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• Roxana Murillo

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~alY)os

a aprencler

atemáticas libro clel est·ücfiante

"attJos a aprencler es el proyecto en el que los estudiantes se convierten en protagonistas de su proceso de formación. Por medio de materiales que motivan a estudiar y a participar de forma activa, se consigue un aprendizaje eficaz y significativo. Los contenidos se relacionan con el.entorno más inmediato y trabajan competencias esenciales para poder desarrollar las habilidades que la vida exija el día de mañana. El proyecto es una apuesta por el desarrollo integral de .los estudiantes. Junto con una sólida formación académica, proporciona herramientas de reflexión y análisis de la sociedad en la que vivimos por medio de sus temas de Educación ambiental, Estilos de vida saludable y Educación para la sexualidad y la c.iudadanía. Aprendiendo a convivir de manera armónica, lograremos todos juntos que el colegio llegue a ser un espacio de crecimiento que nos haga mejores y en el que todos queramos estar. Así que es hora de comenzar y aceptar el reto: ¡Vamos a aprender!

TODOS POR UN··

NUEVO PAÍS PAZ

EQU I DAD

EDUCAC IÓN

VaftJOS a aprencler

EQUIPO EDICIONES SM

Matemáticas

Jaime M orco Frontelo

DIRECTOR EDITORIAL

libro clel est\lcliante

GERENTE EDITORIAL

Jeonnette Benovides Escobar EDITORA JEFE DE ÁREA

luz Stello Alfonso O rozco EDITORES

leidi G il Fuentes, Deysi Roldón Hernández, Josué Molagón Montaña COLABORADORES

Doris Esperanzo Álvorez Quintero, Morlody Bogotá Torres, Taliono C arvajal Martínez, Moría Fernando Dueños Álvarez, Andrés Camilo Corrillo Acosto, Mario Alberto Coñón Gutiérrez, Miguel Ángel Alfonso Orozco, John Alvaro Munor ladino COORDINADOR DE CORRECCIÓN

Rafael Humberto Castro Fernández CORRECCIÓN DE ESTILO

Catalina Rozo Tovor, Adriano M arcelo C osas G uzmán

J1

GERENTE DE ARTE Y DISEÑO

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL

Leonardo Rivos Agudelo COORDINACIÓN DE DISEÑO

PRESIDENTE DE LA REPÚBLICA

Elkin Vargas Bohórquez

Juan Manuel Santos Calderón

DISEÑO DE LA SERIE

MINISTRA DE EDUCACIÓN NACIONAL

Elkin Vargas Bohórquez, Mogoly Duque Santos, Uliono

Yo neth Cristina Giho Tovor

Bohórquez Algeciro, Ano lilly Pardo Beltrán VICEMINISTRO DE EDUCAC IÓN PREESCOLAR, BÁSICA Y MEDIA

DISEÑO DE CUBIERTA

Vícto r Javier Sooved ro Mercado

Juan C amilo l ópez Rojos

DIRECTORA DE CALIDAD DE EDUCACIÓN PR(ESCOLAR, BÁSICA Y MEDIA

DIAGRAMACIÓN

Poolo Andreo Trujillo Pulido

Alexandro l eón Ruíz, Rafael N iebles Montoyo, Ale jandro Bohórquez

SUBD IRECTOR DE FOMENTO DE COMPETENCIAS

Rodríguez, Diego Ca macho Arciniegos, Mileno Buenaventura

Alfredo Oloyo Toro !El

FOTOGRAFÍA

SUBD IRECTORA DE REFERENTES Y EVALUACIÓN DE LA CALIDAD EDUCATIVA

Archivo SM/ KEYSTONE/ Montse Fontich/ Norbert Tomás/ SPAINSTOCK/ Andres Fonseco/ Shutterstock/ AGIF/ Bokic Bajan/ Borone Firenze/ Andrey Khrolenok/ gory yim/ Jeff Bonke/

Moría Claudia Sarta Herrero EQUIPO DE MATERIALES PEDAGÓGICOS

Angélico O rtega Sontocruz PROFESIONALES: Deyoniro Alfonso Sanabria, Edno Moritzo Corredor Suárez, COORDINADORA:

Diana Patricio ~obán Moldonado, Andrés Alberto Androde Cebollas EQUIPO TlCNICO DE MATEMÁTICAS '

Rodu Rozvon/ sotephoto/ meun ierd/ AGIF / jan kronendonk/ Anton_lvonov/ littlewormy/ Rodu Bercon/ Rodu Bercon RETOQUE DIGITAL

