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• brayan Orihuela

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23/09/2019

5. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS EN DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS 1

Parámetros de una distribución •

Los parámetros de una distribución describen y definen la distribución en particular, y son estimados (obtenidos) a partir de datos. – Ejemplo: – En la distribución exponencial, dependiendo del valor de lambda,λ, f(t) exhibirá diferentes características.

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1

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Estimación de parámetros • Para ajustar un modelo a los datos, es necesario realizar un estimación de los parámetros del modelo escogido. • Esta estimación se realiza basándose en el conjunto de datos

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Estimación de parámetros ReliaSoft Weibull++ 7 - www.ReliaSoft.com

Función de Densidad de Probabilidad

4.000E-4

La estimación de parámetros de la distribución normal para datos completos es trivial. • µ = 4,000 • σ = 1,000

Datos 1 Normal-2P RRX MRE MED MF F=3/S=0 Línea de la Fdp 3.200E-4

2.400E-4

f(t)

– Ejemplo: 3,000, 4,000, 5,000

Pdf

1.600E-4

8.000E-5

0.000 0.000

Juan Musayon TECSUP 01/02/2008 02:46:30 p.m. 4000.000

8000.000

12000.000

16000.000

20000.000

Tiempo, (t) = =  =

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Método de estimación de parámetros • Hay varios métodos para la estimación de parámetros. Los mas conocidos son: ‒ El método del Ploteo de Probabilidades (probability plotting) ‒ El método de los mínimos cuadrados (least squares) y ‒ El método de la Máxima Verosimilitud (maximum likelihood).

• Se presentara una visión general del método de ploteo de probabilidades.

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Ploteo de probabilidades • • • •

Método mas conocido (manual) para distribuciones complejas (probability plotting). Considera el ploteo de los datos en un papel especial obteniéndose el grafico de probabilidades. El principio básico es linealizar la cdf. Con algebra básica, se puede fácilmente obtener la ecuación de la recta (y=mx+b).

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Ploteo de probabilidades • • •

Los puntos ploteados representan los datos de tiempo hasta la falla. Estos tiempos son los valores del eje x. Para determinación la posición y (probabilidad de falla), hay que determinar el valor de la “categoría mediana” (median rank) para cada tiempo hasta la falla.

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Categorías Medianas (MR) • Las categorías medianas son utilizadas para obtener una estimación de la no confiabilidad, F(t), para cada tiempo hasta la falla. • Por aproximación, la categoría mediana esta dada por: (Aproximación de Bernard)

𝑌 = 𝑀𝑅 = – MR – N – i

𝑖 − 0.3 𝑁 + 0.4

= Rango Medio (Media Rank) = Tamaño de la muestra = Numero de Orden (posición de la falla)

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4

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Categorías Medianas (MR) • Adicionalmente, se puede emplear la siguiente tabla para determinar MR: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

50

29.289 70.711

20.630 50.000 79.370

15.910 38.573 61.427 84.090

12.945 31.381 50.000 68.619 87.055

10.910 26.445 42.141 57.859 73.555 89.090

9.428 22.849 36.412 50.000 63.588 77.151 90.572

8.300 20.113 32.052 44.015 55.984 67.948 79.887 91.700

7.412 17.962 28.624 39.308 50.000 60.691 71.376 82.018 92.587

6.697 16.226 25.857 35.510 45.169 54.811 64.490 74.142 83.774 93.303

6.107 14.796 23.578 32.390 41.189 50.000 58.811 67.620 76.421 85.204 93.893

5.613 13.598 21.669 29.758 37.853 45.951 54.049 62.147 70.242 78.331 86.402 94.387

M𝑅 =

𝑖 − 0.3 𝑛 + 0.4

9

5.1. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

10

5

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Distribución exponencial • •

Una de las distribuciones mas simples, utilizada erróneamente debido a su facilidad. Definida como:

f (t ) = .e − .t donde: • •

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t es la variable aleatoria que representa el tiempo. La letra griega λ (lambda) representa el parámetro de la distribución.

