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UNIVERSIDAD PRIVADA BOLIVIANA DEPARTAMENTO DE INGENIERIA CIVIL

METODO DIRECTO PARA EL TRANSITO DE AVENIDAS EN EMBALSES

por Roger Gustavo Saravia Aramayo asesorado por Ing. William David Iraizos Ramírez

Proyecto de Grado Presentado en Cumplimiento Parcial de los Requisitos para Optar el Título de

LICENCIADO EN INGENIERIA CIVIL Cochabamba - Bolivia Julio de 2002

RESUMEN

En éste Proyecto de Grado se desarrollará extensamente la propuesta de un nuevo método directo para el tránsito de avenidas en embalses. El tránsito de avenidas también conocido como la laminación de avenidas o flood routing en inglés participa imprescindiblemente en el diseño de las presas y los vertederos para la detención de tormentas. La concepción del método directo emerge gracias al Ing. William

Iraizos

Ramírez de la Universidad Privada Boliviana de Cochabamba, asesor y orientador en éste trabajo.

Primero se realizó una revisión necesaria del fundamento teórico que antecede y respalda al tránsito de avenidas en embalses. En ésta parte se tratarán los conceptos básicos como el ciclo hidrológico, los sistemas hidrológicos y los modelos hidrológicos. Enseguida se revisan los procesos hidrológicos para cimentar la ecuación de continuidad que viene a ser la ecuación de partida del método directo. Después se estudian el sistema de agua superficial y la técnica del hidrograma unitario debido al valor que representan en cuanto a los hidrogramas de caudal. Posteriormente se analizan los conceptos claves que involucran los embalses y las presas; en ésta parte se ha incluido muestras existentes de calibre a escala mundial. Finalmente se realiza una extensa exploración de los métodos tradicionales disponibles para el tránsito de avenidas en embalses, se tratan los métodos de técnica tabular más populares y hasta se propone un método gráfico muy simplificado. En la inspección de éstos métodos se tiene un ejemplo de carácter completo y como modelo de comparación.

Una vez establecido el marco teórico, se desarrolla detalladamente el nuevo método directo para el tránsito de avenidas en embalses. En ésta parte se destaca la ecuación principal que comanda el método directo. Primero se hace una revisión conceptual de las propiedades más sobresalientes e importantes de la ecuación principal general. Seguidamente se deducen, desde un principio, las ecuaciones principales para casos específicos de sistemas agregados o sea de sistemas embalse-vertedero. Cada formación de la ecuación principal está acompañado de un análisis de la función implicada por la ecuación, sobretodo para consolidar su representatividad y correspondencia respecto al sistema embalse-vertedero en cuestión y también para demostrar la existencia de su solución. Junto a cada caso específico de sistema embalse-vertedero se ha incluido la resolución de un ejemplo completo para comparación. Por último, se termina el desarrollo del método directo con un análisis de resultados que consiste esencialmente en comparaciones cualitativas y cuantitativas entre los métodos tradicionales y el método directo. Para exponer el potencial del método directo en cuanto a su sencilla aplicabilidad y automatización se describe como se ha creado el programa computacional que acompaña éste Proyecto de Grado haciendo de desarrollo práctico. El programa computacional bautizado como Trans ha sido elaborado en un lenguaje orientado a objetos como el Microsoft Visual Basic que permite la ejecución en un sistema operativo gráfico como el Microsoft Windows. Como se verá, el programa ha sido capacitado para resolver el tránsito de avenidas en embalses para los casos más populares de sistemas embalsevertedero. Lógicamente se ha incluido una explicación a cerca del manejo y operación del programa. Para mostrar la utilidad del programa computacional se analizan dos casos de estudio reales que existen en nuestro medio. Primero se resuelve el tránsito de avenidas en embalses para el caso de la presa Cacapi de los Yungas en La Paz. Luego se resolverá para el caso de la presa Taquiña en Cochabamba. En ambas aplicaciones prácticas se describe el procedimiento de resolución paso a paso y se concluye con un examen de los resultados obtenidos.

Finalmente, se adjuntan en los apéndices la teoría de los vertederos de excedencia, esto como complemento urgente a la revisión teórica de los sistemas embalse-vertedero. Se incluye igualmente teoría sobre dos métodos numéricos poderosos para la resolución de ecuaciones. También se presenta un método algebraico sumamente interesante para la resolución de ecuaciones polinómicas de tercer grado, como una opción en la resolución de las ecuaciones principales del método directo.

INDICE DE CONTENIDO

1

GENERALIDADES

1.1 Introducción ........................................................................................................... 1 1.2 Objetivos ................................................................................................................ 4 1.2.1 Objetivo General ........................................................................................... 4 1.2.2 Objetivos Específicos ................................................................................... 5 1.3 Justificación ............................................................................................................ 5 2

MARCO TEORICO (REVISION BIBLIOGRAFICA)

2.1 Conceptos Básicos .................................................................................................. 7 2.1.1 La Hidrología ............................................................................................... 7 2.1.2 El Ciclo Hidrológico .................................................................................... 9 2.1.3 Sistemas Hidrológicos ................................................................................ 11 2.1.4 Modelos Hidrológicos ................................................................................ 14 2.1.5 Clasificación de los Modelos Hidrológicos ............................................... 16 2.2 Procesos Hidrológicos .......................................................................................... 18 2.2.1 Teorema de Transporte de Reynolds .......................................................... 18 2.2.2 Ecuación de Continuidad ........................................................................... 19 2.3 Agua Superficial ................................................................................................... 21 2.3.1 Hidrograma de Caudal ................................................................................ 21 2.3.2 Hietograma ................................................................................................. 23 2.4 Hidrograma Unitario ............................................................................................ 24 2.5 Embalses ............................................................................................................... 27 2.6 Pronóstico de Avenidas ....................................................................................... 34 2.7 Tránsito de Avenidas ........................................................................................... 35 2.7.1 Concepto de Tránsito .................................................................................. 35 2.7.2 Tránsito de Sistemas Agregados (Embalses) ............................................. 35 2.7.3 Método de la Piscina Nivelada ................................................................... 40 2.7.4 Método SIC (Storage Indication Curve) .................................................... 46 2.7.5 Método Gráfico de Puls (Pulso) ................................................................. 52 3

DESARROLLO TEORICO

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

Método Directo ..................................................................................................... 59 Ecuación de Continuidad para el Tránsito de Avenidas ........................................ 60 Ecuación Principal General ................................................................................... 61 Ecuación Principal para Vertederos Estándar ........................................................ 68 Ecuación Principal para Vertederos Morning Glory ............................................. 95 Ecuación Principal para Estructuras de Salida No Tradicionales ........................ 118 Ecuación Principal para Embalses con Espejo de Agua Variable ....................... 142 Análisis de Resultados ......................................................................................... 163

4

DESARROLLO PRACTICO

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

Programa Computacional para el Tránsito de Avenidas en Embalses................. 170 Plataforma Hardware ........................................................................................... 170 Plataforma Software ............................................................................................ 172 Desarrollo del Algoritmo..........................................................................................176 Programación del Algoritmo ............................................................................... 177 Aplicaciones ........................................................................................................ 180 Operación del Programa ...................................................................................... 181

5

CASOS DE ESTUDIO (APLICACIONES A CASOS PRACTICOS)

5.1 5.2

Presa Cacapi ........................................................................................................ 193 Presa Taquiña ...................................................................................................... 202

6

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .............................................. 213 BIBLIOGRAFIA ............................................................................................... 217

APENDICES A B C

Vertederos ........................................................................................................... 219 Métodos Numéricos para la Resolución de Ecuaciones .........................................228 Métodos Algebraicos para la Resolución de Ecuaciones de Tercer Grado ......... 232

1

CAPITULO 1

GENERALIDADES

1.1

Introducción

Puede definirse a la Hidrología como la ciencia que se ocupa del estudio del ciclo hidrológico. El ciclo hidrológico es el conjunto de cambios que sufre el agua en la Tierra, tanto en su estado (sólido, líquido y gaseoso) como en su presentación (agua superficial, agua subterránea, etc.). Véase la ilustración 1.1.

Ilustración 1. 1. Representación del ciclo hidrológico según el Internet.

2

La Hidrología abarca un tema de gran interés como es el tránsito de caudales. El tránsito de caudales es útil para determinar el tiempo y el caudal (o sea el hidrograma) en un punto de un curso de agua a partir de hidrogramas conocidos en uno o más puntos aguas arriba. Cuando el caudal corresponde a una crecida o avenida el tránsito de caudales se conoce más propiamente como el tránsito de avenidas. El hidrograma de una avenida representa al movimiento de una onda al pasar por un punto. Debe tenerse en cuenta que la forma de la onda cambia según se mueve aguas abajo. Estos cambios que sufre la onda se deben a contribuciones de agua y a que las velocidades en los distintos puntos de la onda son desiguales. Véase la ilustración 1.2.

Caudal

Estación A

Estación B

Estación C

Tiempo

Ilustración 1. 2. Paso de una onda o tránsito.

Las ondas de las avenidas se forman debido a un aumento no uniforme del caudal del curso de agua a causa de una tormenta importante. Para su estudio existen métodos hidrológicos que describen los cambios de la onda durante el tiempo. Estos métodos hidrológicos precisamente están dentro del tránsito de avenidas.

3

Los métodos hidrológicos existentes están basados en procedimientos

que

involucran tablas y gráficas, y permiten obtener resultados ciertamente aproximados. Los principales inconvenientes que presentan estos métodos hidrológicos se listan a continuación: 

Generación preliminar de tablas y curvas (gráficas).



Consulta de curvas.



Resultados regularmente aproximados.



Dificultad en la automatización.



Cambio del intervalo de tiempo.

Estos métodos exigen trabajo preliminar como la generación de tablas y curvas. Exigen también consultar las curvas previamente generadas, lo cual involucra a la interpretación personal que no es la misma de una persona a otra. Consecuentemente, estos métodos solamente pueden brindar resultados regularmente aproximados. Luego, a causa de la intervención personal, estos métodos no permiten su total automatización. Por último, cuando la información que es conocida no está dada a intervalos de tiempo constantes, se tienen dificultades que deben ser resueltas con particular consideración. Este Proyecto de Grado pretende abordar los problemas anteriormente mencionados por medio de la propuesta de un Método Directo para el Tránsito de Avenidas en Embalses. Como se verá en el cuerpo del documento, el método directo evade la generación preliminar de tablas y curvas, y la consecuente consulta de curvas. El método directo promete resultados máximamente aproximados. El método directo es totalmente dable para su automatización. Finalmente, el método directo no presenta dificultad alguna en cuanto al cambio en el intervalo de tiempo de la información de entrada. El método directo para el tránsito de avenidas en embalses se basa en la suposición de una configuración compuesta principalmente de los siguientes elementos:

4 

Embalse



Presa



Estructura de salida

Un embalse ancho y profundo conocido como embalse de piscina horizontal. Una presa de tierra, concreto o cualquier otro material. Una estructura de salida como la de un vertedero de excedencia. Véase la ilustración 1.3. Es importante adelantar que, el método directo es una iniciativa del Prof. Ing. William Iraizos de la Universidad Privada Boliviana de Cochabamba.

Presa Espejo de agua horizontal

Embalse

Estructura de salida

Vaso

Ilustración 1. 3. Esquema de un sistema de almacenamiento.

1.2

Objetivos

1.2.1 Objetivo General

El objetivo general de éste Proyecto de Grado es desarrollar un método directo para el tránsito de avenidas en embalses de piscina horizontal.

5 1.2.2 Objetivos Específicos

El objetivo general implica un número de objetivos específicos importantes: 

Desarrollar la ecuación principal general del método directo para el tránsito de avenidas en embalses.



Desarrollar la ecuación principal del método directo para el tránsito de avenidas en embalses con vertederos estándar.



Desarrollar la ecuación principal del método directo para el tránsito de avenidas en embalses con vertederos Morning Glory.



Desarrollar la ecuación principal del método directo para el tránsito de avenidas en embalses con estructuras de salida no tradicionales.



Desarrollar la ecuación principal del método directo para el tránsito de avenidas en embalses con espejos de agua variables.



Resolver problemas mediante la aplicación del método directo para el tránsito de avenidas en embalses.



Comparar el método directo con otros métodos tradicionales para el tránsito de avenidas en embalses.



Comparar los resultados obtenidos mediante el método directo con los obtenidos mediante otros métodos tradicionales para el tránsito de avenidas en embalses.



Desarrollar un programa en computadora mediante la aplicación del método directo para el tránsito de avenidas en embalses.



Resolver un caso de estudio real mediante la aplicación del programa en computadora mencionado en el punto anterior.

1.3

Justificación

La justificación es enteramente tecnológica porque con el desarrollo del método directo se pretende el mejoramiento del tránsito de avenidas en embalses en lo que respecta a su metodología, a la calidad de los resultados, a su automatización y a otros detalles técnicos propios.

6 El mejoramiento de la metodología del tránsito de avenidas es substancial en cuanto a la disminución de los cálculos preliminares y en cuanto a la aproximación de los resultados. Una mejor aproximación en los resultados obtenidos mediante el tránsito de avenidas sin lugar a dudas es muy beneficiosa en cuanto al diseño y verificación de las estructuras dependientes de los mismos. La automatización del tránsito de avenidas es una ventaja en lo que se refiere a la posibilidad de aplicación del método en un programa de computadora para su reiterada utilización. El desarrollo del método directo para las distintas configuraciones que

fueron

citadas en los objetivos específicos es importante en lo que respecta a la disponibilidad de un método directo acabado aplicable a una diversidad de casos. El desarrollo de un programa en computadora elaborado a partir del método directo es conveniente para el máximo aprovechamiento del método directo, además de ser ventajoso para su aplicabilidad a problemas reales. Finalmente, a causa de que el tránsito de avenidas participa de manera directa en el diseño y/o verificación tanto de la presa como de la estructura de salida de un sistema de almacenamiento, puede afirmarse que la mejora del tránsito de caudales es beneficiosa del todo para cualquier cálculo consecuente relativo a estos sistemas.

7

CAPITULO 2 MARCO TEORICO (REVISION BIBLIOGRAFICA)

2.1

Conceptos Básicos

Los proyectos hidráulicos son de dos tipos: los proyectos referidos a la defensa contra los daños que ocasiona el agua y los referidos al uso del agua. Los proyectos de defensa son los de drenaje urbano, drenaje vial y drenaje agrícola, además de los de encausamiento de ríos y protección contra inundaciones. Los proyectos de uso del agua son los de abastecimiento de agua potable, los de irrigación y los de aprovechamiento hidroeléctrico, además de los de navegación, recreación y otros.

2.1.1 La Hidrología

El agua es abundante en la Tierra, forma parte de todos los seres vivos, y siempre está transformando la fachada de la Tierra. La Hidrología cubre todas las fases del agua en la Tierra, es una disciplina trascendental para el

hombre

Aplicaciones de la Hidrología se hallan en actividades como: 

Abastecimiento de agua.



Control de sedimentos.



Diseño y operación de estructuras hidráulicas.



Drenaje.

y

su

medio

ambiente.

8 

Erosión.



Generación hidroeléctrica.



Inundaciones.



Irrigación.



Navegación.



Protección de la vida.



Uso recreativo del agua.

La Hidrología es útil para estudiar los problemas implicados por las anteriores actividades y para facilitar una orientación en cuanto al planeamiento y empleo de los recursos hidráulicos. Las ciencias hídricas se relacionan con el agua según: 

Su distribución y circulación.



Su interacción con el medio ambiente.



Su interacción con los seres vivos.



Sus propiedades físicas y químicas.

La Hidrología abarca todas las ciencias hídricas. Puede definirse a la Hidrología como la ciencia que estudia el ciclo hidrológico, o sea, la circulación sin fin del agua entre la superficie terrestre y la atmósfera. La circulación, distribución, o la temperatura del agua pueden tener efectos de trascendencia, como las glaciaciones por ejemplo. Las actividades constructivas o destructivas del hombre pueden afectar la circulación y la calidad del agua en la naturaleza. Finalmente, la Hidrología está ligada al estudio de fenómenos naturales, de manera que los métodos que emplea no pueden ser del todo exactos o rígidos, quedando algunas decisiones a criterio del ingeniero. Pero debe caerse en cuenta que esta falta de precisión no es propia únicamente de la Hidrología, sino que es de carácter común en toda la ingeniería, como común es la toma de precauciones. La consideración de la carga de servicio en la mecánica de materiales es otro ejemplo en la ingeniería.

