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UNIDAD 5 CURVAS HORIZONTALES Y VERTICALES 5.1 Generalidades de los tipos de curvas Sobre el plano o carta topográficos trazamos la línea que se denomina línea a pelo de tierra, que es aquella que une los puntos extremos de un camino pasando por los puntos obligados (si los hay) y conservando una pendiente media. Sobre la configuración del terreno, representado por las curvas de nivel, considerando la escala del plano o carta, trazamos las líneas a pelo de tierra lo más largas posible sobre terreno plano. De no ser posible esto, se buscarán rutas que sigan las mejores condiciones, sin ser demasiado grandes. Cuando se presenten lomeríos o zonas montañosas, nos apegaremos en lo posible a la pendiente media. Nos referimos a la pendiente media dentro del rango de pendientes permitidas por las especificaciones para determinada velocidad de proyecto. Así, si la pendiente media es de 5 %, esto significará que por cada 100m. horizontales, la distancia vertical es de 5m. Como podemos trazar n líneas sobre la que considere la mejor opción, se realizará el levantamiento de detalle, con curvas de nivel con una equidistancia adecuada a la porción de terreno y a la escala que se desea dibujar. Sobre esta franja de terreno, con un compás abierto en una distancia de 100m, a la escala del dibujo y manteniendo constante la pendiente media, se pasará de una curva de nivel a otra a partir del punto de origen o destino final del camino. La unión, por medio de rectas, de los puntos definidos con el compás nos dará una poligonal que será nuestra línea preliminar del proyecto. Como puede verse, la poligonal presenta muchos cambios de dirección y sería impráctico, así como poco seguro, el proyectar curvas horizontales en tanto, consideraremos la línea dentro de una franja de terreno que conserva una pendiente cercana a la pendiente “media” . En estas condiciones, uniremos algunos tramos o modificaremos ligeramente el trazo a fin de ajustarnos a los valores de pendiente,

139

número de curvas por kilómetro, grado de curvatura, etc., correspondientes a la velocidad de proyecto fijada y así, definir la línea definitiva en planta. Sobre esta línea definitiva trazamos los cadenamientos a fin de dar ubicación a los puntos de cambio de dirección o puntos de intersección (PI) de las tangentes. Con esto podemos calcular los elementos geométricos de las curvas horizontales. 5.2 Curvas Horizontales Simples: Sus elementos, fórmulas y cálculo Las curvas se emplean para enlazar los tramos rectos del trazo de una carretera, canal o vía de ferrocarril. Se clasifican en curvas horizontales simples, compuestas, inversas y de transición o espirales. Las curvas horizontales simples son las más frecuentes y se usan para caminos y canales. Las compuestas e inversas también se utilizan para caminos y canales, pero sólo en casos muy especiales. Las curvas espirales y de transición se emplean en ferrocarriles, ferrocarril urbano (metro) y en ocasiones también en caminos. A las curvas horizontales simples podemos distinguirlas por su radio o por su grado de curvatura. Por su radio. Si hacemos varios círculos tangentes a las rectas, vemos cuál es el adecuado, ya que a menor radio la curva es más forzada y a mayor radio la curva es más tendida. El radio, R se elige de acuerdo con las especificaciones del caso, tipo de camino, vehículos, velocidad y otros factores. Con éste y el ángulo de deflexión que forman las dos rectas tangentes, podemos calcular todos los elementos de la curva como veremos más adelante. Por su grado de curvatura. Se da el nombre de grado de curvatura en una curva circular, al ángulo que subtiende una cuerda m llamada cadenamiento o cuerda unitaria; estas cueras pueden ser de 5, 10 o 20 m. según el proyecto de que se trate. En México lo más usual es la de 20m. y en Estados Unidos es la de 100 pies. Este ángulo, como se ve, al aumentar o disminuir de tamaño hace más forzada o más suave una curva, y dependerá del proyecto en cuestión que se elija el rango de

140

variación del grado de curvatura dentro de las especificaciones para canales, caminos o ferrocarriles. También, al igual que con el radio R, conocido el valor de δ (grado de curvatura ) podemos conocer los demás elementos de la curva.

PI

m = 20

PSC

TE

E

g

m

F

C

.

PC PST

g

PT

R CC Ts

Elementos de una curva horizontal

PC = Punto de comienzo de la curva PI = Punto de intersección PT = Punto final ( punto de tangencia ) Te = Tangente de entrada Ts = Tangente de salida PST = Punto sobre la tangente PSC = Punto sobre la curva ST = Subtangente R = Radio Δ = Angulo de deflexión C = Cuerda principal m = Cuerda unitaria g = Grado de curvatura E = Externa

141

F = Flecha CC = centro de circunferencia Lc = Longitud de la curva n = Número de cuerdas unitarias (cadenamientos unitarios de 20. ) Fórmulas 1.