Ángel Camocho linares, Mario Alarcón Orozco, Kenny Bocares Fonseco, Fernando Amézquito Quintana

Yodirp Sanabria Mejío PROFESIONALES: ]enny Andreo Blanco G uerrero, Guillermo Andrés Solos ASESORA:

Rodríguez, Jairo Anibol Rey Monroy

© Ediciones SM, S.A., 2017 Carrero 85 K N o 46 A - 66

EQUIPO TÉCNICO EVALUADOR DE MATERIALES MATEMÁTICAS

Bogotá, D. C., Colombia

Ricardo Coñón Moreno, María Isa bel Noreño, Diana Velásquez Rojos,

ISBN 978-958-780-227-6

Ano Celia Costiblonco Poibo, Moría Beatriz Racho

IMPRESIÓN

EQUIPO PROGRAMAS TRANSVERSAlES Y COMPETENCIAS CIUDADANAS

Impreso en Colombia / Printed in Impreso en Q uad/Graphics

COORDINADORA:

Oigo lucio Zárote Montilla

PROFESIONAlES:

Froncine Botero Gornico,

Sondro Patricio Moro Vorelo, Juan Camilo Coro Daza

~ '"""'~-:

"__R_E_ P u_·B-L-IC_A __¡__

_® _tl _l

_M _I_N_E,D_U_C_A --CI._ Ó_N_ _

Colombia

No .,.; penni1ida lo •epoducci6n loloi o parcial de .,., lbro. ni >u OQiamieniO lrllarmólico. ni lo o por cuolqoier olto medio, yo .sea efectfónico, mecónico, por fotocopia, por regi~ro u otros medios, ~n el po1miso pnMo y por escrito de los litulor& del GOptfighl.

tronYn~ión de ninguna formo

TODOS POR UN

NUEVO PAÍS PA Z

EQU I DAD

EDUCAC I ÓN

Presentación /

Aceptar el reto de hacer de Colbmbia la nación más educada de América Latina en el 2025 es una qecisión que genera una g.ran responsabilidad. La necesidad de no perder -ni un segundo en el camino hacia la calidad es un llamado urgente a rectores/ docente~ y padres de familia que se levantan cada ' mañana comprometidos con el futuro de miles de estudiantes . Lograr una educación de calidad es el objetivo que nos hemos trazado para constru ir un país con igualdad de oportunidades para todos y en paz. Una igualdad que no sólo contempla el derecho que cada uno de los colombianos tiene a la edÜcación/ sino que se refuerza en la idea de equilibrar la cancha de juego y hacer que todos nuestros niños/ niñas y adolescentes tengan las mejores condiciones en los colegios/ incluyendo materiales pedagógicos de alta calidad que contribuyan al fortalecimiento de su proceso de aprendizaje. Como Ministerio sabemos que la excelencia educativa se gesta en el aula / y es allí donde se deben concentrar todos los esfuerzos de transformación. Por esto/ dotar de herramientas pedagóg(cas suficientes e idóneas que acompañen y refuercen la práctica en el salón de clase/ es la forma en la que se hará visible el esfuerzo de un equipo de rectores y docentes pioneros comprometidos con el mejoramiento de la ca lidad en la educación. Por esta razón/ el Ministerio de Educación Nacional presenta el siguiente material de apoyo para el proceso pedagógico de enseñanza de lengua je y matemáticas/ de alta calidad. Este material ha sido seleccionado de manera juiciosa por expertos/ para que docentes y estudiantes lo incorporen a la práctica de aula/ los trabajen/ los disfruten con su familia / aprendan con ellos y descubran un mundo de narraciones mágicas y problemas matemáticos que les dará paso a un nuevo universo de posibilidades. Estos libros / cuadernos de trabajo y guías llegarán a los colegios y cobrarán vida en el aula gracias al compromiso y dedicación de cada uno de ustedes. Por esto es importante explorarlos/ conocerlos y apropiarlos; con seguridad este será un paso más hacia nuestra meta de hacer de Colombia la más educada con ustedes como los protagonistas en este nuevo capítulo de su historia. Sin lugar a duda / esta es una de las apuestas más importantes por el futuro del país.

Este libro está organizado en seis divisiones o unidades. Cada una de ellas se compone de subdivisiones o temas. Las unidades presentan la siguiente estructura:

F t

. .___....,.._,.,tlft4.