9

2.1.2 Ciclo Hidrológico

Es posible denominar al ciclo hidrológico como el conjunto de cambios que experimenta el agua en la Tierra, tanto en su estado (sólido, líquido y gaseoso) como en su presentación (agua superficial, agua subterránea, etc.). El agua está presente en un espacio que se conoce como hidrosfera, que va desde la atmósfera hasta por debajo de la corteza terrestre. El agua fluye en la hidrosfera a través de complicados caminos que forman el ciclo hidrológico. El ciclo hidrológico es el tema principal de la Hidrología. El ciclo hidrológico es infinito y sus variados procesos suceden ininterrumpidamente. En la ilustración 2.1 se muestra como el agua se evapora desde los océanos y desde la superficie terrestre para convertirse en parte de la atmósfera; el vapor de agua se mueve y asciende en la atmósfera hasta que se condensa y precipita sobre la superficie terrestre o los océanos; el agua precipitada puede ser capturada por la vegetación, transformarse en flujo superficial sobre el suelo, infiltrarse en el suelo, correr a través del suelo como flujo subsuperficial y llegar a los ríos como escurrimiento superficial. La mayor parte del agua capturada y de escurrimiento superficial se evapora. El agua infiltrada puede caer profundamente para recargar el agua subterránea de donde brota en manantiales o se dirige hacia los ríos para formar el escurrimiento superficial, y finalmente fluir hacia el mar o evaporar según continúa el ciclo hidrológico. La cantidad total de agua en la Tierra y en los variados procesos hidrológicos aún no es bien conocida. La tabla 2.1 muestra una estimación de las proporciones de agua en las diferentes formas que existen en la Tierra. Pese a que las proporciones del agua superficial y atmosférica son pequeñas, abundantes cantidades de agua se mueven cada año.

10

Ilustración 2. 1. El ciclo hidrológico según el Internet.

Tabla 2. 1. Distribución del agua en la Tierra.

Océanos

96.5 %

Hielos polares

1.7 %

Manantiales subterráneos

1.7 %

Agua superficial y atmosférica

0.1 %

Total

100.0 %

11

La hidrología de una zona en particular esta determinada por sus propiedades de clima, topografía, geología y hasta vegetación. Sin lugar a dudas las actividades del hombre influyen cada vez más en el medio ambiente, desordenando el equilibrio del ciclo hidrológico e iniciando nuevos procesos y eventos. Por ejemplo, se dice que a causa de la quema de combustibles fósiles, la cantidad de dióxido de carbono en la atmósfera se está acrecentando. Esto puede llevar a un calentamiento en la Tierra y estropear gravemente la hidrología global.

2.1.3 Sistemas Hidrológicos

Los fenómenos hidrológicos son tan complicados que hasta ahora no se los ha podido asimilar a la perfección. No obstante, a falta de un conocimiento excelente, pueden representarse de manera simplificada mediante el concepto de sistema. Recuérdese que un sistema es un conjunto de partes relacionadas entre sí, que componen un entero. Es posible estudiar el ciclo hidrológico como un sistema cuyos componentes son la precipitación, la evaporación, el escurrimiento y otras formas del ciclo hidrológico. Estos componentes pueden reunirse en subsistemas del ciclo total. Así, para estudiar el sistema total, estos subsistemas pueden analizarse independientemente, y combinarse los resultados de acuerdo a la relación entre los mismos. El ciclo hidrológico se representa como un sistema en la ilustración 2.2. Se tienen tres subsistemas: el sistema de agua atmosférica abarca los procesos de precipitación, evaporación, interceptación, y transpiración; el sistema de agua superficial abarca los procesos de flujo superficial, escurrimiento superficial, nacimientos de agua subsuperficial y subterránea, y escurrimiento hacia ríos y océanos; y el sistema de agua subsuperficial abarca los procesos de infiltración, recarga de acuífero, flujo subsuperficial, y flujo de agua subterránea. El flujo subsuperficial ocurre en la capa del suelo próxima a la superficie; el flujo de agua subterránea ocurre en estratos profundos del suelo.

12 Precipitación

Evaporación

Interceptación



1

2

Transpiración

Flujo superficial

Escurrimiento superficial

Escurrimiento a ríos y mares

Infiltración

Flujo subsuperficial

 3

Recarga de agua subterránea

Flujo de agua subterránea

Ilustración 2. 2. Diagrama del sistema hidrológico según Chow. 1) Agua atmosférica. 2) Agua superficial. 3) Agua subsuperficial.

Para la mayor parte de los problemas prácticos solo se toma en cuenta algunos procesos del ciclo hidrológico en un cierto momento, además solamente se toma en cuenta una determinada porción de la superficie terrestre. Para este tratamiento es necesario optar por una definición más limitativa de sistema, la cual se genera a partir del concepto de volumen de control. El volumen de control es una referencia en tres dimensiones a través de la cual el fluido circula. El volumen de control proporciona una estructura para la aplicación de las leyes de conservación de masa y energía y la segunda ley de Newton para obtener ecuaciones de movimiento. El fluido dentro del volumen de control puede considerarse como una masa concentrada en un punto en el espacio cuando se considera la acción de fuerzas externas como la de la gravedad.

13 Entonces, un sistema hidrológico puede definirse como una estructura o volumen en el espacio, rodeada por una frontera, que acepta agua y otras entradas, opera en ellas interiormente y produce salidas (ilustración 2.3). La estructura o volumen en el espacio son todos los caminos del agua desde su entrada hasta su salida. La frontera es una superficie continua definida de manera tridimensional, que aprisiona la estructura o el volumen.

Entrada

Salida Operador

Ilustración 2. 3. Esquema de la operación de un sistema.

La deducción de ecuaciones y modelos en Hidrología involucra un error de aproximación porque los sistemas son complejos, básicamente aleatorios porque su entrada normalmente es la precipitación, un fenómeno soberanamente variable e impredecible. De esto se concluye que el análisis estadístico juega un papel importante en el análisis hidrológico. Si el terreno de una cuenca se estudia en detalle, el número de caminos posibles resulta descomunal. A lo largo de uno de estos caminos, la forma, la pendiente y la rugosidad quizás cambia incesantemente y estos factores pueden cambiar con el tiempo a medida que el suelo cambia en su humedad. De la misma manera, la precipitación varía de forma aleatoria en el espacio y tiempo. De acuerdo a estas complejidades, es imposible explicar algunos procesos hidrológicos a través de leyes físicas exactas. Si se utiliza el concepto de sistema, el empeño se encamina hacia la elaboración de un modelo que relacione entradas y salidas en vez de realizar una representación exacta de los detalles del sistema, lo cual podría ser prácticamente imposible. No obstante, el conocimiento de un sistema físico ayuda en el desarrollo de un buen modelo y en la evaluación de su precisión. La ilustración 2.4 está relacionada con éste párrafo.

14 Precipitación

Frontera Cuenca Caudal Divisoria

Ilustración 2. 4. La cuenca como sistema hidrológico.

2.1.4 Modelos Hidrológicos

El análisis de un sistema hidrológico consiste en estudiar la operación y la salida del mismo. Un modelo de un sistema hidrológico es una aproximación del sistema real; sus entradas y salidas son variables hidrológicas que pueden medirse y su estructura es un conjunto de ecuaciones que relacionan las entradas y salidas. Junto a la estructura del modelo está el concepto de transformación del sistema. Las entradas y salidas como función del tiempo pueden representarse por I (t) y O(t) respectivamente. El sistema transforma la entrada en salida de acuerdo a: O(t) I (t)

(2.1)

La ecuación (2.1) se conoce como ecuación de transformación del sistema. El símbolo  se conoce como la función de transferencia entre la entrada y salida. Si esta relación puede representarse algebraicamente, entonces hace de operador algebraico. O sea:

15

O(t) kI (t)

(2.2)

En la ecuación (2.2), k es una constante. La función de transferencia es el operador:

k 

O(t) I (t)

Si la transformación es una ecuación diferencial, entonces la función

(2.3)

de

transferencia hace de operador diferencial. Si se tiene un embalse cuyo almacenamiento V está relacionado con su caudal O de acuerdo a:

V kO

(2.4)

En la ecuación (2.4) k es una constante que tiene dimensiones de tiempo. Considerando que el cambio del almacenamiento en el embalse es igual a la diferencia entre la entrada y salida: dV

I (t) O(t)

dt

(2.5)

Operando y combinando las ecuaciones (2.4) y (2.5), se tiene:

k

dO

O(t) I (t)

(2.6)

O(t)  1  I (t) 1 kD

(2.7)

dt Luego, según la ecuación (2.1):



16 En la ecuación (2.7), D es el operador diferencial d / dt .

Así, si la ecuación de

transformación ha podido ser encontrada y resuelta, entonces se tendrá la salida una como función de la entrada. La ecuación (2.7) corresponderá a un sistema lineal si k es constante. Por otra parte, si k es una función de la entrada o de la salida, entonces (2.7) corresponderá a un sistema no lineal que será más difícil de resolver.

2.1.5 Clasificación de los Modelos Hidrológicos

Los modelos hidrológicos pueden ser modelos físicos y modelos abstractos. Los modelos físicos incluyen modelos a escala que representan un sistema en una escala reducida. Los modelos físicos incluyen también a los modelos análogos, que se basan en otro sistema físico con propiedades similares a las del original. Los modelos abstractos representan el sistema matemáticamente. El sistema se expresa con un conjunto de ecuaciones que relacionan las variables de entrada y de salida. Estas variables pueden depender del espacio y del tiempo, y también pueden ser variables aleatorias que no tienen un valor clavado en un cierto punto del espacio y tiempo, pero que están descritas mediante distribuciones de probabilidad. Por ejemplo, no puede pronosticarse con precisión la lluvia que caerá la semana entrante, pero si puede calcularse la probabilidad de que llueva. Otro ejemplo, es imposible pronosticar con precisión la intensidad de la precipitación en una tormenta porque varía vertiginosamente en el tiempo y de un lugar a otro, pero es racional representarla por un valor referido a una distribución de probabilidad. Un modelo determinístico no considera la aleatoriedad; una entrada dada produce una misma salida. Un modelo estocástico tiene salidas que son por lo menos parcialmente aleatorias. Se puede decir que los modelos determinísticos hacen pronósticos, mientras que los estocásticos hacen predicciones. Pese a que los fenómenos hidrológicos

implican

siempre aleatoriedad, la variabilidad resultante en la salida puede ser pequeña en comparación con la variabilidad de otros factores conocidos. En tales casos el modelo determinístico es el más apropiado. Si la variación aleatoria es grande, un modelo estocástico es el mejor, porque la salida real podría ser bastante diferente del valor único producido por el valor del modelo determinísitco. Así por ejemplo pueden elaborarse modelos determinísticos para la evaporación diaria en un lugar dado, usando la información de energía y transporte de vapor, pero tal información no puede usarse para elaborar buenos

17 modelos de precipitación diaria en el lugar dado, debido a que la precipitación es de un carácter muy aleatorio. Por lo tanto, la mayoría de los modelos de precipitación son estocásticos. Los fenómenos hidrológicos pueden cambiar en el espacio tridimensional, pero tomar en cuenta toda esta variación puede hacer que el modelo sea muy difícil en la práctica. En un modelo determinístico agregado, el sistema es considerado como un punto único sin dimensiones en el espacio. Por ejemplo, varios modelos del proceso de lluviaescurrimiento toman la entrada de precipitación como uniforme en toda la cuenca y desprecian la variación espacial del flujo en tal cuenca. Por otra parte, un modelo determinístico distribuido considera que los procesos hidrológicos ocurren en varios puntos del lugar y define las variables del modelo como funciones de las dimensiones espaciales. Los modelos estocásticos se clasifican en independientes del espacio y correlacionados con él, de acuerdo con la influencia que las variables aleatorias tengan entre ellas en diferentes puntos del espacio. Los modelos hidrológicos son acercamientos a la realidad porque la salida de un sistema nunca puede pronosticarse con precisión; así mismo los fenómenos hidrológicos varían en el espacio tridimensional y con el tiempo, pero la consideración de las cinco fuentes de variación (aleatoriedad, espacio tridimensional, tiempo) es corrientemente poco práctica. Un modelo práctico solamente considera una o dos fuentes variación. La clasificación de los modelos hidrológicos se muestra en la ilustración 2.5.

Entrada

Salida Sistema

Determínistico

Agregado

Distribuido

Estocástico

Independiente

Dependiente

Ilustración 2. 5 . Clasificación de los modelos hidrológicos.

18

2.2

Procesos Hidrológicos

Los procesos hidrológicos cambian la distribución del agua en el espacio y tiempo a través del ciclo hidrológico. El desplazamiento del agua en un sistema hidrológico depende de las propiedades físicas del sistema, propiedades tales como la medida y la forma de sus líneas de corriente, y por la interacción del agua con otros medios como el aire y el calor. Los cambios de estado del agua también son importantes. Varias leyes físicas están involucradas con la acción de los sistemas hidrológicos. Un artificio esencial para la generación de modelos hidrológicos es el teorema de transporte de Reynolds. Este teorema es aplicable para deducir la ecuación de continuidad. La ecuación de continuidad es fundamental en el tema central de este documento.

2.2.1 Teorema de Transporte de Reynolds

El teorema de transporte de Reynolds toma leyes físicas que generalmente se usan con masas discretas de una sustancia y las aplica a un fluido que circula infinitamente a través de un volumen de control. Para esto deben distinguirse dos tipos de propiedades en los fluidos: propiedades extensivas, cuyos valores dependen de la cantidad de masa, y propiedades intensivas, que son independientes de la masa. Para cualquier propiedad extensiva B puede definirse una propiedad intensiva þ como la cantidad de B por la unidad de masa de fluido, o sea, þ dB / dm .

B y þ pueden ser magnitudes escalares o

vectoriales, dependiendo de la propiedad en cuestión. El teorema de transporte de Reynolds relaciona la magnitud del cambio de la propiedad extensiva de un fluido con respecto al tiempo, dB / dt , con las causas externas que producen este cambio.

Considérese el momentum del fluido,

þ d (mVe ) / dm Ve donde Ve es la velocidad del fluido.

B mVe

y

Nótese que en el caso del

momentum, B, þ y V son cantidades vectoriales. De acuerdo con segunda ley de Newton, la magnitud del cambio del momentum con respecto al tiempo es igual a la fuerza neta

19 aplicada en el fluido: dB / dt d (mVe ) / dt F . Las propiedades extensivas más usadas en Hidrología son la masa, el momentum, la energía del agua líquida y la masa del vapor de agua. Generalmente, cuando se aplica la segunda ley de Newton se pretende seguir el movimiento del cuerpo. Aunque este concepto se aplica a fluidos, es más común considerar que el fluido forma un continuum en el cual no se sigue el movimiento de las partículas individuales. Luego, la atención está en el volumen de control, un marco fijo en el espacio a través del cual el fluido circula. El teorema separa la acción de las influencias externas en el fluido, que se expresan por dB / dt en dos partes: la magnitud del cambio con respecto al tiempo de la propiedad extensiva almacenada en el volumen de control y el flujo neto de la propiedad extensiva a través de la superficie de control:

dB d  dt dt

þqdþqV dA e

v

(2.8)

s

En la ecuación (2.8) el símbolo q representa a la densidad del fluido. La ecuación (2.8) es la que rige el teorema de transporte de Reynolds. El teorema de transporte de Reynolds establece que la magnitud total de cambio de una propiedad extensiva de un fluido es igual a la tasa de cambio de la propiedad extensiva almacenada en el volumen de control, más el flujo neto de la propiedad extensiva a través de la superficie de control. Cuando se usa este teorema, los flujos de entrada se consideran negativos y los de salida positivos.

