• Author / Uploaded
• Jorge Florez Castrejon

Citation preview

MATEMÁTICA BASICA II lit

VECTORES Y MATRICES R. FIGUEROA G.

Ebitoricd AMERICA

LIMA - PERU

MATEMATICA BASICA 2

VECTORES Y MATRICES Primera Edición : Marzo 1985 Segunda Edición: Marzo 1988 Reimpresión de la Segunda Edición . Agosto 1990 Agosto 1992 Agosto 1993

Impreso por EDICIONES E IMPRESIONES GRAFICAS AMERICA S.R.L. Jr. Loreto Nro. 1696 Breña (Lima 5). Telefax 325827

Revisado por : RICARDO FIGUEROA GARCIA Egresado de la Universidad Nacional de lngenería Facultad de Mecánica

Todos los derechos reservados conforme al Decreto Ley Nro 19437 Queda prohibido la reproducción por cualquier medio. total o parcialmente, sin permiso escrito del autor.

TZT

PROLOGO

Dada la acogida que le dispensaron los estudiantes a las ediciones preliminares de esta obra, explica la aparición de esta nueva edición ampliada, en la que se han hecho las modificaciones necesarias con el propósito de hacer más asequible su lectura, pues la obra proporciona una excelente preparación para el estudio de cursos superiores como el Análisis Matemático y sobre todo, el Algebra Lineal. El estudiante que ha llegado a este curso ya tiene conocimiento del Algebra y la Geometría Elemental. En el primer capitulo se desarrolla la relación que existe entre estos dos grandes cam pos de la matemática; esto es, el estudio de la técnica de los vectores. Los sistemas de coordenadas que se utilizan, primero el bidimensional (plano) se extiende después al tridimensional (espacio), indicando claramente el camino para generalizar los conceptos a otras dimensiones, y luego finalizar, haciendo un breve estudio de los espacios vectoriales. En el segundo capítulo se hace referencia al estudio de las ma trices de acuerdo con su dimensión o tamaño y sus aplicaciones a la solución de ecuaciones lineales. En el tercer capítulo se expone la teoría de los determinantes, de particular importancia en la teoría de las matrices y sus numerosas aplicaciones. Con este libro se tiene la intensión de desarrollar la capacidad del estudiante y crear en él hábitos de rutina matemática; esto es, la exposición teórica es acompañada de numerosos ejemplos y ejercicios con sus respuestas adjuntas, los cuales, indudablemente, ayudarán al estudiante a adquirir destreza y afirmar el dominio de la materia. Por ello, recomiendo que los ejercicios propuestos se resuelvan sistemáticamente, toda vez que su solución obedece a un criterio de aprendizaje progresivo.

IV

P26togo

Mi reconocimiento a todos los amigos profesores que tuvieron la gentileza de hacerme llegar sus sugerencias y observaciones a las ediciones preliminares. Sus criticas constructivas hicieron posible corregir, mejorar y ampliar esta nueva edición. Ricardo Figueroa García

CONTENIDO

o 1.1 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.23 1.24 1 25

VECTORES

Introducción. 1.2 Coordenadas Cartesinas Vectores en el plano. Representación geométrica de un vector. Magnitud de un vector. Propiedades. Dirección de un vector en R2Vector Unitario. Adición de Vectores. Propiedades Representación gráfica de la adición de vectores Sustracción de vectores. Multiplicación de un escalar por un vector Representación gráfica. Propiedades. Vectores Paralelos. Producto escalar de vectores. Vectores ortogonales. Angulo formado por dos vectores. Descomposición de vectores. Proyección Ortogonal. Componentes Escalares. Area del paralelogramo y del tnangulo. Descomposición Lineal. 1.21 Independencia Lineal. 1.22 Criterio de Independencia Lineal. Regla de comparación de coeficientes. Aplicación de los vectores a la Geometria Elemental Aplicación de los vectores a la Física.

1 4 5 9 10 11 13 14 15 25 26 33 34 45 53 55 56 69 77 78 91 99

ECUACIONES VECTORIALES DE LA RECTA 1.26 1.27 1 28 1.29 1 30

Rectas en el piano. Segmentos de recta División de un segmento en una razón dada Puntos que están sobre una recta. Pendientes de una recta Rectas paralelas y ortogonales.