Ing. Luis Hurtado Campos

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Gráfico de la función exponencial

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Funciones relacionadas Función confiabilidad t



R(t ) = 1 −  .e

− . s

Función tasa de falla  (t ) =

ds

0

f (t ) .e −  .t = − .t =  R(t ) e

R(t ) = 1 − [1 − e −t ] R ( t ) = e −  .t

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Media o MTTF •

El tiempo medio hasta la falla (MTTF) esta dado por (equilibrio), (esperanza de vida):

__

∞

𝑇 = න 𝑡. 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 0 __

∞

𝑇 = 𝑀𝑇𝑇𝐹 = න 𝑡. 𝜆. 𝑒 −𝜆.𝑡 𝑑𝑡 = 0

•

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1 𝜆

Esta misma metodología puede ser aplicada para cualquier distribución, dada la pdf, con varios grados de dificultad dependiendo de la complejidad de la f(t).

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La distribución exponencial • Es muy utilizada en la Ingeniería de Confiabilidad debido a su simplicidad. • Se utiliza para describir ítems que fallan con tasa de fallas constante.

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Distribución exponencial con un parámetro •

La pdf de la exponencial con un parámetro esta dada por:

𝑓(𝑡) = 𝜆. 𝑒 −𝜆.𝑡 =

1 −𝑡 𝑒 𝑚 𝑚

Donde: λ = Tasa de fallas constante. m = Media entre fallas o hasta la falla t = Tiempo de operación, vida o edad.

•

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Es un caso especial de la distribución Weibull con β = 1

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Distribución exponencial con dos parámetros •

La pdf de la exponencial con dos parámetros esta dada por:

𝑓(𝑡) = 𝜆. 𝑒 −𝜆(𝑡−𝛾) 𝑓(𝑡) ≥ 0; 𝜆⟩0; 𝑡 ≥ 𝛾 •

Donde γ es el parámetro de localización (vida mínima).

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Estadísticas de la exponencial

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•

Confiabilidad:

𝑅(𝑇) = 𝑒 −𝜆(𝑇−𝛾)

•

Confiabilidad Condicional:

𝑅(𝑇, 𝑡) =

•

Tasa de fallas:

𝜆(𝑇) = 𝜆

•

Media (MTTF):

𝑀𝑇𝑇𝐹 = 𝛾 + Ing. Luis Hurtado Campos

𝑅(𝑇 + 𝑡) = 𝑒 −𝜆.𝑡 𝑅(𝑇)

1 𝜆 18

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El efecto de λ en la pdf exponencial •

•

•

•

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La pdf de la exponencial no tiene un parámetro de forma, porque solo tiene una forma. La pdf siempre es convexa y se prolonga a la derecha con el valor de decrecimiento λ. El valor de la función pdf siempre es igual al valor de λ en T=0. El parámetro de localización γ positivo altera el inicio de la distribución a la derecha del origen, lo que significa que las fallas ocurrirán solo después de “γ” horas de operación.

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Ejercicio • Un nuevo producto está siendo probado para determinar el periodo de garantía. El tiempo límite de ensayo es de 2 meses. • Después de este tiempo, solo 1 de 100 unidades falló (en 150 hrs). Las otras 99 fueron suspendidas en 1440 hrs de ensayo. • ¿Cómo debería ser determinado el periodo de garantía al 90% de Confiabilidad?

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Consideraciones preliminares • Necesitamos determinar el periodo de garantía, el cual está directamente relacionado con la tasa de fallas. • Con una falla, ¿Se puede asumir la tasa de fallas? • Como solo se observó una falla, la distribución exponencial es una buena opción. • Con datos históricos se podría utilizar la distribución Weibull de un parámetro y luego calcular β.