2.2.2 Ecuación de Continuidad

La ecuación de continuidad es aplicable a un volumen de fluido. Si la masa es la propiedad extensiva en el teorema de transporte de Reynolds, entonces

B m y

þ dB / dm 1. Como la masa no se crea ni se destruye se tiene dB / dt dm / dt 0 . Al tomar en cuenta estas consideraciones en la ecuación (2.8), se tiene:

0 

d dt

qdqV dA e

v

s

(2.9)

20

La ecuación (2.9) es la ecuación de continuidad para un flujo no permanente de densidad variable. Si el flujo tiene densidad constante, se tiene: d

dVe dA 0 dt  v s

(2.10)

La triple integral puede convertirse en la magnitud del cambio del almacenamiento o volumen con respecto al tiempo. La doble integral, el flujo neto, puede dividirse en flujo de entrada y flujo de salida: dV  Ve dA entrada Ve dA 0 dt  salida

(2.11)

La ecuación (2.11) puede escribirse también como: dV

O(t) I (t) 0

(2.12)

I (t) O(t)

(2.13)

dt O mejor: dV dt

La ecuación (2.13) es la ecuación de continuidad para el flujo no permanente de densidad constante usada ampliamente en este documento.

Si el flujo es permanente debe

considerarse dV / dt 0 para que la ecuación (2.13) quede en I (t) O(t) .

Un flujo

permanente es aquel en el cual la velocidad en cada punto del flujo es constante con respecto al tiempo.

21 Si las cantidades totales de flujo de entrada y flujo de salida son iguales, se dice que el sistema es cerrado, luego: 



I (t)dt   O(t)dt



(2.14)



Cuando (2.14) no se cumple se dice que el sistema es abierto. El ciclo hidrológico es un sistema cerrado en lo que respecta al agua, pero el proceso lluvia-escurrimiento en una cuenca es un sistema abierto, porque no toda la lluvia se transforma en escurrimiento; puesto que parte de ella asciende a la atmósfera mediante la evaporación.

2.3

Agua Superficial

El agua superficial es la que se halla almacenando y fluyendo sobre la superficie terrestre. El sistema de agua superficial se relaciona interminablemente con los sistemas de agua atmosférica y subsuperficial.

2.3.1 Hidrograma de Caudal

Un hidrograma de caudal puede ser una gráfica o una tabla que describe el cambio del flujo o caudal en función del tiempo. Puede decirse también que el hidrograma es una expresión de las propiedades topográficas y climáticas que norman las relaciones entre la lluvia y el escurrimiento de una cuenca en particular. Hay dos tipos de hidrogramas importantes: el hidrograma anual y el hidrograma de tormenta o de crecida.

Hidrograma Anual

El hidrograma anual es una gráfica de caudal frente a tiempo en un año, describe el balance de largo plazo de la precipitación, evaporación y el caudal en una determinada cuenca. En la ilustración 2.6 se muestra un hidrograma anual de la región Yungas del departamento de La Paz en Bolivia.

22

Caudal (m3/s) 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5

Tiempo 0

Ilustración 2. 6 . Hidrograma anual de los Yungas de La Paz (1980) según el Senamhi.

Hidrograma de Tormenta

La revisión de los hidrogramas anuales muestra que los picos se producen con escasa frecuencia y son consecuencia de la lluvia por sí sola o junto a un deshiele de la nieve. La ilustración 2.7 expone las cuatro partes de un hidrograma de caudal durante una tormenta. Antes del inicio de la lluvia intensa puede verse que el flujo base desciende paulatinamente (AB). El escurrimiento directo empieza en B, llega a su valor máximo o pico en C y luego termina en D. Finalmente sigue la trayectoria DE en la cual el flujo base otra vez empieza a descender.

23

Caudal

C

D

E B A Tiempo

Ilustración 2. 7. Partes de un hidrograma de tormenta.

2.3.2 Hietograma

Un hietograma de lluvia es una gráfica histograma de profundidad de lluvia o intensidad frente al tiempo como se muestra en la ilustración 2.8. El exceso de precipitación o precipitación efectiva, es la precipitación no retenida en la superficie y tampoco infiltrada en el terreno. Luego de circular por la superficie de la cuenca, el exceso de precipitación se transforma en escurrimiento directo a la salida de la cuenca bajo la presunción de flujo superficial hortoniano; es decir bajo la suposición de que el flujo no es absorbido por el suelo y tampoco interceptado por la vegetación. Las curvas de exceso de precipitación frente al tiempo o hietograma de exceso de precipitación son importantes para el estudio del proceso lluvia-escurrimiento. La diferencia entre el hietograma de lluvia total y el hietograma de exceso de precipitación son las abstracciones

24 o pérdidas.

Las pérdidas son agua absorbida por infiltración más interceptación y

almacenamiento superficial.

Tiempo (h) 7:00

7:30

8:00

8:30

9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:30 12:00 12:30

0

10

Pérdida LLuvia

Lluvia (mm)

20

Exceso de lluvia 30

40

50

60

Ilustración 2. 8. Hietograma de lluvia.

2.4

Hidrograma Unitario

Conocido en un principio como gráfica unitaria de una cuenca, se define como el hidrograma de escurrimiento directo resultante de 1 centímetro de exceso de lluvia generado uniformemente sobre la superficie de drenaje a una tasa constante a lo largo de una duración efectiva. Inicialmente se utilizó el término “unitario” para denotar un tiempo unitario, pero desde entonces se ha entendido frecuentemente como profundidad unitaria de exceso de lluvia. Inicialmente además se estableció el hidrograma unitario para ser empleado únicamente en relación con el escurrimiento superficial El hidrograma unitario es un modelo lineal simple que puede emplearse para derivar el hidrograma resultante de cualquier cantidad de exceso de lluvia. Las siguientes suposiciones son inseparables de este modelo:

25



El exceso de precipitación tiene una intensidad constante a lo largo de la duración efectiva.



El exceso de precipitación está uniformemente distribuido en toda la superficie de la cuenca.



El tiempo base de la duración del escurrimiento directo resultante de un exceso de lluvia de una duración dada es constante. En otras palabras, los hidrogramas generados por tormentas de la misma duración tienen el mismo tiempo base pese a que corresponden a diferentes intensidades de precipitación.



Las ordenadas de todas las duraciones del escurrimiento directo de una base de tiempo común son directamente proporcionales a la cantidad total de escurrimiento presentada por cada hidrograma. Esto se conoce como el principio de proporcionalidad.



Para una determinada cuenca, el hidrograma resultante de un exceso de lluvia dado representa las características que no cambian en la cuenca. En otras palabras, a tormentas iguales corresponden también hidrogramas también iguales. Esto se conoce como el principio de la no variabilidad.

En la realidad, tales suposiciones no se cumplen a la perfección. No obstante, cuando la información hidrológica es seleccionada de tal manera que pueda cumplir tales suposiciones, los resultados obtenidos mediante el hidrograma unitario son razonables en la práctica. En ciertos casos no puede emplearse el modelo a causa de que una o más de las suposiciones no son cumplidas ni siquiera aproximadamente. Por ejemplo, se ha establecido que el hidrograma unitario es inejecutable cuando el escurrimiento es originado por el deshiele.

Obtención del Hidrograma Unitario

Se parte de conocer el hidrograma resultante de una lluvia neta uniforme de duración conocida (t1 horas). Se trata de hallar el hidrograma unitario de las t1 horas para esa cuenca. El método consiste en (ilustración 2.9):

26

1

Separar el flujo base del escurrimiento directo.

2

Por planimetría obtener el volumen de escurrimiento directo V0.

3

Obtener la lámina de escurrimiento directo h de acuerdo a la fórmula h V0 / A . Esta lámina de escurrimiento directo es, por definición, igual a la lámina de la lluvia neta.

4

Dividir las ordenadas de escurrimiento directo entre la lámina h. Los valores obtenidos son las ordenadas del hidrograma unitario de las t1 horas. o 

O h

Caudal Intensidad h (cm)

Tiempo

Tiempo Caudal Intensidad

Hidrograma Unitario

1 (cm) Tie mpo

Tiempo

Ilustración 2. 9. Obtención del hidrograma unitario.

27

Aplicación de los Hidrogramas Unitarios

Conocido el hidrograma unitario de una cuenca para una cierta duración, el hidrograma

unitario

permite

obtener el

hidrograma de

escurrimiento

directo

correspondiente a una tormenta simple de igual duración y una lámina cualquiera de lluvia neta, o el correspondiente a una tormenta compuesta de varios periodos de igual duración y laminas cualesquiera de lluvia neta. La ilustración 2.10 muestra la primera aplicación mencionada.

Caudal

Intensidad

h Tie mpo

H H = h ordenadas del hidrograma unitario

Tiempo

Ilustración 2. 10 . Aplicación del hidrograma unitario.

2.5

Embalses

Un embalse es un depósito de agua formado artificialmente por una presa y sus terrenos circundantes.

28

Los embalses de detención de lluvias se usan para operar aguas de las tormentas. La detención consiste en conservar el escurrimiento durante un período corto antes de retornarlo a su curso natural. Las palabras “detención” y “retención” a veces no son correctamente interpretadas. La retención consiste en conservar el agua en un lugar de almacenamiento durante un período importante con fines estéticos, de consumo, de irrigación, y otros. Quizás el agua nunca retorne a su curso natural y más bien sea consumida por plantas, evaporación o infiltración en el suelo. Las estructuras de detención normalmente no descienden significativamente el volumen total del escurrimiento, sino que sencillamente descienden las tasas de caudal máximo o pico laminando o redistribuyendo el hidrograma de caudal. Los embalses de detención participan ampliamente en este documento. El detener al escurrimiento y despacharlo a una tasa regulada es un principio importante en la operación de aguas de tormentas. En superficies con un realce topográfico serio, el almacenamiento por detención disminuye el pico de los caudales y la elevada energía cinética del escurrimiento superficial. Esta disminución del flujo o caudal puede bajar la erosión del suelo y la cantidad de contaminantes digeridos y llevados por el escurrimiento. Es esencial hacer una revisión a las estructuras llamadas presas puesto que son las estructuras que forman los embalses.

Presas

Las presas son construidas para componer un embalse, una carga hidráulica o una superficie de agua: 

Un embalse es usado para coordinar la producción de agua con las necesidades de agua. Un embalse sirve entonces para el almacenamiento temporal de agua. Existen presas para el abastecimiento de agua, irrigación o energía hidroeléctrica. Usualmente, el agua es almacenada durante el período de lluvias y usada durante el período de sequía. Las presas son estructuras efectivas para

29 la protección contra inundaciones puesto que almacenan el agua y la despachan con cierta demora. 

Una carga hidráulica sirve para la generación de energía eléctrica en una planta hidroeléctrica.

También un río puede ser mejorado para la navegación

mediante la creación de una cola de agua. 

Una superficie de agua permite la navegación y recreación. Resumidamente, las presas son estructuras que forman embalses para usos

diferentes: 

Alimentación del hombre y de los animales.



Creación de paisajes, de zonas de reposo o zonas de recreación.



Estancamiento de sedimentos.



Industria.



Irrigación de cultivos como aquellos de regiones áridas.



Piscicultura.



Producción de energía eléctrica.



Regulación de ríos navegables.



Vegetación acuática.

La hidráulica de presas estudia todas las cuestiones hidráulicas relacionadas con la construcción, operación y seguridad de presas. Durante la construcción el río tiene que ser desviado mediante canales, túneles u otros. Un desagüe es necesario durante el primer llenado del embalse. Un desagüe permite un control de llenado y puede ser incorporado para el vaciado del embalse. El proceso de vaciado es necesario en circunstancias de peligro, verificación o lavado del embalse. Para la utilización del agua una estructura de toma es construida. Para evitar el rebalse por la presa se tiene una estructura de excedencia capaz de despachar tormentas extraordinarias sin daños significativos. La hidráulica de presas estudia el diseño hidráulico de los siguientes puntos: 

Desviación de la fuente durante la construcción.



Desagües.



Estructuras de toma.

30 

Estructuras de excedencia.

Otros problemas particulares incluyen la formación de vórtices en las estructuras de toma, entrada de aire, cavitación, vibración, disipación de energía y erosión.

Algunas Presas Importantes

Las partes de una presa pueden ser descritas aprovechando importantes estructuras existentes a escala internacional.

Ilustración 2. 11 . La presa de Karakaya en Turquía según Vischer y Hager (1988). 1) Estructura de toma. 2) Túneles de desviación. 3) Cámaras de inspección. 4) Ataguía o cofferdam. 5) Casa de servicio. 6) Zona de desagüe. 7) Casa de Maquínas.

31 La ilustración 2.11 está referida a la presa Karakaya en Turquía. La presa de Karakaya está sobre el río Euphrates, y es uno de los esquemas más inmensos para la irrigación y el aprovechamiento hidroeléctrico a lo largo del mundo. El área de captura tiene alrededor de 80000 Km2 y la descarga promedio es de 725 m3/s. La capacidad total del embalse es casi 10x109 m3 con un espejo de agua de 300 Km2 y una longitud de 166 Km. La altura máxima de la presa llega a 173 m y la longitud de la cresta es de 462 m. La descarga de diseño es de 17000 m3/s y la descarga máxima es de 22000 m3/s. La potencia generada es de 1800 MW y la producción anual puede llegar hasta 7100 GWh. La caída sobre las turbinas francis tiene una media de 150 m. Karakaya es una presa de concreto con diez estructuras de excedencia con compuertas, cada una de 14 m de ancho que descarga en tres rebosaderos concéntricamente construidos. El rebalse o excedencia descarga en el río Euphrates. La carga de diseño para las estructuras de excedencia es de 13 m. Finalmente, la construcción empezó en 1975 y terminó en 1988. La presa de Itaipu es una de las más gigantescas de la Tierra en lo que respecta al aprovechamiento hidroeléctrico. La presa de Itaipu está ubicada sobre el río Paraná y es propiedad de Brasil y Paraguay. La ilustración 2.12 muestra un esquema vista superior de la presa. El esquema Itaipu tiene un embalse de 170 Km de largo y hasta 8 Km de ancho. La presa de concreto es de 2.6 Km de largo y hasta 196 m de alto. Las presas de tierra son de 5 Km de largo. El vertedero está diseñado para una descarga de 62000 m3/s con un período de retorno de 10000 años. La casa de máquinas es de 1 Km de largo y está equipada con 18 turbinas Francis de 8.5 m de diámetro y de 700 MW cada una. Durante el período de construcción se emplearon a 35000 personas. Las dimensiones de los esquemas son tremendos: 64 millones de m3 de roca y tierra fueron removidos, 12 millones de m3 de concreto y 500000 toneladas de acero fueron usados. En 1984, la primera explotación hidroeléctrica fue para la ciudad de Sao Paolo (Brasil). El impacto ambiental fue enorme: 10000 campesinos tuvieron que ser reubicados y 1350 Km2 fueron inundados. Un área de forestación de 230 Km2 fue establecida en las orillas del embalse para prevenir la erosión. La vida salvaje fue rescatada y transferida a zonas de

32 reserva.

En el embalse, 125 especies de peces fueron acomodadas además de otras

facilidades para las mismas.

Ilustración 2. 12. La presa de Itaipú de Brasil y Paraguay según Hager y Vischer (1988). 1) Presa principal. 2) Casa de máquinas. 3) Canales de desviación. 4) Presa izquierda de roca y tierra. 5) Estructura de toma. 6) Vertedero. 7) Presa derecha de tierra.

En cuanto a los vertederos, tres canales de salida fueron elegidos como combinación entre economía y flexibilidad operacional. La carga de diseño para los vertederos es de 20 m con un máximo de 23 m. En total fueron instalados 14 vertederos con compuertas con una capacidad máxima de 62000 m3/s. La longitud total de los tres canales juntos es de 350 m. El ancho total del canal es mantenido constante.

33 La descarga específica de diseño del canal es de 180 m2/s, y la velocidad de salida es 40 m/s. Tales valores de descarga y velocidad tienen gran predominio en la trayectoria del chorro. La técnica para la disipación de la energía fue cuidadosamente seleccionada. Bloques de disipación de energía fueron construidos teniendo en cuenta que parte de la energía es disipada en el aire antes del impacto sobre el colchón de agua. Se realizaron estudios adicionales para determinar la disipación de energía en los canales y la erosión en la cama del río Paraná. Esto fue necesario a causa de: 

La alta frecuencia de la operación del vertedero.



La concentración extrema de descarga cuando menos de tres canales están en uso.



La alta descarga unitaria y velocidad del chorro.



La incertidumbre del efecto del colchón de agua.