107 108 110 115 120

VI

Contenido

ECUACIONES CARTESIANAS DE LA RECTA 1.31 1.32 1.33 1.34 1.35

Forma Forma Forma Forma Forma

general de la ecuación de una recta. Punto-Pendiente. Pendiente y Ordenada en el origen. abscisa y ordenada en el origen. Simétrica.

128 130 131 132 132

RELACIONES ENTRE RECTAS 1.36 Distancia de un punto a una recta dada. 1.37 Intersección de rectas. 1.38 Angulo entre rectas. EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL 1.39 1.40 1.41 1.42 1.43 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49 1.50 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.60

135 141 149 159

VECTORES EN EL ESPACIO 160 Dirección de un vector en R3. 167 Vectores Paralelos y Perpendiculares 170 Proyección Ortogonal. Componentes. 177 Combinación Lineal. 1.44 Dependencia e Independencia Lineal. 181 3 Base y Coordenadas de un vector en R . 182 EL PRODUCTO VECTORIAL 187 Propiedades del producto vectorial. 189 Interpretación geométrica del producto vectorial. 192 PRODUCTO MIXTO DE VECTORES. Propiedades e interpretación geométrica. 201 RECTAS EN EL ESPACIO. 209 Posiciones relativas de rectas en el espacio. 212 Distancia de un punto a una recta. 217 Distancia entre dos rectas en el espacio. 219 PLANOS EN EL ESPACIO. 223 Ecuación vectorial del plano. 224 Distancia de un punto a uñplano. 229 Intersección de planos. 233 Angulo diedro entre dos planos. 1.59 Angulo entre una recta y un plano. 237 Proyección ortogonal de una recta sobre un plano. 238 1b

VII •

COnfrniiii

1.61 Intersección oe rectas y planos 1.62 Vectores de n dimensiones. 1.63 ESPACIOS VECTORIALES. 1 64 Subespacios vectoriales. 1.65 Independencia Lineal. 1.66 Bases y dimensiones de un espacio vectorial 1.67 Suma de subespacios.

241 251 253 258 264 269 276

81 MATRICES 2.1 Introducción. 2.2 Definición. 2.3 Orden de una matriz. 2.4 Tipos de Matrices. 2.5 Igualdad de Matrices. 2.6 Suma de Matrices. Propiedades. 2.7 Diferencia de Matrices. 2.8 Productc de un escalar por una matriz. Propiedades. 2.9 Multiplicación de Matrices. 2.10 Propiedades de la Multiplicación de Matrices

281 282 283 284 285 286 286 289 293

MATRICES CUADRADAS ESPECIALES 2.11 Matriz Simétrica. 2.12 Matriz Antisimétrica. 2.13 Matriz Identidad. 2.14 Matriz Diagonal. 2.15 Matriz Escalar. 2.16 Matriz Triangular Superior. 2.17 Matriz Triangular Inferior. 2 18 Matriz Periódica. 2.19 Matriz Transpuesta. 2.20 Matriz Hermitiana. 2.21 MATRIZ INVERSA 2.22 Inversa de una Matriz Triangular.

305 306 307 309

2.23 TRANSFORMACIONES ELEMENTALES.

327

Transformación elemental fila. Matriz Escalonada Matrices Equivalentes. Rango de una Matriz. Matrices Elementales. INVERSA DE UNA MATRIZ por el método de

310 314 316 317 319

VIII

Gauss-Jordan 2.24 Sistemas de Ecuaciones Lineales 2.25 Rango de un Sistema de Ecuaciones Lineales. 2.26 Sistemas Homogéneos de Ecuaciones Lineales

Contenido

343 351 359

[0] DETERMINANTES 3.1 Definición. 3.2 Propiedades. 3.3 Existencia de los Determinantes. 3.4 Menor de una componentes. 3.5 Cofactor de una componente. 3.6 Cálculo de determinantes de cualquier orden. 3 7 Otras aplicaciones y Propiedades de los determinantes. 3.7.1 Regla de Sarrus. 3.7.2 Cálculo de determinantes mediante reducción a la forma escalonada 3.7.3 Propiedades Multiplicativas. 3.7.4 Rango de una Matriz. ' 3.7.5 Adjunta de una Matriz. 3.7.6 Inversa de una Matriz. 3.7.7 Matrices no singulares. 3.7.8 Resolución de sistemas de ecuaciones de dos variables. 3.7.9 Resolución de sistemas de ecuaciones en tres variables. 3.7.10 REGLA DE CRAMER.

