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UNIVERSIDAD UNIPANAMERICANA COMPENSAR

JORGE CORREOR JIMENEZ

INGENIERIA DE SISTEMAS

MATEMATICAS DISCRETA

TEORIA DE CONTEO 1. Al final de una reunión se observa que los invitados se retiran en grupos de 4 para conseguir movilidad; notándose que podrían formarse 70 grupos distintos; ¿Cuántos invitados hubo en dicha reunión? 𝑥/4 = 70 4(𝑥/4) = 70 ∗ 4 𝑥 = 70 ∗ 4

𝑥 = 280 2. De 7 hombres y 5 mujeres se forman grupos mixtos de 6 personas; ¿de cuantas maneras se pueden formar los grupos?

Supondremos que cada hombre y cada mujer son distinguibles. Veamos de las 12 personas cuantos comités se pueden forman: es la manera de tomar de 12 personas 6 de ellas, es decir, combinaciones de 12 en 6 C (12,6) = 12 ! / ( ( 12-6)!*6!) = 924 En caso que no aparezca ninguna mujer: - Tomamos de los 7 hombres 6 de ellos C (7,6) = 7! / ( (7-6)!*6!) = 7 Ahora si aparece una sola mujer: tomamos de las 5 mujeres una de ellas y de los 7 hombres 5 de ellos. = C(5,1) * C(7,5) = 5! / ((5-1)! *1!) * 7! / ((7-5)! *5!) = 5*21 = 105 3. ¿De cuántas maneras se pueden sentar 7 amigos alrededor de una mesa circular, si tres de ellos deben estar juntos? Se realiza por permutación circular: (n - 1)! n = número de personas Pero como tres de ellos van a estar juntos a los 3 lo cuentas como si fuera uno: Pc = (5 - 1)! Pc = 4! = 24 Pero los que están juntos también se pueden cambiar de sitio, pero solo entre los 3:

Permutación lineal: Permutación lineal = n! / (n - k)! Permutación lineal = 3! / (3 - 3)! Permutación lineal = 3! = 6 = 24 x 6 = 144 Respuesta: En total son 144 maneras de sentarse

4. ¿De cuántas maneras 2 peruanos y 4 argentinos se pueden sentar en fila, de modo que no se separen los de la misma nacionalidad? Aplicaremos el uso de permutaciones 2 peruanos = 2! = 2 4 colombianos 4! = 24 3 paraguayos 3! = 6 Las personas de la misma nacionalidad se sentarán juntos. 3 grupos de 3 Por permutación = 3! = 6 Por lo anterior, 2 x 24 x 6 x 6 = 1728 En total, existen 1728 maneras de sentarse 5. ¿De cuántas maneras se pueden escoger un comité de 3 hombres y una mujer a partir de un grupo de 5 hombres y 3 mujeres?

Siendo así, por un lado, calculo las combinaciones de las 5 mujeres tomadas 3

(PCx)(N−PC n−x) NCn

=

Primero vamos a hallar la probabilidad de los hombres que van a componer el comité. Datos: N = 5 (Hombres en total) x = 3 (Probabilidad) Se reemplazan los valores. ! ( 34) = 3!∗(44−3 )!

C

4∗3∗2 !

= 4∗3∗2∗2 ! 12

= 24 = 0,5 Grupos de hombres.

Ahora vamos a hallar la probabilidad de las mujeres que van a componer el comité. Datos: N = 3 (Mujeres en total) x = 1 (Probabilidad) Se reemplazan los valores. ! (13 ) = 1!∗(33−1 )!

C

=

3∗2∗1! 2∗1 ! 6

= 2 = 3 Grupos de mujeres La probabilidad que se cree un comité de 3 hombres y una mujer es de 1,5 6. ¿Cuántas cadenas de byts de longitud 5 no contiene dos unos consecutivos? 

10 Cadenas de BITS no contienen dos unos consecutivos

Primer BIT

Segundo BIT

Tercer BIT

Cuarto BIT

Quinto BIT 0

00000

1 0

00001 01000

1 0 0

01001 01010 10000

1 0 0 1

10001 10010 10100 10101

0 0 0 0 1

1 0

1 0 1 0

0 1

0 1

1 0

7. ¿Cuál es el número mínimo de estudiantes que debe haber en una clase para estar seguro de que al menos ocho reciben la misma calificación, si las calificaciones posibles son Insuficiente, Aceptable, Sobresaliente y Excelente?