10 = sen g/2. g = 2 ang sen 10 R

2.

R

entonces R =

10 . sen g/2

3.

ST = tan Δ/2 Δ = 2 ang tan ST R

4. 5.

R

R = S cot Δ/2 ; ST = R Tan Δ/2. ST

= sen Δ/2; R + E = ST/ sen Δ/2

R+E E = ( ST / sen Δ/2) – R 6.

E + F = sen Δ/2 ; F = (ST sen Δ/2) – E ST

7. 8.

C = 2R sen Δ/2 Δ

= n entonces Lc = n x m

g = n x 20

142

9.

Δ = ng; = g’ + g + g +........+ g + g’’

Trazo de la curva horizontal simple Por coordenadas polares ( por deflexiones ) caso general Por coordenadas rectangulares Métodos

Por tangentes auxiliares Por desviaciones o cuerdas secantes sucesivas Por método de las abscisas

Por coordenadas polares Cuando PI es accesible (caso general), se puede trazar la curva desde PC a PT. Se necesitan al menos 3 elementos de la curva para su cálculo, cualquier otro dato sería superabundante, conociendo 1) Δ, g, Pi 2) Δ, g, PC

3) Δ, g, PT 4) Δ, PI, etc. Con

estos datos mínimos hay que calcular todos los elementos. Si trazamos desde PC el ángulo PI – PC – PT, que es ½ Δ y a su vez Δ = g1 + g2 + g3 + gn según se ve en la figura, es posible que la curva tenga un número exacto de cuerdas unitarias, y en este caso se trazarían las cuerdas con deflexiones a partir del lado PC – PI , sumándose g1/2 + g2/2 + .........gn/2 = Δ/2. Pero si PC no cae en un cadenamiento completo o cerrado ( 1 + 120 , 1 + 140 , etc. ) , tendríamos entre PC y el primer punto de la curva una cuerda fraccionaria, y el ángulo que la subtiende será diferente de g. Si a PC le agregamos la longitud de la curva LC tenemos para PT un cadenamiento incompleto, de modo que entre el punto de la curva y PT tenemos otra cuerda fraccionaria, es decir, tendríamos unos subgrados

g’ y g’’ respectivamente y así nuestra deflexiones se

sumarian g’/2 +g/2 + g/2 +........+g/2 + .......+ g’’ / 2 = Δ/2

143

Ejemplo Supongamos PC con un cadenamiento de 1 + 627.35 Así: Cadenamiento del 1er. Punto sobre la curva m´ = 1 + 640.00 Cuerda fraccionaria 12.65 PC + LC = PT si LC = 181.16m PC = 1 + 627.35 + LC =

181.16

PT = 1 + 808.51 Último punto sobre la curva; 1 + 800.00 Cadenamiento del PT

1 + 808.51

Cuerda

8.51 m´´ = fraccionaria y si g = 9°, entonces grado de curvatura por cuerda unitaria cuerda unitaria = 20 m. g’

subgrado por cuerda fraccionaria

m´´

cuerda fraccionaria = 12.65 m.

g

= g’

m

m’

g = gm´ = 9° x 12.65 m = 5° .6925 m

20m

g = g’’ g = gm’’ = 9° x 8.51 m = 3°.8295

144

m

m´´

m

20m

en esta forma: Δ/2 = g’ /2 + g/2 + ..... g/2 + g/2.....g’’ /2 Δ/2 = 5° 41´ 3´´ + 9°/2 + 9° /2 + 9°/2 + .........+ 3° 49´ 56’’.2 2

2

Δ/2 = 2° 50´ 46´´.5 + 4° 30´ + 4° 30’ + ..... + 1° 54’ 53’’.1 Con los ángulos de deflexión, ya sea partiendo de un origen de 0° 0’ o con un acimut conocido, podemos fijar los puntos sobre la curva, correspondiendo cada uno a una estación de cadenamiento cerrado. En el siguiente ejemplo se verá con más claridad. Ejemplo: Calcúlense

las deflexiones o variaciones angulares de cada cuerda y los

cadenamientos correspondientes de la curva horizontal simple cuyos datos son: Δ = 75° g = 9° PI = cadenamiento k 5 + 327.48 1er. : cálculo del número de cuerdas unitarias n = Δ = 75° = 8.333 g

9°

145

2o.: longitud de la curva Lc = n x m = 8.333 x 20m = 166.666m 3o.: cálculo del radio R=