367 368 375 376 377 381 401 402 412 416 422 424 436 441 442 443

VECTORES 1.1 INTRODUCCION Hace muchos años los griegos desarrollaron la

geometría elemental. Crearon una manera siste mática de analizar las propiedades de los puntos, las rutas, los triángulos, las circunferencias y otras configuraciones. Todo su trabajo fué sintetizado en "Los elementos de Euclides" , que han constituido las bases de la geometría plana y del espacio hasta nustros días. En tiempos recientes, se han agregado otros conjuntos de axiomas y postulados, cuyo efecto han sido mejorar la estructura lógica, pero, en esencia, la materia ha permanecido idén tica. En 1637, el filósofo y matemático francés René Descartes re volucionó la matemática de su Ippse al crear la Geometría Analíti ca introduciendo las coordenadas rectangulares, llamadas también en su memoria, coordenadas cartesianas; logrando así algebrizar las ideas geométricas de sus antecesores. LAidee cle_este métndo consiste en traducir. mediante un sistema de coordenadas, los con ceptos y relaciones geométricos a conceptos y relaciones algebrai cris, y viceversa. En este capítulo estudiaremos el método anlíti-co para lo cual precisamos familiarizarnos con el concepto de vec tor, un instrumento de gran valor en la matemática moderna. 1.2 COORDENADAS RECTANGULARES

En estudios anteriores de matemáticas definimos el producto cartesiano AxB, de los conjuntos A y B, como el conjunto de todos los pares ordenados (x,y) en los cuales la pnimana componente x es elemento de A y la aegunda componenla y, es elemento de B. Por ejemplo, si A={2,3,5} y B={1,3), entonces: AxE =.{(2.1),(2.3),(3.1),(3,3),(5,1),(5,3)) Un conjunto de pares ordenados AxB se puede visualizar como una red de puntos, tal como se indica en la Figura 1.

2

V.Lefodie3

Como los pares ordenados de námeros reales scn elementos del prc ducto cartesiano RxR, a este conjunto se le denota por R2, es de cir:

R2 = RxR

1

1

3 -—r 2

1

1

'

--

— 1 ;

I

((x,y)/xeR , yeR)

1

—

e

o

1

2

3

4

5

x

Figura 1

Figura 2

Obsérvese, en la Figura 2, que cada par ordenado (a,b) en R2 se puede asociar en forma ónice con un punto P del plano mediante un sistema de coordenadas rectangulares, al que se llama también 4i4lema de coondenada4 eanle.tsiano.

El asociar a cada par ordenado (a,b) un punto Pse lleva a cabo como sigue: a) Por un punto que corresponde al número a sobre el eje horizontal (eje de abscisas) se traza una recta paralela al eje vertí cal. b) Por el punto que corresponde al número b sobre el eje vertical (eje de ordenadas) se traza una recta paralela al eje horizontal. c) Al punto de intersección P de estas rectas se le asocian las cooAdenada4 (a,b). P se llama "la gráfica de (a.b)" o simplemente "el punto (a.b)". En adelante. a los elementos de R2 los denotaremos con letras mayúsculas: A,B,C, etc. Por ejemplo: A=(aj,a2), B.(bl,b2). DEFINICION 1. Dados dos pares ordenados A=(a1,a2) y B=.(b3,b2) en R2, la suma de A y B, denotado por AtB. está definido por:

3

Vectone.6

A4E = (al,a2)+(bi.b2) = (a1+131 , a2+b2) Se puede observar que la adición de dos pares ordenados de números reales es otro par ordenado de números reales. Por ejemplo, si A=(2,-5) y B=(2,3), entonces: A+B = (2,-5)+(2,3) = (2+2,-5+3) = (4,-2) DEFINICION 2. Dado un número real r, llamado escalar y el par or denado A=(al,a2), se denomina producto del escalar r por A, al par ordenado: rA = r(al,a2) = (ra1.ra2) Obsérvese también que rA-R2. Por ejemplo, si r=-2 y A=(-1,3), entonces: rA = -2(-1,3) = [(-2)(-1),(-2)(3)] = (2,-6) PROPOSICION 1.1 Dados los pares ordenados A,B,CeR2 y los escalares r.seR, se cumplen las siguientes propiedades para la adición de pares ordenados y la multiplicación de escalares por pares ordenados: Al: Si A,BeR2 -► (A+B)eR2 2

