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• Angel Ordaz

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Universidad Politécnica del Estado de Morelos

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS Proyecto Final

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

3 DE ABRIL DE 2017 2° A IIN

2A

Variables Aleatorias Discretas y Continuas

IIN

Integrantes de Equipo Índice Tabla de contenido Integrantes de Equipo .................................................................................................................................................0 Índice ..........................................................................................................................................................................1 Resumen de Obra .......................................................................................................................................................2 I. Distribución Binomial ...............................................................................................................................................3 I. I. Marco Teórico...................................................................................................................................................3 I. II. Problemario .....................................................................................................................................................4 II. Distribución Hipergeométrica .............................................................................................................................. 13 II. I. Marco Teórico............................................................................................................................................... 13 II. II. Diferencia entre distribución Binominal y Hipergeométrica ........................................................................ 13 II. III. Problemario ................................................................................................................................................ 14 III. Distribución de Poisson ....................................................................................................................................... 19 III. I. Marco Teórico.............................................................................................................................................. 19 III. II. Diferencias entre la distribución de Poisson y la distribución binomial ...................................................... 19 III. III. ¿Qué es la tasa de ocurrencia? .................................................................................................................. 20 III. IV. Problemario ............................................................................................................................................... 20 IV. Distribución Normal ............................................................................................................................................ 25 IV. I. Marco teórico .............................................................................................................................................. 25 IV. Il. Problemario ................................................................................................................................................ 26 V. Compilación de Problemas de Distribución ......................................................................................................... 32 IV. Infografía............................................................................................................................................................. 48

1 Probabilidad y Estadística

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Resumen de Obra En la presente obra se presentan un compilado de problemas de variables aleatorias y discretas, los cuales, se encuentran resueltos mediante el software operativo de probabilidad y estadística Minitab, esto, mediante la representación de los problemas propuestos mediante gráficos de distribución explicados y desglosados para comprensión del lector. Con esto, se espera el fomento de las tecnologías informáticas y de comunicación en la formación de los aspirantes a ingenieros industriales, todos esto como parte de un proyecto final focalizado en una de las ramas de las matemáticas más importantes y apasionantes la probabilidad y estadística. Finalmente, se espera despertar el interés del lector por la maravillosa rama de la matemática mencionada, como ya se mencionó, fusionadas con las nuevas tecnologías de información y comunicación. Sin más por el momento, se espera que el lector disfrute de la presente obra.

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I. Distribución Binomial I. I. Marco Teórico Utilice la distribución binomial para describir un proceso donde los resultados se pueden etiquetar como un evento o un no evento y cuando esté interesado en la ocurrencia de un evento y no en su magnitud. Por ejemplo, un elemento pasa o no pasa una inspección o un partido político gana o pierde. La distribución binomial se usa frecuentemente en control de calidad, sondeos de opinión pública, investigaciones médicas y seguros. Por ejemplo, utilice la distribución binomial para calcular la probabilidad de que 3 o más elementos defectuosos se encuentren en una muestra de 25 elementos si la probabilidad de un elemento defectuoso es 0.02. El número de elementos defectuosos (X) sigue una distribución binomial con n = 25 y p = 0.02. Una distribución binomial es una distribución discreta que modela el número de eventos en un número fijo de ensayos. Cada ensayo tiene dos resultados posibles, y evento es el resultado de interés en un ensayo. El número de eventos (X) en n ensayos sigue una distribución binomial si se cumplen las siguientes condiciones: • • • •

El número de ensayos es fijo. Cada ensayo es independiente. Cada ensayo tiene uno de dos resultados: evento o no evento. La probabilidad de un evento es igual para cada ensayo.

Una de las propiedades de la distribución binomial es que cuando n es grande y p está cerca de 0.5, la distribución binomial puede ser aproximada por la distribución normal estándar. Dicha distribución se representa mediante la fórmula:

𝑛 𝑃(𝑥 = 𝑘) = [ ] 𝑝𝑘 𝑞 𝑛−𝑘 𝑘

Donde: K es el evento deseado. n es el tamaño de muestra. P la probabilidad de éxito.

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q la probabilidad de fracaso.

I. II. Problemario 1. Un fabricante de una unidad de disco de una conocida marca de computadoras espera que 2 % de las unidades funcionen mal durante el periodo de garantía. En una muestra de 10 unidades de disco, ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una funcione mal durante el periodo de prueba?

Gráfica de distribución Binomial, n=10, p=0.02

0.9 0.8

Probabilidad

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3

0.1667

0.2 0.1 0.0

0

1

X

2

El problema nos habla de una compañía de discos cuyo 2 % de unidades funciona de manera errónea, por lo que, nos pide calcular la probabilidad de que, en una muestra de 10 al azar, obtengamos exactamente una muestra errónea. Primeramente, tenemos que determinar del tipo de distribución de la que se trata la problemática, esto, se determina mediante los datos que ya hemos mencionado. Habiendo como lo dice el problema una posibilidad del 2 % que sea funcional, que en este caso vamos a señalar como nuestro éxito, ya que, es lo que buscamos que pase. El hecho de que tangamos un 2 % de posibilidades de éxito implica que tendremos un 98 % de probabilidades de fracasar en el evento buscado; considerando que la muestra es de 10 elementos, sabemos que podemos hablar de una distribución binominal.

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Para encontrar la probabilidad podemos emplear la fórmula o bien, en este caso hemos de emplear el software MInitab para crear una gráfica de barras para encontrar la probabilidad del evento. Donde se ha dicho que N es igual a 10, p a 0. 02 (éxito) y q a 0. 98 (fracaso). La gráfica superior es producto de estos datos, en donde, el eje de las x nos muestra el número de veces que puede suceder el evento buscado, y en el eje de las y nos muestra la probabilidad de que sucedan esos eventos en consideración de la posibilidad de éxito. Finalmente observamos que la posibilidad de éxito con el uso de la gráfica corresponde a un 0. 1667, o bien, 16. 67 %. 2. Se sabe que el 10 % de las pantallas LED de cierta marca fallarán antes de que expire su garantía. Calcular la probabilidad de que 30 pantallas, 5 o más fallen antes de que termine su garantía.

Gráfica de distribución Binomial, n=30, p=0.1

0.25

0.102 305

0.15

0.047 4 0.018 0 0.005 8 0.001 6

0.10

0.042 4

Probabilidad

0.20

0.05

0.1755

0.00

0

X

5

Mediante el análisis de los datos del problema dado, sabemos que hay una muestra aleatoria de 30 pantallas LED de una marca, de las cuales, tenemos una posibilidad del 10 % de que algunas de ellas fallen, solicitándose la probabilidad de que, de la muestra de 30, 5 o más de las mismas fallen. Tomando en cuenta esto, sabemos que se trata de una distribución binominal. Ya que, tenemos una probabilidad de éxito y de fracaso. Donde, con respecto a lo solicitado sabemos que nuestro éxito es que falle 5 o más pantallas LED de nuestra muestra; correspondiendo al 10 %, mientras que nuestro fracaso corresponde al 90 %, que es el que las pantallas estén funcionando correctamente. Para obtener la probabilidad del evento solicitado, tendremos que calcular la posibilidad mediante el uso de la distribución binominal para la posibilidad de que salgan 5, 6, 7, 8, … y 30 pantallas LED defectuosas, y finalmente, se sumarán esas posibilidades para determinar la posibilidad de obtener 5 o más pantallas LED que no funcionen correctamente. En este caso, el software empleado, se encarga de la obtención de la misma de manera automática. Como se observa en el gráfico, las barras marcadas en rojo corresponden a la posibilidad de éxito, en donde, se obtienen 5 o más pantallas LED defectuosas. Pero, este es un caso especial, ya que, el 0 forma parte de nuestra

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posibilidad de obtener 5 o más pantallas defectuosas siendo nuestro complemento para la sumatoria previa, por lo que, para obtener la posibilidad de obtener 5 o más pantallas LED defectuosas tenemos que sumar los valores de las barras rojas más la posibilidad de que no salga ninguna de ellas. Ya que, nuestro software no está considerando que el éxito y el fracaso cambien en el valor 0. Finalmente, la probabilidad de obtener 5 o más pantallas LED defectuosas corresponde al 0. 2175 o 21. 75 %. 3. Minuciosos estudios han permitido establecer que el 20 % de tornillos fabricados por una cierta máquina son defectuosos. Si se elige al azar 7 tornillos fabricados por ella, hállese la probabilidad de que: a) Ninguno sea defectuoso.