La presa Tres gargantas que actualmente se está construyendo en China será el esquema más grande del mundo en lo que respecta al aprovechamiento hidroeléctrico. La presa tiene una corona de 1.9 Km, una longitud del embalse de 595 Km y una profundidad de 160 m. Este proyecto tendrá un costo virtualmente mayor que cualquier otro proyecto en la historia. La idea de construir una presa sobre el río Yangtze para controlar inundaciones y para el aprovechamiento hidroeléctrico ha sido un sueño de varias generaciones desde la revolución democrática de China. La primera proposición para la construcción de la presa data de 1919 cuando el Dr. Sun Yat Sen sugirió construir una presa en las Tres gargantas. Desde 1954, científicos e ingenieros se han dedicado al planeamiento y diseño del proyecto. La capacidad de aprovechamiento hidroeléctrico de 17 millones de kW es la más grande de la historia. Se ha proyectado una generación de potencia evaluada en 84 billones de kWh por año, lo cual es equivalente a una mina de carbón de 40 a 50 toneladas por año. El proyecto suministrará energía principalmente a China central, Hubei, Hunan, Henen, Jiangsu, y Anhui. El proyecto costará cerca de 11 billones de dólares. Una vez terminado,

34 la presa tendrá una altura de 185 m y una capacidad de almacenamiento de 39.3 billones de metros cúbicos de agua. El impacto ambiental es sumamente enorme. La presa ocupará casi dos ciudades y cerca de 1.1 millones de personas están siendo transferidas a otras zonas a cuenta de un tercio del costo del proyecto. El proyecto causará también un daño a la vida salvaje como peces, delfines, tigres y hasta osos panda que serán rescatados y transferidos a zonas de reserva. Finalmente, se ha discutido que la construcción de la presa afectará el hermoso paisaje fuente de valioso turismo. La construcción del proyecto se ha iniciado en 1994 y se ha previsto su terminación para el año 2010. Las tres presas importantes que se han mencionado están resumidas en el siguiente cuadro a manera de comparación de acuerdo a parámetros seleccionados:

Tabla 2. 2 . Comparación de tres presas importantes a escala mundial.

Presa

Karakaya

Itaipú

Tres gargantas

Turquía

Brasil y Paraguay

China

Euphrates

Paraná

Yangtze

Corona

462 m

13 Km

Altura

173 m

196 m

185 m

166 Km

170 Km

595 Km

1800 MW

12600 MW

17000 MW

Ubicación Río interceptado

Longitud del embalse Potencia

2.6

Pronóstico de Avenidas

El pronóstico de avenidas es un campo en crecimiento de las técnicas hidrológicas. La meta es conseguir información en tiempo real de precipitación y caudales a través de

35 una red de microondas, radio o vía satélite, emplear dicha información en aplicaciones o programas de lluvia-escurrimiento y de tránsito de caudales y presagiar los caudales de las avenidas y los niveles de agua para lapsos desde pocas horas hasta pocos días en el futuro, dependiendo de la magnitud de la cuenca. Los pronósticos de avenidas son útiles para alarmar a la población con el objetivo de abandonar áreas con advertencia de inundación y para colaborar al personal encargado del manejo de aguas en la manipulación de estructuras para el control de inundaciones, tales como vertederos con compuertas en embalses.

2.7

Tránsito de Avenidas

2.7.1 Concepto de Tránsito

El procedimiento para hallar el hidrograma en un punto de curso de agua a partir de un hidrograma conocido aguas arriba se conoce como tránsito de caudales. Si se trata de una avenida o crecida el procedimiento se conoce como tránsito de avenidas e incluso como laminación de avenidas. De manera general, el tránsito de caudales es un análisis para seguir el caudal a través de un sistema hidrológico conocida una entrada. En el tránsito agregado se calcula el caudal en función del tiempo únicamente. En el tránsito distribuido se calcula el caudal en función del espacio y tiempo a través del sistema. El tránsito agregado es conocido también como tránsito hidrológico. El tránsito distribuido es conocido también como tránsito hidráulico.

2.7.2 Tránsito de Sistemas Agregados (Embalses)

En un sistema hidrológico, la entrada, la salida y el almacenamiento están relacionados por la ecuación de continuidad: dV dt

I (t) O(t)

(2.15)

36 Si bien el hidrograma de entrada I (t) puede estar definido, no garantiza la obtención del hidrograma de salida O(t) a partir de la ecuación (2.15) puesto que O como V son desconocidas. Es necesaria una relación adicional o función de almacenamiento para relacionar V, I y O; así lograr dos ecuaciones para que las dos incógnitas puedan encontrarse. De manera general, la función de almacenamiento podría definirse en función de I, O y sus derivadas respecto al tiempo: 2  dI d I , ,, V  f I , O,  dt dt 2

2  dO d O , , 2 dt dt  

(2.16)

Si se tendría una forma lineal de la ecuación (2.16) entonces ésta podría diferenciarse, sustituirse en la ecuación (2.15), y luego integrarse la expresión resultante para obtener O(t) en función de I (t) . Corrientemente se aplican métodos de solución por diferencias finitas a las dos ecuaciones. El espacio de tiempo se divide en intervalos finitos y la ecuación de continuidad (2.15) se resuelve repetitivamente desde un punto hasta otro usando la función de almacenamiento (2.16) para tomar en cuenta al almacenamiento en cada punto.

Caudal

Caudal Hidrograma de entrada Hidrograma de salida

Tiempo

Almacenamiento

Ilustración 2. 13 . Relación invariable entre caudal y almacenamiento.

37 La conformación de la función de almacenamiento depende de la condición del sistema que está siendo analizado. Para el tránsito en embalses empleando métodos como el de la piscina nivelada, el almacenamiento V es una función no lineal de O: V  f (O)

(2.17)

En la ecuación (2.17) la función f se ensambla relacionando el almacenamiento V y la salida del embalse O con el nivel de agua en el mismo.

Caudal

Caudal Hidrograma de entrada Hidrograma de salida

Tiempo

Almacenamiento

Ilustración 2. 14. Relación variable entre caudal y almacenamiento.

La conexión entre el caudal de salida O y el almacenamiento V en un sistema hidrológico tiene un efecto importante en el tránsito de caudales. Esta relación puede ser invariable (ilustración 2.13) o variable (ilustración 2.14). Una función de almacenamiento invariable tiene correspondencia con la ecuación (2.17) y se emplea con un embalse de superficie o espejo de agua horizontal. Tales embalses tienen un depósito o piscina ancho y profundo en contraste a su longitud en la dirección del flujo. La velocidad del flujo en el embalse es muy baja. La relación de almacenamiento invariable requiere un caudal fijo de salida del embalse para una elevación de la superficie de agua dada, implicando que las estructuras de salida del embalse deban ser no controladas o controladas por compuertas estáticas. Si la disposición de las compuertas cambia, el caudal y la elevación del espejo de agua en la presa cambian, y el efecto se difunde aguas arriba en el embalse para generar una

38 superficie o espejo de agua transitoriamente inclinada hasta que se instaura una nueva elevación de equilibrio de la superficie de agua a través del embalse. Cuando un embalse tiene un espejo de agua horizontal, su almacenamiento es función de la elevación de la superficie de agua. Correspondientemente, el caudal de salida es una función de la elevación de la superficie de agua o carga sobre la estructura de salida. Combinando estas dos funciones, el almacenamiento en el embalse y el caudal de salida pueden relacionarse para crear una función de almacenamiento invariable y de valor exclusivo, V  f (O) , como está mostrado en la ilustración 2.13.

Para este tipo de

embalses, el caudal máximo de salida sucede cuando el hidrograma de salida intercepta al hidrograma de entrada, puesto

que

el

máximo

almacenamiento

ocurre

cuando

dV / dt I O 0 , y el almacenamiento y el caudal de salida están relacionados por V  f (O) . Una relación variable entre el almacenamiento y caudal de salida es aplicable a embalses largos y estrechos y a canales abiertos o corrientes, donde la silueta de la superficie de agua puede ser significativamente curva debido a efectos de remanso. El almacenamiento debido a la curva de remanso depende del cambio respecto al tiempo del caudal a través del sistema. De acuerdo a la ilustración 2.14 la relación entre el caudal y el almacenamiento del sistema no es una función de valor exclusivo sino que muestra una curva en forma de un lazo, dependiendo de las características de almacenamiento del sistema. A causa del efecto de retardo ocasionado por la curva de remanso, el máximo de caudal de salida sucede después del momento en el cual se interceptan los hidrogramas de entrada y salida, como se ve en la ilustración 2.14. Si el efecto de remanso no es de magnitud, el lazo que se muestra en la ilustración 2.14 puede substituirse por una curva promedio que se muestra como una línea discontinua. Consecuentemente, los métodos de tránsito para espejo de agua horizontal pueden aplicarse aproximadamente para el tránsito con una relación caudal-almacenamiento variable. La anterior discusión implica que el efecto del almacenamiento es redistribuir el hidrograma desplazando el centroide del hidrograma de entrada hasta el centroide del hidrograma de salida en un tiempo de redistribución. En canales ciertamente largos, toda la onda de la avenida viaja también una distancia importante y el centroide de su hidrograma

39 también puede desplazarse en un período mayor que el tiempo de redistribución. Este tiempo suplementario puede considerarse como el tiempo de traslación. De acuerdo a la ilustración 2.15, el tiempo total del movimiento de la avenida entre los centroides de los hidrogramas de entrada y salida, es igual a la suma del tiempo de redistribución y del tiempo de traslación. La redistribución transforma la forma del hidrograma, mientras que la traslación lo desplaza.

Caudal Hidrograma de entrada Hidrograma de salida

Tiempo

Tiempo de movimiento de la avenida

Caudal

Caudal Hidrograma de entrada Hidrograma de salida

Tiempo

Tiempo

Tiempo de redistribución

Tiempo de traslación

Ilustración 2. 15. Interpretación del tiempo de movimiento de avenidas .

40 2.7.3 Método de la Piscina Nivelada

El método de piscina nivelada es un procedimiento para calcular el hidrograma de caudal de salida desde un embalse con superficie de agua horizontal, dado su hidrograma de entrada y sus características de almacenamiento-caudal de salida. El horizonte de tiempo se divide en intervalos de duración t, indexados por j: t 0, t, 2t, ..., jt, ( j 1)t, ...

La ecuación de continuidad (ec) se integra sobre cada intervalo de tiempo: V ( j 1)

( j 1)t

dV  

V ( j)

jt

( j 1)t

I (t)dt 

O(t)dt

(2.18)

jt

Si la variación de los caudales de entrada y salida a lo largo del intervalo es aproximadamente lineal, la ecuación (2.18) puede escribirse como:

V j 1

I I O O j j 1 j 1 V j  t  j t 2 2

(2.19)

Ambos valores I son dados o conocidos. Los valores Oj y Vj se conocen gracias a los cálculos hechos en el intervalo anterior. Por consiguiente, la ecuación (2.19) contiene dos incógnitas Oj+1 y Vj+1, las cuales pueden aislarse manipulando la ecuación (2.19): 2V j 1  2V j   t O j 1 I j I j 1  t O j     

(2.20)

Para calcular Oj+1 se necesita una función de almacenamiento-caudal de salida que relacione 2V / t O y O. El método para desarrollar esta función utilizando las relaciones elevación-almacenamiento y elevación-caudal de salida se desarrolla en el problema a continuación.

La relación elevación-almacenamiento puede determinarse mediante

41 estudios topográficos en el embalse. La relación elevación-caudal se deduce de las ecuaciones hidráulicas que relacionan carga y caudal como son las ecuaciones de los vertederos y otras estructuras de salida. El valor t se toma como el intervalo de tiempo del hidrograma de entrada. Para un valor de la elevación de la superficie de agua, se determinan los valores de almacenamiento V y del caudal de salida O, luego se calcula el valor de 2V / t O y se dibuja en el eje horizontal de una gráfica con O en el eje vertical. Durante el tránsito de caudal a través del intervalo de tiempo j, todos los términos de la parte derecha de la ecuación (2.20) se conocen, y toda la parte de la izquierda ya puede conocerse. El valor correspondiente Oj+1 puede determinarse a partir de la gráfica mencionada o por interpolación lineal de la tabla correspondiente. Con el fin de preparar la información para el siguiente intervalo de tiempo, debe usarse la siguiente ecuación: 2V j 1   t

O

 2O j 1  O    j 1  j 1    t  

2V j 1

(2.21)

Después de la ecuación (2.21) el cálculo se repite para los subsiguientes períodos de tránsito.

Aplicación

Un lago de 200 hectáreas de superficie (espejo de agua constante) está regulado por un vertedero estándar de pared de 7.5 m de ancho y un coeficiente de caudal Cd de 0.385. La crecida que se muestra en el cuadro siguiente sucede sobre un caudal base estabilizado en 25 m3/s. Determínese el hidrograma de salida después del paso por el lago.

Solución

Lo primero que debe hacerse es generar la tabla y gráfica de la función almacenamiento-caudal de salida del embalse. La tabla 2.4 muestra la función almacenamiento-caudal de salida del embalse. La elevación del espejo de agua sobre la cresta del vertedero se muestra en la columna 1. El caudal de salida por el vertedero estándar se muestra en la columna 2. El caudal de salida para un vertedero estándar está

42 dado por O C d b 2g H 3 / 2 . El almacenamiento en el embalse a partir de la cresta del vertedero se muestra en la columna 3 y ha sido calculado con V  AH . El parámetro 2V / t O para un intervalo de tiempo de 3 y 6 horas se muestra en las columnas 4 y 5 respectivamente.

La ilustración 2.16 muestra la curva de la función almacenamiento-

caudal de salida del embalse de acuerdo a la tabla 2.4.

Tabla 2. 3 . Hidrograma de entrada de la aplicación.

t (h)

I (m /s)

(h)

I (m /s)

0.00 3.00 6.00 9.00 12.00 15.00 18.00

25.00 30.00 40.00 52.50 65.80 73.80 76.30

21.00 24.00 27.00 30.00 36.00 42.00 48.00

75.00 71.00 65.00 57.50 42.50 30.00 25.00

3

t

3

Luego, debe ensamblarse una tabla como la tabla 2.5 para el cálculo del hidrograma de salida como se explica a continuación. Primero, se tiene el caudal inicial de salida en la primera fila de la columna 7. Con un almacenamiento inicial de cero se calcula la primera fila de la columna 5. Usando la ecuación (2.20) se calcula la primera fila de la columna 6. Con el anterior resultado y mediante la ilustración 2.16 se calcula la segunda fila de la columna 7. Con éste resultado y mediante la ecuación 2.21 se halla la segunda fila de la columna 5. A partir de aquí los cálculos se llevan de manera repetitiva. La ilustración 2.17 muestra los hidrogramas de entrada y salida de acuerdo a este procedimiento.

43

Tabla 2. 4. Función almacenamiento-caudal de salida para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante por el método de la piscina nivelada.

Columna:

1 H (m)

2 O 3 (m /s)

3 V 3 (m )

4 2V/6t1+O 3 (m /s)

5 2V/6t2+O 3 (m /s)

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0

23.5 36.2 50.6 66.5 83.7 102.3 122.1 143.0 165.0 188.0 212.0 236.9 262.7 289.4 317.0 345.3

0.0 1000000.0 2000000.0 3000000.0 4000000.0 5000000.0 6000000.0 7000000.0 8000000.0 9000000.0 10000000.0 11000000.0 12000000.0 13000000.0 14000000.0 15000000.0

23.5 221.4 420.9 622.0 824.5 1028.2 1233.2 1439.3 1646.5 1854.6 2063.8 2273.9 2484.9 2696.8 2909.5 3123.1

23.5 128.8 235.7 344.2 454.1 565.3 677.6 791.1 905.7 1021.3 1137.9 1255.4 1373.8 1493.1 1613.3 1734.2

44

Tabla 2. 5. Tránsito de caudal a través de un embalse con vertedero estándar por el método de la piscina nivelada.