Calificaciones: Insuficiente, Aceptable, Sobresaliente y Excelente Mínimo de estudiantes: 29

Calificaciones Insuficiente Aceptable Sobresaliente Excelente

Personas 8 7 7 7

El mínimo de estudiantes es de 7. PROBABILIDAD 8. Un empleado de Infotech debe introducir información de productos en la computadora. El empleado puede usar una pluma de luz que trasmite la información a la PC junto con el teclado para dar los comandos, o puede llenar los círculos en una hoja y colocarla en el lector óptico de la computadora mainframe. Se conocen las siguientes probabilidades históricas: P(falla con pluma de luz)=0.025 P(falla con teclado)=0.15 P(falla con pluma de luz y teclado)=0.005 P(falla con computadora grande)=0.25 Los datos pueden introducirse en la PC sólo si funcionan tanto la pluma de luz como el teclado. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado pueda usar la PC par introducir los datos? P (usar PC) = 1 – (P(A) + P (B) –P (AB)) =1-(0,025+ 0,15 – 0,005) =1- 0,17=0,83 b) ¿Cuál es la probabilidad de que falle la PC o la computadora mainframe? Suponga que no pueden fallar al mismo tiempo. P (fallo PC o fallo main) =P(A) +P(B) – P(AB) + P(C) = 0.17 + 0,25 = 0,42 9. La biblioteca de la universidad ha entrevistado a afiliados elegidos al azar durante el último mes para ver quiénes usan la biblioteca y qué servicios requieren. Los afiliados se clasifican en licenciatura, posgrado y académicos. Los servicios se clasifican como consulta, publicaciones periódicas o libros. La tabla contiene los datos de 350 personas. Suponga que los afiliados usan sólo un servicio por visita. Afiliados Referencia

Publ.periódicas

Libros

Licenciatura Posgrado Académicos

44 24 16 84

26 61 69 156

72 20 18 110

Encuentre la probabilidad de que un afiliado seleccionado al azar

a) sea estudiante de licenciatura.

142

= 350 b) visite la sección de publicaciones periódicas, dado que es un estudiante de posgrado.

61

= 350 d) sea de licenciatura y visite la sección de libros.

72

= 350 TEOREMA DE BAYES 10. La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02. En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?

A = Producirse incidente. B = Sonar la alarma.

0.97

A 0.1

0.03

0.02

B

B’

B

 

0.9 A’ B’

0.98

  P (A / B) =

0,9∗0,02 0,1∗0,97+ 0,9∗0,02

=

0,157

11. En un colectivo de inversiones bursátiles, el 20% realiza operaciones via internet. De los inversores que realizan operaciones via internet, un 80% consulta InfoBolsaWeb. De los inversores bursátiles que no realizan operaciones via internet un 20% consulta InfoBolsaWeb. Se pide:

 

A

B’

0,8

0,2

0,8

0,2

B

0,8

B’

A’

a) Obtener la probabilidad de que un inversor bursátil elegido al azar en este colectivo consulte InfoBolsaWeb. P (B) = 0,2 * 0,8 + 0,8 * 0,2 = 0, 32 b) Si se elige al azar un inversor bursátil de este colectivo y resulta que consulta InfoBolsaWeb, ¿cuál es la probabilidad de que realice operaciones vía internet?

P ( A / B) =

P (B / A) P( A) P( B)

=

0,8∗0,2 0,32

= 0,5

Distribución Binomial 12. El último sondeo político nacional indica que la probabilidad de que estadounidenses elegidos al azar sean conservadores es de 0.55; de que sean liberales es de 0.30, y de

que estén entre una y otra orientación es 0.15. Suponga que estas probabilidades son exactas y responda a las siguientes preguntas referidas a un grupo de 10 estadounidenses seleccionados de manera aleatoria. a) ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro sean liberales? Probabilidad de éxito al 0.30, Fracaso el 0.55. P = 0,30 Q = 1 – 0,30 = 0,7 N = 10 R=4 Prob = 4 = 10! = (0,30) 4 (0,7) 6 24 (720) Prob = 4 = 3628800 = (0,0081) (0,1176) = 17280 Prob = 4 = 210 (0,0081) (0,1176) Prob = 4 = 0,2000 b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno sea conservador? P= 0,55 Q= 1 – 0,55 = 0,45 N= 10 R= 0 Prob = 0 = 10! (0,55) 0 (0,45) 101 (3628800) Prob = 0 = 3628800 (0,55) 0 (0,45) 10 3628800 Prob = 0 = 1 (1) (0,0003) Prob = 0 = 0,0003 c) ¿Cuál es la probabilidad de que dos estén entre una y otra orientación? P= 0,15 Q= 1- 0,15 = 0,85 N= 10 R= 2 Prob = 2 = 10!