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Solución:

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•

El tiempo de garantía se calcula con:

𝑅(𝑡𝐺 ) = 𝑒 −𝜆.𝑡𝐺 𝐿𝑛(𝑅) 𝑡𝐺 = − 𝜆

•

Caso 1: Con Censura

𝜆=

σ #𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎𝑠 σ(#𝑆 × 𝑡𝑠 ) + σ #𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎𝑠 × 𝑡𝑓

•

Caso 2: Sin Censura

𝜆=

σ #𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎𝑠 σ #𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎𝑠 × 𝑡𝑓

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Solución • Estamos en el caso 1. 𝜆=

1 = 7 × 10−6𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎𝑠/ℎ𝑟 99 × 1440 + 1 × 150

• Para una confiabilidad del 90%: 𝑡𝐺 =

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𝐿𝑛(0.9) = 15,036 ℎ𝑟 7 × 10−6

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Ejercicio •

Según los datos mostrados, asumiendo que se comportan según una distribución exponencial, determinar: – La tasa de falla. – El MTTF – El tiempo transcurrido para una confiabilidad del 40 % – La confiabilidad para un tiempo de 95 horas.

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I

TTF (h) 1

111

2

46

3

8

4

266

5

141

6

20

7

186

8

63

9

86

10

34

24

24

12

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5.2. DISTRIBUCIÓN NORMAL

25

Distribución Normal •

•

Es utilizada comúnmente en el análisis de Confiabilidad, para tiempos hasta la falla de componentes electrónicos y mecánicos, equipos o sistemas. La pdf de la distribución normal es dada por:

𝑓(𝑡) =

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1 𝜎 2𝜋

1 𝑡−𝜇 2 −2 𝜎 𝑒

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Pdf de la distribución normal •

La distribución Normal es una distribución de 2 parámetros (μ,σ), y esta dada por: 𝑓(𝑡) =

1 𝜎 2𝜋

𝑒

−

1 𝑡−𝜇 2 2 𝜎

μ = Media normal de los tiempos de falla. σ = Desviación estándar de los tiempos de falla.

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Características • La pdf tiene el mismo valor para la media, mediana y moda. • La pdf tiene la forma de una campana y es simétrica en relación a la media. • La pdf no tiene parámetro de forma. Esto significa que tiene forma única. • La desviación estándar σ es el parámetro de escala de la pdf. • Si σ disminuye, la pdf se acerca a la media, es decir mas estrecha y mas alta. • Si σ aumenta, la pdf se torna mas ancha y mas baja.

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Ejercicio: •

Se probaron 20 muestras de paletas de turbina para determinar su frecuencia natural en kHz. Basada en esta muestra, se desea determinar la porción de la población que poseerá frecuencias fuera del intervalo de 7,8 hasta 8,2 kHz.

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7.93

8.08

7.76

7.88

8.14

7.97

7.57

7.98

7.50

8.12

7.89

7.64

7.91

8.02

8.00

7.98

8.11

8.06

8.02

7.94

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Ejercicio •

Según los datos mostrados, asumiendo que se comportan según una distribución normal, determinar: – La media y la desviación estándar. – El tiempo de cambio para una confiabilidad del 45 % – Si se desea trabajar con una confiabilidad del 60 % cada que tiempo deberá hacerse el cambio – Si cambio cada 1000 horas con que confiabilidad se está trabajando

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I

TTF (h) 1

1600

2

800

3

470

4

1200

5

2200

6

600

7

1100

8

900

30

30

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5.3. DISTRIBUCIÓN WEIBULL

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Distribución Weibull • • • •

Es una propuesta general para análisis de Confiabilidad. La pdf puede tener diferentes formas y puede aproximarse a las otras distribuciones. El comportamiento de la tasa de falla puede ser creciente, decreciente o constante. Tipos: • • •

Weibull de 3 parámetros Weibull de 2 parámetros Weibull Mixta

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Distribución Weibull de 3 parámetros Wallodi Weibull 1887-1979