Gráfica de distribución Binomial, n=7, p=0.8

0.4

Probabilidad

0.3

0.2

0.1

0.0

0.0000128 0

X

7

Nuestro problema nos indica que se tomará una muestra de 7 tornillos de una máquina, de la cual, se sabe que el 20 % de los tornillos fabricados está en malas condiciones o es disfuncional. Siendo estos datos correspondientes a una distribución binominal. Ahora bien, el software empleado con los datos que tenemos crea la gráfica superior, en donde, para entontar la posibilidad de que no haya ningún tornillo defectuoso, debemos de tomar como posibilidad de éxito 80 %, mientras, que la posibilidad de fracaso como un 20 %; esto, se explica por qué lo esperado es que sean funcionales, por lo que solo en este caso y solo para este caso, no se tomará como éxito el que los tornillos salgan defectuosos por lo solicitado. Siendo la posibilidad de que no salga ningún defectuoso, como lo muestra la gráfica generada por nuestro programa, del 0. 00001 o bien del 0 %.

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b) Por lo menos 3 sean defectusos.

Gráfica de distribución Binomial, n=7, p=0.2

0.0

0

X

0. 0003

0.1480

0. 0043

0.1

0. 0287

0.2

0. 1147

Probabilidad

0.3

0. 2097

0.4

3

En este caso tenemos los mismos datos, pero ahora, se nos solicita la posibilidad de que de la muestra al azar de los 7 tornillos obtengamos al menos 3 defectuosos, lo que, nos dice que pueden haber 4, 5, 6 o 7 defectuosos en nuestra muestra. Si observamos la gráfica generada por nuestro programa, es muy diferente a la anterior que se mostró en el inciso a; esto, es debido a que, en el inciso anterior, nuestro éxito es que todos los tornillos fueren funcionales, es decir, un 80 % de éxito. Mientras que, en el presente inciso, nuestro éxito cambia a que sean defectuosos, es decir, nuestro éxito ahora es del 20 %. Pero esto, no lo toma en consideración nuestro software como ya se había mencionado. Atendiendo a esto, el software nos dará la sumatoria de que salgan al menos 3 tornillos defectuosos, pero, sin consideran que las posibilidades en el 0 cambian, como lo ´podemos observar en la gráfica superior. Para solucionar esta problemática, tenemos que sumar la sumatoria de las barras rojas que es de 0. 1480 como queda explícito en la gráfica, más la posibilidad que arroja en el 0 como complemento, ya que, sabemos que la posibilidad se invierte en el 0, como en el inciso anterior correspondiendo a una posibilidad casi de 0 %. Con esto se sabe que, nuestra posibilidad de obtener 3 o más tornillos defectuosos corresponde al 0. 3577 o 35. 77 %.

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c) Haya entre 3 y 5 defectuosos.

Gráfica de distribución Binomial, n=7, p=0.2

0.4

0.1477 0.0

0

X

3

0. 0043

0.1

0. 0287

0.2

0. 1147

Probabilidad

0.3

5

En el siguiente paso, se nos solicita encontrar la posibilidad de que en la muestra de 7 tornillos haya entre 3 y 5 tornillos defectuosos. Para ello tenemos que considerar como nuestro éxito que se encuentren tornillos defectuosos, siendo una posibilidad del 20 % de éxito, por ende, una posibilidad del 80 % de fracaso. Como se muestra en la gráfica de distribución binominal en la parte superior, se tiene que sumar las probabilidades de los eventos de obtener 3, 4 y 5 tornillos defectuosos respectivamente. Siendo nuestra posibilidad de obtener entre 3 y 5 tornillos defectuosos del 0. 1477 o 14. 77 % como se muestra en nuestra gráfica de distribución.

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4. Suponga que, para un embarque muy grande de chips de circuitos integrados, la probabilidad de falla de cualquier chip es de 0. 10. Suponga que se cumplen las suposiciones en que se basan las distribuciones binomiales y encuentre la probabilidad de que a lo más 3 chips fallen en una muestra al azar de 20.

Gráfica de distribución Binomial, n=20, p=0.1

0.30

0. 2702

0.20

0. 1901

Probabilidad

0.25

0. 2852

0.7455

0.15

0.10

0.05

0.00

0

1

3

X

7

El problema nos habla de que, para un embarque de chips de circuitos integrados, se sabe que el 10 % de los mismos fallarán, por lo que se toma una muestra al azar de 20 de ellos, pidiéndose encontrar la posibilidad de obtener a lo más 3 defectuosos en la muestra. Atendiendo los datos dados por el problema sabemos que se trata de una distribución binominal. Para encontrar la posibilidad mediante el uso de nuestro software, debemos de ingresar los datos considerando 10 % como la posibilidad de éxito de nuestro evento solicitado, ya que, el éxito en este caso es encontrar chips defectuosos. El software creó la gráfica de distribución mostrada en la parte superior, donde, se señala en rojo las posibilidades de los eventos sumados para obtener la posibilidad de obtener a lo más 3 defectuosos. Como se observa, el 0 no se toma en consideración, ya que, como lo hemos visto, la posibilidad se invierte en ese evento, cosa que no considera nuestro software. Dado que la posibilidad se invierte en ese evento, se sabe que la posibilidad

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de ese evento es caso 0 %, por lo que, se desprecia. Finalmente, la sumatoria de posibilidades de eventos de nuestra gráfica, nos indica que la posibilidad de obtener a lo más 3 defectuosos corresponde al 0. 7455 o 74. 55 %.

5. Un fabricante de llantas reporta que entre un cargamento de 5000 que se manda a un distribuidor local, 1000 están ligeramente manchadas. Si se compran al azar 10 de estas llantas al distribuidor, ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 estén manchadas?

Gráfica de distribución Binomial, n=10, p=0.2

0.30

Probabilidad

0.25

0.2013

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00

0

3

X

6

Considerando los datos dados por el problema podría resultar difícil determinar el tipo de distribución del que se trata, pero no es así, ya que, es más simple de lo que parece. Se nos habla de una fábrica de llantas en donde, 5000 de ellas en un cargamento, 1000 de ellas se encuentran ligeramente manchadas, y se nos pide calcular la posibilidad de que en una muestra de 10 de ellas 3 se encuentren manchadas. Se trata de una distribución binominal, pero para ello, debemos de calcular la posibilidad de obtener una manchada o una limpia, siendo el coeficiente de las llantas manchadas entre el total de llantas del cargamento, correspondiendo al 20 %. Ahora que sabemos la posibilidad de obtener una manchada o en este caso, la posibilidad de éxito; podemos calcular la posibilidad de obtener exactamente 3 en una muestra de 10 llantas. Para ello, ingresamos los datos al software, donde N es a 10 elementos, p es a 20 % y q es a 80 %. La gráfica de distribución binominal nos mostrará en rojo la posibilidad del evento en el cual hay exactamente 3 defectuosas, siendo la posibilidad de que haya exactamente 3 defectuosas del 20. 13 %.

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6. Un lote de 5000 fusibles contiene 5 % de piezas defectuosas. Si se prueba una muestra de 5 fusibles, encuentra la probabilidad de hallar al menos hallar uno defectuoso.

Gráfica de distribución Binomial, n=5, p=0.05

0.8 0.7

0.3 0.2 0.1 0.0

0.2262 0

0. 0012

0.4

0. 0214

0.5

0. 2036

Probabilidad

0.6

1

X

Se sabe que, en un lote de fusibles, se tiene una posibilidad del 5 % de que alguno de los mismos falle. Por lo que nos solicita encontrar la posibilidad de que, en una muestra de 5 de ellos, al menos uno sea defectuoso. Se sabe que hablamos de una distribución binominal por la naturaleza de los datos. Por lo que para encontrar la posibilidad buscada ingresamos como número de muestra a nuestro software de 5, mientras que la posibilidad de éxito corresponde a que no funcione siendo del 5 %. Como se observa en la gráfica superior las barras rojas nos indican la posibilidad buscada, siendo una simple sumatoria de posibilidades de distribución binominal. En este caso la posibilidad de que no se halle ningún defectuoso coincide con la probabilidad del mismo evento al invertir las posibilidades como en los otros casos, por lo que, la gráfica generada por el software es correcta. Siendo la posibilidad de que se obtenga al menos 1 defectuoso del 0. 2262 o 22. 62 %.