A2: Si A,BeR

(Clausura)

A+B = B+A

(Conmutatividad)

2

AS: Si A,B,CeR -› (A+B)+C = A+(B+C) 2

2

As: 3!DeR /A+D = e+A = A, *AeR

(Asociatividad)

(Elemento identidad para la adición de pares)

P1: Si reR y AeR2 -► rAeR2 P2: r(A+B) = rA+rB , *reR *A,BeR2 Ps: (r+s)A = rA+sA , Jér,seR , *AeR2 P,,: (rs)A = r(sA) , 2ér,seR , *AeR2 Ps: 31eR/1A = A , *AeR2 As: *AER2, 3!-AcR2/A+(-A) = (-A)+A = 6 (Elemento inverso rara la adición de pares) Se recomienda al lector demostrar cada una de estas propiedades haciendo uso de las propiedades respectivas de los números reale:.

4

VCCLO4Q4

El conjunto R2 de pares ordenados de números reales, junto con las operaciones de suma y producto definidas anteriormente recibe el nombre de a4pacio vectoniai gidimen.Ilionai sobre el conjunto de los números reales R y se denota por V2. A los elementos de un es patio vectorial se les llama vectores; por tanto, podemos afirmar que el par ordenado (x,y) es un vector. 1.3 VECTORES EN EL PLANO

Un vector en el plano es un par ordenado de números reales (x,y), donde x recibe el nombre de primera componente (coordenada) e y se llama segunda componente. A los vectores en el plano se les denota por letras minúsculas o mayúsculas con una flecha en la parte superior. Por ejemplo:I,t,c,I,I, etc. Dado dos vectores en

V2: 11-

=(xl.Ya) y =(x2,y2), podemos definir

{x2 = x2

i) Si I = t

(Igualdad de vectores) ii)

fl

+ 6=

(Xl+X2

yi = Y2 yi+y2)

(Def. 1) (def. 2)

iii) ra = (rxi,ryi) jemplo

I.

Si I=(-2.3) y t=(4,-1). hallar el vector

Solución. v = 2(-2,3)

= (-4,6) = (-4+12 , = (8,3)

+ 3(4,-1) + (12,-3)

4 =21+3t.

- -

(Def. 2) 6-3)(Der. 1)

Ejenplo 2. Hallar el vector I en la ecuación: 2(-1,2)+31=(4,-5). Solución. Supongamos que: x = (x1,x2)

+ 2( - 1,2) + 3( x1.x2) = ( 4, - 5) + (-2,4) + (3xi,3x2) = (4,-5) + (-2+3xi 4+3x2) = (4.-5) Por la igualdad de vectores se tiene:

-2+3xl = 4 4 -* x1=2 4+3x2 = -5 4- * x2=-3

Por tanto, el vector buscado es: x = (2,-3)

(Def. 2) (Def. 1)

1 5

Vectone4

Ejemplo 3. Hallar todos los números reales r y s tales que: r(4,-6) +s(5,-2) = (7,6) (Def. 2) (Def. 1)

(4r,-6r) + (5s,-2s) = (7,6) (4r+52 -6r-2s)= (7,6) Por la igualdad de vectores: 4r+52 = 7 -6r-2s = 6 Resolviendo el sistema obtenemos: r=-2 , s=3 Soeuci6n.

1.4 REPRESENTACION GEOMETRICA DE UN VECTOR EN EL PLANO

Geométricamente un vector ;=(x,y) se representa en el piano mediante un segmento de recta dirigido o una flecha. La flecha se llama vaco slomillnico. Un vector ;ER2 puede interpretarse como una traslación descrita por un par ordenado de números reales (x,y), la primera componente indica un desplazamiento paralelo al eje X y la segunda un desplazamiento paralelo al eje Y. Considerando que una traslación tiene un punto inicial o da pa/11.i. da S del plano, y un punto /final o da llegada en 7, cada vector v=(x,y) tiene un número infinito de representaciones geométricas en el plano, todas ellas son paralelas, de igual longitud e igual

r 1 -r -,

e

,

7 - —r — e o•

- S- - -11 T.,...p1

——1——

e

-

- -I1s' -I III

I_ 't. _ I

_____ _ I__ __ _ _ _i_ _ '

1

-r---I- - - - -

1 1

1

I

I

1

SI ie I

e

1

I

1

Ie

o e

I

.

r 1

..2_

I_

T

e '

_ 1_

i.

