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• Miguel Angel

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UNIDAD 1. LOGICA MATEMATICA La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.

1.1 ENUNCIADOS Y NOTACION Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falso o verdadero pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática. Las siguientes afirmaciones son proposiciones. (a) (b) (c) (d)

Gabriel García Márquez escribió Cien años de soledad. 6 es un número primo. 3+2=6 1 es un número entero, pero 2 no lo es.

Las proposiciones se notan con letras minúsculas, p, q, r. . . . . . La notación p: Tres más cuatro es igual a siete se utiliza para definir que p es la proposición “tres más cuatro es igual a siete”. Este tipo de proposiciones se llaman simples, ya que no pueden descomponerse en otras. Las siguientes no son proposiciones. (a) (b) (c) (d)

x+y>5 ¿Te vas? Compra cinco azules y cuatro rojas. x=2

Solución En efecto, (a) es una afirmación pero no es una proposición ya que será verdadera o falsa dependiendo de los valores de x e y e igual ocurre con la afirmación (d). Los ejemplos (b) y (c) no son afirmaciones, por lo tanto no son proposiciones. Desde el punto de vista lógico carece de importancia cual sea el contenido material de los enunciados, solamente interesa su valor de verdad.

1.2 CONECTIVAS Los conectivos lógicos son aquellos que sirven para formar proposiciones compuestas. Simbólicamente los conectivos se representan del modo siguiente: Conectivo

Nombre Lógico

Símbolo

No

Negación

~ ¬

Y

Conjunción

ð ∧

O

Disyunción Inclusiva

∨

1.2.1 NEGACION Dada una proposición cualquiera, p, llamaremos “negación de p” a la proposición “no p” y la notaremos ¬p. Será verdadera cuando p sea falsa y falsa cuando p sea verdadera.

1.2.2 CONJUNCION Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos conjunción de ambas a la proposición compuesta “p y q” y la notaremos p ∧ q. Esta proposición será verdadera ´únicamente en el caso de que ambas proposiciones lo sean.

1.2.3 DISYUNCION Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos disyunción de ambas a la proposición compuesta “p o q” y la notaremos p ∨ q. Esta proposición será verdadera si al menos una de las dos p o q lo es.

1.2.4 FORMULAS ENUNCIATIVAS Y TABLAS DE VERDAD La tabla de verdad de una proposición compuesta P enumera todas las posibles combinaciones de los valores de verdad para las proposiciones p1, p2, . . . , pn. Llamaremos valor verdadero o de verdad de una proposición a su veracidad o falsedad. El valor de verdad de una proposición verdadera es verdad y el de una proposición falsa es falso. Ejemplo. Dígase cuáles de las siguientes afirmaciones son proposiciones y determinar el valor de verdad de aquellas que lo sean. (a) p: Existe Premio Nobel de informática.

(b) q: La tierra es el ´único planeta del Universo que tiene vida. (c) r: Teclee Escape para salir de la aplicación. (d) s: Cinco más siete es grande. Solución (a) p es una proposición falsa, es decir su valor de verdad es Falso. (b) No sabemos si q es una proposición ya que desconocemos si esta afirmación es verdadera o falsa. (c) r no es una proposición ya que no es verdadera ni es falsa. Es un mandato. (d) s no es una proposición ya que su enunciado, al carecer de contexto, es ambiguo. En efecto, cinco niñas más siete niños es un número grande de hijos en una familia, sin embargo cinco monedas de cinco cinco céntimos más siete monedas de un céntimo no constituyen una cantidad de dinero grande.

1.2.5 CAPACIDADES LOGICAS PROGRAMACION

DE

LOS

LENGUAJES

DE

En algunos lenguajes de programación existe un tipo de datos lógico. Por ejemplo en Pascal, Visual Basic, VBNET, este tipo se denomina boolean. Los únicos datos de tipo boolean son true (cierto) y false (falso) y se escribe así. Tanto Python, C como PHP usan el convenio de que 0 es falso y cualquier otro valor es cierto. En Python, además, ciertos objetos se ((comportan)) como falso o cierto. La cadena vacía, por ejemplo, también es equivalente a falso y cualquier otra cadena equivale a cierto.

De Morgan Las expresiones lógicas pueden resultar complicadas, pero es que los programas hacen, en ocasiones, comprobaciones complicadas. Tal vez las más difíciles de entender son las que comportan algún tipo de negación, pues generalmente nos resulta más difícil razonar en sentido negativo que afirmativo. A los que empiezan a programar les lían muy frecuentemente las negaciones combinadas con or o and. Veamos algún ejemplo: supón que para aprobar una asignatura hay que obtener más de un 5 en dos exámenes parciales, y que la nota de cada uno de ellos está disponible en las variables parcial1 y parcial2, respectivamente. Estas líneas de programa muestran el mensaje ((Has suspendido.)) cuando no has obtenido al menos un 5 en los dos exámenes: If not (parcial1 >=5.0 and parcial2 >= 5.0: Print ‘has suspendido’ Lee bien la condición: “si no es cierto que has sacado al menos un 5 en ambos (por eso el and) parciales”.

Ahora fíjate en este otro fragmento: If not parcial1 >= 5.0 or not parcial2 >= 5.0: Print ‘has suspendido’ Leámoslo: “Si no has sacado al menos un cinco en uno u otro (por eso el or) parcial”. O sea, los dos fragmentos son equivalentes: uno usa un not que se aplica al resultado de una operación and; el otro usa dos operadores not cuyos resultados se combinan con un operador or. Y sin embargo, dicen la misma cosa. Los lógicos utilizan una notación especial para representar esta equivalencia.

Operadores que se utilizan en los lenguajes de programación

NO

!

Y

&&

O

||

1.2.6 FORMULAS CON DISTINTAS TABLAS DE VERDAD TABLA DE VERDAD-CONJUCION

TABLA DE VERDAD-DISYUNCION

TABLA DE VERDAD-NEGACION