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7. Un examen de opción múltiple tiene 15 preguntas, cada una con 5 posibles respuestas, solo una de las cuales es correcta. Si uno de los estudiantes que hace el examen contesta cada una con adivinación independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente 10 preguntas?

Gráfica de distribución Binomial, n=15, p=0.2

0.25

Probabilidad

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00

0

X

8

La problemática radica en encontrar la posibilidad de obtener 10 respuestas correctas en un examen que se contesta al azar de 15 preguntas de opción múltiple, en donde, solo uno de los incisos es el correcto. Se sabe que se habla de una distribución binominal porque podemos obtener la posibilidad de éxito de los 75 incisos en total, así como la de fracaso, esto, del cociente de incisos correctos entre los incisos erróneos. Entonces se sabe que, la probabilidad de contestar una respuesta correcta en cada pregunta es del 20 %. Siendo 20 % nuestra posibilidad de éxito ya que, se busca obtener exactamente 10 respuestas correctas. Por lo que, para la construcción de la gráfica en nuestro software se toma como tamaño de muestra 10, y nuestra posibilidad de éxito como el 20 %. La gráfica superior nos muestra en roja la posibilidad del evento buscado, en este caso al ser la posibilidad tan baja nuestro software la toma como nula por lo que la posibilidad de obtener 10 respuestas correctas exactamente corresponde a un valor muy cercano al 0 %.

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II. Distribución Hipergeométrica II. I. Marco Teórico La distribución hipergeométrica es una distribución discreta que modela el número de eventos en una muestra de tamaño fijo cuando usted conoce el número total de elementos en la población de la cual proviene la muestra. Cada elemento de la muestra tiene dos resultados posibles (o es un evento o un no evento). Las muestras no tienen reemplazo, por lo que cada elemento de la muestra es diferente. Cuando se elige un elemento de la población, no se puede volver a elegir. Por lo tanto, la probabilidad de que un elemento en particular sea seleccionado aumenta con cada ensayo, suponiendo que aún no ha sido seleccionado. Utilice la distribución hipergeométrica para muestras obtenidas de poblaciones relativamente pequeñas, sin reemplazo. Por ejemplo, esta distribución se utiliza en la prueba exacta de Fisher para probar la diferencia entre dos proporciones y en muestreos de aceptación por atributos cuando se toman muestras de un lote aislado de tamaño finito. La distribución hipergeométrica es descrita por 3 parámetros: tamaño de la población, conteo de eventos en la población y tamaño de la muestra Por ejemplo, usted recibe un envío de pedido especial de 500 etiquetas. Supongamos que el 2% de las etiquetas tiene defectos. El conteo de eventos en la población es de 10 (.02 * 500). Usted toma una muestra de 40 etiquetas y desea determinar la probabilidad de que haya 3 o más etiquetas defectuosas en esa muestra. La distribución geométrica se representa mediante la fórmula: 𝑐 𝑁−𝑐 ) [ ]( 𝑥 𝑛−𝑥 𝑃(𝑥 = 𝑥) = 𝑁 [ ] 𝑛 Donde: N es el tamaño de la población. n el tamaño de muestra c el número de elementos con las características deseadas en la población. X el número de elementos en la muestra que se desean.

II. II. Diferencia entre distribución Binominal y Hipergeométrica Tanto la distribución hipergeométrica como la distribución binomial describen el número de veces que un evento ocurre en un número fijo de ensayos. En una distribución binomial, los ensayos son independientes. Para la distribución hipergeométrica, cada ensayo cambia la probabilidad de cada ensayo subsiguiente, porque no hay reemplazo.

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II. III. Problemario 1. Cinco fabricantes producen multímetros digitales cuya calidad varia de un fabricante a otro. Si eliges 3 fabricantes al azar, hallar la probabilidad que la selección contenga 2 de las 3 mejores.

Gráfica de distribución

Hipergeométrico, N=5, M=3, n=3 0.6

0.6

Probabilidad

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

1

2

X

3

En la problemática plantada se nos solicita encontrar la posibilidad de que en un muestreo de 3 multímetros de compañías diferentes de una población de 5 distintas compañías se obtengan al menos 2 multímetros de las mejores compañías. Para ello, debemos de determinar la distribución de la que se trata. En este caso, tenemos una población general de 5, una muestra de 3 multímetros de esa muestra, 3 compañías que cumplen con las características buscadas y se solicita obtener la posibilidad de que en la muestra de la población haya exactamente 2 compañías con las características deseadas. Por lo que, sabemos que se trata de una distribución hipergeométrica. Para obtener dicha posibilidad tendremos que aplicar la fórmula requerida para una distribución hipergeométrica. En este, caso usaremos el software de probabilidad y estadística Minitab, por lo que, se tiene que ingresar como muestra total a 5 que es el número de compañías totales, 3 como tamaño de muestra, 3 como el número de elementos con las características deseadas en la población y 2 como el número de elementos deseados con esas características. Con ello obtendremos la gráfica que se encuentra en la parte superior, siendo el eje de las x los distintos eventos posibles, mientras que, el eje de las ordenadas nos muestra las posibilidades de dichos eventos.

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La barra roja de la gráfica de distribución nos muestra la posibilidad del evento buscado, el cual, es que se obtengan 2 compañías de las 3 mejores, siendo una probabilidad correspondiente al 0. 60 o 60 %.

2. En una fábrica donde se ensamblan computadores, hay un lote que cuenta con 20 chips los cuales 6 son defectuosos. Primero llega un obrero y recoge 8 chips; más tarde llega un ingeniero y lleva los restantes. Halle la probabilidad de que solamente uno de ellos se haya llevado todos los chips defectuosos.

Gráfica de distribución

Gráfica de distribución

Hipergeométrico, N=20, M=6, n=12

0.4

0.4

0.3

0.3

Probabilidad

Probabilidad

Hipergeométrico, N=20, M=6, n=8

0.2

0.2

0.1

0.1

0.0

0.0

0.02384 0

X

5

1

X

6

De

acuerdo con los datos que nos proporciona el problema sabemos que se trata de una distribución hipergeométrica, ya que nos otorga datos como el tamaño de población, muestreo de población, elementos con características deseadas y evento esperado, que es que cualquiera de los individuos de lleve todos los chips defectuosos. Para ello, tenemos que hacer dos gráficos con nuestro programa cada uno atendiendo a las circunstancias del problema. La primera de las gráficas (superior derecha) muestra la posibilidad de que el obrero se haya llevado todos los chips defectuosos, en el que la población es de 10, la muestra es de 8, los elementos con características deseadas son de 0 y se desea que se lleve todos los chips defectuosos, siendo la probabilidad como se muestra en la gráfica nula o 0 %. En el otro caso, se muestra la posibilidad de que el ingeniero se lleve todos los defectuosos en los chips restantes. Para determinar esta posibilidad, tenemos que considerar como si la población total aún fuera 20, ya que, de forma contraria no se podría calcular, mientras que, el muestreo será de 12, los elementos con las características deseadas seguirán siendo de 6 y los elementos defectuosos que se desean de 6. Como se muestra en la segunda gráfica (superior izquierda) la posibilidad de que el ingeniero se lleve todos los defectuosos en los restantes se muestra en la brra del color rojo, que es del 0. 0238 o 2. 38 %.

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3. Un almacén contiene 10 máquinas impresoras, 4 de las cuales son defectuosas. Una compañía selecciona 5 de las máquinas al azar pensando que todas están en buenas condiciones. ¿Cuál es la probabilidad de que las 5 no sean defectuosas?