10 m = Sen g/2

10 m

= 127.455m

sen 4°30´

4o.: cálculo de la subtangente ST = R tan Δ/2 = 127.455 (tan 37° 30´) = 97.799m 5º.: cálculo del cadenamiento de PC PI = k 5 + 327.480 - ST =

97.799

PC= K 5 + 229.681 6º.: cálculo del cadenamiento de PT PC = K5 + 229.681 + Lc =

166.666

PT = K 5 + 396.347 7º.: Cálculo de las cuerdas fraccionarias primera cuerda m’ PT = K5 + 229.681 PSC1= K 5 + 240.000 10.319

146

Última cuerda m´´ PT = K 5 + 396.347 PSCn = K5 + 240.000 10.319 Última cuerda m´´ PT =

K5 + 396.347

PSCn= K 5 + 380.000 16.347 8º. Cálculo de los ángulos que sustituyen las cuerdas fraccionarias g’ y g’’. m = m´ ; 20m = 10.319 m .. g’ = 4° 38´ 37´´ g

’

9°

g´

g’ / 2 = 2° 19’ 18’’ m = m’’ ; 20m = 16.347 m .. g’’ = 7° 21’ 22’’ g

g’’

9°

g’’

g’’ /2 = 3° 40’ 41’’ 9° .: cálculo de las deflexiones:

147

PUNTO

CADENAMIENTO

DEFLEXION

PC

K 5 + 229.722

0° 0’ 0’’

1

K 5 + 240

2° 19’ 18’’

2

K 5 + 260

6° 49’ 18’’

3

K 5 + 280

11° 19’ 18’’

4

K 5 + 300

15° 49’ 18’’

5

K 5 + 320

20° 19’ 18’’

6

K 5 + 340

24° 49’ 18’’

7

K 5 + 360

29° 19’ 18’’

8

K 5 + 380

33° 49’ 18’’

Δ/2=

37° 29’ 59’’

diferencia se debe al manejo de cifras

PT

K 5 + 396.388

NOTAS

37°30’

la

decimales

10º.: Trazo de la curva: Desde PC, poniendo el círculo horizontal en 0° 0’ se dirige una visual a PI. Se trazan los ángulos calculados y las cuerdas fraccionarias y unitarias. También observando algún punto anterior a PC se invierte el telescopio (vuelta de campana) y se trazan las deflexiones o los acimutes según el caso. Con las distancias se van formando las coordenadas polares. 5.2.1 Trazo con cinta métrica Este método es adaptable para curvas de radio pequeño tal como en las líneas de acotamiento dan las intersecciones de caminos y paredes de límites, pero se puede 148

usar para curvas grandes con tal que AB de la figura, no sea excesivamente larga. Para la curva, se deben localizar puntos como C. La ordenada y se calcula para la correspondiente distancia x a partir del origen B, el cual es el punto medio de TU y es replanteado en ángulo recto, usando cualquiera de los métodos ya descritos. TU es la cuerda mayor de longitud L, T y U son los puntos de tangencia. AB se llama el seno verso de la curva.

T

I C A E

R B

0

R

U

Figura

De la figura:

AB = AO – OB = AO - RAIZ DE OU2 – UB2 = R - RAIZ DE R2 – ( L /2 )2

Dibujando ce paralela a TU Entonces y = EB = EO –BO

149

EO2 = CO2 – CE2 .: EO =

R 2 - X2

de donde R 2 - X2

y= o, ya que

-

R 2 – ( L / 2 )2

OB = R – AB = R – seno verso,

R2 - x2 - ( R - seno verso)

y=

Ejemplo: Obtener los datos para el trazo de una línea de acotamiento mostrada en la figura, si el radio es de 12 m. y T0U = 90° . Las coordenadas se requieren a intervalos de 2m. Entonces

TU2 = TO2 + OU2 = 122 + 122 = 288

Por lo tanto

TU = L = 16.97 m. R2 - ( L / 2 )2 = 8.49 m.

Nota:

R – seno verso = 8.49 m, ya que el seno verso de AB = 3.51 m.