(0,15)2 (0,85)8 2 (40320) Prob = 2 = 3628800 (0,0225)(0,2724) 80640 Prob = 2. = 45 (0,0225)(0,2725) Prob =2. = 0,275805 13. Harley Davidson, director de control de calidad de la compañía de automóviles Kyoto Motor, se encuentra realizando su revisión mensual de transmisiones automáticas. En el procedimiento, se retiran 10 transmisiones de la pila de componentes y se les revisa en busca de defectos de fabricación. A lo largo del tiempo, sólo el 2% de las transmisiones tienen defectos (suponga que los defectos se presentan de manera independiente en diferentes transmisiones). a) ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra de Harley contenga más de dos transmisiones con defectos de fábrica?

( nx) p (1-p¿

f (x) =

x

n −x

Para saber la probabilidad de que la muestra contenga más de dos transmisiones con defectos debo hacer: 1-p (x≤ 2¿ p (x≤ 2¿ = p (x = 0) + p (x = 1) + p (x = 2) p (x≤ 2¿ =

(100 ) 0,02

0

(1 - 0.02¿10−0 +

(101 ) 0, 02

1

(1 - 0,02 ¿ ¿10−1+

(101 ) 0, 02

2

(1 - 0,0

2 ¿ ¿10−2 p (x≤ 2¿ = 0,817 + 0,167 + 0,0153 = 0,99906 1 - p (x≤ 2¿ = 1 – 0,99906 = 0,000942 b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las transmisiones elegidas tenga defectos de fábrica? p (x = 0 ¿ =

(100 ) 0,02 ( 0

1 - 0.02¿10−0 = 0,817

Distribución Poisson 14. La concertista de piano Donna Prima está muy molesta por el número de tosidos que se presentan en la audiencia justo antes que empiece a tocar. Durante su última gira, Donna estimó un promedio de ocho tosidos justo antes de empezar su concierto. La

señora Prima le ha advertido a su director que, si escucha más de cinco tosidos en el concierto de esa noche, se rehusará a tocar. ¿Cuál será la probabilidad de que la artista toque esa noche? λ=8r=5 P (r > 5) = 1 –P {(r < 5)} = 1 – {(r = 0) + (r = 1) + (r = 2) + (r = 3) + (r = 4) + (r = 5)}. = 1 – {(0.0003) + (0.0027) + (0.0107) + (0.0286) + (0.0573) + (0.0916)}. = 1 –(0.191) = 0.809 = 80.9 % Respuesta: Hay un 80.9 % de probabilidad de que toque Donna prima Existe un 19.1 % de probabilidad de que si cante Donna Prima 15. En promedio, cinco pájaros chocan contra el monumento a Washington y mueren por este motivo cada semana. Bill Garcy, un oficial del Servicio de Parques Nacionales de Estados Unidos, ha solicitado que el Congreso estadounidense asigne fondos para adquirir equipo que aleje a los pájaros del monumento. Un subcomité del Congreso le ha respondido que no pueden asignarle fondos para tal fin a menos que la probabilidad de que mueran más de tres pájaros cada semana sea mayor a 0.7. ¿Deben destinarse los fondos para espantar pájaros? Tasa de 5 pájaros muertos por semana. λ = 5 pájaros / semana X : Tasa de pájaros muertos por semana que en este caso es de más de 3. Se utiliza distribución Poisson.

P(x>3) =1- p(x≤ 3) P(x>3) = p (0,5) + p (1; 5) + p (2;5) + p (3;5) P(x>3) =

e−5 50 0!

+

e−5 51 + e−5 52 1! 2!

+

e−5 53 = 0,2654 3!

1-p(x≤ 3 ¿=1- 0,2654 = 0,7345 La probabilidad de que se choquen más de 3 pájaros es de 0,7345 la cual es mayor a 0,7.