Gráfica de distribución

Hipergeométrico, N=10, M=6, n=5 0.5

Probabilidad

0.4

0.3

0.2

0.1

0.02381 0.0

1

X

5

El problema nos presenta datos inherentes a la distribución hipergeométrica, ya que, nos presenta una población definida que es el número de máquinas impresoras en el almacén, así como el número de elementos con las características deseadas en la población que son las máquinas impresoras funcionales de la población y el evento esperado, el cual, es que las cinco máquinas tomadas de la muestra sean funcionales. Para ello, debemos de ingresar como población de 10, muestro de 5, elementos con las características deseadas de 6 y evento esperado como que se obtengan 5 elementos funcionales en el programa utilizado. Con lo que obtendremos la gráfica que se muestra al inicio de la presente hoja, en la cual, se puede observar señalado en color rojo la probabilidad de que suceda el evento tratado, que es el de obtener todas las máquinas funcionales en el muestreo tomado. Siendo la posibilidad correspondiente al 0. 0238 o 2. 38 %.

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4. Unas fotocopiadoras usadas son enviadas al proveedor, limpiadas y luego devueltas según un convenio de renta. No se hacen reparaciones importantes y en consecuencia algunos clientes reciben máquinas que no funcionan bien. Entre 8 copiadores disponibles hoy, tres de ellas están funcionando mal. Un cliente desea rentar 4 máquinas de inmediato. Para satisfacer la fecha límite fijada por el cliente, 4 de las 8 máquinas se seleccionan al azar, y sin más pruebas son enviadas al cliente. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente reciba: a) Máquinas que no funcionan mal.

Gráfica de distribución

Hipergeométrico, N=8, M=3, n=4 0.4

Probabilidad

0.3

0.2

0.1

0.07143

0.0

0

X

3

Dado los datos que se proporcionan para determinar la posibilidad de que dentro del envío de 4 máquinas solo haya máquinas funcionales se puede determinar que se trata de una distribución hipergeométrica, ya que, cumple con todas las características para ello, en donde, se sabe que son muestreos aleatorios y sin remplazo. Para obtener la gráfica deseada que nos proporcione la probabilidad, tenemos que considerar como la población las 8 máquinas funcionales, el número de elementos con las características deseadas como las tres máquinas que no funcionan correctamente, el muestreo de 4 máquinas y, finalmente, el evento deseado es que ninguna de las máquinas defectuosas sea enviada.

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Con ello se obtiene la gráfica que se presenta en la parte superior, en donde la barra roja que se encuentra en el 0, representa la posibilidad de que ninguna de las máquinas defectuosas sea enviada. Siendo la posibilidad como la gráfica lo indica del 0. 0743 0 7. 43 %.

b) Al menos una máquina que funcione mal.

Gráfica de distribución

Hipergeométrico, N=8, M=3, n=4 0.9286

0.2

0. 0043

Probabilidad

0.3

0. 0287

0. 1147

0.4

0.1

0.0

0

1

X

3

En el presente inciso, se nos solicita encontrar la posibilidad de que al menos una de ellas salga mal; lo que, nos dice que puede haber más de una defectuosa en el envío. Para ello, podemos emplear la posibilidad anterior obtenida, ya que, solo basta restarle al 100 %, la posibilidad anterior que se obtuvo. Como otra forma se pueden ingresar los datos que se tiene al programa, en donde, se le solicita al software hacer la sumatoria der todas las posibilidades desde que salga 1 defectuosa hasta n defectuosas. Como se puede observar en la gráfica, se muestra las posibilidades independientes de cada evento en particularmente y, de igual forma, se

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muestra la sumatoria de probabilidades de eventos que corresponde al 0. 9286, por lo que, la posibilidad de que se envíen una o más defectuosas en el envío corresponde al 92. 86 %.

III. Distribución de Poisson III. I. Marco Teórico La distribución de Poisson es definida por un parámetro: lambda (λ). Este parámetro es igual a la media y la varianza. A medida que lambda aumenta, la distribución de Poisson se acerca a una distribución normal. Utilice la distribución de Poisson para describir el número de veces que un evento ocurre en un espacio finito de observación. Por ejemplo, una distribución de Poisson puede describir el número de defectos en el sistema mecánico de un avión o el número de llamadas a un centro de llamadas. La distribución de Poisson se utiliza con frecuencia en el control de calidad, los estudios de fiabilidad/supervivencia y los seguros. Una variable sigue una distribución de Poisson si se cumplen las siguientes condiciones: • • •

Los datos son conteos de eventos (enteros no negativos, sin límite superior). Todos los eventos son independientes. La tasa promedio no cambia durante el período de interés.

Su expresión matemática es: 𝑃(𝑥) =

𝜆𝑥 𝑒 −𝜆 𝑥!

Donde: Λ es la media o esperanza, producto del tamaño de muestra por la probabilidad. e es la constante de Euler. n el tamaño de muestra. P la probabilidad de éxito en el ensayo.

III. II. Diferencias entre la distribución de Poisson y la distribución binomial La distribución de Poisson es similar a la distribución binomial porque ambas modelan conteos de eventos. Sin embargo, dentro de su espacio de observación finito, la distribución de Poisson no establece un límite superior a este conteo: una central telefónica podría recibir un número infinito de llamadas en un día y no violar los requisitos de la distribución de Poisson. En cambio, la distribución binomial establece un límite superior en el conteo: el número de eventos que usted observa no puede exceder el número de ensayos que realiza.

19 Probabilidad y Estadística

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Variables Aleatorias Discretas y Continuas

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III. III. ¿Qué es la tasa de ocurrencia? La tasa de ocurrencia es igual a la media (λ) dividida entre la dimensión del espacio de observación. Es útil para comparar conteos de Poisson recolectados en diferentes espacios de observación. Por ejemplo, la central telefónica A recibe 50 llamadas telefónicas en 5 horas y la central telefónica B recibe 80 llamadas en 10 horas. Usted no puede comparar directamente estos valores, porque sus espacios de observación son diferentes. Debe calcular la tasa de ocurrencia para comparar estos conteos. La tasa de la central telefónica A es (50 llamadas / 5 horas) = 10 llamadas/hora. La tasa de la central telefónica B es (80 llamadas / 10 horas) = 8 llamadas/hora.

III. IV. Problemario 1. En un proceso de manufactura en el cual se producen piezas de vidrio, ocurren defectos o burbujas, ocasionando que la pieza sea indeseable para la venta. Se sabe que en promedio 1 de cada 1000 piezas, tiene una o más burbujas. ¿Cuál es la probabilidad de que, en una muestra aleatoria de 8000 piezas, menos de 3 de ellas tengan burbujas?

Gráfica de distribución Poisson, Media=8

0.14 0.12

0.08

0.04 0.02

0.01375

0.00

0. 0107

0.06

0. 00035 0. 0027

Probabilidad

0.10

2

X

18

Se sabe que, en un proceso de manufactura de piezas de vidrio, en promedio 1 de cada 1000 posee burbujas, por lo que, se nos solicita encontrar la posibilidad de que en una muestra aleatoria de 8000 piezas se tengan 3 con burbujas. Con lo anterior, sabemos que el promedio para obtener la probabilidad en un muestro de 8000 es de 8, es decir, el número defectos que se espera que haya, mientas que, se espera que las incidencias sean de menos de 3 de piezas con burbujas.

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Variables Aleatorias Discretas y Continuas

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Para ello ingresamos el promedio de incidencias que es de 8 en nuestro programa y señalamos que buscamos la sumatoria de las incidencias menores a 3 en todos los eventos (0, 1 y 2). Por lo que la probabilidad del evento buscado se encuentra en la gráfica de distribución superior. Siendo nuestra probabilidad del 0. 01375, o bien, del 1. 375 %; esto, se observa en las barras rojas que son señaladas en la gráfica.

2. El gerente de control de calidad de Gamesa inspecciona un lote de galletas de chispas de chocolate que se acaban de preparar. Si en el proceso de producción es trabajo – control, la media de chispas de chocolate por galletas es de 6. 0. ¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier galleta inspeccionada: a) Se encuentren exactamente menos de 5 chispas.