X

x2

( R 2 – x2 )

R 2 - x2

(m) 0

Coordenadas ( y ) (m)

0

144

12.00

3.51

150

2

4

140

11.83

3.34

4

16

128

11.31

2.82

6

36

108

10.39

1.90

8

64

80

8.94

0.45

5.2.1. Trazo con teodolito y cinta métrica Este método es aplicable cuando entre los puntos de tangencia T y U tienen tales características que el caminamiento de las cuerdas presenta dificultades. 5.3 curvas de alineamiento vertical: Cresta y Columpio Una vez encontrada en planta la línea definitiva, se traza sobre el terreno. Ya sea allí directamente sobre el terreno, o sobre el plano de configuración, se obtienen las cotas de todos y cada uno de los cadenamientos del camino; o bien por interpolación, sobre el plano de configuración obtenemos las secciones transversales correspondientes a los cadenamientos. Asimismo, de igual manera obtenemos las secciones transversales correspondientes a los cadenamientos. El perfil así obtenido y dibujado nos da la forma del terreno a lo largo de la línea de proyecto, la cual como se recordará fue trazada procurando acercarse lo más posible a una pendiente media. Por ello, ahora y mediante otra serie de líneas rectas ajustaremos el proyecto a las condiciones de pendiente adecuadas de acuerdo con lo especificado. Estas líneas constituyen el alineamiento vertical y coinciden con la subcorona del caminamiento o capa subrasante; de ahí el nombre de subrasante para estas líneas o tangentes verticales, que se entrecruzan en lo que denominamos puntos de inflexión. A pesar de que podemos trazar n rasantes, consideraremos de momento para fines de la explicación que sólo existiera una, y cuando tratemos el tema relativo a lo volúmenes, abundaremos sobre esta generación de alternativas.

151

La subrasante, además de reunir las condiciones de pendiente, se traza procurando compensar los cortes con terraplenes, cuidando que las longitudes de los tramos no sean muy largas y que los posibles desplazamientos de materiales no sean muy distantes. Esto que en primera instancia sólo es aproximado, después es definido con toda precisión cuando se determinan los volúmenes. La subrasante debe definirse económicamente en función de los aspectos topográficos, geotécnicos, de subrasante mínima y del costo de las terracerías. 5.3.1 Sus principales elementos En el caso de la curva vertical, lo que se enlaza son dos rectas cuyo cambio no es la dirección ( como en el caso de las tangentes que unimos con la curva horizontal), sino la pendiente entre las líneas que definen la subrasante. Así pues, en este caso no podemos hacer tangente a un círculo porque esto daría unos cambios de pendiente poco deseables; por esta razón se usa la curva vertical parabólica, que se llamará en cima, cuando el punto de intersección de líneas este hacia arriba, y se llamará en columpio cuando este hacia abajo. En ambos casos se tendrá especificaciones muy precisas de acuerdo con el proyecto de las velocidades, la visibilidad, el volumen y tipo de vehículos, si se trata de carreteras, etc. La idea es hacer poco sensible el cambio de pendiente. Por tanto, necesitamos una curva cuya ecuación es y = KX 2 , es decir una parábola. Existen dos métodos para resolver este problema de determinar las elevaciones de los puntos sobre la curva. Como en el caso de las curvas horizontales simples, no poseemos un gran compás o un instrumento que permita trazarlas directamente y por esta razón estudiamos en particular su geometría, para la consideración de cuerdas unitarias que finalmente nos definían la curva. De manera similar, en el caso de las curvas verticales, las cuerdas van a cambiar ya no de dirección, sino de pendiente, en distancias iguales, o sea cada 20m. En nuestro caso usaremos pues cualquiera de los métodos que a continuación se dan. 1.- Método de variación de pendiente por cuerda unitaria

152

2.- Aplicación directa de la fórmula de la parábola y = KX 2 5.3.2 Deducción de sus fórmulas Método de variación de pendiente unitaria Este método tiene como punto de partida dos teoremas fundamentales, que se cumplen sólo si se trata de cadenamiento o cuerdas consideradas como unitarias ( 5m, 10m, 20m, 100 pies); en nuestro país hablaremos de unidad = 20m, es decir cuerdas de 20m c/u, cuyo número será fijado generalmente por la experiencia del proyectista. TEOREMAS 1.- La variación de pendiente por cuerda unitaria entre dos de ellas es constante. 2.- La diferencia de pendiente entre la pendiente de entrada y la primera cuerda unitaria es igual a la mitad de la variación entre las subsecuentes; y también la variación entre la última cuerda y al pendiente de salida será igual a la mitad de la variación entre las anteriores.