•

La pdf de la distribución esta dada por:

𝛽 𝑇−𝛾 𝑓(𝑇) = 𝜂 𝜂

𝛽−1

𝑒

−

𝑇−𝛾 𝛽 𝜂

• 𝛽 ∶ 𝑃𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 • 𝜂 ∶ 𝑃𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 • 𝛾 ∶ 𝑃𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛

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Distribución Weibull de 2 parámetros • •

Es la forma más popular. La pdf esta dada por:

𝑓(𝑡) =

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𝛽 𝑡 𝜂 𝜂

𝛽−1

𝑒

−

𝑡 𝛽 𝜂

Ing. Luis Hurtado Campos

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Analizando β • β es el parámetro de forma o inclinación (en un papel de probabilidad Weibull) de la distribución. • La forma de la pdf es alterada cambiando el valor β. • β es un número adimensional.

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Efecto de β en la pdf ß = 0.5 ß = 5.0

=0

ß = 3.44

ß = 2.5 f(t) ß = 1.0

0 0 23/09/2019

t Ing. Luis Hurtado Campos

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Efecto de β en la cdf

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Efecto de β sobre la confiabilidad

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Ing. Luis Hurtado Campos

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Efecto de β sobre la tasa de fallas Riesgo de falla, r(t)

 = 2.5

= 1.0  = 0.5 23/09/2019

t

?

Ing. Luis Hurtado Campos

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Analizando η • Es el parámetro de escala de la distribución Weibull, y tiene las mismas unidades de T, como horas, Kilómetros, ciclos, actuaciones, etc.

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Ing. Luis Hurtado Campos

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Efecto de η en la pdf Vida Característica

ß = 2.5, =0

f(t)

1

< 2

R( ) = 36.8% ß = 2.5, =0

1

2

0 0 23/09/2019

t Ing. Luis Hurtado Campos

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Análisis Weibull • Requiere el tiempo para la falla como dato. • Una falla debe ser un evento definido y no solo una valoración subjetiva de perdida de rendimiento. • Los datos deberán ser estadísticamente una muestra al azar de la población. • Emplear la medida de utilización adecuada para el equipo y el mayor modo de falla. • Revisar otros factores tales como posición instalada, mal uso, incorrecto diagnostico de falla, etc. 23/09/2019

Ing. Luis Hurtado Campos

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El papel Weibull   t −    F(t ) = 1 − exp −        

 1  ln ln  =  ln(t −  ) −  ln   1− F(t )  Sobre un papel Weibull, el eje vertical está en escala lnln y el eje horizontal está en escala ln.

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Ing. Luis Hurtado Campos

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Papel Weibull

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Ing. Luis Hurtado Campos

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Ejercicio: Análisis Weibull Se ha obtenido datos de 10 items, seleccionados aleatoriamente y todos los cuales han fallado. El tiempo para la falla del equipo fue: 410, 1050, 825, 300, 660, 900, 500, 1200, 750, 600 • •

Paso 1 Paso 2

Ordenar los datos en orden ascendente. Tabular con el valor correspondiente F(t) para una muestra de10, empleando la tabla del Rango Medio y el MR

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45

Ejercicio: Análisis Weibull Número Falla (i) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23/09/2019

Horas para la Falla (ti ) 300 410 500 600 660 750 825 900 1050 1200

Rango Medio % Acum Falla F(t ) 6.7 16.2 25.9 35.5 45.2 54.8 64.5 74.1 83.8 93.9

Ing. Luis Hurtado Campos

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Factor de Forma=2.3 Vida característica=870 h

Número Falla (i) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Horas para la Falla (ti ) 300 410 500 600 660 750 825 900 1050 1200

Rango Medio % Acum Falla F(t ) 6.7 16.2 25.9 35.5 45.2 54.8 64.5 74.1 83.8 93.9

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Ing. Luis Hurtado Campos

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47

Parámetros de la distribución f(t)  = 2.3

63.2%

 = 870

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Ing. Luis Hurtado Campos

tiempo

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Ejercicio:

Se da las horas de fallas de un componente. Determinar los parámetros para una distribución Weibull

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i

TTF (h)

1

1000

2

1300

3

1550

4

1850

5

2100

6

2450

7

3000

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5.4. DATOS CENSURADOS

50

25

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Tipos de datos de vida • Datos Completos (tiempo hasta la falla). • Datos Censurados (no se conoce el tiempo de falla). – Censura a Derecha (Suspensión) – Censura en Intervalos – Censura a Izquierda

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51

Datos completos Realizamos un ensayo con 5 ítems y si todos fallasen, tendríamos toda la información de la muestra.

Unidad 1 Unidad 2

X X

Falló

Falló

X

Unidad 3

X

Unidad 4

X

Unidad 5

Falló

Falló

Falló

Tiempo

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Ing. Luis Hurtado Campos

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Datos censurados a la derecha (suspendidos) • Si ensayamos cinco ítems, pero solo tres fallan. • Tenemos los datos completos de tres ítems que fallaron, pero no de los dos ítems que no fallaron.

Unidad 1 Unidad 2

No falló

X

Falló

X

Unidad 3

Falló

Unidad 4

No falló

X

Unidad 5

Falló

Tiempo

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53

Datos censurados en el intervalo • •

Ensayamos cinco ítems y realizamos inspecciones cada 100 horas. Si el ítem fallo entre las inspecciones, no sabremos el momento exacto en que le falla ocurrió, pero sabemos que la falla ocurrió dentro del intervalo de inspección.

Unidad 1 Unidad 2

Falló Falló Falló

Unidad 3 Unidad 4

Unidad 5

Falló

Falló

Tiempo

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Ing. Luis Hurtado Campos

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54

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Datos censurados a la izquierda • Representa situaciones donde el ítem es encontrado en estado de falla solo después de un cierto periodo de tiempo y donde también es desconocido el momento exacto de la falla.

Unidad 1 Unidad 2

Falló

X

Falló

X

Unidad 3 Unidad 4

Falló

Falló

X

Unidad 5

Falló

Tiempo

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55

Ploteando las probabilidades de datos censurados (suspensiones) • Cuando utilizamos el análisis de regresión para considerar el hecho de que ítems no fallaron, o quedaron suspendidos, necesitamos ajustar su probabilidad de falla, o desconfiabilidad (lo que fue computado utilizando la categoría mediana). • Una metodología, basada en la metodología de Leonard Johnson será mostrada a continuación.

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Ing. Luis Hurtado Campos

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Ploteando datos censurados a derecha(suspensiones) Ejemplo para ilustrar la metodología: • Se ensayaron 5 ítems y se obtuvo tres fallas y dos suspensiones. Posición

Estado FoS

Vida del ítem (ciclos)

1

F1

5100

2

S1

9500

3

F2

15000

4

S2

22000

5

F3

40000

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Ing. Luis Hurtado Campos

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57

Ploteando datos censurados a derecha •

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En esta secuencia, F1 es la primera de las 5 fallas. Posición

Estado FoS

Vida del ítem (ciclos)

Numero de Falla

1

F1

5100

1

2

S1

9500

3 4

F2 S2

15000 22000

?

5

F3

40000

?

Ing. Luis Hurtado Campos

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58

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Ploteando datos censurados a derecha • El número actual de orden de falla (o posición) de la segunda falla F2, es una incógnita. Podría ser posición 2 o 3. – Si S1 no hubiese sido retirado del ensayo en 9500 h, es posible que hubiera podido operar con éxito mas allá de las 15000 h y por lo tanto, F2 quedaría en la posición 2. – Si S1 hubiese fallado antes de las 15000 h, en este caso F2 quedaría en la posición 3. – Así, el número de orden de falla de F2 estará en algún lugar entre 2 y 3.

