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• Francisco Javier

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Unidad 06: Estimación de Intervalos En muchas circunstancias la estimación puntual no proporciona la información suficiente acerca de un parámetro, ya que es más adecuado contar con un intervalo donde se espere que esté contenido el verdadero valor del parámetro. El intervalo estimado recibe el nombre de intervalo de confianza.

Intervalos de confianza Una estimación por intervalos de un parámetro desconocido θ es un intervalo de la forma l ≤ θ ≤ u, donde los puntos extremos l y u dependen del valor numérico de la estadística θb b Puesto que muestras para una muestra en particular, y de la distribución de muestreo de Θ. b b diferentes producen valores distintos de θ θ y, en consecuencia, valores diferentes de los puntos extremos l y u, estos puntos son valores de variables aleatorias, por ejemplo, L y U , b es posible determinar los valores de L respectivamente. De la distribución de muestreo de Θ y U tales que la siguiente proposición de probabilidad es verdadera: P (L ≤ θ ≤ U ) = 1 − α Donde 0 < α < 1. Por tanto, se tiene una probabilidad de 1 − α de seleccionar una muestra que produzca un intervalo que contiene el valor verdadero de θ, y el intervalo resultante es: l≤θ≤u

Intervalos de confianza para la media, varianza conocida Definición Si x es la media muestral de una muestra aleatoria de tamaño n de una población con varianza conocida σ 2 , un intervalo de confianza para µ del 100(1 − α) % esta dado por: σ σ x − z α2 √ ≤ µ ≤ x + z α2 √ n n Donde z α2 corresponde a la probabilidad estándar.

α , 2

en la cola superior de la distribución normal

Ejemplos: • 7-1 Libro guía: Un artículo publicado en el Journal of Heat Transfer (Trans. ASME, Ses. C, 96, 1974, pag. 59) describe un nuevo método para medir la conductividad térmica del hierro Armco. Al utilizar una temperatura de 100 ◦ F y una potencia de 2

entrada de 550 W , se obtienen las 10 mediciones siguientes de conductividad térmica (en Btu/hr − f t − ◦ F ): 41.60, 41.48, 42.34, 41.95, 41.86, 42.18, 41.72, 42.26, 41.81, 42.04 Se sabe que la desviación estándar de la conductividad térmica a 100 ◦ F y 550 W es σ = 0.30 Btu/hr − f t − ◦ F . Suponga que la conductividad térmica está distribuida de manera normal. a) Encontrar un intervalo de confianza del 95% para la conductividad térmica promedio de este material. Sol a) Si se supone que la conductividad térmica está distribuida de manera normal, se puede decir que se cumplen las condiciones del teorema de límite central. Cuando nos plantean un intervalo del 95%, se tiene que 0.95 = 1 − α, entonces α = 0.05. Como α = 0.05 entonces z α2 = z0.025 , y por medio de la tabla de distribución normal acumulada tenemos que z0.025 = 1.96. Entonces el intervalo solicitado es: σ σ x − z α2 √ ≤ µ ≤ x + z α2 √ n n 0.30 0.30 41.924 − (1.96) × √ ≤ µ ≤ 41.924 + (1.96) × √ 10 10 41.924 − 0.186 ≤ µ ≤ 41.924 + 0.186 Por lo tanto, el intervalo de confianza bilateral del 95% es: 41.738 ≤ µ ≤ 42.110 Por medio de R también podemos realizar estos cálculos. # Para el cálculo del intervalo bilateral: library(PASWR) # Se carga la librería necesaria. # Creamos un vector con los datos datos