Columna:

1 t

2 6t (h)

3 I 3 (m /s)

4 Ij+Ij+1 3 (m /s)

5 2Vj/6t-Oj 3 (m /s)

6 2Vj+1/6t+Oj+1 3 (m /s)

7 Oj 3 (m /s)

(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 36 42 48 54 60 66 72 78

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 6 6 6 6 6 6 6

25.0 30.0 40.0 52.5 65.8 73.8 76.3 75.0 71.0 65.0 57.5 42.5 30.0 25.0 25.0 25.0 25.0 25.0 25.0

55.0 70.0 92.5 118.3 139.6 150.1 151.3 146.0 136.0 122.5 100.0 72.5 55.0 50.0 50.0 50.0 50.0 50.0

-25.0 -20.4 -3.4 30.9 83.4 147.2 210.9 266.4 309.2 336.8 146.7 139.1 114.0 82.8 56.4 37.0 22.0 10.8 2.2

30.0 49.6 89.1 149.2 223.0 297.3 362.2 412.4 445.2 459.3 246.7 211.6 169.0 132.8 106.4 87.0 72.0 60.8

25.0 25.2 26.5 29.1 32.9 37.9 43.2 47.9 51.6 54.2 55.3 53.8 48.8 43.1 38.2 34.7 32.5 30.6 29.3

45

3

O (m /s)

400

t = 6 h

t = 3 h

350 300 250 200 150 100 50 3

2V/t+O (m /s)

0 0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

Ilustración 2. 16 . Curva de la función almacenamiento-caudal de salida para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante.

3

Caudal (m /s)

90 80

Caudal de entrada

70 60

Caudal de salida 50 40 30 20 10 Tiempo (h)

0 0

20

40

60

80

100

Ilustración 2. 17. Hidrogramas de entrada y salida para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante.

46

Es importante notar que, para obtener la primera fila correspondiente al intervalo de tiempo de 6 horas de la columna 6, debe actualizarse previamente el último valor de la columna 5 al intervalo de 6 horas mediante la ilustración 2.16 con el último caudal. De este modo se tiene el valor modificado de 146.7 m3/s como se muestra en la parte sombreada de la tabla. A partir de éste punto debe continuarse como de costumbre pero consultando la curva correspondiente al intervalo de 6 horas de la ilustración 2.16.

2.7.4 Método SIC (Storage Indication Curve)

El método SIC está basado en una ecuación fundamental que se origina de acuerdo a la siguiente deducción: Dado el intervalo de tiempo por el hidrograma de entrada: t tn1 t n

(2.22)

La forma discreta de la ecuación de continuidad para el intervalo de tiempo: Vn1 Vn I n I n1 On On1   t 2 2

(2.23)

Ordenando términos y aplicando un artificio matemático: Vn1 Vn On On1 I I n1  O  n O t n n 2 2

(2.24)

Aislando los términos desconocidos en el miembro izquierdo: On I n I n1 O V O V   n1 n1 n        n 2  t 2  2 t

(2.25)

47 La relación de almacenamiento S (storage) se define como: S 

V t



O 2

(2.26)

Substituyendo la definición (2.26) en la ecuación (2.25):

S n1 S n 

I n I n1 On 2

(2.27)

Sea Im el caudal promedio de entrada:

I m 

I n I n1 2

(2.28)

La variable N puede definirse como: N I m On

(2.29)

Substituyendo N en la ecuación 2.27: S n1 S n N

(2.30)

Esta es la ecuación fundamental del método SIC. El procedimiento del método SIC no es complicado y se explica aprovechando la aplicación de a continuación.

Aplicación

Un lago de 200 hectáreas de superficie de agua constante está regulado por un vertedero estándar de pared de 7.5 m de ancho y un coeficiente de caudal Cd de 0.385. La crecida que se muestra en el cuadro siguiente sucede sobre un caudal base estabilizado en 25 m3/s. Determínese el hidrograma de salida después del paso por el lago.

48 Tabla 2. 6 . Hidrograma de entrada de la aplicación.

t (h)

I (m /s)

(h)

I (m /s)

0.00 3.00 6.00 9.00 12.00 15.00 18.00

25.00 30.00 40.00 52.50 65.80 73.80 76.30

21.00 24.00 27.00 30.00 36.00 42.00 48.00

75.00 71.00 65.00 57.50 42.50 30.00 25.00

3

t

3

Solución

La elevación inicial sobre la cresta del vertedero se calcula a partir del caudal de salida inicial (25 m3/s) empleando la fórmula del vertedero estándar:

O C b 2g H 3 / 2 d

 2 / 3 O  1.56 1.6 m  H    C b 2g   d

El almacenamiento V se calcula como función de la elevación del espejo de agua H sobre la cresta del vertedero mediante V HA . Esto está mostrado en la columna 2 de la tabla 2.7. La columna 3 de la tabla 2.7 se calcula a partir de la fórmula del vertedero estándar. La columna 4 se calcula para un intervalo de 3 horas usando la expresión V / t , análogamente la columna 5 para un intervalo de 6 horas. Las columnas 6 y 7 se calculan a partir de la ecuación 2.26, S3h corresponde al intervalo de tiempo de 3 horas y S6h a 6 horas. La relación almacenamiento-caudal de salida que está en función a O y representa en la ilustración 2.18.

V / t O / 2 se

49

Tabla 2. 7. Función almacenamiento-caudal de salida para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante por el método SIC (Storage Indication Curve).

Columnas:

1 H (m)

2 V (m3)

3 O 3 (m /s)

4 V/6t1 (m3/s)

5 V/6t2 (m3/s)

6

7

3

S3h (m /s)

S6h (m /s)

1.6 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

0.0 73375.9 273375.9 473375.9 673375.9 873375.9 1073375.9 1273375.9 1473375.9 1673375.9 1873375.9 2073375.9 2273375.9 2473375.9 2673375.9 2873375.9 3073375.9 3273375.9 3473375.9 3673375.9 3873375.9

25.0 25.9 28.3 30.9 33.5 36.2 38.9 41.7 44.6 47.6 50.6 53.6 56.7 59.9 63.2 66.5 69.8 73.2 76.7 80.2 83.7

0.0 6.8 25.3 43.8 62.3 80.9 99.4 117.9 136.4 154.9 173.5 192.0 210.5 229.0 247.5 266.1 284.6 303.1 321.6 340.1 358.6

0.0 3.4 12.7 21.9 31.2 40.4 49.7 59.0 68.2 77.5 86.7 96.0 105.2 114.5 123.8 133.0 142.3 151.5 160.8 170.1 179.3

12.5 19.7 39.5 59.3 79.1 99.0 118.8 138.8 158.7 178.7 198.7 218.8 238.9 259.0 279.1 299.3 319.5 339.7 359.9 380.2 400.5

12.5 16.3 26.8 37.4 47.9 58.5 69.2 79.8 90.5 101.2 112.0 122.8 133.6 144.5 155.3 166.3 177.2 188.2 199.1 210.2 221.2

3

50

Tabla 2. 8. Tránsito de caudal a través de un embalse con vertedero estándar por el método SIC (Storage Indication Curve).

Columna:

1 t (h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 36 42 48 54 60 66 72

2 6t (h)

3 I 3 (m /s)

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 6 6 6 6 6 6

25.0 30.0 40.0 52.5 65.8 73.8 76.3 75.0 71.0 65.0 57.5 42.5 30.0 25.0 25.0 25.0 25.0 25.0

4 Im (m /s)

5 S 3 (m /s)

27.5 35.0 46.3 59.2 69.8 75.1 75.7 73.0 68.0 61.3 50.0 36.3 27.5 25.0 25.0 25.0 25.0

12.5 15.0 24.7 44.4 74.6 111.5 148.7 181.2 206.2 222.5 229.6 123.3 105.8 84.5 66.5 53.3 43.4 36.1

3

6 N 3 (m /s)

7 O 3 (m /s)

2.5 9.7 19.8 30.2 36.9 37.1 32.5 25.1 16.3 7.0 -5.3 -17.5 -21.3 -18.0 -13.2 -9.8 -7.4

25.0 25.3 26.5 29.0 32.9 37.9 43.2 47.9 51.7 54.2 55.3 53.8 48.8 43.0 38.2 34.8 32.4 30.6

51 S (m3/s)

450

t = 3 h

400 350 300

t = 6 h

250 200 150 100 50

O (m3/s)

0 0

20

40

60

80

100

Ilustración 2. 18 . Curva de la función almacenamiento-caudal de salida para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante.

3

Caudal (m /s)

90 80

Caudal de entrada

70 60

Caudal de salida 50 40 30 20 10 Tiempo (h)

0 0

20

40

60

80

100

Ilustración 2. 19. Hidrogramas de entrada y salida para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante.

52

Luego se ensambla una tabla para el cálculo del hidrograma de salida como la tabla 2.8, donde inicialmente se calcula S en la columna 5 a partir del caudal de salida inicial mostrado en la primera fila de la columna 7 de la tabla y mediante la ilustración 2.18. A partir de la segunda fila, en la columna 4 se calcula el caudal promedio de entrada al final de cada intervalo de tiempo. En la columna 6 se calcula N a partir de la ecuación 2.29. Luego, se calcula la columna 5 mediante la ecuación 2.30. Con la columna 5 conocida se calcula el caudal de salida al final del intervalo en la columna 7 consultando la mencionada ilustración 2.18. Todo esto se muestra en la tabla 2.8. La ilustración 2.19 muestra el hidrograma de entrada conocido y el hidrograma de salida calculado en la anterior tabla. Cuando S deba calcularse para un intervalo de tiempo distinto, es necesario actualizar el S precedente al nuevo intervalo de tiempo antes de usar la ecuación 2.30. En 3

la columna 5 de la tabla 2.8 se tiene S n 229.60 m /s correspondiente a un t 3 h, que 3

actualizando a un intervalo de tiempo de 6 horas se tiene Sn 128.62 m /s.

Luego,

3

mediante la ecuación 2.30 se tiene S n1 128.62 (5.29) 123.33 m /s como se muestra en la parte sombreada de la tabla 2.8.

2.7.5 Método Gráfico de Puls (Pulso)

El método gráfico para el tránsito de avenidas en embalses es ciertamente sencillo, rápido y aproximado. El principio y el procedimiento del método gráfico es elemental como se desarrolla a continuación. Teniendo en cuenta la forma discreta de la ecuación de continuidad:

Vn1 Vn 

I n I n1 O On1 t  n t 2 2

(2.31)

53

La cual puede transformarse en:

Vn1 

O t n1

2

O t  I I n1   n t V  n  n 2 2  

(2.32)

La ecuación (2.32) es la ecuación primordial del método gráfico, puesto que la misma es resuelta una y otra vez mediante el procedimiento gráfico que se explica a continuación. En primer lugar, deben prepararse las curvas V Ot / 2 y V Ot / 2 con el almacenamiento como eje horizontal y con el caudal de salida como eje vertical según se muestra en la ilustración 2.20. Ahora bien, primero se ubica el caudal de salida inicial O1 en el eje vertical (ilustración 2.20), luego se prolonga una horizontal hasta interceptar la curva V Ot / 2 en el punto A. Seguidamente, se prolonga la última horizontal desde el punto A una distancia de (I1 I 2 ) / 2 . A partir de la final de la última horizontal debe trazarse una vertical hasta cortar la curva V Ot / 2 en el punto B. Finalmente, debe prolongarse una horizontal desde el punto B hasta el eje vertical para obtener el caudal de salida O2. Para proseguir debe considerarse a O2 como el caudal de salida inicial y repetirse el anterior procedimiento. Todo esto se muestra en la ilustración 2.20.

Aplicación

Un lago de 200 hectáreas de espejo de agua constante está regulado por un vertedero estándar de pared de 7.5 m de ancho y un coeficiente de caudal Cd de 0.385. La crecida que se muestra en el cuadro siguiente sucede sobre un caudal base estabilizado en 25 m3/s. Determínese el hidrograma de salida después del paso por el lago.

54 Caudal V-½Ot V+½Ot B O2

A O1 ½(I1+I2)t

Almacenamiento

Ilustración 2. 20 . Procedimiento gráfico del método pulse (pulso).

Tabla 2. 9 . Hidrograma de entrada de la aplicación.

t (h)

I (m /s)

(h)

I (m /s)

0.00 3.00 6.00 9.00 12.00 15.00 18.00

25.00 30.00 40.00 52.50 65.80 73.80 76.30

21.00 24.00 27.00 30.00 36.00 42.00 48.00

75.00 71.00 65.00 57.50 42.50 30.00 25.00

3

t

3

55

Solución

La elevación inicial sobre la cresta del vertedero se calcula a partir del caudal de salida inicial (25 m3/s) empleando la fórmula del vertedero estándar:  2 / 3 O O C b 2g H 3 / 2  H   1.56 1.6 m d    C d b 2g  Antes de continuar, deben prepararse las curvas V Ot / 2 y V Ot / 2 mediante una tabla como la tabla 2.10. En la columna 1 de la tabla se tiene la elevación del espejo de agua por encima de la cresta del vertedero. En la columna 2 de la tabla se tiene el almacenamiento en el embalse por encima de la cresta del vertedero, considerando un espejo de agua constante durante su elevación. En la columna 3 de la tabla se tiene el caudal de salida obtenido mediante la ecuación del vertedero estándar mostrada anteriormente.

En las columnas 4 y 5 de la tabla se tienen las curvas V Ot / 2 y

V Ot / 2 para un intervalo de tiempo de 3 horas. En las columnas 6 y 7 se tiene las mencionadas curvas pero para un intervalo de tiempo de 6 horas. Con todo esto se trazan las curvas como se muestra en las ilustraciones 2.21 y 2.22. En la ilustración 2.21 se tiene la resolución de ésta aplicación para el intervalo de tiempo de 3 horas. En ésta ilustración puede apreciarse que el procedimiento se inició con un caudal de salida inicial de 25 m3/s hasta llegar sucesivamente a un caudal de salida de 55.4 m3/s para lo cual debe cambiarse las curvas puesto que a continuación se tiene el intervalo de tiempo de 6 horas. En la ilustración 2.22 se tiene la continuación de la resolución de la aplicación para un intervalo de tiempo de 6 horas. En ésta ilustración se puede ver que el caudal de salida de arranque es de 55.4 m3/s y el caudal salida de terminación es de 30.5 m3/s. Tanto en la ilustración 2.21 como en la ilustración 2.22 se siguió el procedimiento explicado más arriba mediante el apoyo de la tabla 2.11. Los caudales de salida obtenidos mediante esta iteración gráfica se muestran en la tabla 2.11 y sirven para ensamblar el hidrograma de salida que está mostrado en la ilustración 2.23.

56

Tabla 2. 10. Preparación de las curvas V+½O6t y V-½O6t para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante por el método gráfico o método de puls (pulso).

Columnas:

1 H (m)

2 V 3 (m )

1.56 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 2.20 2.30 2.40 2.50 2.60 2.70 2.80 2.90 3.00 3.10 3.20 3.30 3.40 3.50

0.0 80000.0 280000.0 480000.0 680000.0 880000.0 1080000.0 1280000.0 1480000.0 1680000.0 1880000.0 2080000.0 2280000.0 2480000.0 2680000.0 2880000.0 3080000.0 3280000.0 3480000.0 3680000.0 3880000.0

3 4 O V+½O6t1 3 3 (m /s) (m ) 24.9 25.9 28.3 30.9 33.5 36.2 38.9 41.7 44.6 47.6 50.6 53.6 56.7 59.9 63.2 66.5 69.8 73.2 76.7 80.2 83.7

134571.2 219780.1 433087.1 646791.5 860882.1 1075348.6 1290181.4 1505371.6 1720911.2 1936792.4 2153007.9 2369551.1 2586415.6 2803595.4 3021084.7 3238878.2 3456970.9 3675357.7 3894034.2 4112995.7 4332238.3

5 6 V-½O6t1 V+½O6t2 3 3 (m ) (m ) -134571.2 -59780.1 126912.9 313208.5 499117.9 684651.4 869818.6 1054628.4 1239088.8 1423207.6 1606992.1 1790448.9 1973584.4 2156404.6 2338915.3 2521121.8 2703029.1 2884642.3 3065965.8 3247004.3 3427761.7

269142.4 359560.1 586174.2 813583.1 1041764.3 1270697.2 1500362.7 1730743.3 1961822.4 2193584.7 2426015.9 2659102.3 2892831.2 3127190.7 3362169.4 3597756.5 3833941.7 4070715.4 4308068.3 4545991.5 4784476.6

7 V-½O6t2 3 (m ) -269142.4 -199560.1 -26174.2 146416.9 318235.7 489302.8 659637.3 829256.7 998177.6 1166415.3 1333984.1 1500897.7 1667168.8 1832809.3 1997830.6 2162243.5 2326058.3 2489284.6 2651931.7 2814008.5 2975523.4

57 O (m3/s)

90

V-½Ot1

80

V+½Ot1

70 60 50 40 30 20 10

-1.E+06

V (m3)

0 0.E+00

1.E+06

2.E+06

3.E+06

4.E+06

5.E+06

Ilustración 2. 21. Curvas del método de puls (pulso) para un intervalo de tiempo de 3 horas para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante.