153

De la figura tenemos: PCV = punto de inicio de la curva vertical PTV = Punto de término de la curva vertical PIV = Punto de intersección de pendientes o punto de inflexión de la curva vertical Pe = Pendiente de entrada Pe / u = Pendiente de entrada por cadenamiento unitario Ps = Pendiente de salida Ps / u = Pendiente de salida por cadenamiento unitario D = diferencia de pendiente Ps – Pe D / u = diferencia de pendiente unitaria Ps / u – Pe / u ST1 = distancia vertical PIV a PCV ST2 = distancia vertical de PIV a PTV V = variación 1, 2, 3, 4......etc., puntos sobre la curva Si consideramos una curva de n cuerdas, tendríamos a la enésima cuerda antes ( en ciertos casos después del PTV); entonces de la figura 1

154

Ps

PTV n n-1 n-2 n-3

ST2 Yn-2

PIV

Yn-1

Yn

Yn-3 Xn-3

Xn-2

Xn-1

Xn

Figura 1

Recordando que y = KX2 , si hacemos x = n Sucede que: y = Kn2 al sustituir valores de la figura anterior: Yn = kn2 ..........................................................................................

1

Y n-1 = k( n-1)2 = kn2 – 2 kn + k ......................................................

2

Y n-2 = k( n-2)2 = kn2 – 4 kn + 4k ....................................................

3

Y n-3 = k( n-3)2 = kn2 – 6 kn + 9k ....................................................

4

........ etc.

155

Para demostrar el primer teorema, consideremos las pendientes unitarias Pn = Yn - Y n-1 : Pn = Pendiente de la enésima cuerda ------------Xn - X n-1 Sustituyendo: 1 y 2 en 5 Pn = 2kn –k

pero xn – x n-1

Xn – x n-1 Lo hacemos considerando como la unidad; por tanto : Pn = 2kn – k De igual manera P n-1 = 2kn – 3k

y

P n-2 = 2kn -5k, etc...... El primer teorema indica que la variación de pendiente entre dos cuerdas consecutivas es constante. Veamos: Pn – P n-1 = 2kn –k – 2kn – 3k = 2k P n-1 – p n-2 = 2kn – 3k + 5k – 2 kn = 2k Veamos que 2k permanece constante. Por tanto, el primer teorema queda demostrado, entonces si: 2K = v y k = v 2

156

y = v n ó y = ½ vn 2 Consideremos el caso de la pendiente de salida para demostrar el segundo teorema Ver figura 2 Ps

PTV Pn n Pn-1 n-1

subrasante

Si y = kx2 ; Ps = dy = 2kx (derivando) dx Sustituyendo n = x Ps = 2kn Haciendo: Ps - Pn = 2kn – 2 kn + k Ps -Pn = k y de lo visto anteriormente K=½v Por lo tanto, se demuestra que la variación de pendiente por cuerda unitaria entre la última cuerda y la pendiente de salida es igual a la mitad de la variación de los

157

anteriores. Una vez demostrados ambos teoremas seguimos con nuestro método de variación de pendiente. Es claro que Pe/ u + V / 2 + V + V + ...........+ V + V/2 = Ps = u Pe / u + n V = Ps / u nV = Ps/u – Pe / u y como Ps/u – Pe /u = Du entonces: nV = Du y n = Du V Donde n = número de estaciones cuyo valor se toma bajo las siguientes convenciones topográficas. El PIV deberá corresponder a un cadenamiento completo o medio cadenamiento es decir: Cota = 100.7 PIV cad. = 1 + 180; 1 + 200; + 360; etc.

O Cota = 102.4

158

PIV Cad. = 1 + 190; 1 +210; 1 + 150; etc.

De aquí que, PIV está en encadenamiento completo y n resulta impar o fraccionaria, tomaríamos como valor para n el número par inmediato siguiente. Así, Si n = 5 o n = 4.72 tomaremos n = 6

PS

Pe

PTV

PCV

ST

6 + 200

6 + 180

ST1

ST2

PIV n/2

n/2

Cálculo de las elevaciones o cotas de PCV y PTV, partiendo de la elevación de PIV calculemos ST1 y ST2

159

Cuando PIV está en medio cadenamiento y n resulta par o fraccionario, tomaremos el número impar (non) inmediato siguiente por ejemplo: Si n = 6 o n = 5.5, tomaremos n = 7 Pe / u = ST1 ; 1

n/2

ST1 = Pe / u ( n)

y

2 Ps / u = ST2 ; 1

n/2

ST2 = PS/ u ( n ) 2 En resumen, calculando las elevaciones de los puntos PVC y PTV, aplicaremos las variaciones de pendiente por cuenta unitaria para encontrar las elevaciones de los puntos sobre la curva. Veamos un ejemplo. Calcule las elevaciones de los puntos sobre la curva vertical cuyos datos son: Pe = - 2 % Curva en columpio Ps = + 1 % cota 100 PIV

Cad. K5 + 320

VM/ u = 12 (variación máxima por cuerda unitaria permitida por especificación para curva en columpio en carreteras). En cada caso VM / u será diferente.