Gráfica de distribución Poisson, Media=6

0. 1339

0.18 0.16

0. 0892

0.12

0.08 0.06 0.04 0.02 0.00

0.2851

0. 0446

0. 0149

0.10

0. 0025

Probabilidad

0.14

0

4

X

15

Se nos indica que en una fábrica de Gamesa se lleva a cabo un proceso de control de calidad de la población en la que se espera que se hallen 6 chispas de chocolate en cualquier galleta ya que es el promedio. Por lo que, en el presente inciso se nos solicita encontrara la probabilidad de que encontremos una galleta con menos cinco chispas de chocolate. Con ello, sabemos que se trata de una distribución de Poisson. Para determinar la posibilidad de que se obtengan menos de 5 chispas de chocolate en una galleta se tiene que calcular la probabilidad de que salga, una galleta con 0, 1, 2, 3 y 4 chispas respectivamente. Para obtener la gráfica

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Variables Aleatorias Discretas y Continuas

IIN

deseada y la probabilidad, se tiene que tomar como media 6, y se tiene que habilitar la opción de sumatoria de probabilidad de eventos anteriores a que salgan 5 galletas. Como se observa en la gráfica de la parte superior, las barras rojas representan los susodichos eventos que se tiene que sumar, mientas que, se anexa cada una de las probabilidades que se sumaron, siendo la suma de las probabilidades en la gráfica de 0. 2851, con lo que, sabemos que la probabilidad de encontrar menos de 5 chispas en una galleta es del 28. 51 %

b) Se encuentren exactamente 5 chispas.

Gráfica de distribución Poisson, Media=6

0.18

0.1606

0.16

Probabilidad

0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00

0

5

X

15

Atendiendo

los datos anteriores, ahora tenemos que modificar los parámetros buscados para obtener la probabilidad de que se encuentren exactamente 5 chispas de chocolate. Para ello, seguimos considerando el número promedio de elementos como de 6. Con lo que obtendríamos la gráfica que se muestra en la parte superior de la presente hoja. En la cual, podemos observar en color rojo la brra de la probabilidad del evento que buscamos, por lo que, la probabilidad de obtener exactamente 5 chispas de chocolate en una galleta es del 0. 1606 o 16. 06 %.

22 Probabilidad y Estadística

2A

Variables Aleatorias Discretas y Continuas

IIN

c) Se encuentren 5 o más chispas.

Gráfica de distribución Poisson, Media=6

0. 1606 0. 1606 0. 1377 0. 1033

0.18 0.16

0.12 0.10

0. 0688 0. 0413 0. 0225 0. 0113 0. 0052 0. 0022 0. 0009

Probabilidad

0.14

0.08 0.06 0.04 0.02 0.00

0.7149

0

5

X

0. 0005 21

Ahora bien, en el presente inciso se nos solicita obtener la probabilidad de que se tenga una galleta con 5 o más chispas de chocolate, por lo que, ahora debemos de sumar las probabilidades de obtener 5, 6, 7, 8, … o n chispas de chocolate en una galleta. Para ello, seguiremos considerando el promedio como 6 galletas de chocolate ya que no se modifica en estos casos. Finalmente, tenemos que sumar todas las posibilidades desde obtener 5 chispas hasta n chispas. Como se muestra en el gráfico del inciso se señalan en rojo las barras y sus respectivas posibilidades a considerar, las cuales se suman

23 Probabilidad y Estadística

2A

Variables Aleatorias Discretas y Continuas

IIN

y se obtiene la posibilidad total señalada en la gráfica de que se tenga una galleta con 5 o más chispas de chocolate, la cual, es del 0. 7149 o 71. 49 %.

3. El número de grietas grandes en un pavimento de determinada longitud a lo largo de una cierta calle tiene una distribución de Poisson con una media de una grita por cada 100 metros. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 8 grietas en una longitud de 500 metro de pavimento?

Gráfica de distribución Poisson, Media=5

0.20

Probabilidad

0.15

0.10

0.06528 0.05

0.00

0

X

8

13

En el presente problema se nos indica que el promedio de grietas grandes en una calle es de 1 por cada 100 y se nos solicita encontrar la posibilidad de que se encuentren exactamente 8 grietas en 500 metros de pavimento. Para ello tenemos que modificar nuestro promedio para que aplique a los 500 metros, de forma que el producto del

24 Probabilidad y Estadística

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Variables Aleatorias Discretas y Continuas

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número de grietas por cada 100 metros se multiplique por 5, siendo el promedio de grietas por cada 500 metros de 5 grietas. Por lo que, se debe buscar la probabilidad de que se encuentren 8 grietas, esto, mediante la distribución de Poisson por las características dadas de los datos. Con lo que tomando el promedio como 5 y 8 como el número de incidencias esperadas, se obtiene la gráfica superior en la que la probabilidad de que se tengan 8 grietas exactamente corresponde a la barra de color rojo en la gráfica, siendo una posibilidad del 0. 06528 o del 6. 528 %.

IV. Distribución Normal IV. I. Marco teórico La distribución normal es la distribución estadística más común debido a que la normalidad aproximada ocurre naturalmente en muchas situaciones de mediciones físicas, biológicas y sociales. Muchos análisis estadísticos requieren que los datos provengan de poblaciones normalmente distribuidas. La distribución normal es una distribución continua que es definida por la media (μ) y la desviación estándar (σ). La media es el pico o centro de la curva en forma de campana. La desviación estándar determina la dispersión en los datos. Aproximadamente, el 68% de las observaciones está dentro de +/- 1 desviación estándar de la media; el 95% está dentro de +/- 2 desviaciones estándar de la media y el 99% está dentro de +/- 3 desviaciones estándar de la media. Dados los valores de la integral del área de la curva, su expresión matemática es: 𝑍=

𝑥−𝜇 𝜎

Donde: X es el éxito esperado. µ es la media. σ es la desviación estándar.

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IV. Il. Problemario 1. La resistencia a la compresión de muestras de cemento puede modelarse mediante una distribución normal con una media de 6000 kg por cm2 y una desviación estándar de 100 kg por cm2. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia a la comprensión de una muestra sea menor a 6250 kg por cm2?

Gráfica de distribución

Normal, Media=6000, Desv.Est.=100 0.004

0.9938

Densidad

0.003

0.002

0.001

0.000

6000

X

6250

Como

se pude observar en el problema se nos solicita encontrar la probabilidad de que la resistencia de compresión del cemento sea menor a 6 250 kg por cm2, para ello se nos proporcionan datos como el promedio de compresión y la desviación estándar. Por lo que intuimos que se trata de una distribución normal para poder calcular la probabilidad del evento solicitado. Como sabemos este tipo de distribución se representa mediante una campa de Gauss y empleando integrales para obtener los datos solicitados. En este caso, solo proporcionaremos al programa los datos necesarios para obtener

26 Probabilidad y Estadística

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la gráfica y la probabilidad correspondiente. Para ello, debemos de ingresar al programa el evento que se espera, el cual es, que resistencia de compresión del cemento sea menor a 6 250 kg por cm2, así mismo, la media y desviación estándar inherentes al suceso. Finalmente, obtenemos la gráfica que se muestra en la parte superior, en la que podemos observar una campana de Gauss atendiendo la densidad y media dado, mientas que se señala en color rojo el área del porcentaje correspondiente al evento que se espera, es decir que se calcula el área debajo de la curva de la camapana, siendo la probabilidad de 0. 9938 o del 99. 38 %.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia a la comprensión de una muestra este entre 5800 y 5900 kg por cm2?

Gráfica de distribución

Normal, Media=6000, Desv.Est.=100 0.004

Densidad

0.003

0.002

0.1359 0.001

0.000

5800

5900

6000

X

En el siguiente inciso se nos solicita ahora encontrar la probabilidad de que la resistencia a la comprensión de una muestra este entre 5800 y 5900 kg por cm2, donde nuestra media y desviación estándar de resistencia a la compresión del cemento es la misma. Para ello, debemos de ingresar los datos que ya tenías anteriormente al programa, como lo es la desviación estándar y el promedio ya que la campana de Gauss se hace con respecto a los mismos. Ahora bien, la gráfica producto de los gráficos ingresados se muestra en la parte superior en donde el área roja bajo la curva corresponde a la probabilidad de que se tiene de que se obtenga una muestra en donde la resistencia a la comprensión de una este entre 5800 y 5900 kg por cm2, dicha probabilidad corresponde al 0. 1359 o 13. 59 %.