3

O (m /s)

90

V-½Ot2

80

V+½Ot2

70 60 50 40 30 20 10

3

V (m )

-1.E+06

0 0.E+00

1.E+06

2.E+06

3.E+06

4.E+06

5.E+06

6.E+06

Ilustración 2. 22. Curvas del método de puls (pulso) para un intervalo de tiempo de 6 horas para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante.

58

3

Caudal (m /s)

90 80

Caudal de entrada

70 60

Caudal de salida 50 40 30 20 10 Tiempo (h)

0 0

20

40

60

80

100

Ilustración 2. 23. Hidrogramas de entrada y salida para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante.

59

CAPITULO 3 DESARROLLO TEORICO

3.1

Método Directo

El tema central de este Proyecto de Grado es la propuesta de un nuevo método llamado método directo para el tránsito de avenidas en embalses. El método directo se origina en Cochabamba - Bolivia en el año 2001 gracias a la iniciativa del Profesor Ing. William Iraizos Ramírez de la Universidad Privada Boliviana de Cochabamba. El método directo consiste básicamente en la aplicación de una ecuación llamada ecuación principal. La solución de ésta ecuación principal es un punto del hidrograma de salida correspondiente a un punto del hidrograma de entrada. El método directo en comparación con los métodos tradicionales para el tránsito de avenidas en embalses ofrece lo siguiente: 

Una automatización de los cálculos.



La mejor aproximación de los resultados.



Una mejora en los procedimientos de cálculo.



Una mínima carga de trabajo.



Una nueva opción para la determinación y verificación de la altura de la presa y de la configuración del vertedero.

60 Por ejemplo, en métodos tradicionales para el tránsito de avenidas en embalses como el método de la piscina nivelada, debe generarse tablas y gráficas preliminares para ser consultadas posteriormente, mientras que en el método directo se suprime esta necesidad y se obtienen los resultados de manera directa mediante la solución de la ecuación principal. Si bien el método directo consiste en la solución de una ecuación principal, debe tenerse a la mano la ecuación principal adecuada y correspondiente al caso en cuestión. En este capítulo se desarrollarán ecuaciones principales que corresponden a casos importantes y luego serán usadas en el método directo para la resolución de un problema en particular concerniente a cada caso.

3.2

Ecuación de Continuidad para el Tránsito de Avenidas El espacio de tiempo del tránsito se divide en intervalos de duración t indexados

por i, o sea: t 0, t, 2t, , it, (i  1)t,

(3.1)

Posteriormente, la ecuación de continuidad se integra sobre cada intervalo de tiempo según la ilustración 3.1. Para el intervalo de tiempo i, se tiene: Vi 1

(i 1) t

(i 1)t

dV  I (t)dt   O(t)dt

Vi

it

(3.2)

it

Los caudales de entrada al inicio y al final del intervalo i son Ii e Ii+1, respectivamente, y los caudales de salida correspondientes son Oi y Oi+1. Si la alteración de los caudales de entrada y salida durante el intervalo es cercanamente lineal, el cambio en el almacenamiento puede calcularse de acuerdo a:

Vi 1 Vi 

I i I i 1 O Oi1 t  i t 2 2

(3.3)

61

La ecuación (3.3) es conocida como la forma discreta de la ecuación de continuidad.

Caudal

Caudal de entrada In+1

In Vn+1-Vn

On+1

Caudal de salida

Vn

On

t Tiempo tn

tn+1

Ilustración 3. 1. Cambio del almacenamiento en un embalse durante un intervalo de tiempo.

3.3

Ecuación Principal General

La deducción de carácter general que se presentará en ésta parte es de mucha importancia, puesto que es la base para el desarrollo de las ecuaciones principales de los distintos casos, como ser para un embalse con vertedero estándar, o para un embalse con vertedero Morning Glory, etc. Al integrar la ecuación de continuidad (2.13) sobre un intervalo de tiempo t tn1 t n como se aprecia en la ilustración 3.1, se tiene:

62

Vn 1

t n 1

tn1

 dV   I (t)dt  O(t)dt

Vn

tn

(3.4)

tn

En ésta ecuación, los valores correspondientes al inicio y final del intervalo de tiempo t están marcados por los subíndices n y n+1 respectivamente. Así, los caudales de entrada al inicio y final del intervalo están designados por In e In+1 respectivamente. Análogamente, los caudales de salida al inicio y final del intervalo están designados por On y On+1 respectivamente. Ahora bien, cuando el comportamiento de los caudales de entrada y salida puede considerarse lineal durante el intervalo de tiempo, la ecuación (3.4) puede escribirse como:

Vn1 Vn 

I n I n1 O On1 t  n t 2 2

(3.5)

La ecuación anterior (3.5) es la forma discreta de la ecuación de continuidad. Los valores conocidos son los caudales de entrada In e In+1, el caudal de salida On y el almacenamiento Vn. Los valores desconocidos son On+1 y Vn+1. Es necesario aclarar que In e In+1 son dados por el hidrograma de entrada, y On es obtenido en los cálculos correspondientes al intervalo de tiempo anterior. Para lograr que la ecuación (3.5) esté expresada solo en función de los caudales de entrada y salida, y para lograr que contenga una sola incógnita On+1, es necesario reemplazar a Vn y Vn+1 por una expresión equivalente de caudal. Para esto, y como se verá a continuación, es ventajoso emplear las fórmulas de almacenamiento del embalse y del caudal del vertedero en cuestión. La fórmula general de almacenamiento del embalse está dada por una función de la elevación del espejo de agua: V  f (H )

(3.6)

63 Si el espejo de agua A en el embalse se mantiene constante con la elevación de la superficie de agua H, entonces la ecuación (3.6) podría tomar la forma V AH . Caso contrario, la ecuación (3.6) podría ser más complicada como una cúbica. La expresión general del caudal que pasa por un vertedero de excedencia está dada por una constante multiplicada por una función de la elevación del espejo de agua por encima de la cresta del vertedero: Q K g(H )

(3.7)

En la ecuación (3.7), normalmente la constante K representa simultáneamente a la constante del caudal del vertedero en cuestión, a la longitud efectiva de la cresta del mismo, y a un factor hidráulico. La función g depende de la elevación de la superficie o espejo de agua H por encima de la cresta del vertedero. Por ejemplo, la ecuación de un vertedero Morning Glory está dada por Q Cd 2n R

2g H 3 / 2 , donde Cd es la constante de caudal,

2nR es la longitud efectiva de la cresta (en éste caso circular),

2g es el factor hidráulico,

y H 3 / 2 es la función g en éste caso. Despejando H de la ecuación (3.7) y cambiando Q por O, se tiene: H g 1 (O / K )

(3.8)

Substituyendo la ecuación (3.8) en la (3.6), se tiene: V  f g 1 (O / K )h(O / K ) K h(O)

(3.9)

En la ecuación (3.9) la nueva función h es la función compuesta de f y g-1 o también f g 1 . En la ecuación (3.9) la constante modificada de K está dada por

K h(1/ K ) .

Substituyendo la ecuación (3.9) en la (3.5) con los subíndices correspondientes, se tiene:

64 )K h(O )K 

h(O n1

I n I n1

n

O On1 t  n t

2

(3.10)

2

Trasladando todos los términos a la izquierda, se tiene: )K h(O )K 

h(O n1

I n I n1

n

t 

On On1

2

t 0

2

Multiplicando por 2 / t y ordenando, se tiene: 

O n1

2K  h(O

) O  n

n1

t

2K  t

h(O ) I n

I 0 n1

(3.11)

n

Esta es la ecuación principal general para un embalse con espejo de agua constante o variable y para un vertedero cualquiera. La solución de la ecuación (3.11) es el caudal de salida al final del intervalo de tiempo On+1, dados los caudales de entrada In e In+1, calculado el caudal de salida On, dada la duración del intervalo de tiempo t , y dadas las características físicas del embalse y vertedero.

3.3.1 Análisis de la Ecuación Principal

Para comprender la naturaleza de la ecuación (3.11) es necesario expresarla como una función: f (On1 ) O n1 

2K  t

h(O

n1

) On 

2K  t

h(O ) I I 0 n n1 n

(3.12)

Nada se puede decir sobre el tipo de la función (3.12) porque depende de la función h. De este modo, si la función h eleva On+1 a un exponente entero positivo, entonces la función (3.12) será del tipo polinomial, o si h eleva On+1 a un exponente negativo o racional, entonces la función (3.12) será del tipo algebraica explícita.

65 El grado de la ecuación (3.11) y de la función (3.12) depende del grado de la función h, a su vez, ésta depende simultáneamente del grado de la ecuación del almacenamiento del embalse y del grado de la ecuación del vertedero en cuestión. Por ejemplo y como se verá más adelante, para un embalse con espejo de agua constante y vertedero estándar, la función h eleva On+1 a la 2/3, por lo que el grado de la función correspondiente queda en 1. La función (3.12) es descendiente de la forma discreta de la ecuación de continuidad (3.5), por lo que su magnitud representa el estado de balance del sistema embalse-vertedero para un caudal de salida al final del intervalo de tiempo On+1. Cuando la función (3.12) es cero significa que el caudal On+1 es la raíz de la ecuación (3.11), y al mismo tiempo es el caudal adecuado para la satisfacción de la ecuación de continuidad. La ilustración (3.2) es la representación gráfica de una posible curva que podría tomar la función (3.12).

f(O)

O (m3/s) 0

Ilustración 3. 2. Curva ejemplo de la función de la ecuación principal general para un embalse con determinado vertedero.

66 3.3.2 Parámetro Físico del Embalse y Vertedero

La expresión que aparece junto al termino independiente h(On1 ) en la función f(On+1) representa a las características del embalse y vertedero, por lo que se denomina parámetro físico del embalse y vertedero: 2K  t Generalmente, el

parámetro

físico es

positivo porque involucra valores

definidamente positivos como el intervalo de tiempo t, etc. Las unidades del parámetro físico dependen del caso tratado en particular. Finalmente, el parámetro físico tiene influencia directa en la forma de la curva de la función (3.12). La ilustración (3.3) es una representación gráfica de una posible función (3.12) para distintos parámetros físicos.

3.3.3 Parámetro de Almacenamiento

Toda la expresión que no está ligada a ninguno de los independientes On+1 o h(On1 ) involucra los caudales de entrada y salida a través del sistema embalse-vertedero, involucrando a su vez el almacenamiento en el embalse, por lo que se denomina parámetro del almacenamiento:

On 

2K  h(On ) I n1 I n t

Como se verá más adelante, la curva del parámetro de almacenamiento es semejante a la curva de almacenamiento, de tal manera que, su punto máximo sucede cuando el almacenamiento es máximo.

67 f(O)

3

O (m /s) 0

Ilustración 3. 3. Curvas ejemplares de la función de la ecuación principal general para un embalse con determinado vertedero para distintos parámetros físicos.

f(O)

3

O (m /s) 0

Ilustración 3. 4. Curvas ejemplares de la función de la ecuación principal general para un embalse con determinado vertedero para distintos parámetros de almacenamiento.

68

Normalmente, el parámetro de almacenamiento es negativo puesto que se trata de un valor a compensar dentro la ecuación (3.11). Las unidades del parámetro de almacenamiento dependen del caso tratado en particular. Finalmente, el parámetro de almacenamiento no tiene influencia en la forma de la curva de la función (3.12), más bien tiene influencia en la posición de la curva respecto al eje vertical. La ilustración (3.4) es una representación gráfica de la mencionada posible función (3.12) para distintos parámetros de almacenamiento. Como se verá más adelante, el parámetro físico del embalse y vertedero, y el parámetro de almacenamiento se presentan siempre en todos los casos de la ecuación principal. Casi nada se puede adelantar sobre el dominio, rango, intersecciones, simetrías, asíntotas, máximos y mínimos, puntos críticos, concavidad, puntos de inflexión, función inversa, raíces, etcétera de la función (3.12) a menos que se haga un examen pertinente de cada caso en particular. Esencialmente se puede anticipar que, el dominio de la función (3.12) debe estar restringido a valores de cero o mayores, puesto que caudales negativos físicamente no están definidos en el sistema embalse-vertedero: On1 0

3.4

Ecuación Principal para Vertederos Estándar

Integrando la ecuación de continuidad (2.13) sobre un intervalo de tiempo t tn1 t n según la ilustración 3.1: Vn 1

t n 1

Vn

tn

 dV  

tn1

I (t)dt  O(t)dt 

(3.13)

tn

Los subíndices n y n+1 designan valores al inicio y al final del intervalo de tiempo respectivamente. Los caudales de entrada al inicio y al final del intervalo de tiempo están

69 dados por In e In+1 respectivamente, y los respectivos caudales de salida están dados por On y On+1. Si el comportamiento de los caudales de entrada y de salida es aproximadamente lineal durante el intervalo de tiempo, entonces la ecuación (3.13) puede transformarse en:

Vn1 Vn 

I n I n1 O On1 t  n t 2 2

(3.14)

Los caudales de entrada In e In+1 se conocen como información de entrada. Los valores de On y Vn se conocen gracias a los cálculos del intervalo de tiempo anterior. Por lo tanto, la ecuación (3.14) contiene dos incógnitas que son On+1 y Vn+1. Con el fin de lograr que la ecuación (3.14) contenga una sola incógnita, On+1, se usarán las fórmulas de almacenamiento del embalse y de caudal del vertedero estándar como sigue a continuación. La fórmula de almacenamiento para un embalse con espejo (superficie) de agua constante a partir de la cresta del vertedero es: V AH

(3.15)

Aquí A es el espejo de agua del embalse, y H la elevación de la superficie de agua por encima de la cresta del vertedero. La fórmula de caudal correspondiente a un vertedero estándar es: Q C d b 2g H 3 / 2

(3.16)

Aquí Cd es el coeficiente de caudal, b la longitud efectiva de la cresta, y H la carga total en la cresta. Despejando H de la ecuación (3.16) y cambiando Q por O, se tiene:

70  O H    C d b 2g

2 / 3   

(3.17)

Substituyendo (3.17) en (3.15):  O V  A   C d b 2g

2 / 3   

(3.18)

Combinando adecuadamente las ecuaciones (3.14) y (3.18):  On1 A   C d b 2g

2/ 3

   

 On A   C d b 2g

2/ 3

   



I n I n1

t 

2

On On1

t

(3.19)

2

Trasladando todos los términos a la izquierda:  On1 A   C d b 2g

2/ 3

   

 On  A   C d b 2g

2/ 3

   

 I n I n1 t On On1 t 0 2 2

Multiplicando por 2 / t y ordenando: On1 

2A t(Cd b 2g ) 2 / 3

2/3 On1 On 

2A t(Cd b 2g ) 2 / 3

On

2/ 3

I n1 I n 0

(3.20)

Definiendo los parámetros E y F como sigue: E

2A t(Cd b 2g )2 / 3

F On EOn

2/3

I n1 I n

Usando las ecuaciones (3.21) y (3.22) en la (3.20):

(3.21)

(3.22)

71

2/3 F 0 O n1 EO n1

(3.23)

Esta es la ecuación principal para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante. La solución de ésta ecuación es el caudal de salida al final del intervalo de tiempo On+1 conocidos el caudal de entrada al inicio del intervalo In, el caudal de entrada al final del intervalo In+1, el caudal de salida al inicio del intervalo On, la duración del intervalo t, además de las características del embalse y vertedero.