' 1" I

I - -

-

1

—

o

i 1

l

I _kir

e

I

1

s

_ _et _

1

I1 1.1

e

) 3 a r u g i F ( . o d t n e s

1

:

li.,e

I

1

— i 1 e

Figura 3 La flecha asociada 'al par (x,y) que tiene un punto inicial en el origen se denomina napna~taci6n ondinania de (x,y) y se dice que la flecha o vector tiene posición ordinaria o estandard.

D E F I N I C I O N 3 . V E C T O R L OC A L I Z A D O

Un vector localizado en P-2 es una carea de puntos P1 y P2 que se indican con P1P2 para los cuales F1 es el punto de partida o inicial y P2 es el punto de llegada c final (Figura 4). Si una flecha tiene como punto inicial a Pl(ri.yi) y a P2(x2,y2) como punto final, entonces la flecha P1F2 es una representación geométrica del vector ;=(x.y). donde: (x,y) = (x2-x1

Yz-Y1)

(1)

Si consideramos a los puntos Pi y F2como radio vectores entonces, según la definición 3: 4 • v = rir2 = Fz-ra (2)

P, = PI +

Esta ecuación nos permite conocer analíticamente el punto final 4 P2 del vector v conociendo, desde luego, el punto inicial y las componentes del vecor v. DEFI NI CION 4. VECTOR DE POSI CI ON

Todo vector que tiene posición ordinaria, es decir. al vector que tiene su punto inicial en el origen se llama vecton de poeican o nadío veelon. Observaciones: 1. El vector localizado P1P2 es equivalente al vector de posición -142-P/. La ley del parlelogramo hace evidente esta equi valencia. (Figura 5) 2. La notación P(x.y) identifica un punto en el plano y sus coor denadas (x,y) identifican a un vector o a su representación Y P2

17-

3 .000.00.0.01,1

-

Ya Y'

v

1

e

O

1

X 2

—

X 1

geométrica. Figura

- 3

1

x Figura 5

4

Vcíone4 Ejemplo 1. Hallar el vector de posición de P1P2 si P1(5,-2) y P2(2.3). Interpretar geométricamente el resultado. Solución. Según la definición 3:

Y

; = P1P2 = 2-1 = (2,3)-(5,-2) = (2-5,3+2) = (-3,5) Ejemplo 2.

Un vector que va de R(3,5) a S(x,y) representa al mis mo vector que va de S(x,y) a T(8,1).Hallar S(x,y). = (x,y)-(3,5) = (x-3,y-5)

Solución. Sean: a = RS = = ST = tSi -1=t 4

(8,1)-(x,y) = (8-x,1-y)

=

x- 3=8-x

(x-3,Y-5)=(8-x,1-Y)

y-5=1-y 4

x=11/2 y=3

Por tanto, el punto buscado es: S(11/2,3) Ejemplo 3.

En la figura adjunta se tiene:

OP=x3 y 0Q=x2y. Si 1.4, siendo t=(y +19,6+xy2). Hallar el valor de x+y. 4 Solución. Las componentes del vector a 4 3 2 son OP y751 4- a=(x ,x y) 3

Luego, si a=b

4. I

a

(1)

{x3 2

2 3

x y = 6+xy

= y3+19

2

2

x y-xy =6 4

(2)

x3-y3=19

Multiplicando por 3 la ecuación (2) y restando de (1) se tiene: 3 (3) x3_3x2y1.3xy2_y3=1 4- (x-y) =1 , de donde: x=y+1 Sustituyendo (3) en (1) obtenemos: y 1.y..6=0 y=-3 y=2 Descartamos la segunda alternativa ya que en la figura dada, OP es negativo. Luego, en (3): x=-3+1=-2 2

1

Vectone.3

EJERCICIOS 1. Dados: I=(3,-4), t=(8,-1) y =(-2,5), hallar el vector v si: Rp. ;=(-9,-5) a) "V)' = 31 - 2b + b) ; c)

7

= v

)

"

4 1 =

+

R p .