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2. Un fabricante produce anillos de pistón para un motor de automóvil. Se sabe que el diámetro de los anillos se distribuye aproximadamente en forma normal y con una desviación estándar σ= 0. 001 mm. Una muestra aleatoria der 15 anillos tiene un diámetro medio de 74. 036 mm. Calcule la probabilidad que los diámetros de los anillos sean de: a) De 70 mm. b) Entre 72 y 74 mm.

Gráfica de distribución

Normal, Media=74.036, Desv.Est.=0.001 400

Densidad

300

200

100

0

74.033

74.034

74.035

74.036

74.037

74.038

74.039

X

En el presente caso se nos solicita encontrar la posibilidad de dos incisos, esto, con respecto a un muestreo de anillos de pistón para motor de automóviles. En donde, el promedio del muestreo es de 74. 036 mm con una

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desviación estándar de 0. 001 mm, en los cuales, se busca la probabilidad de que sea 70 mm y de que se encuentre entre 72 y 74 mm el diámetro. Dado que la diferencia de la media con los eventos esperados supera tres veces a la desviación estándar, no se puede calcular la probabilidad de los eventos solicitados, ya que, son prácticamente nulos. Como se muestra en la campana de Gauss el área bajo la curva es insignificante.

3. El contenido de las botellas de jugo de naranja llenadas por una máquina automática tiene una distribución aproximadamente normal con media de 63. 9 onzas y desviación estándar de 0. 25 onzas. Encontrar la probabilidad de que: a) Una botella contenga menos de 64 onzas de jugo de naranja.

Gráfica de distribución

Normal, Media=63.9, Desv.Est.=0.25 1.8 1.6 1.4

Densidad

1.2 1.0 0.8

0.6554

0.6 0.4 0.2 0.0

63.9 64

X

El problema nos habla de una máquina de llenado de jugo de naranjas en una fábrica, la cual, tiene un llenado promedio de 63. 9 onzas y una desviación estándar de 0. 25 onzas, por lo que se sabe que hablamos de un problema de distribución normal. Se nos pide que encontremos el área debajo de la curva o la probabilidad de que la botella contenga 64 onzas de jugo tras el llenado de la máquina.

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Para ello, ingresamos al programa de Minitab la media y la desviación estándar dada, así como las onzas que se espera tenga el envase, las cuales son 64 onzas. Dado esto, se obtiene el gráfico de campana de Gauss que se muestra en la parte superior de la presente hoja. En la gráfica, se muestra el área roja debajo de la curva que representa la posibilidad del evento que se espera. Dado esto, se sabe la posibilidad de que una botella se llene hasta 64 onzas es del 0. 6554 o del 65. 54 %.

b) Una botella contenga al menos de 63. 75 onzas de jugo de naranja.

Gráfica de distribución

Normal, Media=63.9, Desv.Est.=0.25 1.8 1.6 1.4

Densidad

1.2 1.0

0.7257

0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

63.75

63.9

X

Ahora, en el presente inciso se solicita encontrar la posibilidad de que una botella contenga al menos 63. 75 onzas de jugo. Para obtener la posibilidad solicitada, se tiene que considerar la misma media y desviación estándar en el programa, con el fin de generar una campana de Gauss con respecto a los datos proporcionados. Tras esto se busca el complemento de la posibilidad de obtener tan solo 63. 75 onzas, es decir, se buscará calcular la probabilidad de obtener al menos 63. 75 onzas, ello implica que se pueden tener más. Con los datos proporcionados podemos graficar la posibilidad en la campana de Gauss como se puede observar en la parte superior. En donde, el área roja representa el área debajo de la curva que se busca. Dado esto, se sabe, que la posibilidad de que en el envase haya al menos 63. 75 onzas es de 0. 7252 o del 72. 52 %.

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4. El diámetro de un eje propulsor de almacenamiento óptico, tiene una distribución normal con una media de 0. 2500 pulgadas y una desviación estándar de 0. 0005 pulgadas. Las especificaciones de los ejes son 0. 2500 ± 0. 0015 pulgadas. ¿Qué proporción de los ejes cumple con las especificaciones?

Gráfica de distribución

Normal, Media=0.25, Desv.Est.=0.0005 900

0.9973

800 700

Densidad

600 500 400 300 200 100 0

0.2485

0.25

X

0.2515

Ahora

bien, en el presente problema se nos solicita encontrar la proporción de ejes propulsores de almacenamiento óptico que cumplen con las especificaciones que son 0. 2500 ± 0. 0015 pulgadas, mientras nos proporcionan la deviación estándar y la media de los mismos, las cuales son 0. 0005 y 0. 2500 respectivamente. Por lo que, para la generación de los gráficos, se tiene que realizar una campaña de Gauss con los datos que se proporcionaron, la cual, represente la probabilidad del evento. La gráfica que se obtiene se muestra en la parte superior de la presente hoja, en la cual, se puede observar la probabilidad del evento como el área roja debajo de la curva, siendo la proporción de los ejes que cumplen con las especificaciones del 0. 9973 o 99. 73 %.

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V. Compilación de Problemas de Distribución 1. Cada uno de los 12 refrigeradores de un tipo ha sido regresado a un distribuidor debido a un ruido agudo audible producido por oscilación cuando el refrigerador está funcionado. Suponga que 7 de esos refrigeradores tienen un compresor de defectuoso y que los otros 5 no. Si se toma una muestra de 5 refrigeradores y se revisan en orden aleatorio, encuentre la probabilidad de que: a) Exactamente 5 estén defectuosos.

Gráfica de distribución

Hipergeométrico, N=12, M=7, n=5 0.5

Probabilidad

0.4

0.3

0.2

0.1

0.02652 0.0

1

X

5

Cuando no se nos especifica el tipo de distribución que se debe de emplear, se deben de analizar los datos que se presentan en el problema. En el problema que se presenta tenemos un número de 12 refrigeradores como una población, se nos indica que 7 de ellos se encuentran defectuosos y se nos pide determinar la posibilidad de que exactamente 5 de un muestreo aleatoria de la población de 5 refrigeradores sean defectuosos.

32 Probabilidad y Estadística

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Variables Aleatorias Discretas y Continuas

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Por lo que, se sabe por los datos proporcionados que se trat6a de un problema que sigue un comportamiento de una distribución hipergeométrica. Por lo que, para encontrar la probabilidad del evento que se solicita, debemos de considerar el desarrollo de una gráfica de distribuciones atendiendo un suceso como hipergeométrico. Tras ingresar los datos mencionados como la población, elementos que cumplen con las características mencionadas, muestro y elementos esperados. Se sabe que la probabilidad de que se obtengan exactamente 5 refrigeradores defectuosos es del 0. 0265 o del 2. 65 %.

b) A lo más 4 estén defectuosos.

Gráfica de distribución

Hipergeométrico, N=12, M=7, n=5

0.9735

0. 2210

0. 2652

0.3

0.1

0.0

0

0. 0442

0.2

0. 0013

Probabilidad

0.4

0. 4419

0.5

X

4

5

Ahora en el presente inciso, se nos solicita encontrar la posibilidad de que haya a los más 4 refrigeradores defectuosos, para ello, seguimos considerando el problema como hipergeométrico. En donde el tamaño de población, muestreo de población y elementos con las características deseadas en la población siguen siendo los mismos. Solo debemos de calcular la posibilidad de que se tenga 1, 2, 3 y 4 refrigeradores defectuosos en la población y sumarlas. O bien, solo restar la posibilidad que se obtuvo en el inciso anterior a 100 %. En este caso, mediante el empleo del software mencionado, se ingresan los susodichos datos. Considerando que se busca una sumatoria de probabilidad de eventos desde 0 hasta 4. De dicho proceso se obtiene el gráfico que se encuentra en la parte superior de la presente hoja. De lo cual, sabemos que la posibilidad de que encontremos a los más 4 refrigeradores defectuosos es del 0. 9735 o del 97. 35 %.

33 Probabilidad y Estadística

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IIN

2. En un estudio realizado por una dependencia de transporte y vialidad, se encontró que el 75 % de los vehículos de transporte colectivo, tiene una irregularidad de acuerdo al reglamento de tránsito. Si se someten 9 de estos vehículos a revisión hallar la probabilidad: a) Exactamente 3 tengan irregularidad.