160

Si Pe = - 2% : Pe / u = - 2% / 5 = - 0.40 ya que 2 % de pendiente significa que por cada 100m horizontales hay 2m verticales y como en cada 100m horizontales habría 5 cadenamientos de 20m. cada uno. Entonces: Si Ps = 1% ; Ps/u = 1%/5 = 0.20 De aquí Du = 0.20 + 0.40 = 0.60 N = 0.60 = 5 0.12 como PIV está en un cadenamiento completo K5 + 320, tomaremos n = 6 y recalculamos la variación para nuestra curva en particular, o sea: V = Du = 0.60 = 0.10 N

6

Calculemos ahora ST1 y ST2: ST1 = Pe/u (n) = 0.4 x 6 = 1.2 (valor absoluto) 2

2

ST2 = Ps/u (n) = 0.2 x 6 = 0.60 (valor absoluto) 2

2

de aquí: cotas PIV

cotas

= 100

+ ST1 =

1.2

PIV

= 100

+ST2 = 0.60

161

=PCV = 101.2

= ST2= 100.60

como sabemos que Pe/u + 1/2V + V +.......+ 1/2V = Ps/u veamos: Pe /u

= - 0.40

0.5 V

+ ½ V = 0.05

-

= - 0.35

1.5V

+ V = 0.10

2.5 V

= - 0.25 + V = 0.10 = - 0.15

3.5 V

+ V = 0.10 = - 0.05

4.5 V

+ V = 0.10 = + 0.05

5.5 V

+ V = 0.10 = - 0.15

6V

+ 1/2 V = 0.05 = + 0.20

+ 0.20 = Ps/u Con ello se comprueba este paso. Procedemos ahora a calcular las elevaciones aplicando los resultados anteriores

162

Nota: Los cadenamientos se conocen cuando se tiene n dado que de PIV en ambos sentidos, tendremos n/2 cadenamientos. Con ello se demuestra completamente y se procede a dibujarla. Ver figura siguiente

PCV 100.20

100.80 PTV 100.40

5 + 400

5 + 380

5 + 360

5 + 340

5 + 300

5 + 280

5 + 260

5 + 240

5 + 320

PIV

100

Dibujo de la curva vertical parabólica

El segundo método, de aplicación directa de la fórmula y = KX 2 , consiste en determinar las distancias verticales (ordenadas) yo; Y1; Y2,....etc., entre la tangente y la curva. Ver figura siguiente.

163

cotas

Yo PIV Y1 PCV

Y2

Y3

Y4

Y5 PTV

cadenamientos

Este caso se ilustra mejor con un ejemplo. Calculese las elevaciones de los puntos de la curva vertical mediante la fórmula con los datos siguientes: Pe/u = 0.24 Ps/u =-0.28 VW/u = 0.08 K30 + 410 PIV

Elevación = 100.0

De aquí: Du = -0.08 – 0.24 = -0.32 N = - 0.32 = 4 0.08

164

como el cadenamiento es K30 +410 tomamos N = 5 Punto

Cadenamiento

Cota

PCV

K5 + 260

101.20

1

K5 + 280

- 0.35 100.85

2

K5 + 300

- 0.25 100.60

3

K5 + 320

- 0.15 100.45

4

K5 + 340

- 0.05 100.40

5

K5 + 360

+ 0.05 100.45

PTV

K5 + 380

+ 0.15 100.60

Y entonces V = - 0.32 = - 0.064 5 ½ V = -0.032 y como K = ½ V y Y = Kn2

165

tenemos

Elevación

Elevación

y = - 0.032 n2 Puede agregarse una

tangente

curva

columna para

99.4

99.4

K30 + 360

- 0.032

99.64

99.608

30 + 380

- 0.128

99.88

99.752

30 + 400

Punto

n

n2

Y

PCV

0

0

0

1

1

2

4

PTV

cadenamientos

3

9

- 0.288

100.12

99.832

- PIV 30 + 420 30 + 420

4

16

- 0.512

100.36

99.848

30 + 440

5

25

- 0.800

100.6

99.800

30 + 460

Procedemos a graficar la curva para cálculos posteriores: se obtiene

100.60

100.40

100.20

100.00

Y3

Y2

cotas

99.80

4

3

5

2

Y1

PTV

1

99.60 0

460

K30+

440

K30+

420

400

K30+

K30+

360

K30+

380

Yo

PCV K30+

99.40

Y5

Y4

PIV

cadenamientos

166

Dibujo de la curva vertical parabólica Basándonos en las figuras tenemos que: Z1 = Z c + ( y1 – y 1 ) ........................................................................... 1 Generalizando Zn = Z n-1 + (yn - yn ) ........................................................................... 2 Zn = Z n-1 + ( ( Zc – yn – Yn) – ( Zc - yn-1 – Yn-1)) ............................. 3 Zn = Z n-1 + (( Zc – yn – Yn) – ( Zc –yn-1 – Y n-1)) Zn = Z n-1 + (Yn – yn-1 + Yn-1 – Yn) ................................................... 4 En donde:

167

Otro método para calcular las elevaciones de los cadenamientos de la Curva vertical parabólica Te = Tangente de entrada Pe = Pendiente de entrada PCV = Puntos de comienzo de la curva vertical PIV = Punto de inflexión de las tangentes PTV = Punto terminal de la curva vertical Ts = Tangente de salida Ps = Pendiente de salida L

= Longitud de la curva vertical

Continuando con nuestro análisis de la figura anterior para este método, recordemos la ecuación de la parábola:

Y1 Z1

Y1

Zo

PVC

168 0

1

Y = Kx2 De acuerdo con razonamientos anteriores, x = n; entonces : Yn = Kn2 y haciendo Yn = Pe . . N

L

(n)

100

Y Y = mx Pe

C

100

X

Así: M = Pe ; x = n L 100 Yn = mx = Pe

N L (n)

169

100

N

Sustituyendo de la ecuación. Zn = Z n-1 + ( Pe . .

L (n) - Pe . L ( n-1) + Kn2 – K ( n-1)2 )

Desarrollando y simplificando: Zn = Z n-1 + ( Pe .

.

L

N

+ K (2n – 1) )

100

Siendo K (de acuerdo con los distintos manuales de la SCT), la relación recíproca de pendiente por unidad de longitud K = Pe - Ps 10N ( K toma el signo + cuando se trata de curvas en cima, y toma el signo – para curvas en columpio) Por lo anterior:

K = Ps - Pe = - A (siendo A la diferencia algebraica de pendientes en tanto por ciento) 10N

10N

Así, la expresión nos queda: Zn = Z n-1 + (

Pe N

L

-A 100

( 2n -1) )

10N

Como los cadenamientos unitarios son 20 m. podemos reducir la expresión a :

170

Zn = Z n-1 + ( Pe

-

5

A ( 2n -1)) 10N

En los manuales se dan algunos valores de K en función de las velocidades de proyecto y las distancias de visibilidad, tanto para curvas en cima como para curvas en columpio. Se dan mediante tablas que relacionan las longitudes mínimas de curvas, como a continuación se muestra.

Parámetro

Velocidad

Valores del parámetro K(ml%)

K para

de proyecto

Curva/creta

Curva/columpio

Rebase en

Km/hora

camino tipo

camino tipo

E D,C,B,A

E,D,C,B,A

ml %

Longitud aceptable/Mín.

18

30

4

3

4

20

32

40

7

4

7

30

50

50

12

8

10

30

73

60

23

14

15

40

99

70

36

20

20

40

130

80

_

31

25

50

164

90

_

43

31

50

203

100

_

57

37

60

245

110

_

72

43

60

171

Curvas en cima: K=

D2

.

2 ( H + h)2 Donde: D = distancia de visibilidad en metros H = altura del ojo del conductor (1.14 )m h = altura del objeto ( 0.15) m Curvas en columpio: K=

D2

.

2( TD + H ) en la que: D = distancia de visibilidad en metros T = pendiente del haz luminoso de los faros ( 0.0175) H = altura de los faros ( 0.61 ) m. También recordando que K = ½ ( V ) (método de variación pendiente o podemos sustituir su correspondiente valor en la ecuación ( 6 ) y así determinar las elevaciones de los puntos de la curva vertical. Hagamos un ejemplo de cálculo de K, siguiendo los dos procedimientos Pe = -4% ; por tanto, Peu = 4/5 = - 0.8 Ps = +3%; por tanto, Psu = 3/5 = 0.6 D = 160m. K = - A 10N

= -3 -4 = - 0.0875 10(8)

172

con signo negativo por tratarse de una curva en columpio. V = Du = Psu – Peu = 0.6 – ( -0.8 ) = +0.175 N