3.4.1 Análisis de la Ecuación Principal

Antes de abordar la resolución de la ecuación (3.23) es importante la comprensión de toda la expresión del miembro izquierdo desde un enfoque matemático. Expresando el miembro izquierdo (sin subíndices) de la ecuación (3.23) como función: f (O) O EO 2 / 3 F

(3.24)

La función (3.24) es una función algebraica explícita. Las funciones algebraicas explícitas son una clase importante de funciones que incluyen las funciones tipo polinomio y racionales, como casos especiales, y son generadas por un número finito de operaciones algebraicas. Como esta función fue derivada de una forma de la ecuación de continuidad (3.20), físicamente representa el estado del balance en el sistema para un caudal de salida O al final del intervalo de tiempo. De esta manera, la función (3.24) es cero cuando el caudal de salida O al final del intervalo es el adecuado para satisfacer la ecuación de continuidad. La curva mostrada en la ilustración 3.5 es una representación gráfica de la función (3.24).

72 3

f(O) (m /s)

3

O (m /s) 0 F

Ilustración 3. 5. Curva de la función de la ecuación principal para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante.

3

f(O) (m /s) E para 3A

E para 2A

E para A

3

O (m /s)

Ilustración 3. 6. Curvas de la función de la ecuación principal para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante para valores de E.

73

3.4.2 Parámetro Físico del Embalse y Vertedero E

La expresión para E involucra las características del embalse y del vertedero estándar, además del intervalo de tiempo del hidrograma de entrada. Por consiguiente, E puede llamarse parámetro físico del embalse y vertedero. A causa de lo que representa, E tiene influencia en la forma de la gráfica de la función (3.24) como se ve en las curvas para distintas superficies de agua mostradas en la ilustración 3.6. Es necesario mencionar que si bien t no representa a una característica física del sistema, éste representa a una característica intangible del sistema capaz de influir en la respuesta del mismo. Como se puede deducir de la ecuación (3.21), las unidades de E están dadas en 3

m /s

1/3

. En la ecuación (3.21) puede verse también que E exclusivamente puede tomar

valores positivos, porque los valores correspondientes a las características del embalse y del vertedero, y los valores del tiempo son siempre positivos.

3.4.3 Parámetro de Almacenamiento F

La expresión (3.22) para F contiene el caudal de entrada al inicio In y al final del intervalo de tiempo In+1, y el caudal de salida al inicio del intervalo de tiempo On, o sea contiene toda la información conocida de caudal. Como toda ésta información está relacionada con el almacenamiento en el embalse, F puede llamarse parámetro de almacenamiento. La curva de F durante el tránsito de la avenida corresponde a una curva típica de almacenamiento, como puede verse en la ilustración 3.7. La ecuación (3.20), una forma de la ecuación de continuidad, requiere que F sumada a los términos dependientes de On+1 sea cero. Por esta razón, F puede llamarse también parámetro de balance.

74 On1 

2A t(Cd b 2g )

2/ 3





2/3 2/ 3 On1  On EOn I n1 I n 0

(3.20)

Como F depende del flujo que pasa por el embalse y el vertedero, F no tiene influencia en la forma de la gráfica de la función (3.24), tan sólo tiene efecto en su ubicación respecto al eje vertical. La ilustración 3.8 muestra la gráfica de la función (3.24) para algunos valores de F. De acuerdo a su expresión (3.22), las unidades de F están dadas en m3 / s . Finalmente, puesto que los valores del caudal de salida On+1 son siempre positivos, la ecuación (3.20) requiere que la expresión de F tome siempre valores negativos o cero. 3

F (m /s)

Tiempo (s)

Ilustración 3. 7. Curva del parámetro de almacenamiento F durante la avenida.

La ilustración 3.5 servirá de guía para el análisis desarrollado a continuación. Es muy útil conocer el dominio y el rango de una función, porque este conocimiento nos dice acerca de aquellas regiones del plano en las cuales el gráfico está confinado y de las que está excluido.

75

3

f(O) (m /s)

3

O (m /s) 0 F 2F 3F

Ilustración 3. 8. Curvas de la función de la ecuación principal para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante para valores de F.

3.4.4 Dominio El dominio de la función es el conjunto de todos los números O0 tales que la recta vertical O O0 intercepta la gráfica.

Para determinar el dominio de la función f debe

hallarse todos los O para los cuales la expresión tiene significado. En la función (3.24) el término EO 2 / 3 no está definido para valores de O menores a 0. Por consiguiente, el dominio de la función f es: O 0 Evidentemente, O no debe ser negativo porque la elevación del espejo de agua H sobre la cresta del vertedero es por definición positiva, en consecuencia el caudal resultante de la formula (3.16) es también positivo.

76 Es necesario notar que, la función (3.24) esta definida y es continua para todos los valores O de su dominio.

3.4.5 Rango

El rango de la función es el conjunto de todos los f0 tales que la recta horizontal f  f 0 intercepta la gráfica. Para determinar el rango de la función f debe despejarse O y hallarse los valores de f para los cuales la expresión resultante tiene significado. Si bien el despeje de O en la ecuación (3.24) es posible, como se verá más adelante, éste conlleva a complicadas expresiones algebraicas y a cálculos en el campo de los números complejos, por lo que es conveniente aquí la técnica de cálculo alternativa de a continuación: Primero se calcula la derivada de f: f (O) 1 23 EO 1/ 3

(3.25)

Tomando en cuenta que E no puede ser negativa, la derivada en el interior del dominio es positiva por lo que la función f es creciente.

Luego,

f (0) F y

lim f (O) . Por lo tanto, el rango de la función está dado por: O

F  f (O)  Ciertamente, el rango debe tener un límite inferior, puesto que el estado de balance al que representa la función f no puede ser de un carácter infinitamente negativo.

3.4.6 Intersecciones

Es útil saber el lugar donde la gráfica corta a los ejes O y f. Un punto en que la gráfica cruza al eje O se llama intersección con O; un punto donde cruza al eje f se llama intersección con f. Para hallar la intersección con O se hace f (O) 0 . Para hallar la intersección con f se hace O 0 .

77

La intersección con f ocurre en F puesto que f (0) F . La intersección con O sólo sucede cuando F 0 . Como la intersección con O corresponde al valor para el cual f (O) 0 este valor de O se llama cero de la función. La intersección con f nos dice que, a causa de la falta de un caudal de salida al final del intervalo de tiempo, se tiene un estado de balance imperfecto F. La intersección con O nos da el caudal de salida al final del intervalo para un estado de balance perfecto, como lo exige la ecuación de continuidad.

3.4.7 Simetrías

La gráfica será simétrica respecto al eje O, si y solo si los puntos (O, f ) y (O,f ) pertenecen a la gráfica. La gráfica será simétrica respecto al eje f, si y solo si los puntos (O, f ) y (O, f ) pertenecen a la gráfica. La gráfica será simétrica respecto al origen, si y solo si los puntos (O, f ) y (O,f ) pertenecen a la gráfica. Debe tenerse en cuenta que una curva puede ser simétrica respecto al origen sin serlo respecto a los ejes. Puesto que f es una función, se descarta la simetría respecto al eje O. Puesto que el dominio de la función no permite valores negativos, también se descarta la simetría respecto al eje f. En consecuencia, la simetría respecto al origen también queda descartada. Por ejemplo, si la función (3.24) fuese simétrica con respecto al eje O implicaría un doble estado de balance para un caudal de salida al final del intervalo, situación físicamente incompatible.

3.4.8 Asíntotas

Una asíntota es una línea recta a la cual se acerca, pero no logra alcanzarla, el ramal infinito de una curva y que puede considerarse como tangente a la curva en el infinito. Para hallar asíntotas verticales debe buscarse valores de O que hagan cero el denominador de algún cociente en la función (3.24). Para hallar asíntotas horizontales debe despejarse O y

78 buscarse valores de f que hagan cero el denominador de algún cociente en la expresión resultante. Como no existen cocientes en la función f no se tienen asíntotas verticales. Si bien no es práctico aquí despejar O se puede afirmar que no se tienen asíntotas horizontales porque la función es creciente hacia el infinito. Más adelante, cuando se tenga a O despejado se confirmará esta aseveración.

3.4.9 Máximos y Mínimos

Por definición, una función como f tiene un máximo relativo en Oo si existe un intervalo que contiene a O0 como punto interior, tal que f (Oo ) es el máximo de f en este intervalo. Análogamente, f tiene un mínimo relativo en O1 si existe un intervalo con O1 como punto interior tal que f (O1 ) es el mínimo de f en este intervalo. Si la función f se restringe a un intervalo cualquiera no existirán máximos ni mínimos relativos de acuerdo a la definición, porque éstos no ocurren en el interior del intervalo, sino en los extremos. De este modo, se tiene un mínimo absoluto para O 0 en f (0) F . El máximo absoluto no está definido para la función f.

3.4.10 Puntos Críticos

Por definición, un valor crítico de una función como f es un valor de O donde f (O) 0 .

Un punto crítico de la función f es el punto

O, f (O)

de la gráfica

correspondiente al valor crítico O. Generalmente se presenta un punto crítico en cualquier punto de máximo o mínimo relativo de una función que puede derivase en ese punto. Ya que en la función f no existe máximos ni mínimos relativos, tampoco existe puntos críticos.

79 3.4.11 Concavidad

Por definición, si en cada punto de un intervalo la gráfica de la función está siempre por encima de la tangente a la curva en ese punto, se dice que la curva es cóncava hacia arriba en el intervalo. Si la curva está siempre por debajo de la recta tangente, se dice que la curva es cóncava hacia abajo. Para verificar la concavidad hacia arriba debe probarse f (O) 0 en el interior del dominio.

Para verificar la concavidad hacia abajo debe

probarse f (O) 0 en el interior del dominio. La segunda derivada de la función (3.24): f (O) 92 EO 4 / 3

(3.26)

Puesto que para cualquier O del interior del dominio de (3.24) f (O) es negativa, la curva de la función f es cóncava hacia abajo.

3.4.12 Puntos de Inflexión Por definición, un punto de la curva es un punto de inflexión si f (Oo ) 0 en este punto y si la gráfica es cóncava hacia arriba a un lado y cóncava hacia abajo al otro lado. Como la curva de la función f es sólo cóncava hacia abajo no se tienen puntos de inflexión.

3.4.13 Función Inversa

Por teorema, una función creciente como f con dominio J y rango K tiene una función inversa, creciente, con dominio K y rango J.

80 Como la función (3.24) es creciente, entonces f (O) tiene una función inversa, creciente O( f ) con dominio F  f  y rango 0 O( f ) .

Para expresar la

función inversa es necesario despejar O de la ecuación (3.24), lo que se verá más adelante. La función inversa representa el caudal de salida O al final del intervalo de tiempo perteneciente a un estado de balance en el sistema dado por f. De esta manera, cuando el estado de balance dado es cero, el valor resultante de la función inversa es el caudal de salida O al final del intervalo de tiempo apto para el cumplimiento de la ecuación de continuidad. La ilustración (3.9) muestra la gráfica de la función inversa O la cual puede ser generada mediante la resolución numérica de O en la función (3.24) para valores dados de f. 3

O(f) (m /s)

3

f (m /s)

F

0

Ilustración 3. 9. Curva de la función inversa de la función de la ecuación principal para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante.

81 3.4.14 Raíces

Encontrar las raíces de una ecuación como la (3.23) es equivalente a encontrar los valores de O para los cuales f (O) es cero. Por esta razón las raíces de las ecuaciones muchas veces son llamadas ceros de la ecuación. Existe teoría sobre las raíces de las ecuaciones tipo polinomio, pero no existe tal sobre las raíces de ecuaciones tipo función algebraica explícita como la función (3.24). En consecuencia es obligatorio un análisis particular de la función (3.24). Si F es menor o igual a cero, entonces la curva de la función (3.24) cruzará el eje O dada la naturaleza creciente de ésta función. Una vez que la curva cruza el eje O no lo cruza más debido a que la función (3.24) es creciente. En conclusión, la ecuación (3.23) tiene una única raíz real para F 0 . Como corolario, la ecuación (3.23) no tiene raíces reales para F 0 . Se mencionó anteriormente que F es siempre negativa. Por consiguiente, la existencia de una solución de la ecuación (3.23) está garantizada. La ilustración 3.10 muestra la curva de la función (3.24) rotulada de acuerdo a todo el análisis anterior.

82 3

f(O) (m /s) Rango F f(O)+

Continua Creciente

Cóncava hacia abajo

Dominio O 0

3

O (m /s) 0 F

Intersección con O (Raíz) O=On+1 Intersección con f (Mínimo absoluto) f=F

Ilustración 3. 10. Curva (rotulada) de la función de la ecuación principal para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante.

3.4.15 Resolución Gráfica de la Ecuación Principal Curva Característica

Una alternativa para la resolución de la ecuación principal (3.23) es mediante una curva muy interesante, llamada curva característica del sistema embalse-vertedero, desarrollada a continuación. La curva característica es la gráfica del caudal de salida al final del intervalo de tiempo O frente a la función (3.24) pero recortada de F: f (O) O EO 2 / 3

(3.27)

83 La curva característica se muestra en la ilustración 3.11. No es complicado advertir que la función 3.27 retorna el valor de F con signo cambiado cuando el caudal de salida al final del intervalo de tiempo es la raíz de la ecuación (3.23), o sea cuando el caudal de salida satisface la ecuación de continuidad del sistema embalse-vertedero. La facultad más sobresaliente de la curva característica radica en que basta trazarla una sola vez para luego hallar cualquier caudal de salida al final del intervalo dado su respectivo F. Esto es posible porque en un sistema embalse-vertedero ya establecido el parámetro E normalmente permanece constante mientras que el parámetro F permanece variable durante el paso de la tormenta o avenida. Consiguientemente, es conveniente señalar que, existe una sola curva característica para el sistema embalse-vertedero. Finalmente y como ejemplo, para valores de E 67.7 m3 / s1 / 3 y F -609.0 m 3 /s , se tiene un caudal de salida al final del intervalo de tiempo de O 25.3 m3/s obtenido aproximadamente mediante la curva característica correspondiente mostrada en la ilustración 3.11.

Ecuación Alternativa

Otra alternativa para la resolución de la ecuación (3.23) se origina en la curva característica del sistema embalse-vertedero y consiste en articular una sencilla ecuación para representar aproximadamente la versión tipo log-log de la curva característica. Es importante advertir que, pese a que la función (3.27) puede representarse muy aceptablemente con una línea recta en una gráfica tipo log-log, ésta no puede convertirse matemáticamente a formas u expresiones logarítmicas, lo cual significa que la función (3.27) no siempre puede mostrarse como una recta en una gráfica log-log. La versión loglog de la curva característica se muestra en la ilustración 3.12.

84 f(O) (m3/s)

1200

1000

800

600

(25.3, 609.0)

400

200

O (m3/s) 0 0

10

20

30

40

50

60

70

Ilustración 3. 11. Curva característica para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante. y (m3/s)

10000

1000

(x2, y2) (24.7, 609.0) (x1 , y1) 100

10

x (m3/s) 1 1

10

100

Ilustración 3. 12. Curva de la ecuación alternativa para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante.

85

Para ensamblar la ecuación que representa la recta mostrada en la ilustración 3.12 puede usarse un par de puntos de la misma en la forma dos puntos de la ecuación de una recta:

O

f (O) O EO 2 / 3

20.0

519.0

32.0

714.6

Según la forma dos puntos de la ecuación de una recta: y 519.0 

714.6 519.0 32.0 20.0

(x 20.0)

x 0.06 y 11.8

(3.28)

La ecuación (3.28) se denomina ecuación alternativa del sistema embalse-vertedero y al igual que la curva característica basta ensamblarla una sola vez para resolver cualquier caudal de salida al final del intervalo de tiempo O. Sin embargo nótese que, para mayor aproximación debe elegirse un par de puntos que cubran el rango de caudales abordados en el problema.

Continuando

con

el

ejemplo,

para F -609.0 m 3 /s se

tiene

primeramente

y 609.0 m /s , luego de la ecuación (3.28) se tiene O x 24.7 m /s como se muestra 3

3

en la ilustración 3.12.

Finalmente, decir que, como se verá más adelante el resultado

anterior es indudablemente aproximado.

3.4.16 Resolución Algebraica de la Ecuación Principal

Para resolver algebraicamente la ecuación principal (3.23), primeramente debe emplearse un cambio de variable que transforme la misma en una ecuación cúbica, para

86 luego poder aplicar el método de Cardano orientado a ecuaciones cúbicas.