Gráfica de distribución Binomial, n=9, p=0.75

0.30

Probabilidad

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00

0.008652 3

X

9

En el presente problema se nos indica que el 75 % de los vehículos de transporte colectivo presentan alguna irregularidad y de una muestra de 9 de ellos al azar, se solicita encontrar la posibilidad de que 3 de ellos presenten alguna irregularidad. El porciento otorgado y el muestro, nos indica que se trata de un problema de distribución binominal. Ya que, tenemos una posibilidad de éxito y una de fracaso. Pare ello, se considera como probabilidad de éxito el que los autos sean irregulares, que es del 75 %; mientras que la probabilidad de fracaso es del 25 %. La muestra es de 9 vehículos y se espera exactamente 3 de ellos tengan alguna irregularidad. Tras ingresar dichos datos al programa se sabe que la probabilidad del éxito, la cual, se encuentra señalada en la barra roja de la gráfica de distribuciones corresponde al 0. 008652 o bien 0. 87 %.

34 Probabilidad y Estadística

2A

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b) De 3 a 6 tengan irregularidad.

Gráfica de distribución Binomial, n=9, p=0.75

0. 2336

0.30

0. 1168

0.20

0.15

0.3980

0.05

0.00

0. 0087

0.10

3

0. 0389

Probabilidad

0.25

6

X

9

Para el siguiente inciso, se solicita encontrar la probabilidad de que de entre los vehículos seleccionados para el muestreo de entre 3 y 6 tengan alguna irregularidad. Para ello, se considera que el tamaño de muestra, así como las probabilidades de éxito y fracaso son las mismas. Finalmente, con los datos proporcionados, podemos crear una gráfica de distribuciones como la que se presenta en la actual página, siendo la sumatoria de los eventos (3, 4, 5 o 6 vehículos con irregularidades) la probabilidad que estamos buscando. En la gráfica se muestran estas barras de los eventos sumados en tonalidad roja, por lo que se sabe que la probabilidad de que se encuentren de 3 a 6 vehículos con irregularidades es del 0. 3980 o 39. 80 %.

35 Probabilidad y Estadística

2A

Variables Aleatorias Discretas y Continuas

IIN

3. Para seleccionar a los empleados de una empresa, se aplica una prueba la cual arroja una puntuación promedio de 140 puntos y una desviación estándar de 10 puntos. Se desea estimar la probabilidad de que una persona obtenga entre 130 y 150 puntos en dicha prueba.

Gráfica de distribución

Normal, Media=140, Desv.Est.=10 0.6827

0.04

Densidad

0.03

0.02

0.01

0.00

130

140

X

150

Para el problema presentado, se sabe que al aplicar una encuesta la puntuación promedio es de 140 puntos, mientras que, se presenta una desviación estándar de 10 puntos. Ahora bien, se nos solicita encontrar la posibilidad de que se obtenga un resultado de entre 130 y 150 puntos. Dados los datos sabemos que se trata de un comportamiento acorde a la distribución normal.

36 Probabilidad y Estadística

2A

Variables Aleatorias Discretas y Continuas

IIN

Para generar la gráfica insertamos los datos recalcados. Por lo que tendremos una gráfica como la que se presenta en la parte superior de la presente hoja, en la que podemos observar como una zona roja bajo la curva el área que representa la probabilidad de que suceda el evento. Finalmente, dado la gráfica sabemos que la probabilidad del evento corresponde al 0. 6827 o 68. 27 %.

4. El gerente de control de calidad de una empresa considera que las unidades de un lote de producción son de alta calidad solo en el caso de que una muestra de 25 unidades, ninguna tenga defecto. Si la probabilidad de encontrar una unidad con defecto es de 0. 01. Calcular la probabilidad de un lote de producción cualquiera sea declarado de alta calidad.

Gráfica de distribución Binomial, n=25, p=0.99

0.7778

0.8 0.7

Probabilidad

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0

23

X

25

Se nos pide encontrar la probabilidad de ser declarado un lote de unidades como de alta calidad, si se sabe que la probabilidad de un defecto en una unidad es del 0. 01. Siendo la muestra de 25 unidades. Para ello, debemos de encontrar la probabilidad de que esas 5 unidades funcionen correctamente. Según los datos que se proporcionaron se sabe que se trata de una distribución binominal.

37 Probabilidad y Estadística

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Variables Aleatorias Discretas y Continuas

IIN

Por lo que, para representar las posibilidades, se tiene que realizar una gráfica de distribución de frecuencias como la que se muestra en la presente hoja. Donde, podemos observar en tonalidad rojo la barra que representa la posibilidad de que las 25 unidades sean funcionales que es lo que se busca, dicha probabilidad corresponde al 0. 7778 o 77. 78 %.

5. Cierta máquina fabrica resistores eléctricos que tienen una resistencia promedio de 25 Ohmios y una desviación estándar de 3.2 Ohmios. La resistencia tiene una distribución normal. a) ¿Qué porcentaje de los resistores tendrán una resistencia inferior a 16 ohmios?

Gráfica de distribución

Normal, Media=25, Desv.Est.=3.2 0.14 0.12

Densidad

0.10 0.08 0.06 0.04 0.02

0.002458 0.00

16

25

X

El problema nos habla del promedio y desviación estándar de valor de resistencia de unos resistores que se producen en una fábrica, siendo 25 y 3. 2 Ω respectivamente. En el primer inciso se nos solicita determinar la porción de resistores que tendrán un valor inferior a 16 Ω. Los datos nos indican que se trata de una distribución normal.

38 Probabilidad y Estadística

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Variables Aleatorias Discretas y Continuas

IIN

Para determinar la proporción se debe de realizar una campana de Gauss atendiendo el promedio y la desviación estándar que se presentan. Con respecto a ello, se podrá observar como en la gráfica aquí presente el área bajo la curva que representa el porcentaje buscado, el cual, equivale al 0. 002458 o 0. 25 %, esto debido a la cercanía del valor dado a tres veces la desviación estándar

b) ¿Qué porcentaje de los resistores tendrán una resistencia superior a 35 ohmios?

Gráfica de distribución

Normal, Media=25, Desv.Est.=3.2 0.14 0.12

Densidad

0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00

0.0008890 25

X

35

Este inciso nos solicita encontrar el porcentaje de resistores que sean superior a 35 Ω. Al ser el valor tan alejado de la desviación estándar es prácticamente nulo, como se puede observar en la gráfica realizada para la representación del resultado. Siendo un evento muy raro o casi imposible de suceder.

39 Probabilidad y Estadística

2A

Variables Aleatorias Discretas y Continuas

IIN

c) ¿Qué porcentaje de los resistores tendrán una resistencia entre 20 y 32 ohmios?

Gráfica de distribución

Normal, Media=25, Desv.Est.=3.2 0.14

0.9266

0.12

Densidad

0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00

20

25

X

32

Finalmente se nos pide encontrar el porcentaje de resistores que tendrán una resistencia de entre 20 y 32 Ω. Para ello hemos de considerar el promedio de 25 Ω y la desviación estándar de 3. 2 Ω que se dio al principio del planteamiento del problema.

40 Probabilidad y Estadística

2A

Variables Aleatorias Discretas y Continuas

IIN

Para la generación de la fábrica se considera los valores mencionados para la realización de la campana de Gauus en el programa misma que se encuentra en la presente página. Para ello se tiene que buscar la probabilidad en un intervalo de área debajo de la curva, la cual, se representa en una tonalidad roja. Dado esto, se puede interpretar en la gráfica que la probabilidad del evento mencionado es del 0. 9266 o 92. 66 %.

6. En pruebas realizadas a un amortiguador para automóvil se encontró que el 20 % presentaban fuga de aceite. Si se instalan 20 de estos amortiguadores, hallar la probabilidad de que: a) Más de siete salgan defectuosos.