2(1-t)

+

" V 31

1

= ( 1 7 , - 1 9 )

Rp.

v=(-16,9)

2. Hallar el vector x en las siguientes ecuaciones: a) 3(0,-2)+2;-:-5(1,3) = (-3.-5)

Rp. -3t=(1,-8)

b) (15,-12)+2 (-6,5)4 = 4(1,-2)

Rp. it=(2,-2)

3. En las siguientes relaciones hallar, si existen, todos los números reales r y s. a) b) c)

r(-2,3)-s(8,1) = (16,15) Rp. r=4, s=-3 r(5,1)+s(-3,5) = (-2,8) Rp. r=1/2, s=3/2 r(-2,3)+s(4.-6) = (0,2) Rp. 1r,s

4. Dados los vectores 1=(3x-5,x-2y+2) y t=(x-y-2,3-2y), hallar x e y Ce modo que: 31=4t Rp. x=5, y=-9/2 5. Si 1=(2m-3n,4n-m) y t=(2,-3), hallar los valores de m y n que hacen que: l=5t. Rp. m=-1, n=-4 6. Ll vector -,5-=(3,2) es el vector de posición del segmento AB, cuyo punto medic es C(3,1). Hallar las coordenadas de los extremos del segmento AB. Rp. A(3/2,0), B(9/2,2) 7. Sean los puntos P(5/2,5), Q(1/3,13/4), R(-16/5,7/2) y S(x,y) Si PQ y RS representan al mismo vector, calcular el lalor de 30x+80y Rp. -21 8. Sea v=(7,-6) el vector de posición del segmento AB y C(í,3) el punto de trisección más cercano de B. de dicho segmento. Hallar las coordenadas de A y B. Rp. A(-3,7), B(4,1) 9. Sean A(a,-2), B(2.4),. C(8,-3) y D= (x,y)/y=2x+1 . Si 71=Eb, hallar el valor de a-x. Rp. 8 10. 11. la figura adjunta se tiene: 1.7ii>=x3 y 51T2=6-x Hallar I. si t=(9xy-y3,y) y 14.

Vec.fone4

1.5 MAGNITUD DE UN VECTOR

Para cada vector veR2, v=(x,y), existe un escalar o número llamado nonma, m6dutp o magn¿lud de v, denotado 11,-!.,I1 por que:

IIVII = A77;7 La fórmula (3) es coincidente con la noción intuitiva de longitud de un segmento derivada del Teorema de Fitágoras. La Figura 6 ilustra esta pro piedad. Figura 6 Ejemplo 1. Hallar la magnitud del vector de extremos A(1,3) Y B(-2,7). So&can. Si v es el vector que va de A a B, entcnces: =

AB = P-1 = Luego, según (3):

IIVII

(-2+1,7-3)

= (-3.4)

= 4-3)2+(4)2 = 5

PROPIEDADES DE LA NORMA DE UN VECTOR EN R2. N 1 : 4 I E R 2 , IIIII>0 + N 2 : II111=0 4-4- a = e N 3 : ilreR ,4.1-1c112, Ilrall =

11111111 4,teR2, Ilá+til 1.11 111 + !MI

(Desigualdad triang.)

Demostración de N1: En efecto, si 1=(x,y) + IIII1 = 14747 Si xí0 e y10 + 11111 í O. Sabemos que si existe la raiz cuadrada de un número, esta 0 es positiva, por lo tanto, 11111> . Demostración de N2: (4") Si a=6 +

1=(0,0) +

IIáII = /02+7 = O

1 (4-) Si 11111=0 +. IIáII = ./7 17 = O . La igualdad es váli si x=y=0, esto es, 1=(0,0)=6. 11-111=0++ 1=6

Vectcne.z

10

Demostración de 113: En` efecto. si :=(x,y) ril=(rx.ry) y ira!' = /(rx)2+(ry)2 = J7.717175. = Por consiguiente:

/1.2 "77772

=

1.6 DIRECCION DE UN VECTOR EN R2.

Y

A cada vector no nulo. -1=-(x,y)eR2, le corresponde una direc cija dada por le medida del ángulo a (ángulo de dirección de 1). que forma el vector con el semieje positivo de les X. para Sena el cual: 11-Z11 /x2+y2 C o s a - 2, 17.7

(4) \ \: 4

x = x 1 1 ; 1 1 y O° m(a) 36C°. De las ecuaciones (4) se sigue que: = (x,y) = 11111(Cosa,Sena) Por tanto, un vector queda determinadc rección.

y

x (5) por su magnitud y su dise obtiene de la ma

Observación. La dirección m(a) del vectcr uso de una tabla vera siguiente: Mediante un ángulo de referencia al y haciendo de valores se halla el valor de al con C°0 Tul). = ¡ti . xe a(a) Y