) 30o (c) 37o (d) 74o (e) 60o 3. En la figura, calcular el módulo de la resultante del sistema de vectores:
a) 10 b) 8 c) 14 d) 13 e) 9 7.
2.
B 16 u
a) 6 11
b) 5 13
d) 6 13
e) 5 10
c) 4 13
Hallar el coseno del ángulo que forman los vectores A 12i 5 j y B 3i 4 j
5.
16 25
b)
se
16 45
sabe
c)
16 55
que:
d)
16 65
e)
8 65
A (x 2)i (4 x)j
y
B 4i xj son vectores paralelos. Hallar el valor positivo de “x” a) 12 b) 10 c) 9 d) 8 e) 6
6.
Determinar el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrados. A 12 ;
E 2,5
B
A
E
90º
Si “M” es punto medio de AB y “O” es un punto en el espacio, hallar el valor de, OM en función de OA y OB . B
M
A O
A) OA OB
B)
1 OA OB 3
E)
OA OB
C)
1 OA OB 4
1.
60º
a)
C
4.
C
D) 1 OA OB 2
A 12 u
D
La magnitud de la resultante máxima y mínima de dos vectores es de 7u y 3u. La magnitud de los vectores es: a) 7u y 3u b) 4u y 2u c) 5u y 2u d) 8u y 2u e) 10u y 4u 2. Hallar el ángulo que forman entre sí dos vectores A y B, si se sabe que entre ellos y sus resultante R se establece la siguiente relación de módulos: A B R 2 4 2 7 a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 60° 3.
Dos fuerzas actúan sobre un objeto. La magnitud de su resultante es máxima cuando el ángulo entre las fuerzas es: a) 60° b) 90° c) 0° d) 180° e) 45° 4.
Halle el módulo de la suma de los vectores mostrados en la figura, donde: A=8m, B= 3m, y C=5m. a) 3m
12
Academia Pre-Universitaria b) 4m
c) 6m
A
C
E) x (4 A B)/2 2. Calcular el módulo de la resultante en el conjunto de vectores. A) 5
d) 8m
B
e) 9m
5
b) 10
120º
c) 2 d) 12 5.
Se tienen dos vectores no paralelos A y B de módulos 3 y 5 respectivamente. ¿Cuál de los siguientes valores podría ser la magnitud de la resultante? a) 8 b) 2 c) 9 d) 1 e) 4 6.
Calcular el ángulo que forma el vector resultante con la horizontal. (todos los vectores tienen igual modulo)
7
120º
e) 17
5
3. Hallar el módulo del vector resultante del conjunto de vectores mostrados.
5
a) 5 3 b) 5 5
4
23º
c) 5 7 d) 5 10 e) 10 3
a
4.
2 a) tg -1 5 3 d) tg -1 5 1.
5
3
-1 5 c) tg 2
1 b) tg -1 5 4 e) tg -1 5
R = (180 , 240) es la resultante de los
El vector
vectores
P y Q . Hallar Q y
a) 200
Hallar el vector x en función de los vectores A y B (M es punto medio del paralelogramo).
x
Q
b) 130
x
c) 400 5
d) 315 e) 520 5.
P
12
Determinar la magnitud del vector:
S 5 m 5 n P ; si: m 5; n 7
B A A) x A 2B C) x 2A B
M x B) 2A B D) x 4 A B
2 b) 18 2 c) 7 2 d) 12 2
n
a) 13
37º
m
P
13
Academia Pre-Universitaria
e) 15 6.
2 Hallar el módulo de la resultante:
a) 10
Y 51º 39º
30
b) 20 c) 30
10 3
x
X 9º 10 3
d) 40 e) 50 7.
10. En el paralelogramo mostrado en la figura halle x en función de M y N, si m y n son puntos medios m
n
.En el esquema se sabe que:
P A 4B Y Q 3B A
b) M N
a) M+N 3 d) N M
Se pide determinar el módulo de B .
c) M N
3 e) M N 2
3
2
P Q
11.
Hallar el vector V en función de M y N
53
37
a) 2
c) 8
b) 6
N
V
18
d) 5
R
e) 3
8. Hallar la suma de los vectores mostrados en la fig. a) b) c) d) e)
2D E 2E -E D
a) 1
1 M N 2 c) 1 1 M N 2
E D
M
N
b) 1
1 M N 2 d) 1 ) 1 2N M 2
9. Hallar la dirección del vector resultante del conjunto de vectores mostrados respecto del eje +X medido en sentido anti horario. Y a) 323° b) -37° 10u 10 c) 37° d) 53° 53º 45º e) -53° x 3u
16º
25u
14