Gráfica de distribución Poisson, Media=4

0.20

0.00

0

X

0.05113

0. 0009

0. 0019

0. 0053

0.05

0. 0132

0.10

0. 0298

Probabilidad

0.15

8

El problema nos indica que, en las pruebas realizadas a un amortiguador de auto, 20 % de estos presentaban fugas de aceite, considerando como muestra 20 automóviles, se solicita encontrar la posibilidad de que más de 7 autos

41 Probabilidad y Estadística

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IIN

presenten fuga de aceite. Con ello sabemos que se trata de una distribución de Poisson, ya que, la media se puede encontrar multiplicando el tamaño de muestra por la esperanza, dicho producto, nos dice que el promedio es de 4 amortiguadores que fallan. Con los datos obtenidos y buscados, se puede graficar las posibilidades en una gráfica de distribución como la aquí expuesta, en la que se muestra en color rojo, las posibilidades a sumar para obtener más de 7 amortiguadores defectuosos en la muestra. Finalmente, la probabilidad corresponde al 0. 05113 o 5. 11 %.

b) Entre 10 y 15 salgan defectuosos.

Gráfica de distribución Poisson, Media=4

0.20

0.00

0. 0053

0.05

0

X

0. 0009

0.10

0. 0019

Probabilidad

0.15

0.008132

10

El inciso B nos solicita que encontremos la posibilidad de que se encuentren entre 10 y 15 amortiguadores dañados, para ello ya sabemos que se trata de una distribución de Poisson. Por lo que, considerando la misma gráfica que se mencionó en el inciso anterior se suman las probabilidades desde 10 a 15 como eventos independientes. En la gráfica se pueden apreciar dichas posibilidades en forma de barra con tonalidad roja. La sumatoria de dichas posibilidades es equivalente a la probabilidad de que fallen de entre 10 y 15 amortiguadores; la probabilidad es del 0. 0081 o 0. 81 %, lo que es prácticamente 0 %.

42 Probabilidad y Estadística

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7. La distribución de peso de paquetes enviados de cierta máquina es normal con valor medio de 12 libras y derivación estándar de 3. 5 libras. El servicio de paquetería desea encontrar la probabilidad de que el peso de los paquetes se encuentre entre 10 y 15 libras.

Gráfica de distribución

Normal, Media=12, Desv.Est.=3.5 0.12

0.5205

0.10

Densidad

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00

10

12

X

15

En la problemática presentada, se menciona que el promedio de pesos de paquetes de cierta máquina es de 12 libras, mientas que, su desviación estándar corresponde a 3. 5 libras. Así mismo, se solicita encontrar la posibilidad

43 Probabilidad y Estadística

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de que el peso de los paquetes se encuentre entre 10 y 15 libras. Tras el análisis de los datos mencionados, se puede determinar que se trata de una distribución normal. Para encontrar la posibilidad se debe de elaborar una campana de Gauss con respecto al promedio y desviación estándar. Se puede observar en la misma que la probabilidad de ambos sucesos se representa mediante el área de la curva que se encuentra encerrada en los intervalos mencionados de 10 y 15 libras. Con lo que se puede determinar que la probabilidad corresponde al 0. 5205 o 52. 05 %.

8. Sea X el número de imperfecciones superficiales de una caldera seleccionada al azar de un tipo que tiene una distribución de Poisson con promedio de 5 imperfecciones. Calcule las siguientes probabilidades: a) De que existan a lo más 8 imperfecciones.

Gráfica de distribución Poisson, Media=5

0.05

0. 1044

0. 1462

0. 1755

0. 0653

0. 0842 0. 0337

0.10

0. 0067

Probabilidad

0.15

0.9319

0. 1755

0. 1404

0.20

0.00

X

8

13

El problema que se presentó explica que se trata de una distribución de Poisson, por lo que se solamente se tiene que identificar los datos y elaborar una gráfica de distribución como la que se presentó en seguida del problema.

44 Probabilidad y Estadística

2A

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IIN

Sabemos que la media corresponde a 5 imperfecciones superficiales. Ahora bien como se muestra en el gráfico, se tiene que sumar las posibilidades de los eventos de obtener 1 hasta 8 imperfecciones atendiendo a lo que se pide. Para ello se suman las probabilidades marcadas en la gráfica de color rojo. Tras esto se sabe que la probabilidad de que existan a lo más 8 imperfecciones superficiales en la caldera es de 0. 9319 o 93. 19 %.

b) Entre 5 y 8 imperfecciones.

Gráfica de distribución Poisson, Media=5

0. 1044 0.4914

0.10

0. 0653

Probabilidad

0.15

0. 1462

0. 1755

0.20

0.05

0.00

0

5

X

8

13

45 Probabilidad y Estadística

2A

Variables Aleatorias Discretas y Continuas

IIN

Considerando los datos

anteriores ahora se solicita encontrar la probabilidad de que se hallen entre 5 y 8 imperfecciones como es que se muestra en color rojo en las gráficas. Para ello debemos de sumar las probabilidades, para ello ya sabemos que en la gráfica el eje de las abscisas representa los eventos posibles y el de las ordenadas las probabilidades. Finalmente, la sumatoria ya mencionada es de 0. 4914 o 49. 14 %, siendo está la probabilidad de que se encuentren de encuentren de entre 5 y 8 imperfecciones.

9. Una caja con 18 artículos tiene 6 defectuosos. Si se toma una muestra de 3, ¿Cuál sería la probabilidad de no incluir artículos defectuosos en la muestra?

Gráfica de distribución

Hipergeométrico, N=18, M=6, n=3 0.5

Probabilidad

0.4

0.3

0.2696

0.2

0.1

0.0

0

X

3

En la problemática que se presenta, se dice que, de 18 artículos 6 son defectuosos y se quiere saber la probabilidad de que en una muestra de 3 de ellos no se incluya ninguno defectuoso. Los datos que se presentan nos hablan de una distribución hipergeométrica, ya que, buscamos elementos con características determinadas.

46 Probabilidad y Estadística

2A

Variables Aleatorias Discretas y Continuas

IIN

Para ello, insertamos los datos proporcionado en nuestro programa, donde, se genera una gráfica como la que se presenta en la presente página. Donde las abscisas corresponden a los eventos y las ordenadas a las posibilidades de los mismos. Como se espera que no haya defectuosos, se sabe que la posibilidad se da en la columna 0, en donde, se sabe que no hay ningún defectuoso. Finalmente, se sabe que la posibilidad de que no se hallen artículos defectuosos en la muestra es del 0. 2696 o 26. 96 %.

10. Se sabe que de un total de 150 computadoras hay 10 que tienen instalados programas sin licencia. Se seleccionaban a 20 computadoras para verificar si se encuentra instalado algún programa ilícito. ¿Cuál es la probabilidad de tener 4 computadoras en la muestra con software sin licencia?

Gráfica de distribución

Hipergeométrico, N=150, M=10, n=20 0.4

Probabilidad

0.3

0.2

0.1

0.02470 0.0

0

X

4

5

Finalmente, en este último problema, se nos señala que de un total de 150 computadores 10 de estos no tiene programas con licencia, por lo que se nos solicita encontrar la posibilidad de que, en una muestra de 20 de ellos, se encuentren 4 computadores sin licencia. Los datos que se proporcionan corresponden a una distribución hipergeométrica, ya que, se nos proporciona tamaño de población, muestreo de población, elementos con las características deseadas en la población y los elementos deseados.

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Para obtener la probabilidad se elabora una gráfica como la presentada (probabilidad contra eventos) y se localiza la probabilidad del evento en donde hay exactamente 4 computadores sin licencia como se señala en el gráfico. Tras esto, se puede saber finalmente que la probabilidad del evento corresponde al 0. 0247 o bien al 2. 47 %.

IV. Infografía • • • •

http://support.minitab.com/es-mx/minitab/17/topic-library/basic-statistics-and-graphs/probabilitydistributions-and-random-data/distributions/binomial-distribution/ http://support.minitab.com/es-mx/minitab/17/topic-library/basic-statistics-and-graphs/probabilitydistributions-and-random-data/distributions/normal-distribution/ http://support.minitab.com/es-mx/minitab/17/topic-library/basic-statistics-and-graphs/probabilitydistributions-and-random-data/distributions/hypergeometric-distribution/ http://support.minitab.com/es-mx/minitab/17/topic-library/basic-statistics-and-graphs/probabilitydistributions-and-random-data/distributions/poisson-distribution/

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