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U3. Evidencia de aprendizaje. Resolución de ejercicios sobre pruebas de hipótesis e intervalos de confianza para dos poblaciones. 1-Los siguientes datos, registrados en días, representan el tiempo de recuperación para reclusos que se tratan al azar con uno de dos tratamientos de readaptación social: Tratamiento 1 𝒏𝟏 = 𝟏𝟒 𝒙𝟏 = 𝟏𝟕 𝑺𝟐𝟏 = 𝟏. 𝟓

Tratamiento 2 𝑛2 = 16 𝑥2 = 19 𝑆22 = 1.8

Encuentra un intervalo de confianza del 99% para la diferencia en el tiempo promedio de recuperación para los dos tratamientos de readaptación social, supón poblaciones normales con varianzas iguales. Fórmula para obtener 𝒕∝⁄

𝟐

𝒔𝟐 𝒔𝟐 (𝒏𝟏 + 𝒏𝟏 )𝟐 𝟏 𝟏 𝒗= 𝟐 𝟐 (𝒔 ) (𝒔𝟐 )𝟐 𝟏 𝟏 (𝒏 − 𝟏) 𝒏𝟏 + (𝒏 − 𝟏) 𝒏𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 1.52 1.82 ( 14 + 16 )2 𝑣= = 𝟐𝟕. 𝟗𝟒𝟔𝟔 (1.52 )2 (1.82 )2 1 1 (14 − 1) 14 + (16 − 1) 16 Como el resultado obtenido es decimal, se redondea hacia el número inferior 27 para tener un valor de t mayor. Derivado de la tabla de distribución t para 27, t 0.025,27=2.05. Intervalo de confianza del 99% para la diferencia en el tiempo promedio de recuperación para los dos tratamientos de readaptación social se calcula de la siguiente manera: Formula: ̅𝟏 − 𝒙 ̅𝟐 ) − 𝒕𝒂⁄ √ (𝒙 𝟐

𝒔𝟐𝟏 𝒔𝟐𝟐 𝒔𝟐 𝒔𝟐𝟐 ̅𝟏 − 𝒙 ̅𝟐 ) + 𝒕𝒂⁄ √ 𝟏 + + ≤ 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ≤ (𝒙 𝟐 𝒏 𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝒏𝟐 𝟏

1.52 1.82 1.52 1.82 (−2 ) − (2.05)√ + ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ (−2) + (2.05)√ + 14 16 14 16 (−2 ) − 1.235478 ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ (−2) + 1.235478

−𝟑. 𝟐𝟑𝟓𝟒𝟕𝟖 ≤ 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ≤ −𝟎. 𝟕𝟔𝟒𝟓𝟐𝟐 Es decir, el tiempo de recuperación para reclusos con tratamiento 1 excede en al menos 3.23 de tiempo, mientras que los que tienen tratamiento 2 en 0.76 del tiempo. 2. Los siguientes datos representan los tiempos de duración de las audiencias por dos juzgados de primera instancia. Juzgado I II

103 97

94 82

Tiempo (minutos) 110 87 980 123 92 175

88

118

Datos: Para la muestra del juzgado I ̅𝟏 = 𝒙

103 + 94 + 110 + 87 + 980 = 𝟐𝟕𝟒. 𝟖𝟎 5 𝒏𝟏 = 𝟓

(103 − 274.80)2 + 94 − 274.80)2 + (110 − 274.80)2 + (87 − 274.80)2 +(980 − 274.80)2 𝑺𝟐𝟏 5−1 = 𝟏𝟐𝟒𝟑𝟖𝟔. 𝟖 𝑺𝟏 = 𝟓 Para la muestra del juzgado II ̅𝟐 = 𝒙

97 + 82 + 123 + 92 + 175 + 88 + 118 = 𝟏𝟏𝟎. 𝟕𝟏 7 𝒏𝟐 = 𝟕

(97 − 110.71)2 + (82 − 110.71)2 + (123 − 110.71)2 + (92 − 110.71)2 +(175 − 110.71)2 + (88 − 110.71)2 + (118 − 110.71)2 𝑺𝟐𝟐

7−1

= 𝟖𝟖𝟔. 𝟗𝟏𝟖𝟑𝟕 𝑺𝟐 = 𝟕 Formula: 𝒔𝟐 𝒔𝟐 (𝒏𝟏 + 𝒏𝟏 )𝟐 𝟏 𝟏 𝒗= 𝟐 𝟐 (𝒔 ) (𝒔𝟐 )𝟐 𝟏 𝟏 (𝒏 − 𝟏) 𝒏𝟏 + (𝒏 − 𝟏) 𝒏𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐

124386.82 886.918372 2 + ) 7 5 𝒗= (124386.82 )2 (886.918372 )2 1 1 ( ) + (7 − 1) 7 5−1 5 (

𝑣=

625202747.64 = −𝟎. 𝟐𝟓𝟐𝟓𝟒 −2475626891.46

Calcula un intervalo de confianza de 90% para la diferencia entre los tiempos de duración promedio de las audiencias que generan los juzgados. Supón que las diferencias del tiempo de duración se distribuyen de forma aproximadamente normal con varianzas distintas. Formula: ̅𝟏 − 𝒙 ̅𝟐 ) − 𝒕𝒂⁄ √ (𝒙 𝟐

𝒔𝟐𝟏 𝒔𝟐𝟐 𝒔𝟐 𝒔𝟐𝟐 ̅𝟏 − 𝒙 ̅𝟐 ) + 𝒕𝒂⁄ √ 𝟏 + + ≤ 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ≤ (𝒙 𝟐 𝒏 𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝒏𝟐 𝟏

124386.82 886.918372 (274.80 − 110.71) − 1.886√ + ≤ 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ≤ 5 7 124386.82 886.918372 (274.80 − 110.71) + 1.886√ + 5 7 164.09 − 1.886 (158.13) ≤ 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ≤ 164.09 + 1.886 (158.13) 164.09 − 298.23 ≤ 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ≤ 164.09 + 298.23 164.09 − 298.23 ≤ 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ≤ 164.09 + 298.23 −𝟏𝟑𝟒. 𝟏𝟒 ≤ 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ≤ 𝟒𝟔𝟐. 𝟑𝟏 Finalmente para la diferencia entre los tiempos de duración promedio de las audiencias que generan los juzgados esta entre 134.14 y 462.31 horas.

3. Durante el 2003 los asaltos a bancos alcanzaron record de puntajes altos en 16 estados de Estados Unidos (The Wall Street Journal, 7 de marzo de 2003). Dos de los estados afectados fueron California y Florida. La American Automobile Association encontró como cantidad media por evento 5 en California y 3 por evento en Florida. Usa 40 como tamaño de la muestra de California y 35 como tamaño de la muestra de Florida. Supón que estudios anteriores indican que la desviación estándar poblacional en California es 0.10 y en Florida 0.08.

Datos: Probabilidad del 0.95 = 95% Nivel de significancia α=0.05 (1.00-0.95) 𝑍∝/2 = 1.96 (𝝁𝟏 ) California 𝜎1 = 0.10 𝑥̅1 = 5 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜

(𝝁𝟐 ) Florida 𝜎2 = 0.08 𝑥̅2 = 3 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜

𝑛1 = 40

𝑛2 = 35

1. ¿Cuál es la estimación puntual de la diferencia entre la cantidad media por evento en California y Florida? ̅𝟏 − 𝒙 ̅𝟐 ) 𝑬𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒖𝒂𝒍 (𝒙 (𝟓 − 𝟑) = 𝟐

2. ¿Cuál es la estimación por intervalo de 95% de confianza para la diferencia entre la cantidad media poblacional por evento en California y en Florida? Fórmula: 𝝈𝟐 𝝈𝟐𝟐 𝝈𝟐 𝝈𝟐𝟐 ̅𝟏 − 𝒙 ̅𝟐 ) − 𝒛𝒂⁄ √ 𝟏 + ̅𝟏 − 𝒙 ̅𝟐 ) + 𝒛𝒂⁄ √ 𝟏 + (𝒙 ≤ 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ≤ (𝒙 𝟐 𝒏 𝟐 𝒏 𝒏𝟐 𝒏𝟐 𝟏 𝟏

0.102 0.082 0.102 0.082 (5 − 3) − 1.96√ + ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ (5 − 3) + 1.96√ + 40 35 40 35

2 − 1.96 (0.00 ∗ 40) ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ (2) + 1.96(0.00 ∗ 40) 2 − 0.04 ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ (2) + 0.04 2 − 0.04 ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ (2) + 0.04 𝟏. 𝟗𝟔 ≤ 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ≤ 𝟐. 𝟎𝟒 Es decir que la diferencia entre la cantidad media poblacional por evento en California es de 1.96 y en Florida es de 2.04