Números racionales

Apertura de unidad

nt"""-

•A-• .c......-6t ..

-

·~'-

En esta doble página recordarás aquello que ya sabes y conocerás lo que vas a aprender y su aplicación en w vida cotidiana. ,

Ruta didáctica El desarrollo de todos los contenidos presenta la siguiente ruta didáctica.

~ Recuerda que estas actividades ~ las debes realizar en tu cuaderno.

Desarrolla los contenidos del tema. Sintetiza los conceptos básicos que debes aprender. 2

, Perimetro de fiyuras pla nas

·~ &D 5i .....ri~IIIIIIWIICOpMI I>Ma..,_lii~·-·CollU . . l-4tt>fC.....~n

Explora lo que· 1 ya sabes.

IOU.,_a. ;a)mcJ~ Cbddt o a. (-8) · (-4)

c. ( -13). (-42)

.~

E 1'0 11\

e

rf

e

Ejercitación

Resuelve y completa la Tabla 1.15.

b. (-31) · (-4) d. (- 23) . (- 6)

1- - 7_ 5

- 12

8

-8

14

-11

f. (-18) . (-35)

e. 42 · ( -7)

O Halla el número que falta para obtener el resultado =35

a. 7 ·

=-540

c. 9·

e. · '

f. (

· 25 = -100

g. 12 . (

=-24

o

-~~

..

Tabla 1.15

. 200 = -400

Escribe la multiplicación que se representó en cada

A caso.

=-51

a. f- +4 -1- +4 -1- +4 -t- +4 -1- +4 - f- +4 -l 1 O

4

1 4

1 B

1 12

1 16

1 20

1 24

1 . ,... 28 32 Figura 1.33

Comunicación

e •

Doble Triple Cuádruple

- 12

-6

- 13

21

-32

1 -21

4

· _r-rt!-t~ Tabla 1.14

O Indica si cada afirmación es verdadera o falsa. · •

O Resuelve.

a. (-2) · (-2) · (-2) b. (-2) . (-2) . (-2)' ( -2) c. (-2) . (-2) . (-2). (-2) . (-2)

•

d. ¿Qué signo tiene el resultado de multiplicar (-2) por sí mismo 981 veces? e. ¿Cuál es el signo del siguiente producto? (-1). (-.2) . ( -3) . ( -4)".. . ( -1 056)

, número entero. b. El producto de dos números e.nteros negativos es un número entero negativo. c. El número Oes el elemento neutro de la multi-

plicación de los números enteros. d. La multiplicación de números enteros no cum-

ple la propiedad conmutativa. Ruonamiento

,¡ . 'Escribe como producto de dos factores los siguien• . tes resultados (puede haber más de una solución). -14

c. 6 e. - 25

g. - 75

b. 300 d. 84 f. -90 h. 105

1- - 3 + - 3 + - 3 -1- -3 -1- -3 -1- -3 -1 1 1 1 1 1 1 1 1-18 -15 - 12 -9 -6 -3 oFigura 1.34 3

Razonamiento

a. Él producto de dos números enteros es otro

1.

~)

b.

Completa la Tabla 1.14. Número

\

Comunicación

8

·(-15)=0

h. (-17).

) = 12

-2

.

b (-3)· ,

d.

J

16

> que se muestra en cada caso.

~·-=l

9

-31 ' 20 -13

-9

a · e· ( -1)

a·b · e

e

b

a

f) Reemplaza en las operaciones las lenas por sus val o•

res correspondientes. Luego, calcula los resúltados:

m= -2

n= 5

a. (m · q) · (n · p) c. (m

+ p) · (n- q)

p = -7

q = -10

b. m · (n + p) d. (2m) · p · (2n) · q

G) Lee cada situación y justifícala dando un ejemplo. .A a. Si multiplicas dos números enteros que no tienen el mismo signo, ¿qué resultado 6btendrás? b. Si multiplicas dos números enteros negativos, ¿qué resultado obtendrás?

1

Pensamiento numérico 1

'

1

Realiza todas las actiVidades en tu cuaderno

. '

•

4D Completa las.casillas de cada cuadrado con núme-

CD Completa la pirámides de la figura 1.35, teniendo en

ros enteros, de forma que el producto por filas y columnas sea el mismo .

cuenta que la casilla superior es el resultado de la multiplicación de las dos casillas inferiores.

.>

. ~

~ '

a.

e

(

- 2 10

25 -20

b.