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Ing. Luis Hurtado Campos

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59

Ploteando datos censurados a derecha •

Para determinar los valores de orden, primero listamos las diferentes secuencias de posibilidades de fallas. En este caso F1 será la primera observación. Podemos encontrar diferentes posibilidades en que puede ocurrir la falla F2. Estas posibilidades son listadas en las siguientes tablas:

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1

F2 en posición 2 2 3 4 5

6

F2 en posición 3 1 2

F1

F1

F1

F1

F1

F1

F1

F1

F2

F2

F2

F2

F2

F2

S1

S1

S1

S2

F3

S1

S2

F3

F2

F2

S2

S1

S1

F3

F3

S2

S2

F3

F3

F3

S2

S2

S1

S1

F3

S2

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60

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Ploteando datos censurados a derecha • Se puede ver que la falla F2 puede ocurrir en la segunda posición de seis maneras diferentes, y en la tercera posición de dos maneras diferentes. • La posición mas probable es la media de estos posibles caminos, o la media del número, o la media del número de orden (MON), dada por:

𝐹2 = 𝑀𝑂𝑁2 =

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6×2+2×3 = 2.25 6+2

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Ploteando datos censurados a derecha •

Utilizando la misma lógica, la tercera falla puede ser localizada en la posición 3, 4, o 5, como muestran las tablas siguientes: F3 en posición 3 1 2

•

F1

F1

F2

F2

F3 en posición 4 2

3

F1

F1

F1

F1

S1

F2

F2

S1

F2

F2

F2

S1

S2

F2

S1

S2

1

1

F3 en posición 5 2 F1

3 F1

F3

F3

S1

S2

F3

F3

F3

S2

S2

S1

S2

S1

S2

S2

S1

F3

F3

F3

Entonces la Media del Numero de Orden de la tercera falla F3, será: 𝑀𝑂𝑁3 =

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2×3+3×4+3×5 = 4.125 2+3+3

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Ploteando datos censurados a derecha Una vez establecida la media del número de orden, necesitamos obtener posiciones de la categoría mediana para las fallas en la media del número de orden. Simplificando, debemos tener la categoría mediana de los números de orden: 1, 2.25 y 4.125 para un muestra de tamaño 5,como se muestra en la tabla: Posiciones ploteadas para las fallas (Tamaño de muestra =5) N° Falla MON MR (%)

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1: F1

1

13%

2: F2

2.25

36%

3: F3

4.125

71%

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Fórmula general • Para obtener la variación en el orden cuando existen datos censurados se puede utilizar la siguiente fórmula: Δ𝑖 =

𝑁 + 1 − 𝑀𝑂𝑁𝑖−1 1+𝑘

𝑀𝑂𝑁𝑖 = 𝑀𝑂𝑁𝑖−1 + Δ𝑖 MONi-1 = Posición anterior a suspensión k = Número total de datos después de la suspensión. 23/09/2019

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Aplicación de la formula general Gráfico de la cdf

Posiciones ploteadas para las fallas (N=5)

i

F 1

S

5 9500

MR (%) 1

13%

2.25

36%

4.125

71%

4

15000

4 5

MON

5100

2 3

K

3 22000

2

40000

1

Posiciones ploteadas para las fallas (N=5) i

F

MON

MR (%)

1

5100

1

13%

3

15000

2.25

36%

5

40000

4.125

71%

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Ejemplo: • La vida de servicio de cierta faja de ventilador ha sido monitoreada y registrada con los tiempos en semanas (Nota: F= falla, S=suspendido): 174(F); 124(F); 106(F);153(F); 160(F); 167(F); 112(F); 194(F); 181(F); 136(S)

• Diez unidades idénticas son sometidas a carga para determinar su confiabilidad. Seis unidades fallaron a las 16, 34, 53, 75, 93 y 120 horas las otras cuatro unidades siguieron funcionando hasta que se detuvo la observación a las 120 horas.

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