N

8

Por lo que: V/2 = + 0.175/2 = - 0.0875 Cambiando a signo negativo por tratarse de una curva en columpio. ( # ) Como puede verse, el valor resultante es el mismo y así por cualquier camino, la determinación de K no representa problema alguno. La expresión Zn = Z n-1 + { Pe + K (2n-1)} 5 resulta muy práctica sobre todo para ser programada en una computadora grande, una computadora personal (PC) o una calculadora programable de bolsillo, pues en este caso se conoce una serie de valores de la curva y determinar los restantes es sumamente sencillo. ( # ) Cuando calculábamos las curvas por el método de variación dependiente, no cambiábamos el signo, porque al sumar algebraicamente con Peu nos daba el sentido de la curva. Para mayor claridad, resolvamos integralmente el ejemplo ilustrativo de renglones arriba, por medio de los tres métodos descritos, es decir el método de variación de pendiente, la cuerda unitaria, la aplicación de la ecuación de la parábola y este último método. Los datos faltantes son:

173

Cadenamiento del PIV = K9 + 000; cota del PIV = 68.9 Cadenamiento del PCV = K8 +920 porque L = 160m y N = 8

Visibilidad de día

visibilidad de noche

5.3.3 Procesos para su trazo en campo Método de variación de pendiente por cuerda unitaria ST1 = ( 0.8 x 8 ) / 2 = 3.2 ST2 = ( 0.6 x 8 ) 2 = 2.4 Por lo que las cotas de PCV y PTV son: PCV = 68.9 + 3.2 = 72.1 PTV = 68.9 + 2.4 = 71.3

174

Como V/2 = 0.0875 (la habíamos calculado antes ) entonces: - 0.8000 (Peu) + 0.0875 ( 0.5V) ----------------------- 0.7125 +0.1750 (1.5 V) ----------------------- 0.5375 +0.1750 (2.5V) ----------------------- 0.3625 +0.1750 (3.5V) ----------------------- 0.1875 +0.1750 (4.5 V) ------------------------ 0.0125 +0.1750 ( 5.5 V ) -----------------------+0.1625 +0.1750 ( 6.5 V ) -----------------------+0.3375 +0.1750 (7.5V ) -----------------------+0.5125 +0.0875 -----------------------+0.6000 (Psu)

175

con ello el cálculo queda comprobado de acuerdo con la fórmula dada anteriormente; calculemos ahora las cotas de los punto: cadenamiento

Punto

cota

K8+920

PCV

72.1000 - 0.7125

K8+940

1

71.3875 - 0.5375

K8+960

2

70.8500 - 0.3625

K8+980

3

70.4875 -0.1875

K9+000

4

70.3000 -0.0125

K9+020

5

70.2875 +0.1625

K9+040

6

70.4500 +0.3375

K9+060

7

70.7875 +0.5125

K9+080

PTV

71.3000

Y por ello el problema queda resuelto.

Método de aplicación directa de la ecuación de la parábola Y = Kn 2 .

punto PCV

n2

n 0

0

Y

Cota

Cota

cadenamiento

0

Tang. 72.100

curva 72.100

K8 +920 176

1

1

1

0.0875

71.300

71.3875

K8 + 940

2

2

4

0.3500

70.500

70.8500

K8 + 960

3

3

9

0.7875

69.700

70.4875

K8 + 980

4

4

16

1.4000

68.900

70.3000

K9 + 000

5

5

25

2.1875

68.100

70.2875

K9 + 020

6

6

36

3.1500

67.300

70.4500

K9 + 040

7

7

49

4.2875

66.500

70.7875

K9 + 060

PTV

8

64

5.6000

65.700

71.300

K9 + 080

Valores que concuerdan con los obtenidos antes; por último usaremos la expresión encontrada antes: Método de aplicación de la cota anterior y los valores de e Y Zn = Z n-1 +{ Pe/5 – A/ 10N (2n -1 )}; Pe/5 = 4/5 = -0.8 A/10N = (-3-4)/10(8) = - 0.0875 PCV = 72.100 Zn = 72.1 +{ (- 0.8 – ( -0.0875)(1)} = 71.3875 Zn = 72.3875 +{ (- 0.8 – ( -0.0875)(3)} = 70.8500 Zn = 70.8500 +{ (- 0.8 – ( -0.0875)(5)} = 70.4875 Zn = 70.4875 +{ (- 0.8 – ( -0.0875)(7)} = 70.3000 Zn = 70.3000 +{ (- 0.8 – ( -0.0875)(9)} = 70.2875 Zn = 70.2875 +{ (- 0.8 – ( -0.0875)(11)} = 70.4500 177

Zn = 70.4500 +{ (- 0.8 – ( -0.0875)(13)} = 70.7875 Zn = 70.7875 +{ (- 0.8 – ( -0.0875)(15)} = 71.3000 Que es la cota del PTV. Con ello se demuestra que; usando cualquiera de los tres métodos, se llega a los mismos resultados.

Las curvas verticales parabólicas se clasifican en: Curvas en cima y curvas en columpio.

178