-5

3


n

Figura 4.45

e

Un uiángulo rectángulo tiene los dos catetos con~ gruentes. ¿Qué puedes decir de los dos ángulos agudos que tiene ese triángulo?

1-

~

l,

b. a = 6 cm, b = 4 cm y m4C = 56°

T

o

y-1

r X

Figura 4.39

Figura 4.38

\

F~-

\

a. a = 3 cm, b = 4 cm y e = 3 cm 36°

d.

e

s/

1

u dados en cada caso.

z

c.

N

D

b.

"l

e

60°r S

(

Figura 4.43

·---->

Figura 4.37

b.

o \

p

a.

.......~

c"lasifica los siguientes triángulos de acuerdo con la ~$ medida de sus ángulos. ·

R , 60°

(

O Halla el valor de las incógnitas en cada figura.

/

Figura 4.36

T

\

Figura 4.42

'>,

"" J

~

V

H

R

a..

M

d. Algunos triángulos son rectángulos e isósceles. e. Ningún triángulo rectángul~ acutángulo.

mide 15 dam en uno de sus lados y 12 dam en otro y que tiene forma triangular. Se sabe que el ángulo comprendido entre este par de lados mide 35°. a. ¿Cuál es la representación del terreno? Dibújala en tu cúaderno. -b. Usa la regla y luego realiza las conversiones pertinentes para encontrar la longitud del tercer lado. c. ¿Cuánta malla debe comprar Francisco en total?

Q.],\.iQ ¿Recuerdas qué son ángulos complementarios? Consulta. Luego, responde.

El triángulo ABC de la Figura 4.46 es rectángulo ya que 4-C es recto y 4-A mide 60°. Para calcular la medida del 4-B se puede partir del hecho de que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.

+ m4-B + m4-C = 180° 60° + m4-B + 90° = 180° m4-B = 180°- 150° = 30°

Si los ángulos 4-A y 4-B sori complementarios y m4-A = 32°, ¿cuál es la medida del 4-B?

m4-A

3.1 Propiedades relacionadas con los ángulos del triángulo

t;l'lfli Una escalera está apoyada en una pared formando un ángulo de 60° con el piso (Figura 4.46).

1. La suma de las medidas de sus ángulos internos es 180°.

2. La suma de las medidas de sus ángulos externos es 360°.

8

S

\a

/. j-;6

s··........-

2

.... ..: • ¿Cuál es medida del ángulo B? ......... . .. . .. .....••••••.... .. .. 1(···· ..~

e

3

,

-- it A

Figura 4A7

4 ~

Figura 4.48

A~--

Figura 4.46

m4-1 + m4-2

+ m4-3 = 180°

3. La medida de un ángulo exterior

es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes a dicho ángulo.

m4-4

+ m4-5 + m4-6 = 360°

4. Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a esos lados son congruentes. 8

({

Figura 4.50

Figura 4.49

m4-4 = m4-2

+ m4-3

A

Si AB :::: BC, m4-A = m4-C

- -DlitUJ @j 1 e

En el triángulo CBX:

'-...../

m4-X + m4-C + m4-B = 180° Entonces, m4-X + 100° + 36° Luego, m 4-X = 44°.

,_- .

=

180°

100°

X

36°( 8 Figura 4.51

3.2 Propiedades relacionadas con los lados del triángulo 1. En un triángulo, la medida de uno

de los lados es menor que la suma de los otros dos y mayor que la diferencia.

S

b

~\

~ Al---c -

2. En un triángulo, aliado mayor se opone el ángulo mayor.

a

\

- -18 Figura 4.53

Figura 4.52

ab-c

Como b es mayor que a y e, enwnces 48 es mayor que 4A y 4C.

Es posible construir un triángulo cuyos lados midan 7 cm, S cm y 3 cm, dado que se cumplen las siguientes relaciones:

a

......

poliedros

Ejercitación

O Determina el volumen del sólido de la Figura 5.76.

T 6,2 dm

-- --

Sdm - - - 1 Figura 5.72

3,4cm

·- - · - --

---··---------

---•' Figura 5.76

l

Unificar unidades de medida

Un centro comercial ha dispuesto un espacio rectangular de 72 m2 para poner un salón de juegos. Si se quiere cubrir el piso con baldosas cuadradas_.de 50 cm de lado, ¿cuántas ba ldosas se req uieren?

Aplica la estrategia En una bodega rectangular de área 120m 2 se almacenan 25 mesas de ping-pong de las dimensiones que se muestran en la Figura 5.77.