El método de

Cardano está desarrollado en el Apéndice C. Aplicando un cambio de variable: V 3 O

(3.29)

Expresando la ecuación (3.23) de acuerdo al anterior cambio de variable: V 3 EV 2 F 0

(3.30)

Aplicando las fórmulas de Cardano a la ecuación cúbica (3.30), se tiene:

V 

3

q  q 2  274 p 3 2

3

q  q 2  4 p 3 27

2



E 3

(3.31)

En la ecuación (3.31) las variables p y q están dadas por: E2

p 

(3.32)

3 q 

2E 3

F

(3.33)

27 En el ejemplo a continuación, se evitará la colocación de las unidades junto a las cantidades por conveniencia de notación. Entonces, para valores dados de E 67.72 y F 609.00 , según las ecuaciones (3.32) y (3.33) se tiene p 1528.67 y q 22395.73 . Posteriormente, aplicando la ecuación (3.31), se tiene: 22395.73 - 27652748.27 V 3 22395.73  - 27652748.27 3 22.57 2 2

87 Ciertamente, la anterior expresión de V requiere manipulaciones en el campo de los números complejos. De este modo, se tiene: V 3 11197.87 2629.29i 3 11197.87 2629.29i 22.57 Evaluando las raíces cúbicas, se tiene: V (12.75 18.62i) (12.75 18.62i) 22.57 2.93 Finalmente, deshaciendo el cambio de variable mediante la ecuación (3.29), se tiene: O 25.15 m 3 / s El caudal de salida al final del intervalo de tiempo apropiado para la ecuación de continuidad, según el resultado anterior es, 25.15 m3/s. La gráfica de éste ejemplo se muestra en la ilustración 3.13. Pese a que las fórmulas de Cardano pueden abarcar manipulaciones en el campo de los números complejos, se puede aseverar que son la mejor opción para resolver la incógnita de la ecuación principal (3.23). Es importante advertir que el resultado anterior goza de un error de redondeo puesto que se las cifras se redondearon a dos decimales durante todo el cálculo mostrado. Este error de redondeo puede reducirse a su mínima expresión realizando todo el cálculo con el mayor número de cifras decimales posibles. Por último, es necesario mencionar aquí, que la función inversa de la función (3.24) puede ensamblarse fácilmente usando las ecuaciones (3.29), (3.31), (3.32) y (3.33) pero reemplazando F por F Q . Y finalmente, como en la expresión (3.31) no existe ningún denominador que pueda hacerse cero, se puede confirmar que no existen asíntotas horizontales para la función (3.24).

88 f(O) (m3/s)

4500

E=67.72

4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500

O (m3/s)

0 0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

-500

F=-609.00 -1000

Ilustración 3. 13. Curva de la función de la ecuación principal para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante para valores de E y F dados.

3.4.17 Resolución Numérica de la Ecuación Principal

Dado que la resolución de la ecuación (3.23) por métodos algebraicos involucra cierta dificultad, la aplicación de los métodos numéricos es una buena opción. En esta parte se aplicará el método de Newton-Raphson, elegido por la sencillez de su algoritmo y por su rápida convergencia. En verdad, cualquier otro método es aplicable para la resolución de la ecuación (3.23) ya que la misma como se mostró posee una única raíz real. En el Apéndice B se presenta un resumen teórico de métodos numéricos para la resolución de ecuaciones, incluyendo el de Newton-Raphson. La fórmula del método Newton-Raphson aplicada a la función (3.24):

O

(n1)

O

(n)

6

(n1)

2/3 f (O (n) ) O EO F    f (O (n) ) 1  23 EO1/ 3

(3.34)

89

En la ecuación (3.34) n y n+1 denotan la anterior y actual iteración, respectivamente. El símbolo 6 (delta) representa la magnitud del cambio de la raíz. Es necesario iniciar la iteración con un valor estimado de O, y con un valor de error s (épsilon) exigido. Una regla conocida consiste en asignar a s un décimo del error permitido en la raíz. Finalmente, la iteración deberá continuar hasta que el cambio de la raíz sea menor que el valor predeterminado del error. O sea 6 s .

Por ejemplo, se resolverá la ecuación (3.23) para

E 67.72 m3 / s1 / 3

F -609.00 m 3 /s . La gráfica correspondiente se muestra en la ilustración 3.13.

y

Para

iniciar la iteración con un valor estimado puede usarse la gráfica y elegirse por ejemplo O 24.00 m 3 / s . Luego puede exigirse un error permisible s 0.001 m 3 / s . Con esta información y la ecuación (3.34) puede lograrse el cuadro:

Tabla 3. 1. Resolución numérica de la ecuación principal.

O (m /s)

6 (m /s)

|6|O2>O1

2F 3F

O2>O1 O1

Ilustración 3. 20. Curva de la función de la ecuación principal para un embalse con vertedero Morning Glory y espejo de agua constante para valores de F.

102

3.5.5 Rango

Como la primera derivada de f es siempre positiva en el interior del dominio, la función f es creciente: f (O) 1  23 EO1 / 3 0 El límite inferior del rango está dado por f (0) F .

(3.47)

Y como la función es

creciente, el límite superior del rango está dado por lim f (O) . De esta manera, el O

rango de la función (3.46) se restringe a: F  f (O)  Indiscutiblemente, para un caudal de salida mínimo al final del intervalo de tiempo debe existir un estado de balance definido F, y para un caudal de salida infinitamente positivo debe existir un estado de balance infinitamente correspondiente. En otras palabras, es razonable que el rango contenga un límite inferior.

3.5.6 Intersecciones Como f (0) F existe una intersección con f en F. Como la función (3.46) es creciente, existe una intersección con el eje O cuando F 0 . La intersección con f se interpreta como el estado de balance imperfecto límite existente para un caudal de salida al final del intervalo de tiempo no existente o cero. La intersección con O se interpreta como el caudal de salida al final del intervalo necesario para un estado de balance perfecto.

103

3.5.7 Simetrías

No existe simetría con respecto al eje O, si existiese significaría que un caudal de salida al final del intervalo de tiempo produce simultáneamente un doble estado de balance, realidad física imposible. Tampoco existe simetría con respecto al eje f, si existiese significaría que el caudal de salida al final del intervalo podría ser negativo, situación matemáticamente y físicamente incompatible.

3.5.8 Asíntotas

No se tienen asíntotas verticales porque el caudal de salida al final del intervalo de tiempo puede crecer infinitamente sin restricción. Del mismo modo, no se tienen asíntotas horizontales porque la función f puede crecer infinitamente sin restricción.

3.5.9 Máximos y Mínimos

La función (3.46) no tiene máximos ni mínimos relativos en intervalos interiores del dominio. Sin embargo, la función (3.46) tiene un mínimo absoluto en f (0) F . Si la función (3.46) no tuviese un mínimo absoluto, entonces implicaría que el estado de balance del sistema no estaría definido para un caudal de salida al final del intervalo de cero. Situación físicamente incompatible.

3.5.10 Puntos Críticos

Los puntos críticos solo existen junto a máximos o mínimos relativos en intervalos interiores del dominio. Como la función f no tiene máximos ni mínimos relativos, tampoco tiene puntos críticos. Además, como la función (3.46) es eternamente creciente no permite la existencia de puntos críticos.

104

3.5.11 Concavidad

Como la segunda derivada de la función f es siempre negativa en el interior del dominio, la curva correspondiente es cóncava hacia abajo: f (O) 29 EO 4 / 3 0

(3.48)

Generalmente, se comprueba la concavidad con el fin de obtener más información sobre la gráfica.

3.5.12 Puntos de Inflexión

Cuando la gráfica cambia de cóncava hacia abajo hacia cóncava hacia arriba o viceversa, se tiene un punto de inflexión. Como la función (3.46) sólo es cóncava hacia abajo, no se tienen puntos de inflexión. Al igual que en la concavidad, generalmente se buscan los puntos de inflexión para lograr más información sobre la gráfica.

3.5.13 Función Inversa

Por teorema, cuando una función como f es creciente, entonces tiene una función inversa creciente O( f ) cuyo dominio está dado por F  f  y cuyo rango está dado por 0 O( f ) .

105

Físicamente, la función inversa O retorna el caudal de salida al final del intervalo de tiempo para un estado de balance f dado. De esta manera, para un estado de balance dado f 0 la función O retornará el caudal de salida al final del intervalo adecuado para la satisfacción de la ecuación de continuidad, o sea O(0) On1 . La curva de la función inversa O puede ser trazada resolviendo la ecuación (3.46) por O para valores de f dados. La ilustración 3.21 muestra la función inversa O. Para expresar la función inversa de f debe resolverse algebraicamente la ecuación (3.46) por O. La resolución algebraica de (3.46) se detalla más adelante. 3

O(f) (m /s)

3

On+1

F

f (m /s)

0

Ilustración 3. 21. Curva de la función inversa de la función de la ecuación principal para un embalse con vertedero Morning Glory y espejo de agua constante.

106

3.5.14 Raíces

Como no existe una guía sobre las raíces de las ecuaciones algebraicas explícitas, es necesario una inspección particular tanto a la ecuación (3.45) como a la función correspondiente (3.46). Como se dijo al principio, F siempre es menor o igual a cero, implicando el cruce del eje O por la curva de la función (3.46) dado que ésta es creciente, e implicando al mismo tiempo que una vez cruzado el eje O, no se lo vuelve a pasar más porque el rango de f tiende al infinito positivo. Concluyendo, la ecuación (3.45) tiene una raíz real cuando F 0 y ninguna si F 0 . La ilustración 3.22 es una representación de la curva de la función de la ecuación principal (3.46) etiquetada de acuerdo a los resultados de todo el análisis anterior. 3

f(O) (m /s)

Rango F f(O) +

Cóncava hacia abajo

Continua y Creciente

Dominio O 0 3

O (m /s) 0 F

Intersección con O (Raíz) O=O n+1 Intersección con f (Mínimo absoluto) f=F

Ilustración 3. 22. Curva (rotulada) de la función de la ecuación principal para un embalse con vertedero Morning Glory y espejo de agua constante.

107

3.5.15 Resolución Gráfica de la Ecuación Principal Curva Característica

Puede resolverse la ecuación principal (3.45) usando una curva muy interesante, denominada curva característica del sistema embalse-vertedero. La curva característica es una gráfica del caudal de salida al final del intervalo de tiempo O frente a la siguiente función derivada de (3.46): f (O) O EO 2 / 3

(3.49)

Es fácil darse cuenta que la función (3.49) retorna F si el caudal de salida al final del intervalo de tiempo es la solución de la ecuación principal, o sea cuando se satisface la ecuación de continuidad del sistema. La curva característica está mostrada en la ilustración 3.23. La curva característica es única para el sistema embalse-vertedero, por lo tanto una vez trazada puede hallarse cualquier caudal de salida al final del intervalo para su respectivo F. Esto es posible porque en un sistema establecido el parámetro E permanece constante y el parámetro F permanece variable durante la avenida. Por ejemplo, para E 16.4 m 3 / s 1/ 3 y F -511.1 m 3 /s se tiene un O 117.4 m3/s logrado como se muestra en la curva característica de la ilustración 3.23.

108 3

f(O) (m /s)

800

700

600

500

(117.4, 511.1) 400

300

200

100 3

O (m /s) 0 0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Ilustración 3. 23. Curva característica para un embalse con vertedero Morning Glory y espejo de agua constante.

Ecuación Alternativa

Al igual que para un embalse con vertedero estándar, la versión log-log de la curva aparece en ésta parte y se muestra en la ilustración 3.24. Para establecer la ecuación que representa la línea recta trazada en la ilustración 3.24 debe escogerse dos puntos de la misma y luego aplicarlos a la forma dos puntos de la ecuación de una recta:

O

f (O) O EO 2 / 3

126.0

538.6

150.0

613.5

Según la forma dos puntos de la ecuación de una recta:

109

y 538.6 

613.5 538.6 150.0 126.0

(x 126.0)

x 0.32 y 47.7

(3.50)

La ecuación (3.50) que es la ecuación alternativa del sistema embalse-vertedero sirve para encontrar cualquier caudal de salida al final del intervalo de tiempo O. Siempre debe tenerse en cuenta que, para lograr mayor aproximación debe escogerse un par de puntos que cubran el rango de caudales tratados en el problema en cuestión. Siguiendo el mismo ejemplo, para F -511.1 m 3 /s se tiene y 511.1 m3/s , y de la ecuación alternativa (3.50) se tiene O x 115.9 m3/s como se puede ver en la ilustración 3.24. Es necesario subrayar que, el resultado logrado es aproximado.

y (m3/s)

1000

(x2, y2) (115.9, 511.1) (x1, y1) 100

10

x (m3/s) 1 1

10

100

1000

Ilustración 3. 24. Curva de la ecuación alternativa para un embalse con vertedero Morning Glory y espejo de agua constante.

110

3.5.16 Resolución Algebraica de la Ecuación Principal

Como se vio en el caso correspondiente al vertedero estándar, la ecuación (3.45) puede resolverse mediante un cambio de variable más la aplicación del método de Cardano (Apéndice C). Cambio de variable: V 3 O

(3.51)

La ecuación (3.45) de acuerdo al cambio de variable: V 3 EV 2 F 0

(3.52)

Las fórmulas de Cardano aplicadas a la ecuación (3.52):

V 

3

q  q 2  274 p 3 2

3

q  q 2  4 p 3 27

2



E 3

(3.53)

Las variables p y q están dadas por: E2

p 

(3.54)

3 q 

2E 3

F

(3.55)

27 En el ejemplo a continuación no se colocarán las unidades junto a las cantidades por conveniencia de notación.

Para valores de E 16.42 y F 511.11, p -89.87 y

q -183.18 . Luego, según la ecuación (3.53):

111

V 3

183.18  - 73977.76 3 183.18  - 73977.76 5.47  2 2

Luego: V 3 91.59 135.99i 3 91.59 135.99i 5.47 Evaluando: V (5.18 1.75i) (5.18 1.75i) 5.47 4.89 Y, según la ecuación (3.51): O 116.93 m 3 / s El caudal de salida al final del intervalo de tiempo es 116.93 m3/s. La curva se muestra en la ilustración 3.25. Es necesario volver a mencionar que, el resultado anterior tiene un error de redondeo puesto que durante todo el cálculo expuesto se usaron dos decimales. Finalmente, la función inversa de (3.46) puede ensamblarse usando las ecuaciones (3.51), (3.53), (3.54) y (3.55) pero cambiando F por F Q .

3.5.17 Resolución Numérica de la Ecuación Principal

Otra vía recomendable para la resolución de la ecuación principal para un embalse con vertedero Morning Glory (3.45) es el método numérico de Newton-Raphson, que fue empleado también en la resolución de la ecuación principal para un embalse con vertedero estándar (3.23).

112 3

f(O) (m /s)

1000

E=16.42

800

600

400

200 3

O (m /s) 0 0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

-200

-400

-600

F=-511.11

Ilustración 3. 25. Curva de la función de la ecuación principal para un embalse con vertedero Morning Glory y espejo de agua constante para valores de E y F.

La formula de iteración de Newton-Raphson aplicada a la función (3.46):

O

(n1)

O

(n)

6

(n1)

2/3 f (O (n) ) O EO F    f (O (n) ) 1  23 EO1/ 3

(3.56)

Aquí, n y n+1 designan a la anterior y actual iteración, respectivamente.

El símbolo 6

(delta) es la magnitud del cambio de la raíz entre iteraciones. Para iniciar la iteración de la resolución, debe especificarse un estimado inicial de O así como un error s (épsilon) admisible. Se sugiere que el error s sea un décimo del error permitido en la raíz. Posteriormente, la iteración debe durar hasta que 6 s .

Por ejemplo, se resolverá la ecuación (3.45) para

E 16.42 m 3 / s 1/ 3

y

F 511.11 m 3 / s . Para iniciar la iteración puede elegirse un O 115.00 m 3 / s , como se ve en la ilustración 3.25, además puede admitirse un error s 0.001 m 3 / s . Luego, se continúa con la fórmula (3.56) como se muestra en el siguiente cuadro:

113

Tabla 3. 4 . Resolución numérica de la ecuación principal.

O (m /s)

6 (m /s)

|6|