1. Comorende el problema

¿En qué unidades están expresadas las medidas que proporciona el problema?

Figura S.77

R: 1:: area del5ilton esta expresada en m' y el bdo de cada baldosa e

~

~

Q u

s

o

i~

25 26 26 22

24 28 27 26

23 22 28 28

t

+-

3

~

1

5

1

t

2

3

t

5

2

3 3

3 -l-

2

6

r

3

4

2

3

4 Tabla 6.10

Número de goles anotados por cada equipo participante en un torneo de fút bol

25 27 25 24

t-

12

+-

Pazonamiento

28 26 22 23

..

-

--- _L

70

4

•

-

¿Cuántas horas diarias dedica a ver televisión?

2

Morado

. Frecuencia Frecuencia Frecuenc1a acumulada relativa

22 23 22 27

a. ¿Qué tipo de variable se observó? b. ¿Cuántos equipos anotaron 24 goles o menos? c. ¿Cuántos goles de diferenci.a hay entre el equipo más goleador y el menos efectivo?

1.

¿Qué tipo de variable hay en este ejercicio?

b. Escribe tres conclusiones de esta información.

O Realiza un estudio entre tus compañeros acerca

* del deporte de su preferencia.

Construye la correspondiente tabla de frecuencias. Expresa la frecuencia relativa en forma de porcentaje. ¿Qué porcentaje representa el deporte que prefieren tus compañeros? 187

Gráficas estadísticas

Gt.l#.Ni Supón que se quiere 9btener información acerca de los géneros musicales preferidos por los estudiantes de séptimo grado. ¿Qué podrías hacer para recoger esta información? ¿De qué forma podrías representar los datos?

12

La información que se recogió en la encuesta puede representarse con una gráfica de barras, cuyas alcuras son proporcionales a las frecuencias absolutas.

10 8 6 4

2 O

San Andrés

Amazonas

Eje Cafetero

Costa Atlántica

Figura 6.3

Una gráfica o un diagrama de barras se utiliza para presentar datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo discreto. En el eje horizontal se ubican las variables. En el eje vertical, las frecuencias.

..• 'f&'

~ En grado undécimo se rea lizó una

: encuesta sobre el destino preferí: do para realizar la excursión de fin

de año. En la Tabla 6.11 se presen: tan los resultados obtenidos. Posibles destinos de excursión San Andrés Amazonas Eje Cafetero Costa Adántica

Para representar datos de variables cualitativas o cuantitativas discretas también es útil el uso de gráficas o diagramas circulares. Este tipo de diagramas distribuye la superficie de un círculo en sectores de amplitud proporcional a la frecuencia relativa de cada dato.

Votos

~

5

En la Tabla 6.12 se muestran los datos obtenidos sobre las preferencias deportivas de un grupo de 127 estudiantes. Para calcular la amplitud del ángulo central que le corresponde a c;ada dato en un diagrama circular, se multiplica cada frecuencia relativa (h) por 360°. La Figura 6.4 presenta el diagrama circular correspondiente al escudio.

9

7 10 Tabla 6.11

• ¿Representa gráficamente la información.

....................••.•••..........••. Ciclismo

400

1."

·- · -···-···

- --- --

-

• z.· • 3.•

300 200 100 1995

1999

2003

2007

201 1

Figura 6.5

188)

43 0,339 0,339 . 360°

Fútbol

=

122°

Atletismo 27 0,212 0,2 12 · 360° = 76° Baloncesto

14 0,110 0,110. 360° = 40°

Natación

31 0,244 0,244 · 360° = 88°

Ciclismo

12 0,094 0,094 · 360°

=

34°

Tabla 6.12

Los gráficos o diagramas de líneas muestran un conjunto de puntos conectados mediante una sola línea. Estos gráficos se usan principalmente para mostrar las variaciones de una o más variables estadísticas .con respecto al cambio de otra variable, que usualmente es el tiempo.

Figura 6.4

500 ····-·

Medida del ángulo central

Deporte

1

La Tabla 6.13 presenta la variación del número de estudiantes matriculados en los primeros grados de los calegios de cierta localidad desde 1995 hasta 2011, y la Figura 6.5 muestra el diagrama de líneas correspondiente.

1.0

2.o

3.o

1995

25

75

140

1999

35

85

90

2003

35

155

250

2007

70

105

65

120

125

175

2011

Tabla 6.13

a ti) z g

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